Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scietia Et Techica ISSN: Uivesidad Tecológica de Peeia Colombia GONZALEZ PINEDA, CAMPO ELIAS; MILENA GARCIA, SANDRA; OSORIO ACEVEDO, LUIS EDUARDO LA SERIE GEOMETRICA Y SU DERIVADA Scietia Et Techica, vol. XVII, úm. 7, abil, 011, pp Uivesidad Tecológica de Peeia Peeia, Colombia Dispoible e: Cómo cita el atículo Númeo completo Más ifomació del atículo Págia de la evista e edalyc.og Sistema de Ifomació Cietífica Red de Revistas Cietíficas de Améica Latia, el Caibe, España y Potugal Poyecto académico si fies de luco, desaollado bajo la iiciativa de acceso abieto

2 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 011. Uivesidad Tecológica de Peeia. ISSN LA SERIE GEOMETRICA Y SU DERIVADA The Geometic seies ad it deivative RESUMEN E este atículo hallaemos el valo al cual covege la deivada -esima de la seie geomética, 1, peo si usa heamietas del cálculo difeecial. Ilustamos co dos técicas como llega al esultado. Este atículos esalta la Impotacia de demosta teoemas co teoías avazadas co heamietas más simples. La fómula que pesetamos aquí, pácticamete es más fácil de obtee y más coceta que si se aplicaa el esultado utilizado heamietas del calculo de seies de potecias. PALABRAS CLAVES: Covege, deivada -esima de la seie geomética. ABSTRACT I this aticle we fid the value at which the geometic seies -th deivative 1 coveges, but without tools of diffeetial calculus. Two techics illustate how to get the esult. CAMPO ELIAS GONZALEZ PINEDA Mg. Matemáticas, Pofeso Asociado Uivesidad Tecológica de Peeia cegp@utp.edu.co SANDRA MILENA GARCIA Lic Matemáticas y Física, Pofeso Auxilia Uivesidad Tecológica de Peeia tazyotas@utp.edu.co LUIS EDUARDO OSORIO ACEVEDO M.Sc. Eseñaza de las Matemáticas, Pofeso Asistete Uivesidad Tecológica de Peeia leosoio@utp.edu.co KEYWORDS: Coveges, geometic seies -th deivative. 1. INTRODUCCION E el cuso de Cálculo Itegal e detemiado mometo se toca el tema de la seie geomética, y se muesta paa que valoes esta seie covege. Tambié se aclaá que halla a que valo ua seie covege o es fácil, po lo cual esulta útil utiliza la seie geometica paa compaala co otas seies. E este atículo se mostaá como halla el valo al cual covege la seie 1 de ua maea elativamete fácil. Es imptate esalta que la tecica utilizada e simple y solo equiee la utilizació de heamietas de seies si utiliza la deivada de las mismas.. ALGUNOS RESULTADOS CONOCIDOS técica simila a la utilizada e [], peo petedemos ecota ua fomula geeal paa. 1 Además es coocido que el valo de la seie geomética 1 es, < 1, y paa los demás valoes 0 1 de la seie divege, po lo cual e lo que sigue del atículo asumiemos que <1. Comezamos ahoa u ejemplo ilustativo. Este os daá la pauta que seguieemos e el tacuso de este atículo. Nótese la simplicidad que esulta paa hece el cálculo deseado. Ejemplo 1. Demosta que 1 Paa ellos cosideamos la siguiete tabla: E el aticulo [], hace ua itoducció histoica y p ealiza el cálculo de la seie, p 0,1,,,. 1 Además de esto de ua maea didactica muesta ua itepetació geomética de este esultado. Paa poba el esultado picipal de este atículo se utilizaá ua 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ Fecha de Recepció: 5 de Eeo de 011 Fecha de Aceptació: 6 de Abil de 011

