Figura 6.1 Sistema de flujo con atraso por transporte

Transcripción

1 6. TIEMPO MUERTO 6.1 INTRODUCCION Un fenómen que se presenta muy a menud en ls sistemas de fluj es el del atras pr transprte, que se cnce también cm tiemp muert. Para explicar dich fenómen, se cnsidera un sistema cm el mstrad en la figura 6.1, que cnsiste en un líquid que fluye a través de un tub aislad de área transversal cnstante, A, y una lngitud, L, cn un fluj vlumétric cnstante, Q. La densidad, ρ, y el calr específic, c, del líquid sn cnstantes; la pared del tub es de un calr específic despreciable y el fluj es de un régimen de pistón, es decir, el perfil de velcidad es plan. La temperatura de entrada del fluid, Ti, varía cn el tiemp y se quiere hallar la respuesta del sistema cn respect a la temperatura, T, de salida del fluid en términs de la función de transferencia Figura 6.1 Sistema de fluj cn atras pr transprte Se cnsidera cm estad inicial, las temperaturas del fluid en estad estacinari y que además sn iguales, es decir que T i ( 0) = T (0) (6.1) Al perturbar la temperatura de entrada, T i (t), cn un cambi pas en un instante t = 0, dich cambi se detecta en el tr extrem del tub después de un tiemp t, requerid para que el fluid entrante atraviese td el tub. Esta respuesta se representa en la figura 6.2 El parámetr t es el denminad atras pr transprte tiemp muert y es, simplemente, el tiemp necesari para que una partícula de fluid se traslade desde la entrada hasta la salida del tub y puede calcularse a partir de la expresión:

2 98 Vlumen del Tub t = Fluj Vlumétric AL t = (6.2) Q Figura 6.2 Respuesta de un atras pr transprte a un cambi pas Si la variación en T i (t), es una función arbitraria cm la mstrada en la figura 6.3, la respuesta T(t) en el tr extrem del tub será idéntica a la variación de T i (t) per nuevamente retrasada en t unidades de tiemp. Figura 6.3 Respuesta de un atras pr transprte a un cambi arbitrari

3 99 Se puede bservar a partir de las figuras 6.2 y 6.3 que la relación entre T i (t) y T(t) es T t) = T ( t t ) (6.3) ( i En términs de las variables desviación, Γ, la ecuación (6.3) se expresa cm Γ t) = Γ ( t t ) (6.4) ( i El miembr derech de la ecuación (6.4) expresa una traslación de la temperatura de entrada a un tiemp psterir. Aplicand el terema sbre la transfrmada de Laplace a una función trasladada, la función de transferencia crrespndiente a la ecuación (6.4) es de la frma Γ( s) = e Γ ( s) i st (6.5) La ecuación (6.5) es la función de transferencia de un atras pr transprte. Cuand se establece una prprcinalidad cnstante entre las variables de salida y entrada, est incluye un parámetr adicinal en la función de transferencia entendida cm una ganancia prprcinal y, pr l tant, se escribe cm: Γ( s) Γ ( s) i = Ke st (6.6) El atras pr transprte es muy cmún en las industrias químicas dnde se transprtan fluids a través de tuberías. Ls atrass pr transprte hacen mas difícil el cntrl de ls sistemas, pr l que deben evitarse en l psible clcand ls equips l mas cerca psible entre sí. Aprximación de Padé A menud el términ expnencial crrespndiente al tiemp muert se aprxima mediante las aprximacines de Padé de primer y segund rden, así:

4 100 Primer Orden: e t s t 2 t 2 s s (6.7) Segund Orden: 2 2 t ( t ) s 6t s + 12 e s 2 2 (6.8) ( t ) s + 6t s FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON TIEMPO MUERTO Si en la respuesta de un sistema se cnsidera tant atras dinámic cm pr transprte, el atras ttal crrespnde ds atrass en serie que en un diagrama de blques pueden representarse de la siguiente manera para un sistema de primer rden: K τs Figura 6.4 Sistema de Primer Orden cn Tiemp Muert Sistemas de Primer Orden cn Tiemp Muert De acuerd al algebra de las funcines de transferencia, para un sistema de primer rden cm el representad en la figura 6.4 se tiene que: K1 Atras dinámic: Y1 ( s) = X ( s) s 1 τ + st Atras pr transprte: Y s) = K e Y ( ) ( 2 1 s st Ke Atras ttal: Y( s) = X ( s) τs + 1 (6.9)

5 101 El términ encerrad entre crchetes en la ecuación (6.9) es una función de transferencia imprtante utilizada para aprximar la respuesta de prcess de rden mayr que un. Se le denmina cm Función de transferencia de primer rden mas tiemp muert Sistemas de Segund Orden cn Tiemp Muert En frma similar, alguns prcess de dinámica descncida pueden aprximarse a un mdel de segund rden cn tiemp muert cn funcines de transferencia en la frma de st Ke Y( s) = X ( s) ( τ1s + 1)( τ 2s + 1) st Ke ó Y ( s) = X ( s) 2 2 τ s + 2ζs + 1 (6.10) (6.11) Siend K, la ganancia estacinaria; t, el tiemp muert; τ, τ, τ 1 2, ls atrass dinámics y ζ la razón de amrtiguamient 6.3 DINAMICA DE SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO El efect del tiemp muert sbre las respuestas pas, rampa y sinusidal de un sistema es un atras que analíticamente se bserva en ls términs de dichas respuestas afectads pr el tiemp. A cntinuación se muestran las respuestas analíticas y gráficas para un sistema lineal de primer rden y se dejan para el trabaj de ls estudiantes las crrespndientes a un sistema de segund rden Respuestas de un sistema de primer rden cn tiemp muert Respuesta Pas La respuesta pas, x, para un sistema de primer rden cn tiemp muert es Y ( t t ) / τ ( t ) = K xu ( t t )(1 e ) (6.12)

