LA SERIE GEOMETRICA Y SU DERIVADA

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1 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 0. Uivesidad Tecológica de Peeia. ISSN LA SERIE GEOMETRICA Y SU DERIVADA The Geometic seies ad it deivative RESUMEN E este atículo hallaemos el valo al cual covege la deivada -esima de la seie geomética,, eo si usa heamietas del cálculo difeecial. Ilustamos co dos técicas como llega al esultado. Este atículos esalta la Imotacia de demosta teoemas co teoías avazadas co heamietas más simles. La fómula que esetamos aquí, ácticamete es más fácil de obtee y más coceta que si se alicaa el esultado utilizado heamietas del calculo de seies de otecias. PALABRAS CLAVES: Covege, deivada -esima de la seie geomética. ABSTRACT I this aticle we fid the value at which the geometic seies -th deivative coveges, but without tools of diffeetial calculus. Two techics illustate how to get the esult. CAMPO ELIAS GONZALEZ PINEDA Mg. Matemáticas, Pofeso Asociado Uivesidad Tecológica de Peeia ceg@ut.edu.co SANDRA MILENA GARCIA Lic Matemáticas y Física, Pofeso Auxilia Uivesidad Tecológica de Peeia tazyotas@ut.edu.co LUIS EDUARDO OSORIO ACEVEDO M.Sc. Eseñaza de las Matemáticas, Pofeso Asistete Uivesidad Tecológica de Peeia leosoio@ut.edu.co KEYWORDS: Coveges, geometic seies -th deivative.. INTRODUCCION E el cuso de Cálculo Itegal e detemiado mometo se toca el tema de la seie geomética, y se muesta aa que valoes esta seie covege. Tambié se aclaá que halla a que valo ua seie covege o es fácil, o lo cual esulta útil utiliza la seie geometica aa comaala co otas seies. E este atículo se mostaá como halla el valo al cual covege la seie de ua maea elativamete fácil. Es imtate esalta que la tecica utilizada e simle y solo equiee la utilizació de heamietas de seies si utiliza la deivada de las mismas.. ALGUNOS RESULTADOS CONOCIDOS técica simila a la utilizada e [], eo etedemos ecota ua fomula geeal aa. Además es coocido que el valo de la seie geomética es 0, <, y aa los demás valoes de la seie divege, o lo cual e lo que sigue del atículo asumiemos que <. Comezamos ahoa u ejemlo ilustativo. Este os daá la auta que seguieemos e el tacuso de este atículo. Nótese la simlicidad que esulta aa hece el cálculo deseado. Ejemlo. Demosta que Paa ellos cosideamos la siguiete tabla: E el aticulo [], hace ua itoducció histoica y ealiza el cálculo de la seie, 0,,,,. Además de esto de ua maea didactica muesta ua iteetació geomética de este esultado. Paa oba el esultado icial de este atículo se utilizaá ua / / / / / / / / / / Fecha de Receció: 5 de Eeo de 0 Fecha de Acetació: 6 de Abil de 0

2 97 Scietia et Techica Año XVII, No 7,Abil de 0. Uivesidad Tecológica de Peeia. Sumado o cada columa obteemos Peo sabemos que 0, / Po lo que.. Tecica aa el cálculo de. Ejemlo. Calcula, <. Nos ide calcula la suma Cosideemos la tabla siguiete: Sumado o columas Peo sabemos que 0 Po lo que ( ) Ejemlo. Calculemos la suma ocedimieto. Así de la tabla: Teemos que Peo 5 (cuato veces) o el mismo (ueve veces) (dieciséis veces) ( veces) ( ) ( ) ( ) ( ) Así que ( ) ( ) ( ) Ejemlo. Calculemos ( ) ( ). Cosideemos ua vez más la tabla siguiete. y veamos que coclucioes odemos saca de ella:

3 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 0. Uivesidad Tecológica de Peeia ( ) ( )( 0 ) (ocho veces) (veitisiete veces) (seseta y cuato veces) ( ( ) veces) ( veces) Sumado teemos 7 9 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemlo 5. Calculemos la suma. De los ejemlos ateioes teemos; ( ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Seguda Tecica aa el cálculo de. E la secció ateio se uede ota que las oeacioes se vuelve más tediosas a medida que el cece el exoete. Peo veamos ota foma de obtee los mismos esultados ateioes de ua maea más fácil. La estategia cosite e costui ua tabla que os emita suma de maea adecuada los elemetos de la seie. Recuedese que esta seies es absolutamete covegete y o tato odemos eodea sus temios si que su esultado se altee. Ejemlo 6. Obtee la suma siguiete Teemos 0 0 ( ) Ejemlo 7. Obtee la suma. Ua vez más uesto gáfico guia seá. De la tabla

4 99 Scietia et Techica Año XVII, No 7,Abil de 0. Uivesidad Tecológica de Peeia. ( ) 0 Sumado o columas teemos ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemlo 8. Obtee ua fomula aa. Teemos la tabla Sumado o columas teemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es deci, Ejemlo 9. ( ) dode < ( ) Obtegamos ua fomula aa la suma. De maea simila a los ocesos ateioes obteemos Peo Luego ( ) 0 ( ) j0 j j j j j0 j 0 j j 0 j0 5. CONCLUSIONES j j Hemos hallado ua fómula geeal aa la seie si utiliza elemtos de cálculo difeecial. Hemos geealizado el esultado de ecueta e []., el cual se Se ha ilustado dos técicas aa halla ilusta como se uede obtee el esultado icial. Peo duate el oceso queda e evidecia que la seguda tecica hace que el oceso sea más fácil.

5 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 0. Uivesidad Tecológica de Peeia. 00 La geealizació de esultados es imotate desde todo uto de vista. Pedagogico oque emite al lecto amlia su visió e el tema efeidos y cietifico oque eseta avaces que uede a su vez da idicios de cómo geealiza otos oblemas o teoemas. La fómula ecotada emite calcula la suma de la deivada de la seie geometica aa cualquie valo de y esto iduce a geea u algoitmo que emita hace calculos que uede se de iteés además de los ya coocidos. 6. BIBLIOGRAFÍA [] Aostol T.M, Calculus Vol, ª edició, Editoial Reveté S. A. [] Boulto L, Rosas M. Sumado la deivada de la seie geometica. Boletí de la Asociació Matemática Veezolaa, Vol X. No (00). [] Edwads, Peey, Cálculo co Geometía Aalítica, Petice may, 996, ta. Ed. [] Thomas G.B. Calculus ifiitesimal y Geometía Aalítica. Aguila Madid 97. [5] Leithold,Louis. El Calculo. Oxfod Uivesity Pess Hala. México.00. [6] Siegel, Muay. Cálculo Sueio. Mc Gaw-Hill. México [7] Kitche, J.W.: Calculus of Oe Vaiable. Addiso Wesley P.Co. Readig, Massachusetts,969.