Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO # 9: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA CANTIDAD DE MOVIMIENTO- Dieg Luis Aristizábal R., Rbert Restrep A., Tatiana Muñz H. Prfesres, Escuela de Física de la Universidad Nacinal de Clmbia Sede Medellín Intrducción Temas PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Cantidad de Mvimient Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newtn Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient Lineal para una partícula Una discusión sbre las Fuerzas Impulsivas Cnservación de la Cantidad de Mvimient Lineal en un Sistema de Partículas Clisines Otrs ejempls sbre cnservación de la Cantidad de Mvimient Lineal PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Cantidad de Mvimient Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newtn Cantidad de Mvimient Angular y Mment de Inercia: partícula y rígid Cnservación de la Cantidad de Mvimient Angular Fuerza central Cuerp rígid en eje fij cn trque nul. Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient Angular para una partícula PARTE III: RESUMEN Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula Intrducción Para el estudi de la dinámica de un cuerp, la física emplea fundamentalmente tres metdlgías: La segunda ley de Newtn: a través de la relación fuerza y aceleración. El principi del trabaj y la energía: a través de la relación fuerza, velcidad y psición (n es necesari determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-psición. El principi del impuls y la cantidad de mvimient: a través de la relación fuerza, velcidad y tiemp (n es necesari determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-tiemp.

2 Hasta esta parte del curs se han emplead ls ds primers métds. En este módul se empleará el tercer métd. Este métd aplicad a sistemas de partículas facilitará el estudi de situacines físicas cm: sistemas de masa variable, fluids en mvimient, events dnde hay presencia de fuerzas impulsivas (clisines, explsines, ). En éste módul se analizarán ests últims. PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Cantidad de Mvimient Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newtn Dada una partícula de masa m y que tiene una velcidad V se define cm Cantidad de Mvimient Lineal P a, P = mv [] También se le denmina simplemente Cantidad de Mvimient. En trs texts se le denmina Mmentum Lineal simplemente Mmentum. La unidad de la cantidad de mvimient en el SI es, kg.m.s - N.s. Esta magnitud es vectrial y su dirección es la misma que la de la velcidad: la cantidad de mvimient es tangente a la trayectria de la partícula, Figura. Figura La segunda ley de Newtn para una partícula se puede reescribir cn base en la cantidad de mvimient, F = ma dv F = m

3 y cm una partícula mantiene su masa cnstante, F = d mv dp F = [] 3 Es decir, la derivada tempral de la cantidad de mvimient de una partícula en un marc de referencia inercial es igual a la fuerza neta que actúa sbre una partícula : enunciad de la segunda ley de Newtn basada en el cncept de cantidad de mvimient. Es imprtante tener en cuenta que esta relación sól se cumple para marcs de referencia inerciales. Si la fuerza neta sbre la partícula es nula, F = 0, entnces la partícula se mverá cn su cantidad de mvimient cnstante, P = cnstante, es decir se mverá en línea recta cn rapidez cnstante : este es el enunciad de la primera ley de Newtn basada en el cncept de cantidad de mvimient. Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient Lineal para una partícula La ecuación [], segunda ley de Newtn, se puede reescribir así, dp = F P - P = f i t f ti F P - P = f i tf ti F tf tf tf P - P = F + F... F [3] f i n ti ti ti A la integral, tf J = F [4] ti Se le denmina Impuls J prducid pr la Fuerza F y a la expresión [3] se le cnce cn el nmbre de Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient para una partícula. Este principi dice: Dad un

