Práctico 2 - Sucesiones y Número e. 1. Sucesiones. Universidad de la República Cprimerálculo 1 Facultad de Ingeniería - IMERL Segundo semestre 2017

Transcripción

1 Uiversidad de la Repúblia Cprimerálulo Faultad de Igeiería - IMERL Segudo semestre 07 Prátio - Suesioes y Número e. Suesioes. Estudiar mootoía, aotaió y overgeia de las siguietes suesioes (a ) N, dode: a) a = + b) a = + ( ) ) a = + d) a = + e) a =. Eotrar los límites de las suesioes (a ) N, dode a) a = os() e) a = se b) a = + 5 ) a = / d) a = α + β α,β R + ( f ) a )os() = α e α R g) a = 3 + ( ) ( ) + 3. Sea a y b dos suesioes reales overgetes tal que lím + a = a y lím + b = b. a) Sea λ R, probar que la suesió ā = a + λ overge y lím + ā = a + λ b) Probar que la suesió = a + b es overgete y lím + = a + b ) Sea λ R, probar que la suesió ã = λa overge y lím + ã = λa d) Probar que la suesió d = a b overge y lím + d = ab e) Probar que si b,b 0 etoes la suesió e = a b overge y lím + e = a b a f ) Supogamos que lím b =. Sea ua suesió real, probar que si existe lím b etoes existe el límite lím a, más aú lím b = lím a g) Sea f ua suesió aotada y supoga que a = 0, probar que la suesió g = a f overge y lím + g = 0 4. Estudiar los límites de las siguietes suesioes. Existe subsuesioes overgetes? Idiar los límites de las subsuesioes overgetes. a) a = + ( ) b) a = ( ) ) a = 3 os(π) d) a = π os + 3 e) a = ( + ( ) ) f ) a = ( ) g) a = ( ) + + ( ) 5. Sea a ua suesió tal que sus subsuesioes a, a + y a 3 overge. Probar que a es overgete. 6. Las siguietes suesioes so overgetes (lím + a = L), es deir que dado ε > 0 existe 0 N (que depede de ε > 0) tal que 0, a L < ε. Determiar e ada aso el primer valor de 0 que orrespode a los siguietes valores de ε: ; 0,; 0,0; 0,00; 0,000. a) a = b) a = + ) a = ( ) d) a =! e) a = Sea A u subojuto de úmeros reales o vaío y aotado superiormete. Demostrar que L = sup(a) si y solo si:

2 a) L x, x A. b) Existe {x m } ua suesió de A tal que lím m + x m = L 8. Determiar si las siguiete suesioes overge, y e aso de overgeia alular su límite. a) a = α() b) b N = dode α() es la atidad de úmeros primos que divide a #{ N: N y es u uadrado perfeto } N. Fuioes reietes. E este ejeriio se ostruirá la fuió f : R R defiida por f (x) = x a) Defiimos idutivamete la suesió a por a 0 = a + = a La restriió de la fuió f e los aturales es a, esto es, f () = a. ) Probar que a es moótoa reiete y o aotada. ) Probar idutivamete que f ()f (m) = f ( + m),,m N b) Para defiir la fuió f e los eteros simplemete ivertimos, esto es, f ( ) = f () N ) Probar que f ()f (m) = f ( + m),,m Z ) Probar que f Z : Z R es reiete. ) Para determiar f e Q usamos el siguiete método. Dados p,q Z o q 0 existe u úio y R + tal que y q = f (p). Defiimos así f ( p q ) = y ) Probar que x,x Q se verifia que f (x )f (x ) = f (x + x ) ) Probar que f Q : Q R es reiete d) ) Sea b ua suesió de raioales reiete y aotada. Probar que la suesió f = f (b ) overge. ) Probar que si es ua suesió raioal que tiee límite etoes f = f ( ) tambié tiee límite. 3) Probar que si dos suesioes raioales d, e tiee el mismo límite etoes las suesioes f = f (d ) y g = f (g ) tambié tiee el mismo límite. e) Para defiir f (x) e los irraioales tomaremos suesioes raioales. Sea x R\Q, existe a ua suesió raioal tal que lím + a = x defiimos f (x) = lím + f (a ). ) Probar que para x R \ Q la defiiio de f o depede de la suesió elegida, esto es, si a, b suesioes raioales tales que lím + a = lím + b = x etoes lím + f (a ) = lím + f (b ). ) Veamos que la defiiió por suesioes tambié es oherete e Q. Sea a suesió raioal tal que lím + a = a Q etoes lím + f (a ) = f (a) f ) Probar que f : R R es reiete. g) Probar que si x es ua suesió real tal que lím + x = x etoes lím + f (x ) = f (x) h) Probar que x,x R se tiee que f (x + x ) = f (x )f (x ). Este ejeriio busa dar aproximaioes maejables de iertos úmeros y fuioes. Se estudiara omo alular umériamete ua fuió, o determiadas arateristias, esto quiere deir dar aproximaioes sufiietemete bueas. Estudiaremos el aso e que la fuió g e la que estamos iteresados tiee ua iversa fail de alular. Usaremos la otaió f = g.

