Cálculo Diferencial e Integral - Función inversa y límite. Farith J. Briceño N.

Transcripción

1 Cálculo Difeencial e Integal - Función invesa y límite. Faith J. Biceño N. Objetivos a cubi Función inyectiva. Función invesa. De nición fomal de límite. Límites lateales. Cálculo de límites. Código : MAT-CDI. Ejecicios esueltos Ejemlo : Demueste que la función f () = + no es una función inyectiva. Solución : Es conocido que una función f es inyectiva si aa todo ; Dom f, tal que, 6= ; se tiene que f ( ) 6= f ( ) Obsevemos que si consideamos = y =, tenemos que 6=, eo es deci, f ( ) = ( ) ( ) ( ) + = + + = y f () = () () () + = + = ; = 6= = ; eo f ( ) = = f ( ) ; o lo tanto, f no es inyectiva. F Ejemlo : Halla el valo de cos (actan ) así, Solución : Es conocido que o lo que, de aquí cos () = sec () y cos (actan ) = sec (actan ) sec () = + tan () sec (actan ) = + tan (actan ) = + (tan (actan )) = + =) sec (actan ) = + como el ango de la función acotangente es sec (actan ) = + =) cos (actan ) = ; + ; y la función coseno es ese intevalo es ositiva y. y f () = actan f () = cos entonces cos (actan ) = + F

2 Ejemlo : Considee la función h () = +. Diga si la función h es una función inyectiva ó no.. Halle el intevalo donde h es ceciente ó dececiente.. La función h admite invesa?. En caso a mativo, halle una fomula aa la invesa de h.. Halle el Dom h y Rgo h. 6. Ga que h y h. Solución : : Es conocido que una función f ó equivalentemente Obsevemos que la función h se uede escibi como Sean ; Dom f, tal que, h ( ) = h ( ), como entonces, h ( ) = h ( ) =) es inyectiva si aa todo ; Dom f, tal que, 6= ; se tiene que f ( ) 6= f ( ) h ( ) = f ( ) = f ( ) =) = h () = + = = + y h ( ) = Restamos + Multilicamos o # # =) + = + =) + = + luego o lo tanto, h es inyectiva. =) + = + =) = " " Alicamos () Restamos h ( ) = h ( ) =) = ; : Una función f es ceciente es un intevalo I si aa todo ; I, tal que, < se tiene que f ( ) < f ( ), es deci, < =) f ( ) < f ( ) ; mientas que, una función f es dececiente es un intevalo I si aa todo ; I, tal que, < se tiene que f ( ) > f ( ), es deci, < =) f ( ) > f ( ) : Obsevemos que la función h se uede escibi como h () = + = + y que Dom h = R f g, sean ; Dom h, tal que < Sumamos (la desigualdad se mantiene) Multilicamos o (la desigualdad cambia) # # < =) + < + =) + > =) + + > + =) " " Alicamos () Sumamos (la desigualdad cambia) (la desigualdad se mantiene) + < +

3 con lo que, es deci, < =) + < + ; < =) h ( ) < h ( ) ; o lo tanto, h es una función ceciente en todo su dominio. : Po la ate tenemos que h es inyectiva, o lo tanto, admite invesa. : Paa halla la eesión de h desejamos de y =, uesto que + entonces, con lo que y = + =) y = + h () = + = + ; =) y = + h () = =) + = y : Tenemos que h tiene sentido aa todo, tal que, 6= =) 6=, luego =) = y ; Dom h = R fg y Rgo h = Dom h = R f g 6: Usando taslaciones hoizontales y veticales sobe la gá ca de la función f () = y y h () = + h () = F Ejemlo : Usando la de nición fomal de límite, demueste que +!= = 9 Solución : Dado " >, eiste " >, tal que, jf () Lj < " sieme que < j j < ; es deci, dado " >, eiste " >, tal que, + 9 sieme que < < ;

4 así, o oiedades del valo absoluto, se tiene + 9 = 9 ( + ) ( ) 9 ( ) = 6 9 ( ) = 6 ( =) 9 ( ) = 6 9 ( ) = 6 9 uesto que <, consideemos =, entonces j j ; Desigualdad con valo absoluto (alicamos de nición) Sumamos (la desigualdad se mantiene) # # < =) < < =) + < < + =) < < luego, es deci, si tomamos =) > > =) + > > =) > > 7 =) < < 7 " " " Multilicamos o Sumamos Alicamos () (la desigualdad cambia) (la desigualdad se mantiene) (la desigualdad cambia) se cumle que + 9 = 6 9 j j < 6 9 " ya que 6 < 7 < " =) = min ; 6 " +!= = 9 7 < 6 " = 6 < " F Ejemlo : Considee la función >< f () = + cos si < si > Detemine, si eisten: a) f (); b)! f (); c)! + f (); d)! f (). así Solución : Tenemos que a) f () no está de nido. + cos! b)! f () =! + cos = () + cos () = =