4 marc de referencia inercial, el cambi en la cantidad de mvimient lineal de una partícula en un interval de tiemp, es igual al impuls ttal de las fuerzas que actúa sbre ésta en ese interval. Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principi el marc de referencia debe ser inercial. Para tener en cuenta: Una partícula en mvimient está caracterizada pr ds cantidades dinámicas: una escalar, la energía cinética, k = mv, y una vectrial, la cantidad de mvimient, P = mv, cuys cambis están asciads cn la integración, en un cas espacial (integral de trabaj) y en tr cas tempral (integral de impuls), de la fuerza neta, es decir ests cambis sn cnsecuencia de la interacción cn tras partículas u bjets: 4 Trabaj: Impuls: tf neta W = F dr (Escalar) ti tf neta (Vectr) ti J = F Una discusión sbre las Fuerzas Impulsivas Estas fuerzas se caracterizan pr su acción intensa y breve: clisines, explsines, glpes, percusines, impacts presentan este tip de fuerzas. En las situacines en las que intervienen fuerzas impulsivas, pueden cnsiderarse, en el interval de actuación, nuls ls impulss del rest de las fuerzas que están actuand tant internas cm externas (es decir ls impulss de las fuerzas n impulsivas): est permitirá aplicar en frma aprximada la cnservación de la cantidad de mvimient lineal en este tip de events, tema que se tratará a cntinuación. Antes de cntinuar se hará un cálcul que mstrará el enrme valr de las fuerzas denminadas impulsivas cmparadas cn las n impulsivas. Ejempl: Supner una bla lanzada hrizntalmente cntra una pared vertical, Figura. La bla tiene una masa de 00 g e inmediatamente antes de la clisión su rapidez es igual a 0,0 m.s - ; si inmediatamente después de la clisión su rapidez sigue siend 0,0 m.s - estimar la prprción entre ls impulss de la fuerza de cntact nrmal F y el pes durante ls 4,00 ms que dura ésta. Cm se verá en la sección sbre clisines, esta clisión es de tip PERFECTAMENTE ELÁSTICA ya que la energía cinética de la partícula inmediatamente antes de la clisión es igual a la energía cinética inmediatamente después de ésta. Slución: Se tma cm marc de referencia la pared y es inercial, Figura. En la misma figura se ilustra ls ejes de crdenadas elegids. El sistema mecánic es la bla. También se ilustra el diagrama de fuerzas (derecha): se desprecia la fuerza de rzamient cn la pared.

5 Para calcular el valr del impuls de la fuerza impulsiva F será necesari estimar el valr media de ésta, Figura 3. 5 Figura Figura 3 F = ma media x, media ΔVx a x, media = Δt m ΔV = V ˆ ˆ ˆ f - V i = 0,0 i - - 0,0 i = 0,0 i s m s

6 - 0,0 ˆi m.s F media = 0,00 kg = 500 N 0,004 s El pes de la partícula es, ˆ m P = mg j = 0,00 kg 9,80 ˆj = 0,98 ˆ j N s 6 Es decir F es del rden de 500 veces en magnitud el valr del pes. F es una fuerza que dura muy pc su actuación (0,004 s) per es muy grande cmparada, en este cas, cn el pes que será n impulsiva. Ls impulss se pueden calcular, Integral de impuls de F (es en dirección X): F media Δt = 500 N0,004 s = N.s Integral de impuls del pes (es en dirección Y): mg Δt = 0,98 N0,004 s = 0,004 N.s El impuls de la fuerza impulsiva F es del rden de 500 veces el impuls de la fuerza de gravedad. Debid a est el cambi de velcidad en dirección Y en ess 0,004 s es despreciable frente al cambi de velcidad en dirección X que es de 0 m.s -. En dirección Y se puede cnsiderar que la velcidad n cambia en ese pequeñ interval de tiemp (0,004 s). Cnservación de la Cantidad de Mvimient Lineal en un Sistema de Partículas Supner que ds bjets (partículas) clisinan. Durante la clisión la partícula ejerce una fuerza sbre la partícula que se denminará F. Esta fuerza es IMPULSIVA, supniend que el rest de fuerzas externas que actúan sbre la partícula NO SON impulsivas, pr l que se desprecia su acción durante el interval de la clisión, Δt = t f - t i, es decir se desprecian ess impulss, y pr l tant la ecuación [3] queda para la partícula, t t F = P - P f i Pr ley de acción y reacción (tercera ley de Newtn), la partícula ejerce sbre la partícula una fuerza F tal que, F = - F Aplicand el mism raznamient a la partícula que se le aplicó a la partícula, la ecuación [3] queda para la partícula, t t F = P - P f i

