CLASE #2 de Bessel: Modos normales de una membrana circular (Continuación):

Transcripción

1 CLASE #2 de Bessel: Modos nomales de una membana cicula (Continuación): Intoducción En la clase anteio esolvimos usando el Método de Sepaación de Vaiables, la ecuación de ondas paa una membana cicula de adio R con bode fijo (i.e., satisfaciendo que paa todo instante de tiempo el valo de u en el bode es ceo, lo que usualmente se conoce como condición de bode de Diichlet). De hecho escibimos en la clase pasada que u(, t) = h(t)φ( ), en que h satisfece la ecuación h c 2 λh = 0 cuyas soluciones son peiódicas en el tiempo con fecuencia angula ω = c λ, y la función φ( ), la cual se conoce en geneal como modo nomal satisface la ecuación, φ = λφ, en elinteiodel ciculodeadior, entantoqueu = 0en elbode. Dadalageometíadenuestodominio, usábamos coodenadas polaes y θ, paa esolve este poblema, en que 0 R y 0 θ 2π. En polaes, la ecuación paa los modos nomales (que en geneal se conoce como ecuación de Helmholtz se escibe como, φ 1 φ 1 2φ θθ = λφ. Paa esolve esta última ecuación usamos nuevamente sepaación de vaiables, e intentamos una solución del tipo φ(,θ) = F()G(θ), y veíamos que G satisfacía la ecuación en tanto que F satisfacía la ecuación G γ 2 G = 0 2 F F (λ 2 γ 2 )F = 0. Las soluciones de la ecuación paa G son de la foma G(θ) = sen(γθ), o cos(γθ), y con el objeto que estas soluciones sean univaluadas, i.e., que G(θ 2π) = G(θ), tenemos que exigi que γ sea un enteo. Así, ponemos γ = n (n = 0,1,...), y la coespondiente ecuación paa F toma entonces la foma, 2 F F (λ 2 n 2 )F = 0. Haciendo el eemplazo x = λ, y llamando y a la solución, esta última ecuación se puede escibi como (1) x 2 y xy (x 2 n 2 )y = 0, En téminos de la solución y(x) tenemos que F() = y( λ). En la clase anteio analizamoscon cuidado las soluciones de la ecuación (1) que se conoce en geneal como Ecuación de Bessel. Vimos que se podía esolve (po el método de Fobenius) en seie de potencias en tono al punto x = 0, (que es un punto singula egula de dicha ecuación). Así encontamos que una solución de (1) es de la foma, (2) y(x) J n (x) = k=1 ( 1) k k!(k n)! ( x 2 ) 2kn. Esta solución (i.e., la función J n (x) se conoce como función de Bessel de oden n. De acuedo al Teoema de Fobenius, la seie que detemina a J n (z) convege paa todo z en el plano complejo (i.e., el adio de convegencia de la seie es infinito). La segunda solución de (1) se puede obtene usando el método del 1

2 2 Wonskiano, como vimos en la clase anteio. En todo caso, vimos que la segunda solución divege como log(x) ceca de x = 0 cuando n = 0, en tanto que divege como x n ceca de ceo paa n > 0. Como queemos tene soluciones egulaes en el inteio de nuesto dominio (i.e., en el ciculo de adio R en cuestión), tenemos que descata esta segunda solución (en este caso). Nótese que este no seía el caso si estuvieamos esolviendo la ecuación de Helmholts en un anillo, de adio inteio a y adio exteio b (que discutiemos más adelante) poque en ese caso el punto 0 no está en el dominio. Asintóticamente (i.e., paa valoes gandes de su agumento), la función J n se compota como cos(x α)/ x, en que α es una fase. De modo que J n decae como 1/ x veces una función sinuosidal. De este modo vemos que asintóticamente tiene infinitos ceos. De hecho, paa los ceos de valo gande, debido a este compotamiento sinuosidal, es fácil enconta una expesión apoximada paa ellos. Paa ve este compotamiento asintótico, conviene hace el cambio de vaiable independiente y u dado po y(x) = u(x) x. Es un ejecicio diecto ve que si y satisface la ecuación de Bessel (1) entonces, u satisface la ecuación, (3) u uu( 1 4 n2 ) 1 x 2 = 0. De acá vemos que paa valoes gandes de x, la ecuación (apoximada) paa u es de la foma, u u 0 cuyas soluciones son de la foma cos(xα) en que α es una fase. Usando técnicas de vaiable compleja que no veemos acá, uno puede demosta que asintóticamente (i.e., paa valoes gandes de x), se tiene que 2 ( (4) J n (x) πx cos x nπ 2 π ) 4 más téminos de oden 1/x 3/2. Vemos de (4) que apoximadamente se tiene un ceo de la función de Bessel (ceos de gandes agumentos) cuando x (nπ/2) π/4 (2k1)π/2, paa n dado y k un enteo gande. Ceos de J n (x): Como hemos dicho la función J n (x) (ve gáfico en la Wikipedia) tiene infinitos (numeables) ceos, los que se denotan típicamente como j n,k. La notación es la siguiente: j n,k es el k ésimo ceo positivo de la función de Bessel de oden n. Paa valoes pequeños de n (oden de la función de Bessel) y k (odenamiento del ceo espectivo) no hay una egla simple paa sabe como los j n,k están odenados. Los pimeos siete ceos están dados (numeicamente, con cuato cifas significativas) po (aquí los he odenado de meno a mayo): y j 0,1 = 2, , j 1,1 = 3, , j 2,1 = 5, , j 0,2 = 5, , j 3,1 = 6, , j 1,2 = 7, , j 4,1 = 7, Nótese que, como vimos en la clase anteio, los modos nomales de la membana cicula, están dados po (5) φ(,θ) = F()G(θ) = J n ( λ)sen(nθ),

