Solución de Sistemas de Ecuaciones

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1 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Uidad 4 Soluió de Sistemas de Euaioes Represetaió matriial para sistemas de euaioes U úmero α se die raíz o ero de la euaió f(x) si f (). Los métodos umérios para eotrar ua raíz de ua euaió f(x), geerará ua suesió x o,,, tal que lim x α. El sistema de euaioes está formado por u ojuto de euaioes del tipo f i x, x,, x m, o i,,, m. F f, f,, f m x, x,, x m U vetor A x, x,, x m se die soluió de u sistema de euaioes F si F A. Los métodos umérios para eotrar la soluió de u sistema de euaioes F suesió,,,, tal que lim A. geerará ua Criterios de aproximaió para sistemas de euaioes er Criterio: Dado u úmero ε > y adeuadamete pequeño, que llamaremos toleraia, podemos esoger omo aproximaió a la raíz α a u térmio x de la suesió meioada, dode es el meor etero positivo que satisfae: f x < ε Para ua euaió do Criterio: Sea lim x α etoes dado ε >, adeuadamete pequeño, tal que x α < ε. El térmio x de la suesió meioada puede ser osiderado ua aproximaió a la raíz, dode es el meor etero positivo que umple la odiió: x x < ε Normas vetoriales Ua orma vetorial es ua fuió : R R /, y satisfie que, Y R, α R: i., ii. α α iii. + Y + Y Norma eulidiaa (o orma ): x i i Norma suma (o orma ): x i i Norma del máximo (o orma ): max x i i E sistemas F f, f,, f m x, x,, x m F < ε < ε Distaia asoiada o la orma eulidiaa: Y σ i x i y i Distaia asoiada o la orma suma: Y σ i x i y i Distaia asoiada o la orma del máximo: Y max i x i y i

2 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Normas matriiales Norma matriial iduida por la orrespodiete orma vetorial : Sistema de euaioes o lieales Ua orma matriial es ua fuió : R m R /, y satisfie que, Y R m, α R: i., ii. α α iii. + Y + Y Etoes: A A max A max max A A. A Si, A max σ i a ij j A R m orm(a,) Para resolver sistemas de euaioes o lieales, se puede apliar los métodos abiertos apliados a la resoluió de euaioes o lieales: Puto fijo Newto-Raphso siedo eesario haer ua trasformaió a variables vetorizadas. Si m : Y Y A max A Si, A max σ j a ij i orm(a,if) Sistema de euaioes o lieales Teorema del puto fijo para sistemas de euaioes Método de puto fijo: Para resoluió de euaioes teíamos: f x, x g x Para sistemas de euaioes o lieales: Sea F f, f,, f y x, x,, x. G g, g,, g dode: x g, x g,..., x g F, G + G Para resoluió de euaioes: Si g x es ua fuió otiua e a, b y g x a, b para todo x a, b, etoes g x tiee por lo meos u puto fijo e a, b. Para resoluió de sistemas: Si D x, x,, x R a i x i b i, i,,, g i otiuas y G D para todo D, etoes G tiee por lo meos u puto fijo e D. Codiió de overgeia para resoluió de euaioes: g x <. Sabemos que: α x K K x x Para sistemas de euaioes o lieales: Para resoluió de euaioes: Además, si g x existe para todo x a, b y g x K < para todo x a, b, K ostate, etoes g x tiee u úio puto fijo α e a, b. g x + g x + + g x K < g x + g x + + g x K <. E geeral, existe u úio puto fijo, si: g i x j K para K <, y A K K Para resoluió de sistemas: Además, si existe las derivadas pariales g i x j g i K etoes G tiee u úio puto fijo e D. x j otiuas e D y para todo D

