Actividad para el curso de Física: Fundamentos de. de trigonometría y teorema de Pitágoras.

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1 Actividad aa el cuso de Física: Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego *. Índice. Intoducción.. Aunte.. Funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo... Teoema de Pitágoas Teoema de Pitágoas y funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo Intevalos de valo de las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo Ejemlos Guía de estudio aa el estudiante Peguntas a nivel conocimiento Peguntas a nivel comensión Peguntas a nivel alicación Ejecicio tio examen. 0. Intoducción. Se esenta mateial coesondiente a una actividad del Cuso de Física del ofeso Eduado Abaham Escácega Pliego aa los temas: Fundamentos de tigonometía y teoema de Pitágoas. Ambos temas oveen de concetos útiles aa el desaollo de exlicaciones y edicciones que se constuyen en física a hechos fenomenológicos en el ámbito de alicación de la física. No se busca estudia toda la tigonometía sino los concetos fundamentales y algunas de las elaciones ente funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo que esulten de utilidad aa el cuso de física, que convenga estudia y esenta en un inicio aa no eeti el contenido cada vez que sea usado. Los contenidos tatados se ueden analiza en la lista de contenidos que aaece al inciio del documento, la cual también emite navega en el documento en su vesión electónica. Esta actividad sigue los lineamientos geneales aa las actividades del Cuso de Física del Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego.. Aunte.. Funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo. En esta sección se esonde a las egunta: Qué son las funciones tigonométicas de un ángulo en * Colegio de Ciencias y Humanidades, lantel su, Univesidad Nacional Autónoma de México. Coeo-e: eae@comunidad.unam.mx; eabaham.escacega@cch.unam.mx. Esta oba se distibuye bajo una licencia Ceative Commons tio Atibución-NoComecial- SinDeivadas.5 México, cbnd. Consulte la siguiente ágina en intenet aa conoce los téminos de licenciamiento: htt://ceativecommons.og/licenses/by-nc-nd/.5/mx/. Usted es libe de comati - coia, distibui, ejecuta y comunica úblicamente la oba bajo los téminos siguientes: (a) Atibución Debe econoce los céditos de la oba de la manea esecificada o el auto o el licenciante (eo no de una manea que sugiea que tiene su aoyo o que aoyan el uso que hace de su oba). (b) No Comecial No uede utiliza esta oba aa fines comeciales. (c) Sin Obas Deivadas No se uede altea, tansfoma o genea una oba deivada a ati de esta oba.

2 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Figua : Tiángulo ectángulo en el esacio. un tiángulo ectángulo? Sea un tiángulo en el esacio definido o tes untos A, B, y C y o los segmentos de ecta, AB, BC, CA el cual se eesentaá o 4 ABC. Sea que los segmentos AB y BC definan un ángulo ecto con vétice en el unto B, es deci, sea que los segmentos AB y BC sean mutuamente eendiculaes, ve la figua (). Entonces diemos que tal tiángulo 4 ABC seá un tiángulo ectángulo. Sea que nombemos o, alfa minúscula del alfabeto giego, al ángulo fomado o el segmento AB y el segmento AC con vétice en el unto A del tiángulo ectángulo 4 ABC, ve figua (). Entonces nombaemos como cateto adyacente al ángulo al segmento AB, como cateto ouesto al ángulo al segmento BC y como hiotenusa del tiángulo ectángulo al segmento AC. Sea que el cateto adyacente al ángulo del tiángulo ectángulo, el segmento AB, tenga un tamaño x. Sea que el cateto ouesto al ángulo del tiángulo ectángulo, el segmento BC, tenga un tamaño y. Sea que la hiotenusa del tiángulo ectángulo, el segmento AC, tenga un tamaño, todo en efeencia a la figua (). Entonces se definen las funciones tigonométicas del ángulo en el tiángulo ectángulo 4 ABC seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo en el tiangulo ectángulo como: seno( ) = sen( ) = y () coseno( ) = cos( ) = x () tangente( ) = tan( ) = y x (3) cosecante( ) = csc( ) = y (4) secante( ) = sec( ) = x (5) cotangente( ) = ctg( ) = x y (6) Las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo son iguales a las constantes de oocionalidad diecta ente los tamaños de los lados de tiángulos ectángulos semejantes que tengan un mismo ángulo inteno. Las funciones tigonométicas cosecante, secante y cotangente de un ángulo en un tiángulo ectángulo de acuedo a sus definiciones están elacionadas con las funciones seno, coseno y tangente del ángulo en el tiángulo ectángulo en la foma siguiente: csc( ) = sen( ) (7) sec( ) = cos( ) (8) cot( ) = tan( ) (9) Se cumle también la siguiente elación esecto a la función tangente del ángulo en el tiángulo ectángulo: tan( ) = tan( ) = y x y x c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego.

