CONTENIDO SÓLIDO RÍGIDO II. DINÁMICA. Ecuación de traslación de un sólido rígido. Momento angular de un sólido rígido

Transcripción

1 CONTENIDO Ecuación de traslación de un sólid rígid Mment angular de un sólid rígid Ecuación de rtación de un sólid rígid Equilibri estátic. Cnservación del mment angular Energía cinética de rtación Trabaj y ptencia de rtación Cnservación de energía Mvimient de rdadura Tema 6 1/17

2 BIBLIOGAFÍA BEDFOD, FOWLE,. Mecánica para Ingeniería, Addisn Wesley Cap. 7: Dinámica bidimensinal de cuerps rígids Cap. 8: Energía y cantidad de mvimient en la dinámica plana de cuerps rígids WOLFGANG BAUE Y GAY D. WESTFALL, FÍSICA PAA INGENIEÍA Y CIENCIAS, Vlumen I, McGraw-Hill, 011 Cap. 8: Sistema de partículas y bjets extenss Cap. 10: tación Cap. 11: Equilibri estátic TIPLE, PA. FÍSICA PAA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed everté 005 Cap. 9: tación Cap. 10: Cnservación del mment angular Cap : Equilibri estátic SUSAN M. LEA, J.. BUKE. La naturaleza de las csas Cap.11: Cuerps rígids en equilibri Cap.1: Dinámica de ls cuerps rígids SEAS, ZEMANSKY, YOUNG, FEEDMAN. FÍSICA UNIVESITAIA Pearsn-Addisn Wesley, 1998 Cap. 9: tación de cuerps rígids Cap. 10: Dinámica del mvimient de rtación Cap : Equilibri Tema 6 /17

3 MOVIMIENTO DEL SÓLIDO ÍGIDO Hems vist en el tema anterir que el mvimient general de un sólid rígid es una cmbinación entre un mvimient de traslación y mvimients de rtación. El mvimient de la figura se describe cm: El centr de masas () se traslada baj la acción de la fuerza de gravedad, y pr tant realiza un mvimient parabólic El sólid rta respect al centr de masas Tema 6 3/17

4 TASLACIÓN Tds ls punts del sólid se mueven cn la misma velcidad, pr tant sól necesitams determinar el mvimient del centr de masas. Ecuación de mvimient de traslación: F ext Ma dp dt Cnservación del mment lineal ext Si F 0 dp dt 0 p cte Se resuelve cnsiderand el sólid cm una partícula que tiene tda la masa del sistema Es decir, el mvimient de traslación de un sólid rígid se resuelve cm el de una partícula que tiene tda la masa del sólid. Tema 6 4/17

5 OTACIÓN Para un sistema de partículas, encntrams la relación entre el mment angular ttal respect a un punt, y el mment de las fuerzas respect ese mism punt dl = r F = M ttal N N exter exter i i i i=1 i=1 dt dnde: L i r i p i r i (m i v i ) Cuánt vale L para un sólid rígid? Z Si particularizams a un sólid rígid que gira respect a un : (llamams Z al y tmams el punt O cm un punt fij) dl dm(r v) Su pryección en el Z vale: dl z dm dl dl z O r v dm Sumand a tds ls trcits del sólid: L dl dm dm I Z z Z L Z I Z Tema 6 5/17

6 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE LA OTACIÓN En general el mment angular L de un sólid n es paralel a. Sin embarg, para cada sólid hay tres direccines perpendiculares entre sí, para las cuales el mment angular y mega si sn paralels. Ests s se llaman s principales de inercia. Ls s principales: cinciden cn ls s de simetría del sólid Cuand el sólid rta alrededr de un principal, se cumple: L I Ecuación de mvimient de un sólid rígid que rta alrededr de un principal que tiene un punt fij O en un sistema inercial dl =M exter dt Sustituyend: d(i ) d =I = I = M dt dt exter Tema 6 6/17

7 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Cuand el de rtación n tiene un punt fij en un sistema inercial, debems tmar el centr de masas cm referencia para calcular ls mments de las fuerzas y el mment angular. En este cas la ecuación de mvimient queda: dl dt =M exter M =I exter aún cuand el centr de masas n esté en reps Cuand se aplican las leyes de Newtn de la traslación y la rtación se puede btener infrmación sbre: el mvimient del sólid las fuerzas que actúan sbre él el punt de aplicación de dichas fuerzas Pass a seguir: 1º dibujar el diagrama de cuerp libre situand las fuerzas en su punt de aplicación º aplicar las ecuacines de mvimient. Elegir en primer lugar un sistema de referencia adecuad. 3º si es necesari, determinar la relación entre la aceleración del centr de masas y la aceleración angular Tema 6 7/17

8 EQUILIBIO ESTÁTICO Un sólid está en equilibri si n tiene aceleración lineal, a, ni aceleración angular,. Las cndicines de equilibri sn: F 0 y M 0 Ejempl: Cuál es la fuerza máxima que se le puede aplicar al blque para que n se mueva (trasladar ni rtar)? Existe rzamient cn el suel 0º F M=5 kg a b y F rz x F debems cnsiderar el punt de aplicación de las fuerzas en la rtación N Mg F 0 Fcs 0 F rz 0 N Mg Fsen0 0 Sustituyend: Ec. traslación F F N rz rz estatica est (Mg Fsen 0) F cs 0 Ec. rtación M 0 a Mg afsen0 bfcs 0 0 amg F (a sen0 bcs 0) Pr tant F tiene que ser < que el valr más pequeñ de ls anterires Tema 6 8/17

