ACELERÓMETRO DEL CELULAR

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA MECÁNICA- ACELERÓMETRO DEL CELULAR PHYSICSSENSOR Dieo L. Aristizábal R. Profesor asociado con tenencia de caro, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Mayo de 2014 ÍNDICE 1. Gravedad 2. Qué es lo que mide un acelerómetro? 3. El acelerómetro del celular 4. El prorama Acelerómetro Celular ANDROID de 1. Gravedad Un péndulo simple de lonitud L que se cuela del techo de un vehículo el cual se mueve con una aceleración a respecto a un marco de referencia inercial sirve de acelerómetro, es decir se puede usar para medir esta aceleración. Para analizar se eleirá como marco de referencia inercial al suelo O. Las fuerzas que actúan sobre la masa pendular son la fuerza de tensión F y su peso P. Por lo tanto aplicando la seunda ley de Newton se obtiene, F + P = m a p/o En donde a p/o corresponde a la aceleración de la masa pendular respecto al marco de referencia inercial O. Ahora si O se tiene, ap/o' a p/o ao'/o a p/o' es la aceleración de la masa pendular respecto al vehículo y por lo tanto,

2 2 ap/o a p/o' ao'/o a a a p/o p/o' y se obtiene, F + P = m a a p/o' F + P - m a = m a p/o' 2 F + m - m a = m a p/o' F + m - a = m a p/o' Por lo tanto se concluye el movimiento del péndulo visto desde el vehículo es equivalente al de un péndulo normal en un sistema en reposo, si se cambia la ravedad en este caso por una ravedad, = - a [1] donde tanto la ravedad como la aceleración deben ser tratados vectorialmente. Esta es una expresión eneral en donde a es la aceleración del vehículo en donde se encuentra el péndulo, la aceleración de la ravedad medida dentro del vehículo o mejor la ravedad y la aceleración de la ravedad REAL o mejor la ravedad medida desde un marco de referencia inercial. El péndulo simple al oscilar tiene un periodo P que se calcula para pequeñas oscilaciones mediante la expresión, P = 2π L En este caso será la manitud de la ravedad, L P = 2π [2] Para mayor claridad se analizarán tres casos, en los cuales se podrá observar que conocido el periodo se puede calcular la manitud de la aceleración a :

3 3 El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración a. El vehículo es un auto que se mueve horizontalmente con aceleración a. El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración a. Caso 1: El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración a. En la Fiura 1 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene = - ˆj - a ˆj 3 = - + a ˆj Fiura 4 El periodo de oscilación es con base en la ecuación [2], P = 2π L + a si descendiera con esa aceleración el resultado sería, = - - a ˆj y el periodo de oscilaciones, P = 2π L - a y en caída libre,

4 4 = 0 y por lo tanto el periodo es infinito es decir el péndulo no oscila. Caso 2: El vehículo es un ascensor que se mueve horizontalmente con aceleración a. En la Fiura 2 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene 4 Fiura 2 = - ˆj - a ˆi es decir, = + a 2 2 Y por lo tanto el periodo de oscilación es, P = 2π L + a 2 2 Caso 3:El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración a. En la Fiura 2 se ilustra esta situación. La aceleración la de un cuerpo que desliza por en un plano inclinado, sin rozamiento ni rodadura, es debida exclusivamente a la componente del peso paralela al plano (ya que la componente normal es compensada por la reacción del plano). Por lo tanto, ˆ a = senφ i

5 5 Aplicando [1], = senφ ˆi - cosφ ˆj - senφ ˆi y por lo tanto, = - cos φ ˆj Esto quiere decir que la ravedad es perpendicular al plano inclinado, y por tanto al suelo del cajón. Es decir, un observador situado en el interior del cajón sin acceso al exterior, vería el péndulo colando normalmente. 5 Fiura 3 El periodo de oscilación es, P = 2π L cosφ

