POSIBLE SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA DE SISTEMAS DE JUNIO DE 2003.

Transcripción

1 POSILE SOLUIÓN DEL EXMEN DE INVESTIGIÓN OPERTIV DE SISTEMS DE JUNIO DE. Problema (,5 utos): E ua ivestigaió o ratoes, se usa u laberito o uatro eldas,, y D, segú se muestra e la figura. E ada miuto, u rató uede ermaeer e la misma elda e la que estaba e el miuto aterior o ua robabilidad del 5%, o bie uede moverse a ua de las eldas que se omuia o aquella e la que estaba. Si sólo hay ua elda adyaete, la robabilidad de ir a ella será del 5%, mietras que si hay dos eldas adyaetes, ada ua de ellas tedrá ua robabilidad del 5%. a) Halle la matriz de trasiió de la adea de Markov que modela este sistema. b) Si u rató se euetra e u mometo dado e la elda, uál es la robabilidad de que dos miutos desués se euetre e la elda D? ) Si dejamos u rató durate u tiemo muy largo e el laberito, qué robabilidad habrá de eotrarlo e ada ua de las eldas? D Soluió: artado a): El ojuto de estados será S{,,,D}. La matriz de trasiió será:,5,5 Q,5,5,5,5,5,5,5,5 artado b): Segú las euaioes de hama-kolmogorov, se trata de alular uo de los elemetos de Q : () q,5,5,5,5,5,5 artado ): 4 omo la adea de Markov es fiita y ergódia, odemos afirmar que existe la distribuió estaioaria, que es reisamete lo que os ide. Para alularla, lateamos el siguiete sistema de euaioes:

2 D T D Q D El sistema uede resolverse, or ejemlo, fijado y ormalizado luego. La soluió fial es:.,,, D Ésta es la distribuió de robabilidad de la loalizaió del rató, a la larga. Problema (,5 utos): U ambulatorio disoe de ua sala de esera, uya aaidad odemos suoer ilimitada. Hay dos médios, ambos igualmete aaitados, ada uo de los uales atiede a u aiete e u tiemo que se distribuye exoeialmete o media de miutos. Los aietes llega al ambulatorio o u tiemo etre llegadas que se distribuye exoeialmete, o media de miutos. Halle: a) La robabilidad de que alguo de los dos médios esté desouado. b) El tiemo medio que u aiete tiee que eserar e la sala, ates de ser atedido. ) El úmero medio de aietes que hay eserado e la sala (o se ueta los que ya está siedo atedidos). Soluió: El sistema se uede modelar omo ua ola M/M/, o /λ miutos, /µ miutos, o lo ual λ lietes/hora, µ lietes/hora, λ/(µ)5/. artado a): Nos ide la robabilidad de que haya lietes e el sistema o bie liete e el sistema (so las irustaias bajo las uales hay algú médio desouado). Es deir, teemos que alular. Para ello, lo rimero que teemos que haer es hallar :!!!! 4!!!

3 artado b): otiuaió hallamos : 5 5! Y or último, la robabilidad de que algú médio esté desouado: 5 8 P( lgú médio está desouado ), 444 Nos ide el tiemo de esera e la ola, W q. Si uso las fórmulas del formulario del exame, eesito hallar ates L q : Lq! ( )! ( ) aietes,7878 aietes hora ya uedo hallar W q mediate el teorema de Little: Lq 5 5 L q λwq Wq horas,7878 horas,77 miutos λ artado ): Nos ide el úmero medio de lietes e la ola, L q, que ya habíamos hallado omo resultado auxiliar e el aartado aterior: 5 L q aietes,7878 aietes Problema (,75 utos): Sea el siguiete roblema de rogramaió lieal: Maximizar 5x x Sujeto a: x x x x x, x Resuelva diho roblema mediate el método del Simlex, siguiedo estos asos: a) ostruya ua soluió fatible iiial (tabla iiial del método). b) Obtega la(s) soluió(es) ótima(s), si las hay. ) De qué tio es la(s) soluió(es) ótima(s) obteida(s), si las hay?