7 Sumand ls ds impulss, t t F + F = P - P P - P f i f i t t Per de la ley de acción y reacción F = - F, t t t t F + F = F F 0 t t t t 7 Obteniéndse, P i + Pi P f + P f [5] Ecuación que expresa la cnservación de la cantidad de mvimient lineal ttal para un sistema de ds partículas. Este es un de ls resultads más imprtante que se presenta en éste módul de aprendizaje y es la segunda ley de cnservación que se ha encntrad en este curs de Física Mecánica, la primera fue la ley de cnservación de la energía mecánica tratada en ls móduls de aprendizaje # 7 y # 8. En el módul de aprendizaje # se mstrará que ésta ley de cnservación es de validez general para sistemas inclus así cntengan más de ds partículas: Dad un marc de referencia inercial si la suma de las fuerzas externas que actúan sbre un sistema de partículas es cer ( al mens ls impulss de estas se pueden supner cer baj el argument de la presencia de fuerzas impulsivas en un interval de tiemp t muy pequeñ), la cantidad de mvimient ttal del sistema es cnstante, es decir, la cantidad de mvimient antes y después de actuar las interaccines en ese interval de tiemp t es igual, P ttal = cnstante [6a] ttal ttal P = P [6b] antes después Para aplicar este principi de cnservación se recmienda seguir el siguiente prtcl: Definir inequívcamente cuál es el sistema de partículas que se analiza. Definir para el sistema cuál es la psición instante inicial y la psición instante final. Indicar cuál es el marc de referencia INERCIAL para expresar las velcidades e impulss. Observar cuidadsamente qué fuerzas EXTERNAS actúan sbre el sistema durante el interval de tiemp cnsiderad. Las fuerzas internas n se cnsideran. Plantear la ley de cnservación de la cantidad de mvimient lineal.

8 Clisines Sean ds esferas de masas m y m que clisinan. Si ls centrs de masa están sbre la línea de chque se dice que la clisión es CENTRAL. De l cntrari es EXCÉNTRICA. En la Figura 4 se ilustra una clisión CENTRAL. En este módul, pr cnvención se tmará el eje X en la dirección de la línea de chque y dentará cn V las velcidades inmediatamente antes de la clisión y cn U las velcidades inmediatamente después de la misma. Cn base en el apartad anterir se cncluye que hay cnservación de la cantidad de mvimient lineal en el interval de tiemp que dura la clisión (se pueden despreciar ls impulss de las fuerzas externas frente al impuls de la fuerza impulsiva de clisión en este interval de tiemp). Pr l tant, P ttal = P ttal i f 8 mv + mv = mu + mu Figura 4 De esta ecuación vectrial se btienen ds ecuacines escalares, m V + m V = m U + m U [7a] x x x x mv y + mv y = mu y + mu y [7b] Ls signs de ess términs dependerán de la rientación de las velcidades respect a ls ejes crdenads elegids Ceficiente de restitución: En una clisión real parte de la energía cinética inicial del sistema se pierde, cnvirtiéndse en tras frmas de energía cm energía vibracinal, energía de ndas snras y fundamentalmente transfrmándse pr friccines disipativas internas en mvimient intern caótic, es decir en energía

9 térmica. Per esas pérdidas de energía sn difíciles de medir cn el debid detalle y es más simple intrducir el denminad ceficiente de restitución e definid cm, U - U V - V x x e = - [8] x x Este ceficiente es adimensinal y su valr está actad entre 0 y, 0 e : 9 e=0: clisión perfectamente plástica, las masas quedan pegadas después de la clisión. e=: clisión perfectamente elástica, se cnserva la energía cinética, K i+ K i = K f+ K f mv + mv = mu + mu [9] Adicinalmente en una clisión central las fuerzas impulsivas actúan a l larg de la línea de chque, y si las superficies sn lisas, n hay fuerza externa en dirección Y actuand sbre las partículas y pr l tant, se cnserva la cantidad de mvimient lineal en esta dirección para cada una de las partículas, Py cnstante mv y = mu y V y = U y [0] Py cnstante mv y = mu y V y = U y [] Estas serían ds ecuacines adicinales a las ecuacines [7a] y [8]: est en el cas de clisión central y superficies lisas. Vide: Clisión entre el bate y la bla de beisbl Ejempls de clisines Ejempl Desde una altura h se deja caer una bla sbre el pis y al rebtar sube hasta una altura h, Figura 5. Encntrar el ceficiente de restitución de la clisión.

