MATEMÁTICA I Capítulo 5. a, a,..., a, término independiente b e incógnitas. = b, por ejemplo 2

Transcripción

1 MTEMÁTIC I - Capítulo MTRICES.. Itroducció. Nocioes básicas. Ua ecuació lieal co coeficietes reales a, a,..., a, térmio idepediete b e icógitas x, x,..., x es ua expresió de la forma a. x + a. x a. x = b, por ejemplo.. 8. x + x x =. Si se tiee dos o más ecuacioes lieales e las mismas icógitas se tiee u sistema de m ecuacioes co icógitas. El siguiete es u sistema de ecuacioes co icógitas (sistema x):. x +. x 8. x = x + 6. x 4. x = 9 S :. Ua solució del mismo, cuado existe, será ua tera ordeada de úmeros satisfaga simultáeamete todas las ecuacioes del sistema. ( x, x, x ) que x, x, x por, respectivamete, x, y, z o bie por u, u, u el sistema Si e S se cambia es el mismo. De modo que toda la iformació del sistema se ecuetra e los coeficietes y térmios idepedietes e el orde que aparece dispuestos, es decir e los siguietes cuadros de úmeros 8 - =, b= que llamaremos matrices. es ua matriz x ( filas por columas), b es ua matriz x ( filas por columa). Este es uo de los problemas más importates e los que se aplica las matrices: la resolució de sistemas lieales de ecuacioes Otra de las aplicacioes importates que tiee las matrices es la criptografía. La criptografía es el estudio de las formas de trasmitir mesajes e forma segura. E la década de los años 4 cuado se establece el iicio de la criptografía, estaba restrigida prácticamete al campo de la estrategia militar. Hoy, la criptografía es de gra utilidad e muchísimas cosas que hacemos a diario: cuado utilizamos la tarjeta de crédito e u cajero automático para realizar ua operació bacaria, ecesitamos idetificaros co ua clave, cuado accedemos a uestra cueta de correo electróico, se os pide ua cotraseña, etc. Si umeramos las letras del abecedario de a 7 y quisiéramos eviar como mesaje la letra J, puede elegirse como código el úmero 7 y multiplicar 7. ya que es el úmero que le correspode a la J. El mesaje eviado seria 7. Si el receptor o cooce que el código es 7 podría pesar que se evió.4=7 o.7=7 o 7.=7, y o puede decidir si la letra evíada es N(4) o G(7) o J(). El receptor etoces debe coocer el código y multiplicar el mesaje recibido por el iverso de ese úmero: 7./7=. Claro que este método para ecriptar es muy vulerable ya que hay u

2 úmero muy pequeño de posibilidades y del cotexto del mesaje podría deducirse la letra. Tambié es cierto que si e lugar de elegir el 7 eligiéramos el 4.678, aumeta sigificativamete la catidad de posibilidades. Este mismo proceso se utiliza para la ecriptació co matrices, el código ya o es u úmero sio ua matriz y el mesaje que se evía tambié se evía e ua matriz, de modo que habrá que coocer la iversa de la matriz de código para recuperar el mesaje. E geeral ua matriz mx tedrá la forma: a a a a... a a a a a... a 4 4 = a a a a4... a a a a a... a m m m m4 m El primer subídice i de cada coeficiete a ( ) = idica la fila dode se ecuetra dicho coeficiete, el segudo subídice j idica e qué columa está, para i =,,,m, j =,,,. El cojuto de todas las matrices mx co coeficietes a R, se idica m R, si m= las matrices so cuadradas, de lo cotrario so rectagulares. E ua matriz cuadrada la diagoal pricipal es ( a, a, a,..., a ), por ejemplo (,, 9) e la siguiete matriz x B = lguas clases especiales de matrices... Matriz ula Matriz cuadrada o rectagular e la que todos sus coeficietes so ceros, ( O) =, i, j... Matriz triagular superior (respectivamete iferior) Matriz x e la que so ceros todos los coeficietes debajo (respectivamete arriba) de la diagoal pricipal, a = para i>j (respectivamete para i<j)

3 ... Matriz diagoal : Matriz x e la que so todos los coeficietes a tales que i j...4. Matriz idetidad I : matriz diagoal, e la que los coeficietes de la diagoal pricipal so todos. Equivaletemete, I es ua matriz cuadrada tal que : ( I) =, si i = j ( I) =, si i j Ejemplos: Las matrices idetidad e R x y e R x so las siguietes I = R, I R =.. Suma de matrices... Defiició Sea, B matrices m, la suma + B es la matriz m dode cada coeficiete ( + B) = a + b = ( ) + ( B) Ejemplo Dadas, B ambas x... Propiedades - = B =, + B =

