Tema 1. Leyes de Newton

Transcripción

1 Tema 1. Leyes de Newton Tercera parte: Sistemas de masa variable Los sistemas de masa variable, es decir, sistemas en los que la masa que se encuentra en movimiento depende del tiempo, no conservan la enería. Para estudiar el movimiento utilizamos la ª ley de Newton, escrita en la forma dp F ext y referida a un sistema de ejes fijo en el espacio. Estudiamos el caso más eneral posible. Supondremos que entre el instante t y el instante t +, el sistema ana una masa, y expulsa una masa e con una velocidad U respecto del sistema, en sentido contrario a la velocidad V del sistema. Tomamos como referencia un sistema de ejes fijos. El momento lineal del sistema, en el instante t, es p i mv y en el instante t + p m + V + + V f ( )( ) ( + U ) Restando, el incremento de momento lineal durante el intervalo de tiempo es dp m + V + V U e ( ) e donde hemos despreciado los términos de orden cuadrado en los diferenciales. De aquí, la ª ley de Newton del movimiento tiene la expresión F m V ( V U ) e ext + + Como casos particulares, si no hay expulsión de masa, como el ejemplo del trineo que acumula nieve en su movimiento o de la ota en condensación, e con lo cual d( mv ) F ext

2 En el caso del cohete, siendo m la masa del cohete, < e > obtenemos F ext m + U Problemas Resueltos 1.19 Calcular la velocidad y aceleración de ascensión vertical de un cohete que expulsa ases a ritmo constante, con una velocidad U respecto al cohete. La masa del cohete depende del tiempo, seún la ecuación m m t siendo la razón de expulsión de los ases quemados, medida en /se. La ecuación de movimiento adecuada es F ext m + U Ya que el movimiento del cohete es de ascensión vertical, la fuerza exterior corresponde a la fuerza de la ravedad, diriida hacia abajo. Obtenemos m m U El estado dinámico del cohete queda caracterizado completamente por el valor de su masa en cada instante, y la dependencia temporal de las variables de movimiento del cohete, ( V ) x t x m t x,, tiene la forma funcional ( ) [ ( )] V ( t ) V[ m( t )] Como consecuencia, al resolver el problema es aconsejable, mediante la rela de la cadena, sustituir en la ecuación del movimiento las derivadas temporales por derivadas respecto de m, eliminando así la variable temporal. Obtenemos d d d con lo cual la ecuación de movimiento es

3 ó m m U m U Ahora podemos interar directamente, con el resultado U V m U ln m + cte m La condición inicial establece que el cohete parte del reposo, con masa inicial m. Es decir, V cuando m m. Aplicando esta condición inicial, obtenemos el valor de la constante cte U ln m m y la velocidad de ascensión en función de la masa del cohete m V ( m m ) + U ln m Introduciendo m ( t), obtenemos dicha velocidad de ascensión vertical en función del tiempo m V t + U ln m t Finalmente, derivando respecto del tiempo, obtenemos la aceleración de subida en función del tiempo, U + m t Ya que el cohete parte del reposo en el instante inicial, para que ascienda inicialmente es necesario que > U > m relación que se debe satisfacer entre la masa inicial del cohete, la razón y velocidad de expulsión de los ases para que sea posible la ascensión vertical del cohete.

4 1. Calcular la velocidad y aceleración de un cohete, que se mueve horizontalmente, y que expulsa ases a ritmo constante, con una velocidad U respecto al cohete. De la misma forma que en el problema anterior m m t La ecuación de movimiento adecuada es F ext m + U Ahora, al moverse horizontalmente, el cohete sufre el amortiuamiento de Newton (velocidades randes) por lo que F ext βv y β V m U Utilizando de nuevo la rela de la cadena, eliminamos la variable t, con lo cual la ecuación de movimiento se escribe en la forma β V m U ó + β m U V La interación es directa, resultando U + V β ln + ln m cte 4βU U V β Con la condición inicial, V cuando m m, obtenemos la constante cte ln m, y la velocidad horizontal en función de la masa del cohete γ γ U m m V γ γ β m + m donde hemos definido el parámetro