10 0 Figura 5 Slución: Marc de referencia el pis y es inercial. La línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman el planeta Tierra y la bla. La clisión es inelástica. Pr cnservación de la energía mecánica de la bla desde A hasta (inmediatamente antes de la clisión), tras W = ΔE tras W = E - EA 0 = E - E A E = E A K A + U A = K + U Cm K A = 0 y mgh = mv V = gh U = 0 se btiene apuntand hacia abaj, es decir, V ˆ = - gh i Nuevamente pr cnservación de la energía mecánica de la bla desde (inmediatamente después de la clisión) hasta C, tras W = ΔE

11 tras W = E C - E 0 = E - E C E = E C K + U = K C + U C Cm K C = 0 y U = 0 se btiene mu = mgh U = gh apuntand hacia arriba, es decir, U ˆ = gh i La clisión se puede interpretar cm entre ds cuerps: un es la bla y la tra es el planeta Tierra, pr l tant, V = 0 U = 0 Pr l tant el ceficiente de restitución es, ecuación [8], U - U gh - 0 V - V - gh - 0 x x e = - = - x x e = h h Este es un métd muy efectiv de medir ceficientes de restitución en el labratri. asta cn medir las alturas h y h. Observar que si h =h la clisión sería perfectamente elástica y si h =0 la clisión sería perfectamente plástica. Ejempl Las ds esferas de la Figura 6 cuyas masas sn m y m realizan una clisión perfectamente plástica. Inmediatamente antes de la clisión tenían respectivamente velcidades iguales a V y V. Calcular la velcidad inmediatamente después de la clisión.

12 Figura 6 Slución: Marc de referencia el pis y es inercial. La línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman las ds esferas. La cnservación de la cantidad de mvimient lineal en dirección X exige que, m V + m V = m + m U U = m V + m V m +m Ejempl 3 Las ds esferas de la Figura 7 cuyas masas sn m y m realizan una clisión perfectamente elástica. Inmediatamente antes de la clisión tenían respectivamente velcidades iguales a V y V. Calcular la velcidad inmediatamente después de cada una de las esferas después de la clisión. Figura 8 Slución: Marc de referencia el pis y es inercial. La línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman las ds esferas.

13 De la cnservación de la cantidad de mvimient lineal en dirección X se btiene, mv + mv = mu + mu Cm la clisión es perfectamente elástica se cnserva la energía cinética del sistema, m V + m V = m U + m U 3 Cmbinand estas ds ecuacines se btiene, m - m m U = V + V m + m m + m m m - m U = V - V m + m m + m Observar que, a) si m = m, U = V U = V Así, si pr ejempl m se mueve cn velcidad V inmediatamente antes de la clisión y m está en reps inicialmente, inmediatamente después de la clisión m queda en reps y m se mverá cn velcidad V. Figura 9. Figura 9 Alg muy interesante es la situación planteada en la Figura 0 (las blas sn idénticas).

14 Figura 0 b) si m m, pr ejempl una bla cntra una pared, 4 U = - V U = 0 Es decir, la bla se regresa cn la misma rapidez. Otrs ejempls sbre Cnservación de la Cantidad de Mvimient Lineal Ejempl Para determinar la velcidad V de una bala de masa m, se dispara esa bala sbre una caja llena de arena de masa M que está suspendida de cuerdas cm se indica en la Figura. La bala queda incrustada en la caja cn arena y el cnjunt de masa (M+m) se eleva una distancia vertical máxima H. Obtener la velcidad V de la bala. Figura Slución: Marc de referencia el pis y es inercial. La línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman la bala y la caja de arena. De la cnservación de la cantidad de mvimient en dirección X se tiene,