3 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Figua : Tiángulo ectángulo. Reesentación gáfica del teoema de Pitágoas. Consideando las definiciones de las funciones tigonométicas seno y coseno del ángulo en un tiángulo ectángulo dadas o las fomulas () y () se tendá: tan( ) = sen( ) cos( ) (0) De igual manea se uede afima cieta la siguiente igualdad ente las funciones tigonométicas seno, coseno y cotangente de un ángulo en un tiángulo ectángulo ya que cot( ) = tan( ): cot( ) = cos( ) sen( ) () La imotancia de la tigonometía se da a ati de las oiedades de semejanza de los tiángulos ectángulos. Las funciones tigonométicas de un ángulo que esté en tiángulos ectángulos semejantes tienen el mismo valo, se les uede evalua a ati de un tazo geomético, como lo es un cículo de adio unitaio, y se les uede usa aa conoce el tamaño de algún segmento en un tiángulo ectángulo conocido el tamaño de oto de sus segmentos y alguna de las funciones tigonométicas de un ángulo en los tiángulos ectángulos semejantes... Teoema de Pitágoas. Los tamaños de los lados de tal tiángulo ectángulo como el descito en la sección evia que se muesta en la figua (), cumlen el teoema de Pitágoas. Se considea un tiángulo ectángulo como el mostado en la figua () con tamaños de catetos x, y y con tamaño de hiotenusa. El teoema de Pitágoas afima que el áea del cuadado constuido sobe la hiotenusa del tiángulo ectángulo,, es igual a la suma de las áeas de los cuadados constuidos sobe los catetos del tiángulo ectángulo, x + y = x + y () De ota foma, el tamaño de la hiotenusa del tiángulo ectángulo,, en téminos de los tamaños de los catetos del tiángulo ectángulo, x y y, seá: = q x + y (3) La demostación del teoema de Pitágoas es un ejecicio que se uede hace geométicamente al elegi algún tiángulo ectángulo y taza los cuadados que tengan las dimensiones de los lados del tiángulo ectángulo aa desués hace cotes en las áeas de cuadados menoes y oba que se ueden hace coincidi esos cotes en el áea del cuadado que tenga o lado la hiotenusa del tiángulo ectángulo. Ota manea de hace la demostación del teoema de Pitágoas es tazando un tiángulo ectángulo que tenga todos los tamaños de sus lados coincidentes con númeos enteos, Pitágoas de Samos (ca. 580 a. C. ca. 495 a. C.) fue un filósofo y matemático giego consideado el ime matemático uo. Contibuyó de manea significativa en el avance de la matemática helénica, la geometía y la aitmética, deivadas aticulamente de las elaciones numéicas, y alicadas o ejemlo a la teoía de esos y medidas, a la teoía de la música o a la hoa astonomía. Fuente: htt://es.wikiedia.og/wiki/pitágoas Atículo sobe Pitágoas en la Wikiedia en esañol. Consultada el 7 de setiembe del año 03. c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 3

4 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Figua 3: En la figua se muesta un tiángulo ectángulo con catetos de tamaños x = 8, y = 6 y tamaño de hiotenusa = 0. Los tamaños de lados del tiángulo ectángulo mostado son númeos enteos. Se uede hace el conteo de unidades de áea aa demosta en este caso el teoema de Pitágoas, que = x + y, que 00 = como el que tenga x = 8, y = 6 y = 0, aa luego taza los cuadados con dimensiones, x y y en los que se maquen unidades cuadadas y en los que se ueda hace el conteo de unidades cuadadas de y comaalo con el de x + y aa ve que sean iguales. Este caso se muesta en la figua (??)..3. Teoema de Pitágoas y funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo. El teoema de Pitágoas se elaciona con las funciones tigonométicas seno y coseno de cieto ángulo en el tiángulo ectángulo usado aa fomula el teoema de Pitágoas en efeencia a la figua (). Se ate del teoema de Pitágoas y se divide la igualdad que lo eesenta ente el tamaño de la hiotenusa del tiángulo ectángulo elevado al cuadado = x + y = x = x + y! + y! Si se tienen en cuenta las igualdades () y () se confima que: = sen ( ) + cos ( ) (4) Aquí la notación usada aa otencia al cuadado de las funciones tigonométicas del ángulo en el tiángulo ectángulo consideado es como sigue: sen ( ) = (sen(x)) y cos ( ) = (cos(x))..4. Intevalos de valo de las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo. Los valoes de las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo tienen valoes acotados ente límites que esulta simle establece. Los citeios siguientes son de utilidad aa tal fin: De un tiángulo ectángulo el tamaño de los catetos nunca esulta se mayo que el tamaño de la hiotenusa. El teoema de Pitágoas esecto a un ángulo en un tiángulo ectángulo ide que = sen ( ) + cos ( ). La división de un númeo ente ceo es una indeteminación. El númeo ceo dividido ente cualquie númeo da el númeo ceo como esultado. Cuando el ángulo tiende a vale ceo, el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tiende a vale el tamaño de la hiotenusa,, del tiángulo ectángulo y el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, tiende a vale ceo. Ve la figua (.4). c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 4