4 4 m Sea, B, C R, ) asociatividad: + ( B + C) = ( + B) + C m ) existecia de eutro (matriz ula O R ) m matriz R, + O = O + = m m ) matriz R ua matriz B R tal que + B = B + = O, B es la opuesta de y se idica -. Ejemplo: Si =, su opuesta es - = 6 6 m 4) comutatividad: par de matrices, B R, + B = B + Demostració: Usar la defiició de suma de matrices y la propiedad respectiva para la suma de úmeros reales..4. Producto de u escalar (úmero real) por ua matriz.4.. Defiició m m Sea R y α R, α. es la matriz de R tal que cada coeficiete ( α. ) = α.( ) = α. a.4.. Ejemplo 6 α =, =, α. - = Propiedades Sea α, β escalares y, B matrices m ) α.( + B) = α. + α. B ) ( α + β ). = α. + β. ) ( α. β ).= α.( β.) 4). =

5 .. Producto de matrices... Defiició m r Sea R, B R, la matriz producto. B es la matriz m r tal que (. B) = ( ).( B) = a. b ik kj ik kj k = k =... Ejemplo Sea = R, B = R,. B R = = Propiedades ( ) sociatividad: Si es ua matriz m, B es r y C es r q, etoces. B. C =.( B. C). (obsérvese que todos los productos idicados so posibles)... E el cojuto R de matrices cuadradas del mismo orde, además de la propiedad asociativa, tambié se tiee la propiedad de la idetidad (o eutro multiplicativo): Para toda R propiedad :. I = I. =, la matriz idetidad I ( x), defiida e..4, tiee la siguiete (El hecho de idicar. I y tambié I. o es redudate, porque el prroducto de matrices o tiee, e geeral, la propiedad comutativa, tal como se verá e las observacioes que sigue. La matriz idetidad, comuta co cualquier matriz de ese mismo orde). Distributividad del producto co la suma: Sea, B, C matrices, etoces.( B + C) =. B + C., ( B + C). = B. + C. Si está a izquierda (respectivamete a derecha) e el er miembro, tambié aparece a izquierda (respectivamete a derecha) de B y de C e el do, salvo que se idique expresamete que comuta co B y comuta co C.

6 6..4. Observacioes ) La comutatividad o es ua propiedad geeral del producto de matrices Sea =, B=, resulta. B = y B. = 8 8 ) E los úmeros aturales, eteros, reales se tiee la propiedad :. = = =. a b a b E el producto de matrices tampoco es válida esa propiedad:. B = O o implica = O o B = O - Sea =, B=, el producto. B= da la matriz ula, mietras que i i B 6 - so ulas ) La existecia de iversa tampoco es ua propiedad geeral de las matrices. Si ua matriz o es cuadrada o posee iversa. lguas matrices cuadradas tiee iversa y otras o. Como existe ifiitas matrices cuadradas que tiee iversa e iteresa coocerla, será u objetivo idetificar aquéllas que tega iversa y e tal caso calcularla. E el parágrafo que sigue se dará la defiició de matriz iversa y alguas propiedades, más adelate se tratará el problema de hallar la iversa cuado ésta exista..6. Matriz Iversa.6.. Defiició. Sea R, tiee iversa (o es iversible, o o sigular) si existe ua matriz B R tal que:. B = I y B. = I. (Se pide las dos codicioes porque el producto de matrices o tiee e geeral la propiedad comutativa, para afirmar que tiee iversa, multiplicádola tato a izquierda como a derecha por B debe dar la idetidad.)

7 7 E caso que exista B y cumpla las codicioes idicadas arriba, se probará e.6. que es la úica que tiee esas propiedades, etoces se puede afirmar que B es la iversa de y se idica co -. (Observació : E los úmeros racioales o reales, si a - es u úmero o ulo, a se puede idicar tambié co. Si es ua matriz, esa otació o es posible pues se estaría refiriedo a "dividir a u úmero por ua matriz", operació que o existe, icurriédose co ella e u grave error coceptual.).6.. Proposició Si existe B e las codicioes de la Defiició.6., ésta es úica Demostració Sea.B=B.=I (), supogamos que tambié la matriz C cumple.c=c.=i (). Etoces (B.).C=I.C=C (por ()) y B.(.C)=B.I=B (por ()). Como el producto de matrices es asociativo (B.).C = B.(.C), es decir que C=B, por lo tato la matriz B que cumple la Defiició.6. es úica..6.. Proposició. Sea, B matrices x iversibles etoces Demostració Por hipótesis existe -. y B = B. (. B) Como y B so de orde, etoces, B,. B y B. so todas de orde. De acuerdo a la defiició.6. de matriz iversa debe probarse que multiplicado a izquierda y a derecha de. B, e ambos casos se obtiee la idetidad. (. B).( B. ) = (por asociatividad)=.( B. B ). =. I. =. = I. E la misma forma se prueba que ( B. ).(. B) = I, y segú.6., queda probado que ( B. ) es la iversa de la matriz. B. B Corolario. El resultado aterior se geeraliza a cualquier úmero fiito de matrices iversibles de u mismo orde x..7. Matriz Traspuesta y sus Propiedades..7.. Matriz traspuesta Si es mx, su traspuesta T es xm y tiee T como coeficietes ( ) ( ) ji =. [Las filas de T so las columas de, las columas de T so las filas de ]