5 γ 4βU Con este resultado, la aceleración puede obtenerse a partir de la ecuación del movimiento. Lleamos a la expresión γ γ U βv γ mm m m γ γ m + m ( ) 1.1 Calcular la aceleración de caída de una cadena arupada situada sobre un plano horizontal, debido a su propio peso. x Tomamos x como la lonitud de la cadena que está cayendo en el instante t. Por tanto, la lonitud de cadena en movimiento en el instante t es x. Existen fuerzas de rozamiento entre los eslabones y el plano, que evitan que toda la cadena esté en movimiento en un momento dado. Es un sistema que no conserva la enería. Al no conservar la enería, y no existir expulsión de masa, debemos utilizar la ley de Newton en la forma d F ext ( mv ) En el instante t, la masa en movimiento es m λx donde λ es la densidad de masa de la cadena (masa por unidad de lonitud), y cae con una velocidad V, bajo la acción de su peso F ext m λx Por tanto, en el instante t, la ley de movimiento del sistema es d λ x ( λxv ) De la misma forma que en el problema del movimiento de un cohete, el estado dinámico dependía exclusivamente del valor de la masa del cohete, en este problema, el

6 estado dinámico depende exclusivamente del valor de la masa en movimiento, función de la variable x. Por tanto, es recomendable sustituir la derivada temporal por una derivada respecto a x, utilizando la rela de la cadena d d d V Con este cambio, la ecuación de movimiento pasa a ser x V d ( xv ) Para interar esta ecuación, multiplicamos por x los dos miembros, con el resultado d 1 d x xv ( xv ) ( xv ) Ahora, la interal es directa 3 x V x + cte 3 Inicialmente, la cadena está en reposo totalmente arupada, por lo que la condición inicial es V cuando x. Aplicando esta condición, obtenemos el valor de la constante, cte, y el perfil de la velocidad de caída en función de la lonitud de la cadena en movimiento V x 3 Para obtener la aceleración de caída, derivamos respecto al tiempo, con el resultado a V Calcular la velocidad y aceleración de caída de una cadena, que inicialmente se encuentra en posición vertical, con uno de sus extremos tocando justamente el suelo. Calcular la fuerza que ejerce sobre el suelo en su caída. x N

7 Al existir una fuerza que frena el movimiento, la fuerza normal del suelo sobre la cadena, no se conserva la enería del sistema. Sea x la lonitud de la cadena en el aire, y L x la lonitud de la cadena depositada en el suelo. La ecuación de movimiento para la cadena de lonitud x que está cayendo es puesto que sólo actúa la fuerza de la ravedad. De aquí obtenemos la velocidad de caída V s siendo s la distancia vertical recorrida por la cadena desde su posición inicial. En este caso s L x por lo que la velocidad de caída tiene la expresión V L x ( ) La fuerza normal N debe contrarrestar el peso de la cadena de lonitud L x, depositada en el suelo, y la fuerza que ejerce la cadena de lonitud x sobre el suelo, debida a su movimiento. Calculamos dicha fuerza seún la expresión eneral dp F siendo dp el momento lineal que comunica la cadena al suelo en el tiempo. Sea λ la densidad de masa de la cadena. Dicha cadena lleva una velocidad V (el sino menos tiene en cuenta que la coordenada x disminuye con el tiempo). Durante el intervalo de tiempo, la lonitud de cadena que se deposita en el suelo es V, comunicando un momento lineal dp λv λv al suelo. Por tanto, la fuerza que ejerce sobre el suelo la cadena que cae es F λv λ( L x) Con este resultado, la fuerza normal que ejerce el suelo sobre la cadena será la suma ( L x) F ( L x) N λ 3 λ iual a tres veces el peso de la parte de la cadena depositada. En virtud de la ley de acción y reacción, la fuerza que ejerce la cadena sobre el suelo tiene el mismo valor.

8 Problemas Propuestos 1.3 Los dos bloques de una máquina de Atwood simple tienen inicialmente la misma masa m. El bloque de la izquierda es un recipiente que contiene aua, que comienza a expulsar a razón constante con velocidad U respecto del recipiente. Si el contenido del aua es de 8/ 9 m, calcular la velocidad y aceleración del bloque de la derecha cuando el bloque izquierdo expulse todo el aua. 8 m 9 U m a Solución: V m 9 U m m + + U ln Calcular la velocidad y aceleración de caída de una ota de aua que, en presencia de un ambiente saturado de vapor, aumenta su masa a ritmo constante, debido a la condensación de vapor sobre su superficie. V m Solución: m + m a m ( m m )