9 EQUILIBIO ESTÁTICO Ejempl: Cuánt vale la tensión de la cuerda? M 30 0 T L O El diagrama de cuerp libre de la barra azul es F M 30º P B OJO! Qué representa esta fuerza y pr qué está así pintada? La fuerza la rce la pared en el punt de unión Slución: T P B Mg sen30 X PB Mg tan30 Y P B Tema 6 9/17

10 Ejempl Escalera de masa m está apyada en la pared. Una persna de masa M sube pr ella. En el suel hay rzamient per en la pared n. N p Para que la escalera n se mueva, n tiene ni que trasladarse ni rtar y x N s O L/ mg d Mg F z Se debe cumplir: r 1 F 0 y M 0 F y 0 N Mg mg S 0 Fx 0 Frz NP 0 Mg M r ( Mg j) (pes de la persna) M (pes de la persna) 1 Mgdsen k F rz estática F rz estática est N N P r 3 M (N ) p LN csk P M M (N) (F ) rz 0 0 r mg L M (pes de la escalera) mg senk Cuál es el resultad final? Tema 6 10/17

11 SI HAY MOVIMIENTO Hay que reslver las ecuacines: F Ma y M I ecrdams ls pass a seguir: 1º dibujar el diagrama de cuerp libre situand las fuerzas en su punt de aplicación º aplicar las ecuacines de mvimient. Elegir en primer lugar un sistema de referencia adecuad. 3º determinar la relación entre la aceleración del centr de masas y la aceleración angular O Ejempl: Una plea de masa M y radi tiene clgads a sus extrems ds bjets de masas m 1 y m, cn m 1 > m. Qué aceleración tienen ls blques? Qué aceleración angular tiene la plea? m 1 M y m x m 1 m 1 g T 1 m m g T T 1 T OJO!: la plea n se cnsidera una partícula, pr tant rta T m g m a Objet T m g m a Objet Cm a a1 a1 Objet 3 T1 T I Cm 1 I M eslviend a= T m g m a T m g m a 1 a1 T1 T I (m m 1)g 1 m1m M Es decir, m 1 baja, m sube y la plea gira en sentid antihrari Tema 6 11/17

12 CONSEVACIÓN DE L Si rta respect a un principal dl dt exter Si M 0 =0 L cte L L I L ( inicial) ( final) L i INICIAL FINAL N hay ninguna fuerza externa que realice i f mment, pr tant L se cnserva I i I f L f L L I inicial ( inicial) ini I final ( final) final I inicial I final Pr tant ini final Tema 6 1/17

13 ENEGÍA CINÉTICA Si el sólid únicamente se traslada, la energía cinética es DE TASLACIÓN: E CIN (traslación) 1 M v Si el sólid únicamente rta respect a un, la energía cinética es DE OTACIÓN: de CIN (rtación) E dm dm I dm CIN(rtación) Si el sólid se traslada y rta, el mvimient de cada parte del sólid sól puede ser de rtación respect al centr de masas, es decir: 1 1 ECIN(ttal) M v I debid a su traslación debid a su rtación respect al centr de masas Tema 6 13/17

14 TABAJO DE OTACIÓN Cnsiderams un sólid que puede girar respect a un. Si se le aplica la fuerza F: M (F) r F 0 ds rd r d F Para un desplazamient angular infinitesimal d dw rfcsd dw rfsen d dw Md Trabaj de rtación W final inicial Md Ptencia de rtación P dw dt Tema 6 14/17

15 CONSEVACIÓN DE LA ENEGÍA W E cin ( ttal) Sól en rtación 1 1 W E I I OTACIÓN cin ( rtación) final final inicial inicial Una cuerda sin masa se enrlla 10 veces alrededr de un disc de masa M = 40 g y radi =10 cm. El disc puede rtar sin rzamient alrededr de un que pasa pr su centr. Si se tira de la cuerda cn una fuerza F=10N hasta que se desenrlla pr cmplet, qué velcidad final alcanza el disc? Pr cnservación de la energía W E cin ( ttal) F M W F( final inicial ) J 1 Cm el disc sl rta (n se traslada) W I OTACIÓN final I M.. kgm W OTACIÓN final. I 79 5 rad/s Tema 6 15/17

16 MOVIMIENTO DE ODADUA Habíams vist que este mvimient puede estudiarse cm: LA COMBINACIÓN DE UN MOVIMIENTO DE TASLACIÓN Y DE UN MOVIMIENTO DE OTACIÓN ESPECTO DEL CENTO DE MASAS Pr tant necesitarems reslver: ext F Ma Además a M =I exter Una esfera de masa M y radi rueda pr el plan inclinad de la figura. Existe rzamient. Analizar su mvimient Mgsen F Ma N Eje x rz estat Eje y Mgcs N 0 F rz Mg M FOZ est I a Tema 6 16/17

17 MOVIMIENTO DE ODADUA F OZ est Mgsen I I a I a Ma a Mgsen I M Mgsen I M Cm se deduce de la expresión anterir n adquiere la misma aceleración un disc una esfera prque n tienen el mism mment de inercia Qué energía mecánica tiene este bjet? Cuand el bjet se encuentra a una distancia y del suel, su energía mecánica vale: 1 1 EMEC M v I Mgy Cm en el mvimient de rdadura la fuerza de rzamient es estática, n realiza trabaj y la E MEC se cnserva EMEC cte Tema 6 17/17