5 () c) f () = = =! +! +! + () Indeteminado Levantamos la indeteminación, alicamos conjugada y factoizamos =! +! + ( ( + ) ) ( + ) = ( + ) ( ) ( + ) ( + ) =! +! + =! + ( + ) ( + ) = ; es deci, d) Puesto que concluimos que! f () = :! + f () 6=! + f ()! no eiste F Ejemlo 6 : Calcula el siguiente límite, si es que eisten 6 + 9! Solución : Indeteminación estudiamos los límites lateales, factoizamos aa levanta la indeteminación, obtenemos!! j j >< =! =! q ( ) ( ) =! j j ; = ( ) =!! + = =! + uesto que los límites lateales son difeentes, entonces el límite no eiste. F Ejemlo 7 : Calcula el siguiente límite, si es que eisten! sen cos tan Solución : Indeteminación! sen cos tan, factoizamos aa levanta la indeteminación, alicamos la conjugada sen + sen cos + cos =! sen cos ( tan ) sen + sen cos + cos =! sen cos ( tan ) sen + sen cos + cos Obsevemos que tan = cos sen cos

6 así! sen cos ( tan ) sen + sen cos + cos =! (sen cos ) (sen + cos ) cos sen sen cos + sen cos + cos Luego =! =! cos (sen + cos ) sen + sen cos + cos + = + + sen cos = tan = F Ejecicios. Demueste que la función f () = no es inyectiva.. Demueste que la función f () = es inyectiva, eo f () = no lo es.. Demueste que una función f es inyectiva, si y solo si es estictamente monótona, es deci, f es sieme ceciente ó es sieme dececiente.. Diga en que intevalo las siguientes funciones son cecientes ó dececientes (ve guía, ejecicios al 6) : f () = m + b : f () = : f () = : f () = : f () = 6: f () = 7: f () = : f () = 9: f () = : f () = + : g () = : g () = : h () = +. Usando el ejecicio, diga cuales de las funciones del ejecicio es inyectiva. 6. Demueste que si f y g son funciones cecientes, entonces f g es una función ceciente. : f () = + 7. Demueste que si f y g son funciones dececientes, entonces f g es una función ceciente.. Demueste que si f es una función ceciente y g es una función dececiente, entonces f g es una función dececiente. 9. Sea f : Dom f : R! R una función ceciente. Demueste que la ecta que asa o dos untos cualesquiea etenecientes a la función tiene endiente ositiva.. Sea f : Dom f : R! R una función dececiente. Demueste que la ecta que asa o dos untos cualesquiea etenecientes a la función tiene endiente negativa.. Encuente una fómula aa f y su dominio, así como el ango de f : f () = : f () = : f () = 6 : f () = + : f () = sen 6: f () = tan 7: f () = : f () = + 9: f () = sen + : f () = cos ( ) : f () = (sen ) : f () = sen + + 6

7 . Vei que que la invesa de la función f () = es ella misma.. Sea f () = a + b c + d y suonga que bc ad 6= (a) Encuente la fómula aa y = f (). (b) Po qué se necesita la condición bc ad 6=? (c) Qué condición sobe a, b, c y d haán que f = f?. Sin utiliza la calculadoa encuente los siguientes valoes : actan! : acsen : accos : acsen () 6: acsen 9: sen accos + accos 7: actan!! : cos accos : acsen + acsen! : cos acsen!!. Halla los siguientes valoes : tan (acsen ) : sen (actan ) : cos (acsen ) : tan ( actan ) : cos ( acsen ) 6: sec (actan ) 7: sen ( acsen ) : cos (actan ) 6. Detemine el dominio de la función : g () = : f () = acsen acsen : h () = acsen : f () = acsen : f () = 6: h () = accos acsen 7: h () = acsen 9: f () = + acsen : h () = acsen + + : g () = cot acsen + 6 acsen ( ) 7. Consideando la ga ca de la función f 6 Calcula : f ( ) :! f () :! + f () :! f () : f () 6:! f () - 7:! + f () - - :! f () 7

8 . Calcula : f () :! : f () 6:! consideando la ga ca de la función f f () : f () : f ()! +! f () 7: f () : f ()! +! Calcula : f ( ) :! f () :! + f () :! f () : f () 6:! 9: f () :! : f () :! consideando la ga ca de la función f f () 7: f () : f ()! +! f () : f () : f ()! +! f () : f () 6: f ()! +!

