a se denomina serie a es convergente y SERIES = si r <1 S n La suma de los términos de una sucesión infinita { } n n=1 infinita o simplemente serie

Transcripción

1 SERIES L sum de los térmios de u suesió ifiit { } = ifiit o simplemete serie se deomi serie Y se represet o el símbolo = Defiiió: = 4 KK Dd l serie = ésim sum pril = 4 K K, se desigrá S su S = = = 4 K K = L serie se llm overgete si ) si l suesió { } = b) eiste el lim es overgete y S = S omo u úmero rel El úmero S se llm Sum de l serie E otrs irusti l serie es Divergete = = lim i = i L serie geométri r r r r 4... r - = = uy sumtori es S = = r r ( r ) = overge ( r) S = si r < ( r) Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

2 Teorem: Si l serie = lim = es overgete, etoes OJO: No se umple lo iverso del teorem reié pltedo, es deir si lim = o se puede oluir que l serie = se overgete Prueb de l divergei: Si el lim o eiste o si el lim etoes l serie = es divergete = Teorem: Si y b so dos series overgetes y k es u ostte, = etoes tmbié so overgetes ls series ) k = k = = b) ( b ) = b = = = ) ( b ) = b = = = Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

3 Prueb de overgei de l Itegrl: Supogmos que eiste u f() otiu, positiv y dereiete e el itervlo [, [ y se = f() = Etoes l serie es overgete si y solo si l itegrl impropi f()d es overgete. E resume: f()d ) si es overgete, etoes es overgete = f()d b) si es divergete, etoes es divergete = = OJO: Cudo se us l prueb de l itegrl, o es eesrio iiir l serie o l itegrl e =. Tmpoo es eesrio que f() se siempre dereiete. Lo importte es que f() se filmete dereiete, esto es que se dereiete udo se myor que lgú úmero N. L serie p = p overge si p > y diverge pr p Estimió de l sum de u serie: Si l serie = overge, segú l prueb de l itegrl y el residuo R de hber tomdo térmios de l serie es R = S S etoes f ()d R f() d Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

4 Si summos S d ldo de l desiguldd, obteemos: S f()d S R S f() d S f()d S S f() d epresió que os etreg ls ots superiores e iferiores de S Pruebs por omprió L ide es omprr u serie uy overgei es desooid o u serie uy overgei es ooid Prueb de omprió: = Si y b so dos series o térmios positivos etoes: = Si Si = = b overge y b pr todo etoes tmbié overge = b diverge y b pr todo etoes tmbié diverge = Prueb de omprió e el límite: = Si y b so dos series o térmios positivos y = lim b = dode es u úmero fiito y > etoes ls series overge o diverge simultáemete Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 4

5 Estimió de l sum: Si se utilizó l prueb de omprió pr lizr l overgei de l serie = utilizdo u serie b uy overgei es ooid, podemos = omprr sus residuos y estimr l sum de est form Si osidermos l serie El residuo de l serie = = uyo residuo es R = S S =... b será T = t t = b b... Como b pr todo tedremos que R T Los residuos de ls series ooids podrá ser lulds medite l estimió de los residuos o el método de ls itegrles y e ulquier so, el resto o residuo de l serie desooid será meor que l ooid. Series Altertes: So quells uyos térmios so positivos y egtivos lterdo sus sigos, por ejemplo: L L L L = dode el ésimo térmio de l serie tiee l form = ( ) ( ) = ( ) b o = ( ) b dode b es u térmio positivo o tmbié b = Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 5

6 Prueb de l serie lterte: Si l serie lterte ( ) b = b b b b4 LL b > = Stisfe ls odiioes ) b b pr todo b) lim b = Etoes l serie = ( ) b overge Teorí de l estimió de l serie lterte: Si S = = odiioes ( ) b es l sum de u serie lterte que stisfe ls ) b b pr todo b) lim b = etoes R = S S b Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 6

7 Covergei Absolut: Defiiió: L serie = es u serie bsolutmete overgete si l serie de vlores bsolutos = overge Defiiió: L serie se deomi serie odiiolmete overgete si l serie = overge pero o tiee overgei bsolut Teorem: Si l serie = es bsolutmete overgete, etoes es overgete Prueb de l rzó: Si lim = L < etoes l serie = es bsolutmete overgete (por lo tto overge) Si lim = L > o lim = etoes l serie = es divergete Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 7

8 Si lim = L = etoes l prueb de l rzó o d iformió. L serie = podrí ser overgete o divergete Prueb de l ríz: Si lim = L< etoes l serie = es bsolutmete overgete (por lo tto overge) Si lim = L > o lim = etoes l serie es divergete = Si lim = L = etoes l prueb de l ríz o d iformió. L serie podrí ser overgete o divergete = Si L = e l prueb de l rzó, o itete plir l prueb de l ríz porque L volverá ser. Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 8