15 mv = m + M U De la cnservación de la energía mecánica del sistema (m+m) desde A hasta se btiene, m + M U = (m + M)gH U = gh 5 Cmbinand cn la ecuación anterir de mmentum lineal, V = M + m m gh Ejempl : Un resrte vertical de cnstante k=000 N.m - sstiene un plat de m =,00 kg de masa, Figura. Desde una altura de h=5,00 m se deja caer un cuerp de m =4,00 kg de masa que se adhiere al plat. (a) Cuánt se defrma el resrte para sstener el plat? (b) Cuánt vale la velcidad del cnjunt cuerp-plat inmediatamente después del chque? (c) Cuál es la máxima cmpresión del resrte al adherírsele el cuerp? Figura Slución: (a) La ley de Hke expresa que, F = kx

16 En dnde x crrespnde a la defrmación del resrte. La Fuerza que en primera instancia defrma el resrte es igual al pes del plat, mg = ka a = mg k Al reemplazar ls valres, k=000 N.m -, m =,00 kg, 6 a = 0,096 m (b) Primer se calcula la velcidad del cuerp de masa m inmediatamente antes de la clisión. Para est se aplica la cnservación de la energía mecánica desde la psición C hasta la psición ya que la única fuerza que actúa es el pes y es cnservativa, E = E C K C + U C = K + U Si para la energía ptencial gravitacinal se tma cm nivel de referencia la línea hrizntal que pasa pr se btiene, mgh = mv V = gh Reemplazand h=5,00 m se btiene, m V = 9,90 s m V = V = 9,90 s Para la clisión se tma cm marc de referencia el pis y es inercial. La línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman la el plat de masa m y el cuerp de masa m. En la clisión, que es inelástica, hay cnservación de la cantidad de mvimient lineal y pr l tant, m V = m +m U U = m m +m V Reemplazand ls valres de m, m y V,

17 m U = 6,60 s (c) Para calcular la máxima defrmación del resrte después de la clisión se aplica la cnservación de la energía mecánica desde la psición hasta la psición D, E = E D K + U = K D + U D 7 Si para la energía ptencial gravitacinal se tma cm nivel de referencia la línea hrizntal que pasa pr D se btiene, m + m g x - a + ka + m + m U = kx max max Reemplazand ls valres se btiene, x max = 0,57 m Ejempl 3 Cuál es la velcidad de retrces de una escpeta de,50 kg de masa que dispara un pryectil de 0,0 g de masa cn una velcidad de 5 m.s -? Slución: Figura 3 En la Figura 3 se ilustra la escena física. Se tma cm marc de referencia el pis y es inercial. En el pequeñ interval en que transcurre el dispar hay presencia de una fuerza impulsiva en dirección X. Cn base en est se argumenta la cnservación de la cantidad de mvimient lineal en dirección X. línea de chque es el eje X. El sistema de partículas l cnfrman la escpeta de masa m y la bala de masa m. Pr l tant, 0 = - mu + mu U = mu m Reemplazand valres, m =0,00 kg, m =,50 kg, U =5 m/s.

18 U = mu m m U =,5 s Vectrialmente, 8 U = -,5 m ˆ i s Ejempl 4 Una granada se mueve hrizntalmente cn respect al suel a 8 km/s explta dividiéndse en tres fragments iguales. Un sale en dirección hrizntal (la misma que llevaba la granada) a 6 km/s. El segund sale hacia arriba frmand un ángul de 45º y el tercer fragment, hacia abaj frmand un ángul de 45º: (a) hallar la velcidad del segund y del tercer fragment, (b) sabiend que la granada se encntraba a 00 m del suel cuand se prduce la explsión, hallar el alcance de cada un de ls fragments. Figura 4 Slución: En la Figura 4 se ilustra la escena física. Para reslver el literal (a) se tma cm marc de referencia el pis y es inercial. En el pequeñ interval en que transcurre la explsión hay presencia de una fuerza impulsiva. Cn base en est se argumenta la cnservación de la cantidad de mvimient lineal. El sistema de partículas l cnfrman la granada y ls tres fragments. Pr l tant, m m m mv = Ucs45 + U + U3cs m m 0 = Usen45 - U3sen Reemplazand ls valres, V=8 km/s y U =6 km/s se btiene,