8 8 8 = T = Proposició. E a), b) y c) sea, B matrices mx. a) ( T ) T = b) ( + B ) T = T + B T c) k escalar de R, etoces (k. ) T = k. T d) Si es x y B es x, etoces (. B ) T = B T. T Demostració. a) (( T ) T ) i j = ( T ) ji =( ) b) [( + B ) T ] = ( + B ) ji = (por def de suma) =( ) ji + ( B ) ji =( T ) i j + ( B T ) i j. c) ((k. ) T ) i j = (k. ) j i = k. ( ) j i = k.( T ) i j, por las defiicioes de traspuesta y producto de u escalar por ua matriz. d) Por defiició de traspuesta y, luego, por defiició de producto de matrices r ((.B ) T ) i j = (.B ) j i = ( ).( B jk ) (*) (o sea: la fila j de por la columa i de B ) ki k= De uevo por defiició de traspuesta: ( ) j k = ( T ) k j (la fila j de es la columa j de T ) ( B ) k i = ( B T ) i k (la columa i de B es la fila i de B T ) Reemplazado respectivamete e (*) y comutado, recordar que ( T ) k j y ( B T ) i k so úmeros reales para los cuales vale la comutatividad, se obtiee r T T T T ( B ).( ) = ( B. ) (es decir : la fila i de B T por la columa j de T ) k= ik kj.8. Otras clases especiales de matrices partir de la matriz traspuesta es posible defiir otras clases de matrices, las dos primeras que se mecioa a cotiuació: la matriz simétrica y la atisimétrica..8.. Matriz simétrica Matriz cuadrada x tal que = T Ejemplo: matriz simétrica Matriz atisimétrica Matriz cuadrada x tal que T = -. (Los coeficietes de la diagoal pricipal so ecesariamete ceros). Ejemplo:

9 matriz atisimétrica.8.. Matriz escaloada (o triagulada) Sea R mx, está e forma escaloada (o triagulada) si el úmero de ceros que precede al primer coeficiete o ulo va aumetado e las filas sucesivas. El primer coeficiete o ulo de cada fila es el coeficiete pricipal (o pivote ) de esa fila Matriz reducida Ua matriz o ula es reducida (o reducida por filas) si es escaloada y además sus coeficietes pricipales cumple : (a) So los úicos coeficietes distitos de cero e sus respectivas columas, (b) So todos iguales a. Ejemplos, B y C está escaloadas, sólo C es reducida. = 8 9 B = 4 8 C=.9. Operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz. Existe tipos de operacioes elemetales sobre las filas de ua matriz que permite m llevar cualquier matriz R a ua matriz equivalete reducida por filas : ) Multiplicar ua fila k de por u escalar α R o ulo, k α k ) Sumar a la fila h la fila k multiplicada por α R o ulo, h h + α k ) Permutar dos filas h k Cada operació elemetal e tiee su iversa e - que es tambié elemetal y del mismo tipo que e..9. Defiició Dos matrices, B se llama equivaletes por filas si de ua de ellas se pasa a la otra aplicado u úmero fiito de operacioes elemetales de fila. B si e k o e k- o... o e o e ( ) = B f (Como cada e i posee su iversa que tambié es ua operació elemetal, de B se puede llegar a aplicado las iversas respectivas). Ejemplo

10 . = , 4, 4, R 4 = R, R es la matriz reducida por filas equivalete a. f.9.. Defiició Se llama rago de ua matriz, idicado co r( ), al úmero de filas o ulas de la escaloada o la reducida R equivalete co... Cálculo de la iversa de ua matriz Existe dos aplicacioes importates de las operacioes elemetales: el cálculo de la matriz iversa, cuado esta existe, y la búsqueda de solucioes de u sistema de ecuacioes lieales, esta última se tratará e el capítulo siguiete. Dada ua matriz cuadrada, se amplía ubicado a su derecha la matriz idetidad I del mismo orde que, formado la matriz ( I) de orde x. esta matriz ( I) se le aplica operacioes elemetales tedietes a hallar la reducida R equivalete co del lado izquierdo. Si esta matriz R es la idetidad, etoces e el lado derecho, - dode iicialmete se ubicó I, se tedrá la iversa de. Si o tuviera iversa, e el proceso de reducció, se obtedrá ua fila ula (del lado izquierdo), lo que idica que la reducida R equivalete co o es la idetidad, por lo tato o posee iversa. Ejemplo: Sea =