3 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/ Ejemplo x + y x y x + y x y Ejemplo : Puto Fijo Si D x, x,, x R a i x i b i, i,,, g i otiuas y G D para todo D, etoes G tiee por lo meos u puto fijo e D. Opió A:. sqrt(-y +). sqrt(x -) G y +, x x, y D.,. G R para todo D y f x, y x + y g x, y x y x f x, y x y g x, y y x o overge Ejemplo : Puto Fijo Si D x, x,, x R a i x i b i, i,,, g i otiuas y G D para todo D, etoes G tiee por lo meos u puto fijo e D. Ejemplo : Puto Fijo Opió A: x + y x y f x, y x + y f x, y x y F x + y x y x y Opió B:. sqrt(-x +). sqrt(y +) f x, y x + y f x, y x y ቐg x, y x y + g x, y y x G y +, x x f x, y x + y g x, y y x y f x, y x y g x, y x y + G x +, y + x, y D.,. G R para todo D o overge dg /dy diff('sqrt(-y^+)','y') dg /dy -/(-y^+)^(/)*y dg /dx diff('sqrt(-y^+)', x') dg /dx Aalizado e -. x,y. dg /dy + dg /dx e [-,] dg /dy + dg /dx < e [-.7,.7] o overge dg /dx diff('sqrt(x^-)','x') dg /dx /(x^-)^(/)*x dg /dy diff('sqrt(x^-)', y') dg /dy Aalizado e -. x,y. dg /dy + dg /dx e [-,] dg /dy + dg /dx > e [-.,-] y [,.]

4 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/ y Ejemplo : Puto Fijo dg /dx diff('sqrt(-x^+)', x') dg /dx -/(-x^+)^(/)*x dg /dy diff('sqrt(-x^+)', y') dg /dy Aalizado e -. x,y. dg /dy + dg /dx ó > dg /dy diff('sqrt(y^+)', y') dg /dy /(y^+)^(/)*y dg /dx diff('sqrt(y^+)', x') dg /dx Aalizado e -. x,y. dg /dy + dg /dx < Opió B: f x, y x + y f x, y x y ቐg x, y y x + g x, y x y + G x +, y + o overge Verifiar e u itervalo meor, por ej: [-.7,.7] Ejemplo : Puto Fijo ቐ f x, y x x + y + 8 f x, y xy + x y + 8 x x + y + 8 xy + x y + 8 Para x, y.: x + y xy + x G D para todo D etoes G tiee por lo meos u puto fijo e D x x + y + 8 g x, y y xy + x + 8 g x, y x y - y+x+8 x - x+y x >> ezplot('x^-*x+y^+8',[-,]) >> ezplot('x*y^-*y+x+8',[-,]) Ejemplo : Puto Fijo dg /dxdiff('(x^+y^+8)/','x') dg /dx /*x dg /dydiff('(x^+y^+8)/','y') dg /dy /*y dg /dxdiff('(x*y^+x+8)/','x') dg /dx /*y^+/ (y^+)/ dg /dydiff('(x*y^+x+8)/','y') dg /dy /*x*y Máx. para x,y. dg /dx x/. dg /dy y/. dg /dx (y^+)/. dg /dy x*y/.4 g i x, y K,9 x j overge >> [.,.] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/].8.86 >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/] >> [(()^+()^+8)/, (()*()^+()+8)/].. 4

5 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 y Sistema de euaioes o lieales f x Método de Newto: Para resoluió de euaioes teíamos: x + x f x Para sistemas de euaioes o lieales: Sea F f, f,, f y x, x,, x. F + J F, F o: J F, dode el Jaobiao es: f f x J F, x f f x x E Matlab, el jaobiao se determia de la siguiete maera: (toolbox symboli) syms var var... Jaobia ([f,f,...],[var,var,...]) Ejemplo : Newto + J F, F * ,.... *. * * *. *. *.... x + y x y f x, y x + y f x, y x y. *. * * *. *. *......, syms x y JJaobia ([ x^+y^-, x^-y^- ],[x,y]) x y x J x y y Va overgiedo Ejemplo : Newto f( x, y ) x x + y + 8 f( x, y ) xy + x y + 8 x - y J y + xy... *. *.. * * *.. + *. *.. *. +. * * * x y + + x f( x, y ) x f( x, y ) J, y f( x, y ) y f( x, y ) x y - y+x+8 - x - x+y +8-4 Ejemplo : Newto Empleado Matlab syms x y >>F[x^-*x+y^+8;x*y^-*y+x+8] F x^-*x+y^+8 x*y^-*y+x+8 >> [x;y] x y >> N-jaobia(F)\F % o N-F/jaobia(F) o F y vetor fila N x-(-4+*y^+7*x*y-8*y-*x^*y+x^*y+*x-*x^)/(-y^-y+*x^*y-*x*y-*x+) y-/*(-88+x^-*x*y+*y+6*x-9*y^+y^*x^-y^4)/(-y^-y+*x^*y-*x*y-*x+) >>subs(n,[x;y],[.;.]) >> subs(n,[x;y],) >> subs(n,[x;y],) x