3 U ejemplo de esto es la fuió g es g : R + R + dada por g(x) = x por tato la fuió f : R + R + es f (x) = x. Las dos laves para el algoritmo que realizaremos e este ejeriio so: La fuió f es fáil de alular La fuió f es moótoa Notar que ambas, f y g, so reietes. a) Probar que si f es reiete, etoes f = g tambié. b) Probar que si f es dereiete, etoes f = g tambié. Fijemos el problema etoes e alular umériamete, es deir dar úmeros çeraos. Como el ivel de preisió que se eesite para distitos problemas puede variar lo mejor es dar ua suesió a tal que lím + a = y teer ua oió de omo la distaia etre a y varia o. Defiiremos a por idutivamete por bipartiió. Primero eesitaremos que a 0 a, ualquier par de úmeros que umpla eso os serviría. Si bie e este aso es seillo eotrar tales úmeros, ua forma mas geeral de eotrar ejemplos es usado f, pues si queremos aproximar g(x 0 ) y f es reiete basta o tomar a 0 y a de forma que f (a 0 ) f (g(x 0 )) = x 0 f (a ) Volviedo al ejemplo de defiimos a por iduió a 0 = a = { a+ + a a 0 si a a + = + + a + a a 0 si a + + > Notar que a + a + si solo si a + es deir a + a) Probar que lím + a = b) Dar 0 de forma que a ɛ 0 para ɛ = 0,0 5,0 00 ) Defiimos la suesió desvio omo b = a. Tiee límite la suesió b? Es moótoa o evetualmete moótoa la suesió b? d) Reproduir los pasos de este ejeriio para alular log (5) 3. Número e Se osidera las suesioes (a ),(b ) y ( ) defiidas omo: a := i=0 i! b := a +! := ( + ). Probar que (a ) y (b ) so u par de suesioes moótooas overgetes.. Sea e el límite de las suesioes (a ) y (b ). Aotar el error de aproximar e por a. Hallar e o u error meor a Probar que e es irraioal. Sugereia: osiderar a < e < b. Supoer que e es raioal y multipliar por!. 4. Probar que a. Sugereia: desarrollar apliado el biomio de Newto. Aotar sumado a sumado. 3