4 Soluió: artado a): Pasado a forma estádar queda: Maximizar 5x x Sujeto a: x x x x x x 4 x, x, x, x 4 Observamos que o odemos oseguir la matriz idetidad ara ostruir la tabla iiial, or lo que asamos al método de las dos fases, añadiedo la variable artifiial x 5 : Maximizar x 5 Sujeto a: x x x x x x 4 x 5 x, x, x, x 4, x 5 La Fase I se desarrolla omo sigue: ase P P P P P 4 P 5 P P 5 riterio de etrada: mí{, }, luego etra x. riterio de salida: mí{/, /}/, luego sale x 5. ase P P P P P 4 P 5 P 5/ 5/ / / P / / / / La tabla aterior es ua de las tablas ótimas ara la fase I (habría otras dos más, orresodietes a itroduir e la base x y x 4, resetivamete). Utilizamos esta tabla ara ostruir la rimera tabla de la fase II: 5 ase P P P P P 4 P 5/ 5/ / P / / / / 5/ /

5 artado b): otiuamos o la fase II del método de las dos fases, artiedo de la tabla iiial de diha fase que ostruimos e el aartado aterior: riterio de etrada: mí{ 5/, /} 5/, luego etra x. riterio de salida: mí{5/5, /}5/5, luego sale x. 5 ase P P P P P 4 P 5 5 /5 /5 P /5 / riterio de etrada: mí{ }, luego etra x 4. riterio de salida: mí{5}5/5, luego sale x. 5 ase P P P P P 4 P P 5 Esta tabla es ótima, y orresode a la soluió (,,,5). Esto quiere deir que los valores ótimos de las variables del roblema origial so: x, x, y que el valor ótimo de la fuió objetivo es. artado ): La soluió ótima idiada e el aartado aterior es úia, ya que la tabla ótima o hay variables o básias que tega u ero e la última fila. uque o se ide, a otiuaió iluimos la soluió or el método gráfio de este roblema (utos de orte y reresetaió gráfia):

6 Problema 4 (,5 utos): Ua emresa de seguridad eesita teer ada día de la semaa al meos el siguiete úmero de emleados: Día Lues Martes Miéroles Jueves Vieres Sábado Domigo Emleados Sabiedo que ada emleado hará su semaa laboral trabajado 5 días oseutivos omezado uado la emresa le diga y que ada otrato suoe u osto de 5 /semaa, uátos emleados deberá otratar y qué días deberá trabajar ada uo o el objetivo de miimizar los ostos de otrataió? Platee u roblema de rogramaió lieal que modele esta situaió. No itete obteer la soluió, sólo debe dar el lateamieto. Soluió: Variables de deisió: x úmero de trabajadores que emieza a trabajar el lues x úmero de trabajadores que emieza a trabajar el martes x úmero de trabajadores que emieza a trabajar el miéroles x 4 úmero de trabajadores que emieza a trabajar el jueves x 5 úmero de trabajadores que emieza a trabajar el vieres x úmero de trabajadores que emieza a trabajar el sábado x 7 úmero de trabajadores que emieza a trabajar el domigo Fuió objetivo (ostes de otrataió, exresados e euros): Miimizar 5x 5x 5x 5x 4 5x 5 5x 5x 7

7 Restriioes: x x 4 x 5 x x 7 (lues) x x x 5 x x 7 5 (martes) x x x x x 7 (miéroles) x x x x 4 x 7 9 (jueves) x x x x 4 x 5 4 (vieres) x x x 4 x 5 x (sábado) x x 4 x 5 x x 7 8 (domigo) x, x, x, x 4, x 5, x, x 7 (o egatividad) x, x, x, x 4, x 5, x, x 7 Z (el úmero de trabajadores otratados ha de ser etero) Dado que las variables de deisió sólo uede tomar valores eteros, este roblema se resolvería utilizado métodos de rogramaió lieal etera, que o hemos visto.