6 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Método de Newto Simplifiado Ejemplo Difiultades e la soluió de sistemas de euaioes o lieales + J - (F(x ), x ) * F(x ) + - J - (F(x ), x ) * F(x ) J (F(x ), x ) *( + - ) F(x ) *.. + Z + Si Z + ( + - ) J (F(x ), x ) *Z + F(x ) o Z + < f( x, y ) x x + y + 8 x - J f( x, y ) xy + x y + 8 y ,. 49 *. * Z *. *. + Z y xy. * *. +. * No es fáil eotrar bueos valores iiiales. Cooer el problema. No es posible grafiar superfiies multidimesioales (>). Reduió de euaioes. Partiió del sistema de euaioes. Se evita ivertir el Jaobiao e ada iteraió Soluió uméria de sistemas de euaioes lieales U sistema de euaioes, o oefiietes reales e las -iógitas x, x,, x se die que es u sistema lieal si es de la forma: o f i x, x,, x Si x, x,, x, F F f x, x,, x f x, x,, x f x, x,, x a i x + a i x + + a i x b i dode a ij R y b i R so otates, i, j,,. U sistema de euaioes lieales puede esribirse de la forma: a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b o a ij R y b i R, i, j,,. y R etoes es ua soluió real del sistema. ó e la forma matriial equivalete A b o: a a a x b a a a x b A,, b a a a x b A es la matriz de oefiietes del sistema, el vetor oluma es el vetor de iógitas y b es el vetor de térmios idepedietes. Sistemas o soluió úia Cosideraremos úiamete sistemas de euaioes lieales A b o A R que tega soluió úia para ada vetor b R, es deir, o A ivertible A b. Matlab itrodue ua otaió partiular implemetado los operadores \ y /. La soluió a u sistema es expresada omo: A\b (o b vetor oluma) equivalete a iv(a)*b. ó b/a (o b vetor fila) equivalete a b*iv(a). Emplea elimiaió Gaussiaa 6

7 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Sistemas si soluió úia Se aula el determiate, matriz sigular, o iversible. E Matlab: det(a) as b/a Warig: Matrix is sigular to worig preisio. If If If Métodos diretos Los métodos diretos os proporioa ua soluió del sistema e u úmero fiito de pasos. Si usamos aritmétia fiita para los álulos, obtedremos por lo geeral ua soluió aproximada, debido úiamete a los errores de redodeo, puesto que o hay errores de truamieto o de fórmula. Los métodos diretos más usados tiee omo base la elimiaió de Gauss. Si det, o implia que la matriz sigular, puede depeder de los oefiietes de la matriz Sustituió Si la matriz A es triagular (superior o iferior) o todas sus ompoetes sobre la diagoal priipal o-ulas. Trasformaioes elemetales a a a a a a a a a a x x x x b b b b Como a, se puede despejar x de la última euaió y obteemos: x b a x m b m σ m+ a m x a mm Este método se deomia sustituió regresiva o haia atrás. (Aproximadamete + operaioes) m,, Si A es triagular iferior, se despeja x de la primera euaió. E este aso se deomia sustituió progresiva o haia adelate. Matriz ampliada: AȁB Cualquiera de las siguietes operaioes apliadas a la matriz ampliada produe u sistemas lieal equivalete: Iterambio: E el orde de las euaioes (filas), o altera el resultado. E el orde de las variables (olumas), altera el orde de las variables e el resultado. Esalado: Produto de la euaió por ostate o ula a a a b a a a b a a a b Sustituió: Suma de la euaió más múltiplo de otra euaió: E r () Er + E q 7

