DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.

Transcripción

1 DISTRIBUCIÓN MUSTRAL D MDIAS. Si tomamos ua muestra de tamaño de ua poblaió, obtedremos ua media para esa muestra y ua desviaió típia que o tiee por qué ser exatamete iguales a las de la poblaió ompleta pero se pareerá, tato más uato mayor sea el tamaño de la muestra. Cada muestra de tamaño que podemos tomar de ua poblaió proporioa ua media. Si tomamos varias muestras diferetes y osideramos ada ua sus medias omo ua ueva variable, podemos estudiar su deomiada distribuió muestral de medias. Si la poblaió sigue ua distribuió ormal N ( μ, σ ) y extraemos de ella muestras de tamaño, la distribuió muestral de medias sigue ua distribuió tambié ormal (idepedietemete del tamaño de la muestra) de la forma: N, TORMA CNTRAL DL LÍMIT. Auque la poblaió o siga ua distribuió Normal, si el tamaño de la muestra es sufiietemete grade podemos utilizar este Teorema que die: Si tomamos ua muestra aleatoria de tamaño >30 de ua poblaió o ua distribuió ualquiera de media y desviaió típia, la distribuió muestral de medias se aproxima a ua distribuió ormal N, Como se puede apreiar: -La media de la distribuió muestral es la misma que la de la poblaió. -La desviaió típia de la distribuió muestral es la de la muestra dividida por la raíz del úmero de datos. INTRVALOS D CONFIANZA. Llamamos itervalo de ofiaza al itervalo que, o ua ierta probabilidad, otega al parámetro que se está estimado (ormalmete la media). A esta probabilidad se le llama ivel de ofiaza N. l itervalo debe teer el etro e la media de la muestra y ua amplitud tal que la probabilidad de que la media poblaioal esté e ese itervalo sea el Nivel de ofiaza requerido. 1º.- Utilizado la urva ormal estádar N(0,1), alularemos el valor de la variable tipifiada z-rítia ( z ) de tal forma que: P( z z z ) N 1 N P( z z ) N

2 º.- Obteemos u itervalo e la variable z e el ual teemos ua ofiaza N de que estará la media busada. z z, z 3º.- Traspasamos los extremos del itervalo tipifiado (o z ) a la variable busada. x z x z x z x z xz, xz rror máximo ometido. La media de la poblaió se eotrará (o ivel de ofiaza N ) detro de ese itervalo pero o podemos asegurar dóde, lo que si podemos asegurar es que lo más alejada que puede estar del etro del itervalo es uado esté e uo de sus extremos. Si deimos que la media es justo el etro del itervalo el error máximo que podemos ometer será la distaia del etro a ada uo de los extremos, es deir: z z Tamaño de la muestra. Si e u itervalo de ofiaza para la media del tipo x z, x z queremos alular el tamaño de la muestra para obteer ese itervalo, podemos haerlo si mas que despejar e el rror. z z z No hae falta que te apredas de memoria el álulo de, despeja e la fórmula del error. JMPLO1. Se seleioa al azar ua muestra de 100 persoas uya media de igresos aual fue de y la desviaió típia de 000. Halla el itervalo de ofiaza para la media de la poblaió o u ivel de ofiaza del 9%. Los datos a teer e ueta so: Tamaño de la muestra: =100 Media y desviaió típia de la muestra : x ; 000 Nivel de ofiaza: N = 9% Para alular la z que orrespode al 9% de probabilidad P ( z z z) 0, 9 sto es lo mismo que P ( z z ) 0, 96 lo que orrespode a ua z =1,75 l itervalo que busamos es sto es: 1035, 1105 x z, x z , , ,75 10 Sol: Los igresos medios de la poblaió está etre 1035 y 1105 o ua ofiaza del 9%