6 102 Dnde u(t t ) muestra que la respuesta es cer para t < t. En la ecuación (6.12) se bserva que el términ expnencial muestra para un determinad tiemp el valr crrespndiente a un tiemp anterir, t t La figura 6.5 muestra la gráfica crrespndiente a la respuesta pas de un sistema de primer rden sin tiemp muert y se bserva el atras de la misma respuesta cuand se incluye en la dinámica del sistema un tiemp muert. Esta cnstrucción crrespnde a la respuesta pas unitari de un sistema cn una función de transferencia cn una ganancia prprcinal de 5, una cnstante de tiemp de 2 segunds y un tiemp muert de ds segunds Figura 6.5. Respuesta Pas de un Sistema de Primer Orden cn Tiemp Muert Respuesta Rampa La respuesta rampa de pendiente r para un sistema de primer rden cn tiemp muert es: Y ( t ) = u ( t t ) ( t t ) / τ [ Kr τe + Kr ( t t τ )] (6.13)

7 103 Observe que el efect del tiemp muert en la respuesta a larg plaz es que el atras de la rampa de la respuesta cn respect a la rampa de entrada es la suma del tiemp muert más la cnstante de tiemp del sistema La figura 6.6 muestra la gráfica crrespndiente a la respuesta rampa de un sistema de primer rden sin tiemp muert y se bserva el atras de la misma respuesta cuand se incluye en la dinámica del sistema un tiemp muert. Esta cnstrucción crrespnde a la respuesta rampa de pendiente cinc del sistema utilizad para la respuesta pas representada en la figura 6.5 Figura 6.6. Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden cn Tiemp Muert Respuesta sinusidal La respuesta sinusidal para un sistema de primer rden cn tiemp muert es: Y( t) = u( t t KAωτ ) e τ ω + KA Sen τ ω [ ω( t t ) + θ] ( t t ) / τ 2 (6.14)

8 104 El únic efect del tiemp muert sbre la respuesta a larg plaz es el aument en el atras fase en ω t. Este aument en el atras fase es prprcinal a la frecuencia de la nda sinusidal de entrada La figura 6.7 muestra la gráfica crrespndiente a la respuesta sen de un sistema de primer rden sin tiemp muert y se bserva el atras de la misma respuesta cuand se incluye en la dinámica del sistema un tiemp muert. Esta cnstrucción crrespnde a la respuesta sen de amplitud 5 y frecuencia 0.5 rad/seg, del sistema utilizad para la respuesta pas en la figura 6.5 Figura 6.7. Respuesta Sen de un Sistema de Primer Orden cn Tiemp Muert 6.4 MATLAB: DINAMICA DE UN SISTEMA CON TIEMPO MUERTO Matlab dispne de la instrucción para agregar el tiemp muert a una función de transferencia cm también del cmand que realiza la aprximación de Padé del términ expnencial crrespndiente a la función de transferencia de un tiemp muert

9 105 Funcines de transferencia cn tiemp muert Matlab dispne de las instruccines para agregar varias prpiedades a una función de transferencia cm el tiemp muert, el nmbre de la variable de entrada y de salida junt cn antacines cm el nmbre de la función de transferencia. La sintaxis para cada una de ellas cnsiste en escribir entre cmillas el nmbre de cada prpiedad seguid, también entre cmillas del valr de la prpiedad, de acuerd al rden siguiente para una función de transferencia de nmbre sys sys = tf(num, den, inputdelay, Valr, inputname, Valr, utputname, Valr, ntes, Valr ) sys = zpk(z, p, k, inputdelay, Valr, inputname, Valr, utputname, Valr, ntes, Valr ) sys = ss(a, B, C, D, Inputdelay, Valr, inputname, Valr, utputname, Valr, ntes, Valr ) Para acceder a las prpiedades de una función de transferencia se utiliza el cmand get cn la siguiente sintaxis h = get(sys) Para acceder a una de las prpiedades de la función de transferencia la instrucción es H = get(sys, Nmbre de la prpiedad ) Aprximacin de Pade La función pade calcula aprximacines racinales de tiemps muerts en ls mdels lineales cntinus en el tiemp, LTI. La sintaxis sysx = pade(sys, n) Siend sys el mdel cntinu cn tiemp muert y el númer enter n especifica el rden de la aprximación de Padé

10 MATLAB: PROGRAMAS CODIFICADOS Trabaj N. 1 Dinámica de sistemas de primer y segund rden En esta sección el estudiante deberá integrarse a un grup y realizar l siguiente: Mdificar ls archivs lslplin.m de la lección 3 y lslslin.m de la lección 6 de tal manera que: 1. Desarrllen las respuestas gráficas de ls sistemas que simulan sin tiemp muert y cn tiemp muert (Asignad pr el usuari) haciéndlas bservar en una misma gráfica y 2. Escriban ls cmentaris relacinads cn las diferencias entre las ds respuestas. El trabaj debe entregarse, cn ls nmbres del grup que l realizó, en un medi magnétic y sustentarse en fecha fijada pr el prfesr