19 U = U = 5,66 3 km s Tarea: Se deja al lectr reslver el literal (b). 9 PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Cantidad de Mvimient Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newtn Sea una partícula de masa m que se mueve curvilíneamente cn velcidad V, Figura 5. Se define cm Cantidad de Mvimient Angular de referencia a, L de la partícula respect a un punt O fij en un determinad marc L = r P = m r V [] Figura 5

20 en dnde P crrespnde a la cantidad de mvimient lineal de la partícula. Observar que es un vectr que es perpendicular al plan que cntiene a ls vectres psición r y velcidad V. Las unidades de kg.m.s -. Es una magnitud vectrial. También se le denmina mmentum angular mmentum cinétic. L sn Recrdar que la derivada tempral de la cantidad de mvimient lineal medida en un marc de referencia inercial es igual a la fuerza neta externa que actúa sbre la partícula, dp ttal F = [] 0 A cntinuación se prcederá a realizar la derivada tempral de la cantidad de mvimient angular para ver si se llega a una expresión análga a []: dl d = r P dl dr dp = P + r Per, dr P = V mv = 0 Y pr l tant, y dp ttal F r = r F = τ dl F τ = [] Es decir, la derivada tempral de la cantidad de mvimient angular de una partícula respect a un punt O fij en un marc de referencia inercial es igual al trque de la fuerza neta que actúa sbre la partícula, respect al mism punt O : que es el enunciad del equivalente de la segunda ley de Newtn para rtación (en el cas de cuerp rígid) gir (en el cas de partícula) basada en el cncept de cantidad de mvimient angular. Cantidad de Mvimient Angular y Mment de Inercia: partícula y cuerp rígid Sea una partícula de masa m que se mueve circularmente. La cantidad de mvimient angular de la partícula respect al centr de la trayectria circular O, Figura 6, es, L = r P

21 Figura 6 L = mrv En dnde R es el radi de la trayectria circular. Ahra si w es su velcidad angular y cm, V = wr se btiene, L = mr w Se denmina Mment de Inercia de la partícula respect al punt O, I I = mr [3] Es una cantidad escalar y se mide en el SI en kg.m. Esta cantidad es análga a la masa inercial en traslación: es una medida de la inercia de gir de la partícula respect a un eje que pasa pr O. Cn base en esta definición la magnitud de la cantidad de mvimient angular de la partícula es, L = I w [4] Observar que es análga a la expresión P=mV para traslación: L es a P cm I es a m y cm w es a V Cm se demstrará en el módul # la ecuación [4] también es válida para el cuerp rígid cuand rta sbre un eje fij. Cnservación de la Cantidad de Mvimient Angular Fuerza central

22 Una fuerza central es una fuerza dirigida siempre a un punt fij, Figura, que se elegirá cm rigen O y cuya magnitud sól depende de la distancia radial r desde dich punt O. Figura 7 Si la única fuerza que actúa sbre una partícula es una fuerza central, Figura 7, cm el ángul frmad entre r y F es cer en cualquier instante, el trque de F respect a O se anula y así, dl = r F = 0 y pr tant la cantidad de mvimient angular L es cnstante durante el mvimient de la partícula. Esta es una primera aplicación de la cnservación del mmentum angular, que, junt a las cnservacines de la cantidad de mvimient lineal y de la energía, cupa lugar eminente en la física: hasta está sección del curs se han tratad TRES LEYES DE CONSERVACIÓN. El vectr cantidad de mvimient angular es cnstante tant en magnitud cm en dirección. Un ejempl es la fuerza gravitacinal que ejerce el Sl sbre ls planetas, Figura 8. Esta ley de cnservación de la cantidad de mvimient angular trae cm cnsecuencia la denminada ley de las áreas denminada también segunda ley de Kepler. A cntinuación se analizará est:

23 3 Figura 8 Cm la fuerza gravitacinal es una fuerza central se cnservará la cantidad de mvimient angular del planeta respect al sl y pr l tant, L sl = cnstante mr w = cnstante dθ r = cnstante r rdθ = cnstante da = cnstante Es decir el vectr psición r del planeta respect al Sl barre áreas iguales en tiemps iguales: pr l tant entre más cerca estés el planeta cn más velcidad se debe mver en su traslación. Para infrmación se enuncian a cntinuación las denminadas tres leyes de Kepler del mvimient planetari: Primera Ley de Kepler: Tds ls planetas se mueven alrededr del Sl siguiend órbitas elípticas. El Sl está en un de ls fcs de la elipse. Segunda Ley de Kepler: Ls planetas se mueven cn rapidez (rata) arelar cnstante. Es decir, el vectr psición r de cada planeta cn respect al Sl barre áreas iguales en tiemps iguales.