3 JMPLO. Ua fábria de eumátios asegura que su modelo Gomátio MXV tiee ua duraió que se distribuye segú ua distribuió ormal, o ua desviaió típia de 5000 km. La OCU realiza u estudio de estos eumátios tomado muestras de tamaño 5. a) Cuál es la probabilidad de que la duraió media de ua muestra diste de la media poblaioal meos de 500 km? 5000 z 500 z z 0,5 5 Neesito averiguar por lo tato la probabilidad de que z 0,5, 0,5 P 0,5 z 0,5 P( z 0,5) P( z 0,5) 0, ,6915 0, 3830 b) Cuál es la probabilidad de que la duraió media de ua muestra diste de la media poblaioal meos de 000 km? La soluió debe ser 0,9544, que se puede apreiar es muho mayor que e el apartado a). Lógio porque el marge de error es mayor ) Cuáto dista la media muestral y la media de la poblaió e el 95% de todas las muestras posibles de tamaño 5? P ( z z z) 0,95 P( z z) 0,975 z 1,96 La mitad de la ahura del itervalo de ofiaza al 95% será el máximo de separaió etre las medias poblaioal y de la muestra, esto es el rror 5000 máximo admitido. 1, km. que es el valor que 5 busábamos. Obsérvese que e este ejeriio i siquiera ooemos la media de la poblaió i la media de la muestra. No os ha heho falta para respoder a las pregutas ateriores, pero si la hubiéramos eesitado para averiguar u itervalo de ofiaza para la media de la poblaió (duraió media de u eumátio de esta mara).

4 DISTRIBUCIÓN MUSTRAL D PROPORCIONS. LA BINOMIAL umerosas oasioes se platea estimar ua proporió, probabilidad o poretaje. sto ourre e los asos e los que la variable aleatoria de estudio pueda tomar solamete dos valores diferetes: sí (éxito) o o (fraaso) ; Votates a u partido o No votates a ese partido; mayor de 18 años o meor de 18 años; et. estos asos afirmamos que la respetiva poblaió sigue ua DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Cuado la poblaió es grade (que será lo habitual) la distribuió se aproxima a ua NORMAL que ya ooemos. Supodremos que esto es válido para >30. Llamamos p al parámetro poblaioal que es la proporió o probabilidad de uo de los valores que determia la variable, por tato el otro parámetro que llamaremos q tedrá que umplir que: q=1-p Las relaioes que existe etre los parámetros de la poblaió y los estadístios de la distribuió muestral de proporioes so los siguietes: Media muestral μ = p Desviaió típia Para muestras de tamaño >30, la distribuió muestral de proporioes sigue ua distribuió ormal N p, A partir de este mometo todo el estudio puede haerse exatamete igual que e la distribuió muestral de medias. JMPLO 3. Para estimar la proporió de estudiates de ua uiversidad que está a favor de la reiserió soial del deliuete, se etrevistó a 500 estudiates. l 58% estaba a favor. Halla el itervalo de ofiaza, o u ivel del 95%, e el ual se hallará la poblaió que se euetra a favor. Los datos a teer e ueta so: Tamaño de la muestra: =500 Favorables p 0,58 ; otra Proporioes de la muestra: 0,580,4 0,4936 Nivel de ofiaza: N = 95% q 0,4 Para alular la z que orrespode al 95% de probabilidad P ( z z z ) 0, 95 sto es lo mismo que P ( z z ) 0, 975 lo que orrespode a ua z =1,96 l itervalo que busamos es: x z, x z p z, p z l itervalo busado para la proporió que está a favor es: 0,4936 0,4936 0,58 1,96, 0,58 1, , 0.63 Sol: tre u 53,7% y u 6,35 de la poblaió está a favor de la reiserió soial o u ivel de ofiaza del 95%

5 CUADRO RSUMN PARA INTRVALOS D CONFIANZA. Para muestras >30 Distribuió Normal Distribuió muestral de medias. N, N p, Distribuió muestral de proporioes Tipifiaió de las variables z _ x ( ) p z ( ) Itervalos de ofiaza x z x z p z p z rror máximo ometido Tamaño de la muestra (Despejado ) z z z z