4 5. Probar que = + i= i! x i, dode Probar que i x i ( i )i (i ). x i = ( /)...( (i )/) 6. Deduir que a a. Coluir que lím = e. 4. Apliaioes. Igaio igresa a trabajar e la ompañía Lala-Lolo LTD e eero de 006. Su paga, al firmar el otrato, es de $0,000 al mes. Al omiezo de ada año se realiza ua ajuste por IPC + % de aumeto de salario real. Si por ejemplo el IPC aualizado es de u 0% etoes el aumeto sera de u %. Tabla del IPC aualizado desde 006 (Datos INE) Año IPC Notamos a la suesió del sueldo de Igaio y b el IPC e el año a partir de la firma del otrato, por ejemplo a 0 = $0000, y b 0 = 6,38 a) Determiar la suesió a a partir de b,a. b) Calular uál es el sueldo de Igaio este año. Para realizar estos ejeriios, se reomieda leer el material omplemetario sobre suesioes que se euetra dispoible e la págia del urso.. Ua taza de afé reié servida tiee ua temperatura de 8. Después de miutos e ua habitaió a el afé se efría hasta 74. Supoiedo que la temperatura del afé e ada miuto viee dada por T = Ae k +, euetra las ostates A y k. Cuato tiempo hay que esperar para que el afé llegue a ua temperatura tolerable de 49? 3. U ultivo de baterias Streptoous A reié oloado e ua plaa de Petri o utrietes tiee 00 idividuos. Al haer u oteo 60 miutos después se euetra 450 idividuos. Asumiedo u modelo expoeial P = Ae k halle P. Cuál es el tiempo de espera hasta que la poblaió se duplique? 4. E u sitio arqueológio se euetra restos de arbó de ua hoguera. El aálisis paleobotáio muestra que la madera quemada era Coroilla. Del aálisis de árboles de Coroilla vivos e la atualidad, se sabe que la proporió etre el C-4 y el C-6 es de 0,005. Si e ua muestra de 4 grs. de arbó la proporió observada etre el C-4 y el C-6 (asumiedo que la muestra fue adeuadamete extraída para evitar su otamiaió) es 0.003, uatos años podemos atribuír a esos restos? 5. Ua persoa igiere ua pastilla de u aalgésio que otiee 00 mgr. de ibuprofeo, uya vida media e plasma es de horas. Para que el aalgésio surta efeto la atidad de ibuprofeo debe ser de al meos 35 mgr. Calule el máximo tiempo (e horas) hasta la toma de la siguiete pastilla. 6. Ua persoa ompra u fraso de 50. de u shampoo bastate aro. Cada vez que lo usa utiliza la tapa del fraso omo medida (0.), poiédose ua tapa del mismo. Para que le dure más tiempo, luego de poerse el shampoo repoe lo que saó o agua. Esto es, saa ua tapa de shampoo para usar y poe ua tapa de agua e el fraso. Supoiedo que uado la oetraió sea u terio de la iiial el produto ya o hae efeto, uátas vees podrá repoer o agua ates de que el shampoo ya o surta efeto? 4

5 7. Ua empresa etrevista a dos adidatos para u trabajo que requiere proesar u ierto produto. E diha etrevista ada adidato debe haer ua prátia e lo que sería su futuro trabajo. El adidato A proesa 5 uidades e la primera hora y 45 e la seguda, mietras que el adidato B proesa 35 uidades e la primera hora y 50 e la seguda. Asumiedo que ambos adidatos o tiee igua experieia previa e diho proeso, alule el máximo de uidades por hora que ada uo puede llegar a proesar. Basado e esta iformaió, a ual de los dos adidatos otrataría? 5. Ejeriios Complemetarios. Alguos de los mitos sobre el oríge del Ajedrez itrodue el problema de la progresió aritmetia. Cuado el reador del juego del ajedrez (e alguos mitos Sissa) le mostró su iveto el rey de u lejao país de medio oriete quedo ta deslumbrado por el mismo que otorgó al mismo Sissa la desiió sobre la reompesa por tal reaió. Sissa deidió que su reompesa debía ser la siguiete, reibiría u grao de trigo por la primer asilla del tablero, por la seguda, 4 por la terera y así suesivamete, dupliado la atidad ada vez. El Rey aeptó el pedido iluso ofedido por lo que él reía, poo de la reompesa. Calule aproximadamete la atidad de trigo que le orrespodería a Sissa. Tomado al estimaió de que e u kilo de trigo hay 00 graos y la produió e el mudo e es aproximadamete toeladas, ompare o la reompeza pedida. Qué olusioes puede obteer?. Sea X u ojuto de úmeros reales. Deimos que X es ompleto si toda suesió de Cauhy de elemetos de X overge a u puto de X. Determiar si so ompletos los siguietes ojutos: A = [0,3] B = (0,3) C = [0,) (,3] D = [0,] [,3] 3. Idiar si las siguietes afirmaioes so verdaderas. a) E la reta real, dado ualquier subojuto aotado H se umple que para toda suesió (a ) tal que a H para todo N, existe subsuesioes overgetes de (a ) uyo límite a H. b) E la reta real, dado ualquier subojuto ompleto y aotado H se umple que para toda suesió (a ) tal que a H para todo N existe subsuesioes overgetes de (a ) uyo límite a H. ) E la reta real, dado ualquier subojuto ompleto H, y ualquier suesió (a ) tal que a H para todo N, se umple que todas las subsuesioes de (a ) que so overgetes tiee su límite a H. 5