5 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Figua 4: Tiángulo ectángulo en el esacio. Cuando el ángulo tiende a vale ceo, el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tiende a vale el tamaño de la hiotenusa,, del tiángulo ectángulo y el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, tiende a vale ceo. Figua 5: Tiángulo ectángulo en el esacio. Cuando el ángulo tiende a vale un ángulo ecto, el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, tiende a vale el tamaño de la hiotenusa,, del tiángulo ectángulo y el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tiene a vale ceo. Cuando el ángulo tiende a vale un ángulo ecto, el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, tiende a vale el tamaño de la hiotenusa,, del tiángulo ectángulo y el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tiende a vale ceo. Ve la figua (5). Cuando el ángulo vale la mitad de un ángulo ecto, el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, y el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tendán el mismo valo, x = y, o lo que también tendán sl mismo valo las funciones tigonométicas sen( ) y cos( ), es deci, sen ( ) = cos ( ). Ve la figua ( 6). Es osible obtene los valoes de las funciones tigonométicas del ángulo de medio ángulo ecto de la igualdad (4) y de la igualdad (). De la igualdad (4) con la condición de que sen ( ) = cos ( ) se ueden obtene los valoes de sen ( ) y de cos ( ): v u t = sen ( ) + cos ( ) = sen ( ) + sen ( ) = sen ( ) = sen ( ) = sen ( ) = sen ( ) 0;70706 = sen ( ) sen( ) = cos( ) = = 0;70706 En el caso de las funciones csc( ) y sec( ) que se elacionan con las funciones tigonométicas sen( ) y cos( ) según las igualdades (7) y (8): csc( ) = sen( ; sec( ) = cos( Paa un ángulo con el valo de medio ángulo ecto las funciones tigonométicas cosecante y secante del ángulo en un tiángulo ectángulo valdán: csc( ) = sec( ) = = = ;444 De la igualdad () se tiene: tan( ) = sen( ) cos( ) Figua 6: Tiángulo ectángulo en el esacio. Cuando el ángulo vale la mitad de un ángulo ecto, el tamaño del cateto ouesto al ángulo, y, y el tamaño del cateto adyacente al ángulo, x, tienen el mismo valo, x = y, o lo que también se tendá que sen ( ) = cos ( ). c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 5