6 6 2. Qué es lo que mide un acelerómetro? Un acelerómetro NO MIDE la aceleración de la ravedad. Un acelerómetro mide la aceleración que eneraría la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo en el cual se encuentra apoyado pero sin tener en cuenta el peso del mismo. Esta aceleración, que en este documento se denotará como es el NEGATIVO de la denominada ravedad. Por lo tanto seún la ecuación [1] es, 6 = a - [2] en donde la aceleración a es la aceleración del cuerpo sobre el que se apoya el acelerómetro y es medida desde un marco de referencia inercial y la aceleración de la ravedad REAL en la superficie de la Tierra ( = 9,81 m.s -2, es su valor estándar). La unidad utilizada por los acelerómetros es la unidad : que es en manitud la aceleración de la ravedad en el planeta Tierra en caída libre, es decir en condiciones ideales (sin atmósfera u otro rozamiento). Una aceleración de 1 es eneralmente es iual a la ravedad estándar, que es de m/s 2 (aproximada a 9,81 m/s 2 ). 2.1 Análisis dinámico con base en la seunda ley de Newton Si un cuerpo tiene una aceleración a respecto a un marco de referencia inercial se cumple, F = m a Por lo tanto, F + P = m a otras En donde F corresponde a la suma de las fuerzas sin tener en cuenta la fuerza de otras ravedad, es decir sin tener en cuenta el peso P, F + m = m a otras F a m otras

7 7 En donde, otras F = m [3] Esta es la aceleración medida por el acelerómetro, es decir es el neativo de la ravedad (observar que es precisamente la aceleración que tendría el cuerpo si se computan las fuerzas que actúan sobre él sin tener en cuenta su peso), y por lo tanto, a = + 7 que es la ecuación [2]. A continuación se analizarán alunos ejemplos para lorar aclarar estos conceptos. 2.2 Ejemplos Un acelerómetro está liado a un cuerpo. En cada una de las siuientes situaciones se deberá reportar la lectura del acelerómetro. (a) Si el cuerpo está en caída libre observado desde un marco de referencia inercial ( a = ) la única fuerza que actúa sobre éste es el PESO. Por lo tanto es iual a cero ya que no hay una fuerza diferente a éste que enere una aceleración. El acelerómetro estará en el estado de la Fiura 4(a). Este valor se puede verificar aplicando la ecuación [2]. (b) Si el cuerpo está reposando sobre una superficie horizontal, es decir, la aceleración medida desde un marco de referencia inercial es a = 0, la es iual + ya que la fuerza normal (fuerza que ejerce el piso sobre el cuerpo) si actuara sola sobre el cuerpo eneraría una aceleración iual a la aceleración de la ravedad pero verticalmente hacia arriba. El acelerómetro estará en el estado de la Fiura 4(b). (c) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que sube con una aceleración a medida desde un marco de referencia inercial, la es iual seún la ecuación [2] a a +. Esta es la aceleración que eneraría la acción de la fuerza normal si actuara sola sobre el cuerpo. En la Fiura 4(c) se ilustra un caso.

8 8 8 Fiura 4: Los acelerómetros están en unidades

9 9 (d) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que baja con una aceleración a medida desde un marco de referencia inercial, la es iual seún la ecuación [2] a - (a - ). Esta es la aceleración que eneraría la acción de la fuerza normal si actuara sola sobre el cuerpo. En la Fiura 4(d) se ilustra un caso. En las Fiuras 4(e) y 4(f) se ilustra otros dos ejemplos. (e) Si el cuerpo está descendiendo por un plano inclinado un ánulo con fricción despreciable con una aceleración a medida desde un marco de referencia inercial, Fiura 5, la es iual seún la ecuación [2] 9 ˆ j = a - senα ˆ i + cosα ˆ j Esta es la aceleración que eneraría la acción de la fuerza normal si actuara sola sobre el cuerpo. En componentes rectanulares se obtiene,, x a - senα = 0, y cosα Por lo tanto un acelerómetro con marca en X, x a - senα = 0 dando como resultado que la aceleración inercial es en dirección x e iual a, a = senα y en Y marca,, y cosα

10 10 10 Fiura 5: Los acelerómetros están en unidades (f) Si el cuerpo está reposando en un plano inclinado un ánulo (f es la fuerza de rozamiento) Fiura 6, la es iual a seún la ecuación [2] ˆ j = - senα ˆ i + cosα ˆ j Fiura 6: Los acelerómetros están en unidades Esta es la aceleración que eneraría la acción de la fuerza resultante de la suma de la fuerza normal y la fuerza de fricción si actuaran solo ellas sobre el cuerpo.