9 . Calcula : f ( ) :! f () : f () : f ()! +! : f () 6:! 9: f () :! consideando la ga ca de la función f f () 7: f () : f ()! +! f () : f () : f ()! +! Calcula : f ( ) :! : f ( ) 6:! f () :! + f () :! f () f () 7:! + f () :! f () 9: f () :! : f () :! consideando la ga ca de la función f f () :! + f () :! f () f () : f () 6: f ()! +! y

10 . Detemine, si eisten: a) f (c); b)!c : f () = ( + si < si > f (); c)!c + f (); d)!c f (). >< si < ; c = : f () = si = + si > ; c = >< : f () = cos jsen 9 j si < si < + si < : f () = : si 7 si < >< ; c = : f () = si = sen () si > j j si < >< ; c = 6: f () = si = + si > ; c = ; c = 7: f () = ( + si < si > + >< si < ; c = : f () = si = si > ; c =. Calcula los siguientes límites :! ( ) :! cos + : 6:!! + h 9:! cos sen : h! h : +! 7:! : sen! sen () :! :! + 6 : t!t t t t t :!b b b : h! 7:! :! + h h + : ( + h) + + 6: h! h! + 9: + + :! +! : :! t! t + t 9 :! + :! :! 6: m! m m c 7:!c + c + c :! :! + 6 :! :! 7 9 :! sen + sen : :! +! cos :! a a 6:! a + a 7:! tan sec + tan :! t 6 9: t! t 6 :! + t + t : t! t 6t :! + + :! :! :!

11 6:! 7 + cos sen 9:! cos cos :! :! : 6:!! :! :! a a + b b :! + + a; b > :! + + a + ( ) a :! 7:! Consideando los límites o la deecha y o la izquieda, demueste que! jj =.. Calcula los siguientes límites cuando eistan, utilizando los límites lateales cuando sea necesaio. >< :! + jj j + j :! + :! h () ; h () = si > si < :! jj ( si < : 6: g () ; g () =! q( + )! + si 6. Dadas las siguientes funciones a: f () = ( si < si b: f () = ( si < ( + ) si > : Encuente f () y! +! f () : Eiste f ()? : Tace la gá ca de f! 7. Sea si < >< h () = si < si > (a) Evalúe los siguientes límites, si eisten. : h () : h () : h () :! +!!! (b) Tace la gá ca de h h () : h () 6: h ()! +!. Sean f () = ( + si + si > y g () = ( si si >. Encuente! f () y f (). Encuente! +!. Enconta fómulas aa f () g (). Encuente!. Eiste! f () g ()? 9. Esciba la de nición fomal de g () y! + g () f () g () y! + f () g () : f () = L : f () = M!! +

12 . Demueste que si c >, entonces, = c!c. Usando la de nición fomal de límite, demueste los siguientes límites : = : = : ( ) = : =!!!! : = 6:!! = 6 7: ( + 6) = : (9 6) =!! 9: t = : = : ( + 7) = 7 : ( + ) = t! +!!!= : = :!! = 6 : =! 6:! + = 7 + 7: =! 6 t + t t : t! t = 7 9:! = :! ( + ) = :! ( ) = :! = :! + = :! = :! ( ) = 6:! = 7:!7 + = :! + = 9:! = :! + = : = : =! +! 9 : =! + :!= = 9 :! = 6:! f () = ; si f () = ( ; < + ; > 7:!(=) + = : f () = ; si f () =! + ( ; ; > 9:!9 9 =. Sean F y G funciones tales que F () G () aa toda óima a c, con la osible ececión de c. Demueste que si G () =, entonces F () =.!c!c. Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la de nción de límite? (a) Paa algún > y todo >, < j cj < =) < jf () Lj < (b) Paa todo >, eiste un > coesondiente tal que < j cj < =) < jf () Lj < (c) Paa todo enteo ositivo N eiste un enteo ositivo coesondiente M tal que < j cj < =M =) < jf () Lj < =N (d) Paa todo > eiste un coesondiente >, tal que aa algún. < j cj < =) < jf () Lj <