3 3 ó (6) φ(,θ) = J n ( λ)cos(nθ). Aquí, el autovalo (de la ecuación de Helmholtz) está deteminado po la condición F(R) = 0, i.e., exigiendo que λr = jn,k. Así, tenemos una secuencia numeable de autovaloes, los que están dados po (7) λ n,k = j2 n,k R 2, en que n = 0,1,2,... y k = 1,2,... Las coespondientes autofunciones están dadas po (8) J n (j n,k R )cos(nθ), ó (9) J n (j n,k R )sen(nθ). Nótese que paa n = 0, el valo popio λ 0,k = j 2 0,k /R2 tiene asociada una sola función popia (i.e., J 0 (j 0,k /R)) que es adial (i.e., no depende de la vaiable angula θ). Po ota pate, paa n 1,cada valo popio es degeneado(con degeneación dos). Es deci hay dos funciones popias (dadas po (8) y (9) paa cada valo popio. Lineas Nodales: Llamamos lineas nodales (o cuvas nodales) de un deteminado modo nomal a las cuvas en el inteio del dominio, i.e., en este caso el cículo de adio R, donde se anula dicho modo nomal. Así, po ejemplo la estuctua nodal del modo nomal J 3 (j 3,1 R )sen(3θ), consiste en los ayos θ = 0, θ = π/3, θ = 2π/3, como se ilusta en la figua. En las egiones macadas Figue 1. Estuctua Nodal de una de las funciones popias asociadas a λ 3,1 con un signo, la función es positiva, en tanto que en las egiones macadas con un signo la función popia es negativa, en tanto que la función se anula en los ayos macados en la figua. Nótese, sin embago que como la función popia eventualmente está multiplicada po la función h(t) que oscila peiódicamente, la solución de la ecuación de ondas, i.e., u(,t) va a cambia de signos en los distintos dominios nodales. Po ota pate, y también a modo de ejemplo, la estuctua nodal del modo nomal J 0 (j 0,2 R ),

4 4 consiste en el cículo de adio = (j 0,1 /j 0,2 )R Figue 2. Estuctua Nodal de la función popia asociada a λ 0,2 De acuedo a la dependencia de la pate tempoal, i.e., de h(t), la fecuencias popias de vibación de la membana cicula están dadas po, (10) ν n,k = ω n,k 2π = c λn,k = j n,kc 2π 2πR La fecuencia fundamental (i.e., la fecuencia más baja) coesponde a (11) ν 0,1 = j 0,1c 2πR = 2,4048c 2πR Nótese que en geneal paa un tambo cicula, no se tiene que las fecuencias exitadas son un múltilo enteo de la fecuencia fundamental(como veíamos en el caso de las cuedas vibantes). En otas palabas, paa el tambo no tenemos amonía, dada la estuctua de los ceos de las funciones de Bessel. A continuación listamos las pimeas 6 fecuencias popias más bajas y la coespondiente estuctua nodal de sus funciones popias: ν 0,1 = 2,4048c (no degeneada) ν 1,1 = 3,8317c (con degeación dos) y las siguientes dos posibiliades de estuctua nodal: y ν 2,1 = 5,1356c

5 5 Figue 3. Una de las estuctuas nodales asociadas a ν 1,1 - Figue 4. La ota estuctua nodal asociada a ν 1,1 (con degeación dos), una de cuyas posibles configuaciones nodales es: Figue 5. Una de las estuctuas nodales asociadas a ν 2,1 no degeneada, y cuya estuctua nodal es ν 0,2 = 5,5200c ν 3,1 = 6,3802c con degeneación doble, y una de cuyas estuctuas nodales es

6 6 Figue 6. Estuctua nodal asociada a ν 0,2 Figue 7. Estuctua nodal asociada a ν 3,1 y ν 1,2 = 7,0156c con degeneación doble, y una de cuyas estuctuas nodales es Figue 8. Estuctua nodal asociada a ν 1,2 c Rafael Benguia D., 2013