8 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Elimiaió de Gauss Si la matriz A o es triagular, puede overtirse mediate el método de elimiaió Gaussiaa. El sistema A B tiee la forma: E : a a a a x b E : a a a a x b E : a a a a x b E : a a a a x b Se elimia el oefiiete de x e ada ua de las euaioes E, E,, E para obteer u sistema equivalete A () B (), realizado las trasformaioes elemetales: Pivoteo Luego se elimia el oefiiete de x e las euaioes E, E 4,, E y así suesivamete hasta elimiar el oefiiete de x. E geeral: multipliador ( j ) a j ij ( j ) j E i E j Ei, i j +,..., ( j ) a jj pivote Si algú a jj se debe iterambiar filas, si a jj el iterambio de filas dismiuye el error. Operaioes aproximadas: + 6 E () : E () : E () : E () : a a a a a a a a a a x x x x b b b b E i a i a E E i () i,,, Ejemplo: E : x 7x 7 E : x + x + 6x 4 E : x x + x 6 Matriz ampliada: AȁB Ejemplo Cotiuaió: E 7 Matriz ampliada: E E multipliador ( j ) a j ij ( j ) j E i E j Ei, i j +,..., ( j ) a jj pivote Ejemplo Cotiuaió: E 7 Matriz ampliada: E E multipliador ( j ) a j ij ( j ) j E i E j Ei, i j +,..., ( j ) a jj pivote E E E () () () E E () () E ( /) * E E (/)* E El oefiiete de x es el pivote. y. los multipliadores E E E () () () E E () () E ( /) * E E (/)* E El oefiiete de x es el pivote. y. los multipliadores () E () E () E E () () E (./.) * E () El propósito de las estrategias de pivoteo para reduir errores es usar omo pivote el elemeto de mayor magitud y, ua vez oloado e la diagoal priipal, usarlo para elimiar los restates elemetos de su oluma (los que está por debajo de él). () E ' 7 () E '. E '. 6 () () E ' 7 () E '. E ' 6. () Pivote Iterambio de filas () () () E ' E ' (./.) * E ' Pivote. Multipliador.4 6.*x 6. x..*x + ()*(). x -. *x + (-7)*(-) 7 x. 8

9 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Fatorizaió LU L. Multipliadores.. 4, U L otiee los multipliadores utilizados e la elimiaió, U la matriz fial de oefiietes y P desribe las permutaioes. LU PA Siedo b u uevo térmio idepediete 7., 6. Pivotes A b PA P b LU P b U L - P b L P b P Los pasos a seguir so: Paso. Calular P b. Paso. Resolver, e L Pb por sustituió progresiva. Paso. Resolver, e U por sustituió regresiva. Ejemplo: LU er Ejemplo E 7 E 6 E L... 4, 7 x 9.. * x., 6. x 8.7 U. 9.. *, U L P* b 7., 6. P do Ejemplo o térmios idepedietes ambiados E 7 E 6 E * * * 8.7 x (9 7 *.6) / x.9 x.6 (. *.4) /. x x 8.7 / 6. x.4 LPb, U Otras posibilidades a partir del método de elimiaió de Gauss Fuioes MATLAB Elimiaió de Jorda: Se geera ua matriz diagoal para elimiar la sustituió. Se elimia elemetos arriba y abajo del pivote. [L,U,P] LU(A) Dode A puede ser ua matriz retagular Iversió de matries: A partir de [A B], o B matriz idetidad, apliado Jorda y esalado, se obtiee [I B ] o B iversa de A. Determiate: A partir de la matriz triagulada det A r ς, o r úmero de iterambios de filas. L es la matriz triagular iferior de LU o elemetos e la diagoal U es la matriz triagular superior de LU P es la matriz de permutaioes tal que P*A L*U. U\(L\b) Fatorizaió LU: Permite reservar los parámetros de la elimiaió de Gauss, para ser apliados e la resoluió de sistemas o igual matriz A. 9