24 Esta es la ley que se demstró cm cnsecuencia de la ley de cnservación de la cantidad de mvimient angular. Tercera Ley de Kepler: se cumple que para tds ls planetas, la razón entre el perid de revlución al cuadrad y el radi rbital al cub se mantiene cnstante. Cuerp rígid en eje fij cn trque nul Cm se dij atrás, en el módul # se mstrará que la ecuación [4] también es válida para el cuerp rígid cuand rta sbre un eje fij. 4 L = I w [4] Cm, τ = F dl Si τ = 0 L = cnstante Iw =cnstante w =cnstante Es decir, si el trque extern que actúa sbre un cuerp rígid es nul, éste si rta, rtará cn velcidad angular cnstante. Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient Angular para una partícula De la ecuación [] se deduce, dl F τ = [] dl = τ Lf tf dl = Li ti τ L - L = H [5] f i

25 en dnde H es la denminada integral del impuls angular. A la expresión [5] se le cnce cn el nmbre de Principi del Impuls y la Cantidad de Mvimient Angular para una partícula. Este principi dice: Dad un marc de referencia inercial, el cambi en la cantidad de mvimient angular de una partícula respect a un punt O en un interval de tiemp, es igual al impuls angular ttal de ls trques respect al mism punt O de las fuerzas externas que actúan sbre ésta en ese interval. Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principi el marc de referencia debe ser inercial. 5 Si el impuls H es nul entnces hay cnservación de la cantidad de mvimient angular, L = L [6] f i Ejempl: Un cuerp de pequeñas dimensines, de 0 g de masa, está unid al extrem de una cuerda que pasa a través de un rifici practicad en un tabler hrizntal lis cm el de la Figura 9. Se sujeta el extrem inferir de la cuerda y se hace que se mueva el cuerp en trayectria circular de 40 cm de radi cn una velcidad angular de rad.s -. (a) Calcular la velcidad lineal del cuerp, su mment angular y la fuerza F que se debe hacer para que este mvimient sea psible. (b) A cntinuación se va aumentand la fuerza F hasta que el radi de la trayectria se reduce a 0 cm. Repetir ls cálculs realizads en (a). Qué magnitud física permaneció cnstante? Figura 9 Slución: En la Figura 9 se ilustra la situación física. En la Figura 0 se ilustra el diagrama de fuerzas sbre el cuerp. El marc de referencia es la mesa y es inercial. Las fuerzas que actúan sbre el cuerp sn la nrmal N, el pes mg y la fuerza de tensión T que es igual a F. La nrmal N y el pes mg se equilibra. La fuerza neta es F y es una fuerza central, pr l tant se cnserva la cantidad de mvimient angular del cuerp respect al centr de la trayectria circular, es decir,

26 L = L f i L = L f i 6 Figura 0 m r V = m rv r V = rv Tarea: Reslver ls literales (a) y (b) del ejempl. PARTE III: RESUMEN Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula Una partícula de masa m que se mueve respect a un marc inercial de referencia, está caracterizada pr tres cantidades dinámicas fundamentales, cantidad de mvimient lineal, cantidad de mvimient angular y energía cinética. P = mv L = m r V K = mv