11 y

12 La matriz es la iversa de Por la defiició de equivalecia por filas resulta que : I ya que e 7 o e 6 o... o e o e ( ) = I y además f I B ya que e 7 o e 6 o... o e o e (I) = B, y como f e 7 o e 6 o... o e o e ( ) = e 7 o e 6 o... o e o e (I. ) = e 7 o e 6 o... o e o e (I) = B=I resulta que B= - (Cosecuecia: Si de orde tiee iversa, su rago r( ) =, de lo cotario r( ) <.) El procedimieto mecioado arriba se fudameta por las siguietes propiedades: a) Ua matriz cuadrada tiee iversa es equivalete por filas a la idetidad. b) Cuado tiee iversa, la sucesió I I - a la, coduce a la a la iversa de. de operacioes elemetales que reduce Ejercicios ) Dadas las matrices Calcular : a) -B+C b) - (B-C) =, B =, C= ) Sea R 4x, B R x7, C R 4x, D R 7x. Idicar cuáles de las siguietes operacioes so posibles y, e caso afirmativo, cuál es la catidad de filas y de columas de la matriz resultado a).b, b) B., c).c, d) C.B, e).b.d ) E los casos que sea posible calcular.b y B., Es.B = B.? a) = B= 4 b) = ( ) B = 4

13 4 c) = 6 B = =, = 4 4) Dadas B calcular, B,.B, + B. = = a) (+B)( - B) = - B b) (+B) = + B + B c) Por qué vale (o o) las igualdades? ) Dadas B establecer si es cierto que: 6) Efectuar el producto.b. De acuerdo al resultado idicar qué propiedad o es válida para el producto de matrices. 7) Dadas las matrices 6 9 = B = = 4 6 Es válida la propiedad cacelativa e el producto de matrices? = B = 6 C Calcular.B y.c. 8) Sea x R. Probar que si tiee iversa, ésta es úica. 9) Sea ua matriz cuadrada x. Probar que si tiee ua fila (o ua columa) ula, etoces o tiee iversa B ) a) Probar que si las matrices, b) Si, B, C, D x R tiee iversa, etoces la iversa de B x R tiee iversa, deducir cuál es (. B. C. D). es B. ) Para las matrices del Ej, comprobar que T +B T =(+B) T y que (.B) T = B T. T ) Sea ua matriz x iversible. Probar que ( T ) - = ( - ) T (Idicació : Usar la defiició de matriz iversa y propiedades de la traspuesta) ) a) Si, B, C so matrices x iversibles y, B so simétricas, hallar la míima expresió de (C -.B.) -.C -.(.B) T b) Si, B, C so matrices x iversibles y B, C so simétricas ecotrar la míima expresió de (.B.C) -.(C.B. T ) T c) Si, B, C so matrices x iversibles y B, C so simétricas ecotrar la míima expresió de B.(.B.C) -.(B.C.B. T ) T d) Si, B, C so matrices x iversibles y B, C so simétricas ecotrar la míima expresió de B.(C.B. T ) T. (B..B.C) -, idicado qué propiedades usa

14 4 Idicar e todos los icisos qué propiedades usa 4)Llevar las siguietes matrices a la forma escaloada y reducida, idicado las operacioes elemetales, idicar el rago de cada ua = B = C = 6 8 ) Hallar la iversa, si existe, de las siguietes matrices, mediate operacioes elemetales e idicar el rago de cada ua 6) 4 = 8 4 = k B = 4 C= a) Hallar k para que sea = O b) Hallado k, ecotrar el rago de y la iversa de I- D = 6 7) Sea ua matriz x tal que = O, Cuál es la iversa de (I+)? 9 a - 9 8) Dadas las matrices =, B =, C = b 9-8 a) Ecotrar los úmeros a y b tales que se cumple. B = C b) Ecotrar, si existe, la iversa de. Idicar su rago. k D = ecotrar el valor de k para que sea O b) Co el valor k ecotrado, calcular el rago de D y ( I D).( I + D) = 9) a) Dada D = (matriz ula) a b tales que ( + B). C = D, siedo: a =, B =, C = b, D = 4 ) a) Ecotrar los úmeros, b) Hallar (si existe) D.