10 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Métodos Idiretos E los métodos iterativos o idiretos se parte de ua aproximaió iiial a la soluió del sistema dado y se geera, a partir de diha aproximaió, ua suesió de vetores que debería overger a la soluió del sistema. So métodos que progresivamete va alulado aproximaioes a la soluió de u problema. Se repite u mismo proeso de mejora sobre ua soluió aproximada. Se espera que la ueva soluió sea más aproximada que la soluió iiial. El proeso se repite sobre esta ueva soluió hasta que el resultado más reiete satisfaga iertos requisitos. A difereia de los métodos diretos, e los uales se debe termiar el proeso para teer la respuesta, e los métodos iterativos se puede suspeder el proeso al térmio de ua iteraió y se obtiee ua aproximaió a la soluió. Además de los errores de redodeo, si se usa aritmétia fiita, habrá errores de truamieto o de fórmula. Los métodos iterativos más simples y ooidos está basados e Iteraioes de Puto Fijo. Valor Iiial: () Fórmulas de Iteraió (), (),, () Objetivo: que overja a la soluió del sistema de euaioes ( ) Como es imposible haer u úmero ifiito de iteraioes, se hae u úmero fiito de iteraioes hasta que se umpla ierta odiió Método de Jaobi Sea u sistema de euaioes A b, dode A es o-sigular. Diho sistema se puede trasformar e u sistema equivalete de la forma B + para algua matriz B y algú vetor. Sea: B ij a ij Matriz de iteraió de Jaobi a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b i j i j B + y i b i x b a x a x a x b a x a x a G()B+C etoes G() x b a x a x a x i j j i a ij x j + b i Fórmula de iteraió del Método de Jaobi Se ostruye la suesió de vetores () a partir de la fórmula de iteraió (+) G () B () + y se espera que overja a la úia soluió del sistema. () b i σ j a ij x j (+) j i x i Covergeia del Método de Jaobi Defiiió: Ua matriz A es Estritamete Diagoal Domiate (EDD) satisfae: > σ j a ij j i Sea u sistema de euaioes A b, si A es EDD etoes el método de Jaobi CONVERGE a ua úia soluió. Si A es EDD etoes B < B depede de la reubiaió de las filas Criterios de aproximaió: Cotas para error de truamieto: (+) B () + B < CONVERGE B No se puede asegurar la overgeia i) R (+) A (+) b < ε ii) (+) () iii) (+) () () < ε < ε i) () B, ii) () B,, B < B det B λi Euaió Caraterístia de B ρ B max raíes de la euaió araterístia Radio Espetral ρ B ρ B < CONVERGE ρ B DIVERGE

11 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Método de Jaobi - Ejemplo x 7x + x ቐ x x + 8x x x + x Forma matriial: 7 8 x x x Método de Jaobi - Ejemplo x 7x + x ቐ x x + 8x x x + x A 7 8 A NO ES EDD Se aaliza si la matriz A es EDD: A Sea el sistema equivalete de la forma B + : x x x x x x + B λi λ 7 λ 8 λ det B λi λ λ λ λ λ λ + 9 ρ B A NO ES EDD A No se puede asegurar la overgeia. Se debe aalizar el radio espetral El Método de Jaobi NO CONVERGE Iterambiado las filas obteemos ua matriz EDD: x x + x ቐ x 7x + x x x + 8x Sea el sistema equivalete de la forma B + : x x x x x x A ES EDD CONVERGE B max, 4 7, 8 < De auerdo al aálisis de overgeia, el método iterativo de Jaobi overge a ua úia soluió, ualquiera sea la aproximaió iiial (). Método de Jaobi - Ejemplo Iterado o el método de Jaobi (+) B () +, tomado omo aproximaió iiial (),, y usado omo riterio de aproximaió () ( ) <, obteemos: x x x Error (+) x () (+) x x 7 () x 7 + (+) x 7 () x x x x Error < Norma Eulidea: () ( ) x i xi i Método de Jaobi - Ejemplo x x x x + 4 x x BJ det(b - I) x x + x x + x + x x + x + x 4 No es E.D.D B J 4 > Radio espetral (B J ), de la matriz de iteraió B J. r_espe max(abs(eig(b))) ó r_espe max(abs(roots(poly(b)))) J -,.49, ( B G ) max El método Jaobi o overge. Verifiar iterambiado filas