11 11 Se puede observar que en esta situación de reposo sobre el plano inclinado el acelerómetro sirve de inclinómetro. Para esto se puede utilizar la dirección de la aceleración de la ravedad, = - ˆ ˆ ˆ j = senα i - cosα j x tanα = [4] y El acelerómetro del celular En esta sección se analizará el acelerómetro de un teléfono celular. Para este caso se considera que el sistema de coordenadas es el que se ilustra en la Fiura 7 (convención internacional). Fiura 7 Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la ravedad medida desde un marco de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del sistema de coordenadas del celular tendrá las siuientes componentes rectanulares, = ˆ ˆ ˆ xi + y j + zk Análoamente las componentes de la aceleración a del celular (que es la del móvil donde está ubicado) y de la ravedad a = a ˆ ˆ ˆ xi + a y j + azk = ˆ ˆ ˆ,x i +,y j +,zk (la cual mide su acelerómetro) son,

12 12 La ecuación [2] se debe cumplir y por lo tanto, a + [5] Ejemplo En la Tabla 1 se ilustran alunos ejemplos del celular en reposo respecto a un marco de referencia inercial pero en diferentes orientaciones con aluno de sus ejes en posición vertical. Los valores de las aceleraciones no se han reportado en unidades sino que se han convertido a m.s Tabla 1: a = 0 ORIENTACIÓN DEL CELULAR Eje XY en plano horizontal y eje +Z hacia arriba Eje XY en plano horizontal y eje +Z hacia abajo Eje XZ en plano horizontal y eje +Y hacia arriba Eje XZ en plano horizontal y eje +Y hacia abajo Eje YZ en plano horizontal y eje +X hacia arriba Eje YZ en plano horizontal y eje +X hacia abajo x y [m.s -2 ] 0 0-9,81 [m.s -2 ] z,x,y,z 9, ,81 9, , ,81 9,81 0-9, ,81 0 9, , ,81 0 9,81-9, , ,81 +9, , ,81 Ejemplo En la Fiura 8 se ilustra un celular en reposo sobre un plano inclinado 30 o. f es la fuerza de rozamiento.

13 13 13 Fiura 8 En la Tabla 2 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las aceleraciones no se han reportado en unidades sino que se han convertido a m.s -2. Tabla 2: Seún ecuación [4] a x a y a + y por lo tanto, = a. a [m.s -2 ] [m.s -2 ] [m.s -2 ] a z a x y z,x,y,z ,91-8,50 9,81 0-4,91 +8,50 9,81 Ejemplo Supónase que el celular se monta en un carrito que rueda hacia abajo de un plano inclinado 30,0 o de fricción despreciable con una aceleración de 2,00 m.s -2, Fiura 9. La orientación del celular es como se indica en la fiura.

14 14 Fiura 9 En la Tabla 3 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las aceleraciones no se han reportado en unidades sino que se han convertido a m.s -2. Tabla 3: Seún ecuación [4] a x a y a + y por lo tanto, = a. a [m.s -2 ] [m.s -2 ] [m.s -2 ] a z a x y z,x,y,z 0 +2,00 0 2, ,90-8,50 9,81 0-2,90 +8,50 8,98 14 En la Fiura 10 se ilustra un acelerómetro de tres ejes comercial. Su valor es alrededor de $US 15. Fiura 10: En la Fiura 11 se ilustra el acelerómetro de un teléfono celular. Fiura 11:

15 15 4. El prorama Acelerómetro Celular ANDROID de posee software para ANDROID para dos tipos de acelerómetros: no inercial e inercial 4.1 Acelerómetro tipo NO INERCIAL En éste se despliea en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de la aceleración manitud de. También despliea la ráfica en el tiempo de estas componentes y de la. 15 Ejemplo En la Fiura 12 se ilustra el celular reposando sobre una superficie supuestamente horizontal. En esta situación debería marcar el valor + en el eje z y cero en los ejes x e y. Fiura 12: X (izquierda), Y (centro), Z (derecha) Al realizar las lecturas se obtiene en x 0,15 m.s -2, en y 0,15 m.s -2 y en z 9,65 m.s -2. Se debe considerar que las diferencias en los resultados comparados con los teóricos se deben a la apreciación del acelerómetro del celular la cual no es reportada en el manual técnico del celular pero podría ser del orden de 0,2 m.s -2 (esto es una estimación de los autores de este documento con base en los resultados obtenidos en múltiples experimentos).

16 16 Ejemplo Tomar el celular en la mano y darle una orientación muy eneral. Obtener los cosenos directores del vector aceleración de la ravedad. Solución: De la ecuación [2], = a - y como el celular está en reposo a = 0 y por lo tanto. 16 = - Por ejemplo para una orientación dad del celular se obtuvo, m ˆ ˆ ˆ = -5,36 i + 4,90 j + 6,44 k s 2 Por lo tanto, m = 5,36 ˆi - 4,90 ˆj - 6,44 k ˆ s 2 m = 9,70 s 2 Debería dar 9,81.s -2 pero se debe recordar que las diferencias que se encuentren es debido a la apreciación del acelerómetro del celular. Los cosenos directores son, 5,36 cos θx 0,55 9,70 4,90 cos θ y 0,51 9,70 6,44 cos θ z 0,66 9,70 Para verificar el resultado, cos θ x + cos θ x + cos θ x = 0,9982

17 17 Debería dar 1 pero el resultado es muy aceptable. Ejemplo Ubicar el celular en un plano inclinado, Fiura 13. Si se obtiene que, m ˆ ˆ = - 1,53 j + 9,50 k s 2 Calcular el ánulo de inclinación del plano. Solución: 17 De la ecuación [2], = a - y como el celular está en reposo a = 0 y por lo tanto. = - Fiura 13 Por lo tanto, m = 1,53 ˆj - 9,50 k ˆ s 2 tanφ = y z

18 18 1,53 tanφ = = 0,16 9,50 o φ =9,1 4.2 Acelerómetro tipo INERCIAL En éste se despliea en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de la aceleración medida en el marco de referencia inercial a. Retomando la ecuación [5], a + [5] 18 Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la ravedad medida desde un marco de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del sistema de coordenadas del celular tendrá las siuientes componentes rectanulares, = ˆ ˆ ˆ xi + y j + zk Análoamente las componentes de la aceleración a del celular (que es la del móvil donde está ubicado) y de la ravedad a = a ˆ ˆ ˆ xi + a y j + azk = ˆ ˆ ˆ,x i +,y j +,zk (la cual mide su acelerómetro) son, El software toma el valor medido por el acelerómetro de las componentes del vector ravedad y el valor de las componentes del vector aceleración de la ravedad para obtener las componentes del vector a y los despliea en el instrumento virtual. Ejemplo El celular se encuentra en reposo en una superficie. Verificar que el valor de las componentes de la aceleración a son iuales a cero usando el acelerómetro inercial de. Solución: En la Fiura 14 se ilustra el resultado.

19 19 19 Fiura 14: De izquierda a derecha se ilustran las lecturas de las componentes en X, en Y, en Z y la manitud de la aceleración a medida desde un marco de referencia inercial. Todas las Ejemplo 4.5 lecturas son cero ya que a = 0 Usando el acelerómetro inercial de desplear las ráficas de las componentes de la aceleración a cuando se hace oscilar el celular. Solución: En la Fiura 15 se ilustra el resultado. FIN Fiura 15: Amarillo (a x ), azul (a y ), rojo (a z ), blanco (a)