9 Resume de prueb de series:.- Si l serie tiee l form = diverge pr p p es u serie p, overge udo p > y = r =.- Cudo l serie tiee l form o es u serie geométri que overge udo r < y diverge udo r >.- Si l serie tiee u form preid l serie p o u serie geométri serí deudo her u prueb de omprió, sobre todo fuioes rioles o lgebris de. Ls pruebs por omprió sólo se pli ls series o térmios positivos. r Si l serie = tiee térmios egtivos, podemos plir l prueb por omprió l serie = fi de ivestigr su overgei bsolut. 4.- Si se dvierte simple vist que lim etoes utilie l prueb de l divergei 5.- Si l serie tiee l form o es trivil utilizr l = prueb de ls series ltertes. ( ) b = ( ) 6.- Ls series dode iterviee ftoriles u otros produtos, iluyedo u ostte elevd l ésim potei, puede lizrse o l prueb de l rzó. Este riterio de l rzó o es útil pr igu de ls series p o pr ls fuioes rioles o lgebris de y que lim = 7.- Si tiee l form ( b ) utilie l prueb de l ríz. 8.- L prueb de l itegrl es útil udo = f() y l evluió de f () d se logr o iert filidd. b Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 9

10 Series de Poteis U serie de poteis es quell de l form = L L = dode es u vrible y so osttes llmds oefiietes de l serie Por ejemplo: Si = = = L L = l ul overge pr < y diverge pr De u mer más geerl = ( ) = ( ) ( ) ( ) L L ( ) Se deomi serie de poteis e ( ) o serie de poteis etrd e o serie de poteis lrededor de Teorem: Pr u serie de poteis dd = ( ) sólo hy tres posibiliddes: () L serie sólo overge pr = R = (b) L serie overge pr tod () Hy u úmero positivo R tl que l serie overge si < R y diverge si > R R se deomi Rdio de overgei El itervlo de overgei de u serie de poteis ost de todos los vlores de pr los ules l serie overge E geerl se debe empler l prueb de l rzó o, vees, l prueb de l ríz, pr determir el rdio de overgei R. Pero ests pruebs fll Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

11 e los puto etremo del itervlo de overgei, por lo que debe emplerse otros métodos. Represetió de fuioes omo series de poteis: U fuió puede ser represetd omo l sum de u serie de poteis medite series geométris, o difereido o itegrdo tles series. Por ejemplo, si observmos l fuió vist teriormete, epresd omo serie de poteis = = = L L < os permite epresr l fuió g() = hiedo el reemplzo de por o los que os qued = = ( ) ( ) = LL < ( ) = Así el itervlo de overgei es ], [ Teorem: Si l serie de poteis fuió f() defiid por = ( ) tiee el rdio de overgei R >, l f() = = es derivble (y e oseuei, otiu) e el itervlo ] - R, R[ ( ) = ( ) ( ) ( ) LL ( ) y f '() = L = f()d = f()d ( ) = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) C ( ) Los rdios de overgei de mbs series de poteis es R ( ) C = Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

12 Ls euioes teriores puede esribirse: d d = [ ( ] ( ) = ) = d d = ( ) d = = [ ( ) ]d Ejemplo: Se puede epresr l fuió ( ) epresió ( ) omo serie de poteis, derivdo l = = = L L / d d = 4 L L 5 = ( ) = si reemplzmos por os quedrí = 4 L L 5 = ( ) ( ) = E form similr podemos obteer el desrrollo e serie de poteis pr l fuió l( ) itegrdo l epresió ( ) l ( ) = d = d = C LL = C = = pr determir el vlor de C, si X = - l( - ) = - l() = C = Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

13 por lo tto l ( ) = LL = = Series de Tylor y de Mluri Supogmos que f() es u fuió que podemos represetr omo serie de poteis f() = ( ) ( ) ( ) L L ( ) < R si reemplzmos por f() = derivdo l fuió epresd e serie de poteis, qued: f '() = ( ) ( ) L L ( ) < R que l reemplzr por qued f () = Derivdo e form suesiv y reemplzdo por qued f () = f () = E geerl, podemos epresr los oefiietes de l serie de poteis = f ()! () lo que os d orige l Serie de Tylor de l fuió f() e (lrededor de o etrd e ) f() = = f () ( )! () = f () ' f () ( )! f' '()! ( ) ''' f () ( )! L Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri

14 E el so que = l serie se deomi Serie de Mluri f () = = f () ()! () = f () ' f () f''() () ()!! f ''' () ()! L Cálulo Itegrl (Series) Hroldo Corejo Olivri 4