12 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Método de Jaobi - Ejemplo x x + x x + x + x 4 x + x + x x x 4 x x + x x BJ No es E.D.D B J 8/ > o se puede asegurar la overgeia, por lo tato debemos eotrar el radio espetral (B J ). La euaió araterístia es: uyas raíes so:.696 (B ) Max J i i Max.696, i,.696, i Método de Jaobi - Ejemplo De auerdo al aálisis de overgeia, el método iterativo de Jaobi overge a ua úia soluió, ualquiera sea la aproximaió iiial (). Iterado o el método de Jaobi, tomado omo aproximaió iiial () [,,], y usado omo riterio de aproximaió () (-) <. obteemos: () [-.,., ], () [.6667,.8, ] () [.99798,.999, ] (6) [.9987,.9994, -.999] Como 6 es el primer etero positivo para el ual () (-) <. etoes (6) es soluió al problema. Fórmula vetorial de iteraió del Método de Jaobi A Etoes: 7 8 Sea el sistema de euaioes A b. La matriz A puede desompoerse omo: D: matriz diagoal de A D 7 8 A b D + L + U b D + L + U b D L + U + b D L + U + D b B La fórmula vetorial de iteraió es: () D L + U + D b, A D + L + U L: matriz triagular estritamete iferior de A L,, U: matriz triagular estritamete superior de A U Matlab: [B ] B [ -diag(./diag(a))*(tril(a,-)+triu(a,)), diag(./diag(a))*b ] B*+ [-diag(./diag(a))*(tril(a,-)+triu(a,))*+diag(./diag(a))*b ] o b y vetores oluma Método de Gauss-Seidel () () () () Ua mejora del método de Jaobi es obteer x i utilizado los x, x,, xi ya alulados, dado que so mejores aproximaioes a la soluió exata. Dado el sistema de euaioes: a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b Sea el valor iiial x (), x (),, x (), apliado el método de Jaobi se obtiee: Para la primera iteraió se tiee que: x () b a x () ax () a () () () b a x x ax a () () () b a x x a x a VALORES INICIALES Fórmula de iteraió: () b i σ j a ij x j (+) j i x i x () b a x () a x () a () () () b a x x ax a () () () b a x x a x a

13 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Fórmula de iteraió E geeral para la primera iteraió: E geeral para la iteraió + : x () b a x () ax () a () () () b a x x ax a () () () b a x x a x a b (+) i σ i + j a ij x j x i b () i σ i j a ij x j x i σ ji+ a ij x j σ ji+ a ij x j El aálisis de overgeia oiide o el del método de Jaobi, auque suele overger más rápido. Método de Gauss-Seidel - Ejemplo x x + x Sea el sistema: ቐ x 7x + x x x + 8x Despejado se obtiee: (+) 8 6 () + 8 (+) x x () x + (+) x 7 x x + 7 (+) x 4 x x B GS max, 8, 4 < CONVERGE Tomado omo aproximaió iiial,, y usado omo riterio de aproximaió () ( ) <, se obtiee: x x x Error x x x Error < Comparaió de los métodos Método de Gauss-Seidel - Ejemplo Método de Jaobi x x x Error < Método de Gauss-Seidel x x x Error < x x + x x + x + x x + x + x 4 x x x x + x 9 4 x BG ( ) ( ) + x x x, () ( ) x x x, ( ) 4 x x x B G > ρ B G max,, 9 9 > Etoes el método diverge E este aso, omo la matriz B G es triagular, los autovalores so los elemetos de la diagoal. ( ) ( ) ( ) + x x x, ( ) ( ) x x x, ( ) 4 + 9x x