6 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Sí sen( ) = cos( ) aa un ángulo de medio ángulo ecto. Entonces: tan( ) = En el caso de las función cot( ) que se elaciona con las función tigonomética tan( ) según las igualdad (9): cot( ) = tan( ) Paa un ángulo con el valo de medio ángulo ecto cot( ) = tan( ) = = A continuación se analizan los intevalos de valoes de las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo aa los ángulos nulo, de medio ángulo ecto y de un ángulo ecto. Se efiee a los tamaños de lados y de hiotenusa de un tiángulo ectángulo que se han estado usando, x, = y y esectivamente. sen( ) = y. Paa un ángulo nulo x = y y = 0. La facción y = 0 = 0, así que sen( ) = 0. Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que sen( ) = = 0; Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción y = cos( ) = x. =, así que sen( ) =. Paa un ángulo nulo x = y y = 0. La facción x = =, así que cos( ) =. Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que cos( ) = = 0; Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción x = 0 tan( ) = y x. = 0, así que cos( ) = 0. Paa un ángulo nulo x = y y = 0. La facción y x = 0 = 0, así que tan( ) = 0. Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que sen( ) = cos( ) y que: tan( ) = sen( ) cos( ) = Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción y = esulta no esta deteminada. x 0 Confome el ángulo tienda a se un ángulo ecto, el valo de la tangente del ángulo seá infinito, : tan( )! cuando! «angulo ecto csc( ) =. y Paa un ángulo nulo x = y y = 0. La facción y = 0 esulta no esta deteminada. Confome el ángulo tienda a se un ángulo nulo, el valo de la cosecante del ángulo seá infinito, : csc( )! cuando! «angulo nulo Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que csc( ) = sec( ) y que: csc( ) = = ;444. Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción y = =, así que csc( ) =. sec( ) =. Paa un ángulo nulo x = y x y = 0. La facción = =, así que x sec( ) =. Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que csc( ) = sec( ) y que: csc( ) = = ;444. Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción = esulta no esta deteminada. x 0 Confome el ángulo tienda a se un ángulo ecto, el valo de la secante del ángulo seá infinito, : sec( )! cuando! «angulo ecto cot( ) = x. y Paa un ángulo nulo x = y y = 0. La facción x y = 0 esulta no esta deteminada. Confome el ángulo tienda a se un ángulo ecto, el valo de la tangente del ángulo seá infinito, : cot( )! cuando! «angulo nulo c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 6

7 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM Función ángulo medio ángulo tigono- nulo ángulo ecto mética de un ángulo sen( ) 0 cos( ) ecto 0 tan( ) 0 ind: csc( ) ind: sec( ) ind: cot( ) ind: 0 Cuado : Valoes de las funciones tigonométicas aa un ángulo en un tiángulo ectángulo aa ángulos nulo, de medio ángulo ecto y ecto. ind: abevia indeteminado. Los valoes de funciones tigonométicas macados como indeteminados tienen un valo infinito,, aa ángulos con valoes cecanos al valo indicado. Figua 7: Tiángulos ectángulos semejantes. Paa un ángulo de medio ángulo ecto ya se demostó que sen( ) = cos( ) y que: cot( ) = cos( ) sen( ) = Paa un ángulo ecto x = 0 y y =. La facción x y = 0 = 0, así que cot( ) = 0. Los valoes de las funciones tigonométicas aa un ángulo en un tiángulo ectángulo descitos ueden se esumidos en la tabla (??) Los valoes de las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo ueden se obtenidas con ayuda de tablas de valoes o con ayuda de una calculadoa electónica de tio científico. Paa ode obtene sus valoes es necesaio elegi una manea de medi ángulos 3. Ejemlos. () Evalua las funciones tigonométicas, seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo aa cada un de los tiángulos ectángulos semejantes mostados en la figua (7). Debe evalua también el tamaño de la hiotenusa de cada tiángulo ectángulo aa ode evalua las funciones tigonométicas edidas. Qué encuenta de semejanza en ellas?. A continuación se evalúan las funciones tigonométicas aa el ángulo en el ime tiangulo ectángulo, así como la hiotenusa de éste tiángulo. x =, y = 0 = q x + y = q + 0 = q = 344 = 3; sen( ) = y 0 sen( ) = 3; sen( ) = 0;85749 cos( ) = x cos( ) = 3; cos( ) = 0;5449 tan( ) = y x tan( ) = 0 c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 7

8 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM tan( ) = ;66667 csc( ) = y csc( ) = 3; csc( ) = ;669 sec( ) = x sec( ) = 3; sec( ) = ;94365 cot( ) = x y cot( ) = 0 cot( ) = 0;60000 A continuación se evalúan las funciones tigonométicas aa el ángulo en el segundo tiangulo ectángulo, así como la hiotenusa de éste tiángulo. x 0 = 30 ; y 0 = 50 0 = (x 0 ) + (y 0 ) 0 = q = q = = 58; sen( ) = y sen( ) = 58; sen( ) = 0;85749 cos( ) = x cos( ) = 58; cos( ) = 0;5449 tan( ) = y0 x 0 tan( ) = tan( ) = ;66667 csc( ) = 0 y 0 csc( ) = 58; csc( ) = ;669 0 sec( ) = x 0 sec( ) = 58; sec( ) = ;94365 ctg( ) = x0 y 0 ctg( ) = ctg( ) = 0;60000 Se obseva que las funciones tigonométicas de un ángulo en un tiángulo ectángulo deenden de se evaluadas con los tamaños de los lados del tiángulo ectángulo, eo su valo es el mismo aa un mismo ángulo en tiángulos ectángulos semejantes. Los tamaños de los lados de tiángulos ectángulos semejantes guadan elaciones de oocionalidad diecta, las constantes de oocionalidad diecta ente los tamaños de los lados de tiángulos ectángulos semejantes son las funciones tigonométicas de los ángulos intenos de los tiángulo ectángulos semejantes. c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 8