13 . Demueste que, si f y g tienen límite cuando tiende a c, entonces [f () + g ()] = f () + g () :!c!c!c. Demueste que, si f y g tienen límite cuando tiende a c, entonces [f ()!c g ()] = f ()!c g () :!c 6. Demueste que, si f y g tienen límite cuando tiende a c, entonces [f () g ()] = f () g () :!c!c!c 7. Demueste que, si f y g tienen límite cuando tiende a c, entonces f () f ()!c g () =!c g ()!c sieme y cuando g () 6=.!c Resuestas: Ejecicios :: Ceciente : R si m >, dececiente : R si m < ; :: Ceciente : (; ) y dececiente : ( ; ); :: Ceciente : R; :: Ceciente : (; ) y dececiente : ( ; ); :: Dececiente : R fg; :6: Ceciente : ( ; ) y dececiente : (; ); :7: Ceciente : (; ); :: Ceciente : R; :9: Ceciente : R; :: Ceciente : ( ; ) y dececiente : (; ); :: Dececiente : ( ; ) y ceciente : (; ); :: Dececiente : R fg; :: Ceciente : R f g; :: Dececiente : ( ; ) y ceciente : (; ); :: Inyectiva; :: No inyectiva; :: Inyectiva; :: No inyectiva; :: Inyectiva; :6: No inyectiva; :7: Inyectiva; :: Inyectiva; :9: Inyectiva; :: No inyectiva; :: No inyectiva; :: Inyectiva; :: Inyectiva; :: No inyectiva; :: f () = + ; Rgo f : [; ) ; :: f () = + + ; Rgo f : [ ; ) ; :: f () = + 6; Rgo f : R fg ; :: f () = h ; Rgo f : ; ; :: f () = acsen ( ) ; Rgo f : [; ] ; :6: f () = (actan + ) ; Rgo f : [ tan () ; ) ; :7: f () = ; Rgo f : R fg ; :: f () = + ; Rgo f : R f g ; q :9: f () = acsen + ; Rgo f : [ ; ] ; :: f () = ( accos ) ; Rgo f : [ ; ] ; :: f () = acsen + ; Rgo f : [ 7; ] ; :: f q () = acsen ; Rgo f : [ ; ] ; :a: f () = b d c a ; :c: a = d; :: ; :: ; :: 6 ; :: ; :: No de nida; q :6: 6 ; :7: 6 ; :: 9 ; :9: 6 6 ; :: 6 6 ; :: ; :: + ; :: ; :: ; :: ; :6: + ; :7: ; :: + ; 6:: Dom g : [; ] fsen g ; 6:: Dom f : (; ] ; 6:: Dom h : h 6:: Dom f : [ ; sen ) ; 6:6: Dom h : + ; h ; 6:9: Dom f : ; 6:: Dom g : ; i + i h [ ; h 7; 9i ; 6:: Dom f : [ ; sen ] ; i ; 6:7: Dom h : ; ; 6:: Dom h : [ ; ] [ [; ] ; ; 7:: ; 7:: 6; 7:: ; 7:: No eiste; 7:: ; 7:6: ; 7:7: ; 7:: No eiste; :: ; :: ; :: ; :: ; :: No está de nida; :6: ; :7: ; :: No eiste; 9:: No está de nida; 9:: ; 9:: ; 9:: No eiste; 9:: ; 9:6: ; 9:7: ; 9:: ; 9:9: ; 9:: ; 9:: ; 9:: No eiste; 9:: ; 9:: ; 9:: ; 9:6: No eiste; :: ; :: ; :: ; :: No eiste; :: No está de nida; :6: No eiste; :7: ; :: No eiste; :9: No está de nida; :: ; :: ; :: ; :: ; :: ; :: ; :: ; :: ; :6: ; :7: ; :: ; :9: ; :: ; :: ; :: No eiste; :: ; :: ; :: ; :6: No eiste; ::a: Inde nido; ::b: ; ::c: ; ::d: ; ::a: ; ::b: ; ::c: ; ::d: ; ::a: 9; ::b: ; ::c: 9; ::d: No eiste; ::a: ; ::b: ; ::c: ; ::d: No eiste; ::a: ; ::b: ; ::c: ; ::d: ; :6:a: ; :6:b: ; :6:c: ; :6:d: No eiste; :7:a: Inde nido; :7:b: ; :7:c: ; :7:d: No eiste; ::a: ; ::b: ;

14 ::c: ; ::d: ; :: 7; :: ; :: ; :: ; :: ; :6: ; :7: ; :: ; :9: ; :: ; :: ; :: b ; :: q t ; :: ; :: ; :6: ; :7: 6; :: ; :9: ; :: ; :: ; :: ; :: 9 ; :: 7 6 ; :: ; :6: ; :7: ; :: No eiste; :9: 7; :: 6 ; :: ; :: 6 ; :: ; :: 6; :: ; :6: a; :7: ; :: ; :9: ; :: ; :: ; :: 7 ; :: ; :: ; :: ; :6: ; :7: ; :: ; b :9: ; :: a ; :: ; :: ; :: ; :: a ; :: ; :6: ; :7: ; :: ; :: No eiste; :: ; :: No eiste; :: ; :6: ; 6:a:: y ; 6:a:: ; 6:b:: y 9; 6:b:: No eiste; 7:a:: ; 7:a:: ; 7:a:: ; 7:a:: ; 7:a:: 6; 7:a:6: No eiste; :: y ; :: y ; :: y ; :: ;. Pucell, E. - Vabeg, D. - Rigdon, S.: Cálculo". Novena Edición. PEARSON Pentice Hall.. Stewat, J.: Cálculo". Guo Editoial Ibeoameicano. Bibliogafía Cálculo Difeencial e Integal - Función invesa y límite. Última actualizacón: Setiembe Faith Biceño faith_7@hotmail.com