14 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Método de Gauss-Seidel - Ejemplo Iterambiado filas obteemos: x x + x x + x + x 4 x + x + x x x 7 x x x 4 x 9 BG Como B G > o podemos asegurar la overgeia, pero (B G ) Max {,/,/9} < etoes el método de Gauss-Seidel overge a la úia soluió del sistema dado, ualquiera sea la aproximaió iiial. () [.99898,.9996, -.999] es soluió al problema. Fórmula vetorial de iteraió del Método de Gauss-Seidel Partiedo de la fórmula de iteraió: Etoes: i (+) + x i bi a ij x j x i (+) + j i i j + a ij x j j a ij x j + ji+ ji+ b (+) i σ i j x i ji+ a ij x j a ij x j D + L (+) U () + b a ij x j + b i + b i a ij x j + (+) D + L U + D + L b,,, σ ji+ a ij x j A D + L + U D: matriz diagoal de A L: matriz triagular estritamete iferior de A U: matriz triagular estritamete superior de A Matlab: [B ] B[tril(A)^-*-triu(A,), (tril(a))^-*b ] B*+ [tril(a)^-*-triu(a,)*+(tril(a))^-*b ] Métodos idiretos o iterativos Matries ralas Vetajas: Más efiietes que los diretos para sistemas de orde muy alto. Más simples de programar. Puede eotrarse aproximaioes a la soluió. So meos sesibles a los errores de redodeo (importate e sistemas mal odiioados). Desvetajas: Si se tiee varios sistemas que omparte la matriz de oefiietes, esto o represetará ahorro de alulo, ya quepor ada vetor a la dereha de A tedrá queapliarse el método. Auque la overgeia esté asegurada puede ser leta (E Gauss o es predeible). No se obtiee i det(a) i A - Las matries asoiadas o los sistemas de euaioes lieales se lasifia e desas y ralas. Las matries desas tiee poos elemetos ulos y su orde es relativamete pequeño ( ). Para resolver sistemas o matries desas puede ser utilizados los métodos diretos. Las matries ralas tiee poos elemetos o ulos y surge, por ejemplo, al resolver euaioes difereiales por métodos de difereias fiitas; su orde puede ser muy grade. Para resolver sistemas o matries ralas so reomedados los métodos iterativos. Matlab, de todos modos, posee fuioes para trabajar o matries ralas (osideradas u tipo de dato) y partiularmete para resolver sistemas de euaioes o métodos diretos. ( lui, holi ). 4

15 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Codiioamieto del sistema Codiioamieto del sistema El heho de que las omputadoras puede represetar sólo u úmero fiito de úmeros reales y de forma aproximada, tiee ua oseueia imediata e el álulo umério. Aú uado u algoritmo haya sido diseñado teóriamete para produir la respuesta exata a u problema, su implemetaió es ua omputadora rara vez produirá tal respuesta. La uestió etoes radia e saber uádo se puede ofiar e ua respuesta obteida. Los algoritmos e los que se puede ofiar so algoritmos ESTABLES, es deir, so aquellos que produe ua respuesta asi exata uado se aplia a datos que so asi exatos. Otros sistemas de euaioes lieales so extremadamete sesibles a los errores de redodeo que pueda produirse e el proeso de resoluió. E alguos asos esto podría arreglarse mediate el uso de estrategias de pivoteo. E otros asos, i siquiera el uso de esas téias osigue llevar a ua resoluió preisa. Estamos frete a los sistemas MAL CONDICIONADOS. E el álulo umério, los errores está siempre presetes. Hay errores de muy diversas proedeias, priipalmete: Errores e las mediioes o e las estimaioes previas (posiblemete grades: a meudo los datos e igeiería o eoomía so ooidos o poos dígitos). Errores e la forma e que las omputadoras almaea los úmeros ( o 64 bits, segú sea simple o doble preisió, por lo tato se produe errores de redodeo). Errores omo resultado de álulos ateriores si, por ejemplo, los datos proede de soluioes umérias a problemas previos. Hay problemas que so espeialmete sesibles a estos tipos de errores. El estudio de ómo éstos afeta a las respuestas aluladas perteee a ua disiplia deomiada Teoría de la Perturbaió. E ella se pretede estimar uato puede ambiar la soluió de u problema uado los datos de partida so modifiados ligeramete. El objetivo del Aálisis Numério es diseñar algoritmos que sea lo más isesibles posible a los errores, es deir, geerar algoritmos ESTABLES. Codiioamieto del sistema Si soluió 4 -/*x+y -/*x+y/ 4 soluioes 4 -/*x+y -x+*y 4 Codiioamieto del sistema Si es soluió exata de u sistema lieal A b, A ivertible, b, y es ua soluió aproximada de diho sistema, etoes e es el vetor error de (desooido) y R A b es el vetor error residual, el ual mide hasta dóde la soluió aproximada satisfae el sistema. Si R etoes. Por lo tato, e. Soluió úia Bie odiioado 4 -/*x+y *x+*y8 4 Mal odiioado 4 -./*x+y. -/*x+y 4 tal que A R + b y es soluió de ua perturbaió del sistema A b. Si R es pequeño etoes e tambié es pequeño?