3 197 Scietia et Techica Año XVII, No 7,Abil de 011. Uivesidad Tecológica de Peeia. Sumado po cada columa obteemos Peo sabemos que , / 1 1 Po lo que Tecica paa el cálculo de. 1 Ejemplo. Calcula, <1. 1 Nos pide calcula la suma 1 Cosideemos la tabla siguiete: Sumado po columas 1 1 Peo sabemos que Po lo que (1 ) Ejemplo. Calculemos la suma pocedimieto. Así de la tabla: Teemos que (cuato veces) po el mismo (ueve veces) (dieciséis veces) ( veces) ( 1) 1 Peo 1 ( 1) ( 1) ( ) 1 1 Así que 1 ( 1) ( ) (1 ) 1 1 Ejemplo. Calculemos (1 ) (1 ) 1. Cosideemos ua vez más la tabla siguiete. y veamos que coclucioes podemos saca de ella:

4 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 011. Uivesidad Tecológica de Peeia (1 ) ( 1)( 10 1) (ocho veces) (veitisiete veces) (seseta y cuato veces) 1 ( ( 1) veces) ( veces) Sumado teemos ( ( 1) ) ( ( 1) ) 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) Ejemplo 5. Calculemos la suma. 1 De los ejemplos ateioes teemos; 1 1 ( ( 1) ( 1) 6 ( 1) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) Seguda Tecica paa el cálculo de. 1 E la secció ateio se puede ota que las opeacioes se vuelve más tediosas a medida que el cece el expoete. Peo veamos ota foma de obtee los mismos esultados ateioes de ua maea más fácil. La estategia cosite e costui ua tabla que os pemita suma de maea adecuada los elemetos de la seie. Recuedese que esta seies es absolutamete covegete y po tato podemos eodea sus temios si que su esultado se altee. Ejemplo 6. Obtee la suma siguiete Teemos (1 ) Ejemplo 7. Obtee la suma. 1 Ua vez más uesto gáfico guia seá. De la tabla

5 199 Scietia et Techica Año XVII, No 7,Abil de 011. Uivesidad Tecológica de Peeia. ( ) 0 1 Sumado po columas teemos ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) (1 ) 1 1 ( 1) (1 ) Ejemplo 8. Obtee ua fomula paa. Teemos la tabla Sumado po columas teemos ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 Es deci, Ejemplo 9. (1 ) 1 p1 dode <1 1 ( 1) Obtegamos ua fomula paa la suma. De maea simila a los pocesos ateioes obteemos Peo Luego p1 p ( ) p p ( p) j0 j p j j p j p p j0 j 0 1 p p1 p j j j0 5. CONCLUSIONES j p j Hemos hallado ua fómula geeal paa la seie 1 si utiliza elemtos de cálculo difeecial. Hemos geealizado el esultado de ecueta e []. p 1, el cual se Se ha ilustado dos técicas paa halla ilusta como se puede obtee el esultado picipal. Peo duate el poceso queda e evidecia que la seguda tecica hace que el poceso sea más fácil.

6 Scietia et Techica Año XVII, No 7, Abil de 011. Uivesidad Tecológica de Peeia. 00 La geealizació de esultados es impotate desde todo puto de vista. Pedagogico poque pemite al lecto amplia su visió e el tema efeidos y cietifico poque peseta avaces que puede a su vez da idicios de cómo geealiza otos poblemas o teoemas. La fómula ecotada pemite calcula la suma de la deivada de la seie geometica paa cualquie valo de p y esto iduce a geea u algoitmo que pemita hace calculos que puede se de iteés además de los ya coocidos. 6. BIBLIOGRAFÍA [1] Apostol T.M, Calculus Vol1, ª edició, Editoial Reveté S. A. [] Boulto L, Rosas M. Sumado la deivada de la seie geometica. Boletí de la Asociació Matemática Veezolaa, Vol X. No 1 (00). [] Edwads, Peey, Cálculo co Geometía Aalítica, Petice may, 1996, ta. Ed. [] Thomas G.B. Calculus ifiitesimal y Geometía Aalítica. Aguila Madid [5] Leithold,Louis. El Calculo. Oxfod Uivesity Pess Hala. México.001. [6] Spiegel, Muay. Cálculo Supeio. Mc Gaw-Hill. México [7] Kitche, J.W.: Calculus of Oe Vaiable. Addiso Wesley P.Co. Readig, Massachusetts,1969.