9 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM () Paa un tiángulo ectángulo con hiotenusa de tamaño, y con catetos adyacente y ouesto a un ángulo en el tiángulo ectángulo de tamaños x e y esectivamente: (a) Si x = 4 e y = 6, halla. Si: = x + y. Entonces: = x + y = q x + y = q = q = 5 = 7;0 (b) Si = 0 e y = 7, halla x. Si: = x + y. Entonces: x = ` y y x = ` y x = q ` y x = q 0 ` 7 x = q 400 ` 49 x = 35 x = 8;73499 (c) Si = 36 y x = 4, halla y. Si: = x + y. Entonces: y = ` x y y = ` x y = q ` x y = q 36 ` 5 y = q 96 ` 6 y = 80 y = 35;77709 (d) Si = 50 y cos( ) =, halla x. 5 Si: x = cos( ). Entonces: x = cos( ). x = cos( ) x = 50 5 x = 50 ˆ 5 x = 00 5 x = 0 (e) Si = 7 y sen( ) = 3, halla y. 8 Si: y = sen( ). Entonces: y = sen( ). y = sen( ) y = 7 ˆ sen( ) y = 7 ˆ 3 8 y = 6 8 y = 7 (f) Si tan( ) = 00 y x = 6, halla y. y Si: = tan( ). Entonces: y = x ˆ x tan( ). y = x ˆ tan( ) y = 6 ˆ 00 y = 600 (g) Si tan( ) = 0;0335 e y = 5, halla x. Si: y x = tan( ). Entonces: x y = x = y tan( ) y x = tan( ) x = 5 0;0335 x = 447; (h) Si = 35 y sec( ) = 9, halla x. Si: x tan( ) = sec( ). Entonces: x = sec( ). x = sec( x = 35 9 x = 35 ˆ 9 x = 70 9 x = 7;77777 c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 9 y

10 CCH Actividad Su aa el cuso de Física:.Fundamentos de tigonometía. Teoema de Pitágoas. UNAM (i) Si = 60 y csc( ) =, halla y. 3 Si: y = csc( ). Entonces: y = csc( ) y = csc( ) y = 60 3 y = 60 ˆ 3 y = 80 y = 6;36364 (j) Si cot( ) = 0;5 y x =, halla y. Si: x y = cot( ). Entonces: y = x cot( ). x y = cot( ) y = 0;5 y = 80 (k) Si cot( ) = 7 e y = 9, halla x. Si: x y = cot( ). Entonces: x = y ˆ cot( ). x = y ˆ cot( ) x = y ˆ cot( ) x = 9 ˆ 7 x = 53 (l) Si sen( ) = 0;667, halla cos( ) Si: = sen ( ) + cos ( ). Entonces: cos ( ) = ` sen ( ) y cos ( ) = q ` sen ( ) cos ( ) = ` sen ( ) cos ( ) = q ` 0; 667 cos ( ) = q ` 0;44489 cos ( ) = q 0;555 cos ( ) = 0;74506 (m) Si cos( ) = 0;34, halla sen( ) Si: = sen ( ) + cos ( ). Entonces: sen ( ) = ` cos ( ) y sen ( ) = q ` cos ( ) sen ( ) = ` cos ( ) sen ( ) = q ` 0;34 sen ( ) = q ` 0;0499 sen ( ) = q 0;95009 sen ( ) = 0;97473 (3) Se quiee conoce la altua de un edificio. Paa ello se cuenta con una cueda cuya longitud es de 5 (meto) y con un disositivo que emite medi ángulos que cuenta con dos mias, una mia aa loga una alineación hoizontal y ota mia ajustable aa detemina el ángulo que hace un haz de luz que asa o la mia y que llega desde la ate más alta del edificio. Si la alineación hoizontal se hace a la altua de los ojos del obsevado 4. Guía de estudio aa el estudiante. 4.. Peguntas a nivel conocimiento. (). 4.. Peguntas a nivel comensión. () 4.3. Peguntas a nivel alicación. () 5. Ejecicio tio examen. c b n d Pofeso Eduado Abaham Escácega Pliego. 0