16 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Sistemas mal odiioados Sistemas mal odiioados Ejemplos: Sea x y x + y ) ቊ,x + y 8 U oefiiete perturbado e aproximadamete,%: x + y ቊ,x + y 8 Cambio relativo de aproximadamete el % e la soluió. R A b, 8,, e max, R max,,, e El error e la soluió es grade y el error residual es pequeño. Ejemplos: Sea x y 4,x +,8y 4, ) ቊ 9,7x + 6,6y 9,7 Ua perturbaió de aproximadamete,% e el térmio idepediete: 4,x +,8y 4, ቊ 9,7x + 6,6y 9,7,4,97 Cambio relativo de aproximadamete 66% e la soluió. Se puede probar que si R b R A b 4,,8 9,7 6,6,4,97 4, 9,7 4, 9,7 4, 9,7, e max,4,,97,97 R max,,, El error e la soluió es grade y el error residual es pequeño. e,66,97 es pequeño etoes e es pequeño si se satisfae la odiió A A Sistemas bie odiioados Número de odiió Ejemplos: Sea x y 4x + y 4 ) ቊ x + 6y U oefiiete perturbado e aproximadamete %: 4,x + y 4 ቊ x + 6y,4,786 Cambio relativo de aproximadamete el % e la soluió. R A b 4 6 e,4,74,4,786 4,446,9996 4,64,4 e max,4,,74,74 R max,64,,4,64 El úmero resultate de A A se llama úmero de odiió de la matriz o-sigular A relativo a ua orma matriial y se deota por Cod A. Cod A, ualquiera sea la orma matriial iduida. I AA, I A A y I max I max Si Cod A etoes A está bie odiioada, es deir, el sistema A b está bie odiioado. Si Cod A etoes A está mal odiioada, es posible que A tega u mal omportamieto, e el setido que u error residual relativo pequeño puede orrespoder a ua soluió aproximada mala. El sistema A b está mal odiioado. Por ejemplo, para el ejemplo desarrollado ateriormete se tiee que: Cod,,, 44, 6

17 Métodos Numérios - Cap : Soluió de Euaióes o Lieales 6/9/8 Relaió residuo-error soluió Relaió residuo-error soluió La relaió etre R b y e es: R b Cod A e R b Cod A La relaió etre R b y e es: R b Cod A e R b Cod A Para el ejemplo : x + y ቊ,x + y 8 8 Para el ejemplo : 4,x +,8y 4, ቊ 9,7x + 6,6y 9,7,4,97 e max, R max,,, e max,4,,97,97 R max,,, Cod,,, 44, Cod 4,,8 9,7 6,6 49,4, 44,, 44,,7 6,, 9,7 49,4, 9,7 49,4 4,8 7,494 Relaió residuo-error soluió La relaió etre R b y e es: R b Cod A e R b Para el ejemplo :,74 4x + y 4 ቊ x + 6y 6,67 Cod 4 6 6,67 Cod A,4,786 e max,4,,74,74 R max,64,,4,64,74 6,67,9,7 Cota del error relativo Dado u sistema A b, si δa y δb deota perturbaioes e A y b respetivamete, se puede estableer ua ota para el error relativo e térmios de las perturbaioes relativas y el úmero de odiió de A. Si es la soluió exata de A b y es la soluió exata del sistema perturbado A + δa b + δb. Si A es o-sigular, δa < A, lo que asegura que A + δa es ivertible y que Cod A δa A >. Por lo tato: Para el ejemplo : δa Cod A δb b Cod A Cod A δa A δb b + δa A Cod A, 9,7 49,4,,494 7