27 Ahra, una partícula tiene interaccines cn su entrn y las accines sbre ella se manifiestan cm la fuerza, el trque y el trabaj nets. Las relacines fundamentales de la dinámica mvimient de una partícula vinculan esas magnitudes dinámicas que caracterizan su mvimient, cn estas magnitudes que cuantifican las accines ejercidas sbre ella. Las relacines siguientes sn respect a un marc de referencia inercial: F = dp = ma 7 dl τ = [*] W = ΔK La ecuación [*] si la partícula se mueve circularmente y se tma cm O el centr de la trayectria tma la siguiente frma, τ = = = Iα dl d I w siend I su mment de inercia respect a O y su aceleración angular. Taller Parte I: Clisines y cnservación de la cantidad de mvimient lineal. Desde un marc de referencia inercial se bserva que ds partículas se mueven sbre una mesa lisa cn velcidades cnstantes. Sus masas y velcidades respectivas sn m =,00 kg, m =,00 kg, ˆ ˆ - v = 4,00 i + 4,00 j m.s y ˆ - v = -,00 i m.s. En ciert instante las partículas clisinan y permanecen unidas: (a) calcular la velcidad del sistema de las ds partículas después de la clisión; (b) hallar el prcentaje de energía cinética perdida durante la clisión. - Rp. (a),33 ˆj m.s (b) 86.8 %. Una granada que se desplaza hrizntalmente a una velcidad de 8 km.s - cn respect a la tierra explta en tres segments iguales. Un de ells cntinúa mviéndse hrizntalmente a 6 km.s -, tr se desplaza hacia arriba haciend un ángul de 45 0 y el tercer se desplaza haciend un ángul de 45 0 baj la hrizntal. Encntrar la magnitud de las velcidades del segund y tercer fragments. (Tmad de Alns, M., Finn, E., Física Vlumen I, Fnd Educativ Interamerican, S.A., 976.) Rp. 5,66 km/s

28 3. Un cuerp de masa m =,00 kg y rapidez - v = 5,00 m.s clisina cn tr cuerp en reps de masa m =,00 kg. Ls cuerps se encuentran sbre una superficie hrizntal lisa. Cm cnsecuencia del chque m adquiere una velcidad cuy módul es -,00 m.s y cuya dirección frma un ángul de 60,0 respect a la velcidad inicial de m, Figura. Calcular: (a) la velcidad de m, (b) el impuls que siente m y la fuerza prmedi que m le ejerció durante la clisión, si la misma duró 0,0 s. - Rp. (a) 9,00 ˆi - 3,00 ˆj m.s ; 0,89 -. (b) ˆi + 3,00 ˆj m.s ; ˆ ˆ. 00 i ,00 j N 8 Figura 4. El blque de la Figura de masa M se encuentra sbre una superficie hrizntal lisa y se apya cntra un resrte de cnstante elástica k que n está defrmad. El tr extrem del resrte está sujet a una pared. Se desea medir la rapidez v de un pryectil de masa m. Para ell se dispara el pryectil a quemarrpa cntra el blque. El pryectil se incrusta en el blque penetrand cmpletamente antes que el blque tenga tiemp de mverse apreciablemente. Lueg el resrte cmienza a cmprimirse siend x la máxima cmpresión. Mstrar que: v = x m + M k m Figura 5. Un pryectil de masa m incide sbre un blque de masa M=m cn dirección de 60 pr debaj de la hrizntal y rapidez v, ver Figura 3. El pryectil se incrusta en el blque, el cual se encuentra inicialmente en reps sbre una superficie lisa y hrizntal. Demstrar que si v es la rapidez del blque lueg de la clisión se debe cumplir que v /v=/6.

29 Figura 3 Parte II: Cnservación de la cantidad de mvimient angular 9 6. Un cuerp de pequeñas dimensines, de 0 g de masa, está unid al extrem de una cuerda que pasa a través de un rifici practicad en un tabler hrizntal lis cm el de la Figura 4. Se sujeta el extrem inferir de la cuerda y se hace que se mueva el cuerp en trayectria circular de 40 cm de radi cn una velcidad angular de rad.s -. (a) Calcular la velcidad lineal del cuerp, su mment angular y la fuerza F que se debe hacer para que este mvimient sea psible. (b) A cntinuación se va aumentand la fuerza F hasta que el radi de la trayectria se reduce a 0 cm. Repetir ls cálculs realizads en (a). Qué magnitud física permaneció cnstante? FIN. Figura 4