Desafíos - Los koalindres colgantes

Transcripción

1 Desafíos - Los koalindres colantes Solución de Álvaro González olinillo Antes que nada, voy a resolver varios ejemplos con un número determinado de poleas. Después obtendremos una ecuación enérica para n poleas y al final, calcularemos el resultado, utilizado límites, cuando el número de poleas tienda a infinito. áquina de Atwood con poleas De la primera polea (que cuela del techo) cuela un koalindre de masa y una seunda polea, de la cual cuelan dos koalindres de masa. Sobre cada koalindre actúan dos fuerzas. La fuerza de la ravedad hacia abajo, y la fuerza que ejerce la cuerda a la que llamaremos tensión. Aplicando la seunda ley de Newton sabemos que el sumatorio de fuerzas que actúa sobre cada koalindre debe ser iual a la masa por su aceleración. Por tanto tenemos las siuientes ecuaciones. Nota: tomaremos el eje y positivo hacia arriba T T a = a = T T a = a = T 3 T 3 a 3 = a 3 = También sabemos las relaciones entre las tensiones T = T + T 3 y como T = T 3, obtenemos T = T o lo que es lo mismo T = T Ahora vamos a obtener la relación entre las aceleraciones que sufre cada koalindre. Sabemos que la aceleración que sufre el primer koalindre a es la opuesta a la aceleración que sufre la polea número (de la cual cuelan el koalindre y 3) a la que llamaremos. Por tanto su suma vale cero. a p

2 a + a p También sabemos que la aceleración que sufre el seundo koalindre es la opuesta a la que sufre el tercero dentro del sistema de referencia de la seunda polea acelerada. A estas aceleraciones les pondremos un superíndice para distinuirlas de las aceleraciones en el sistema de referencia de la primera polea. a + a 3 Para calcular las aceleraciones relativas al sistema de referencia de la primera polea, bastará con restarles la aceleración que sufre el seundo sistema. a = a a p a = a + a a 3 = a 3 a p a 3 = a 3 + a Utilizando la expresión anterior podemos obtener la relación entre todas las aceleraciones en el sistema de referencia principal (el de la primera polea) a + a 3 a + a + a 3 + a a + a + a 3 Sustituyendo las aceleraciones por las expresiones calculadas al principio obtenemos T T T T T + + T T T + T + 3T

3 T = 3 Sustituyendo en la ecuación de la aceleración en función de la tensión obtenemos a = T 3 = = 3 Por tanto la aceleración del primer koalindre será de un tercio la aceleración de la ravedad (hacia arriba) a = 3 áquina de Atwood con 3 poleas De la primera polea (que cuela del techo) cuela un koalindre de masa y una seunda polea, de la cual cuelan un koalindre de masa y una tercera polea de la cual cuelan dos koalindres de masa. No voy a detallar los procedimientos ya que son prácticamente los mismos. Ecuaciones de aceleraciones que sufren los koalindres. T T a = a = T T a = a = T 3 T 3 a 3 = a 3 = T T a = a = Relaciones entre las tensiones T = T T 3 = T Ahora vamos a obtener la relación entre las aceleraciones que sufre cada koalindre.

4 Sabemos que la aceleración que sufre el primer koalindre a es la opuesta a la aceleración que sufre la polea número (de la cual cuelan el koalindre y la polea 3) a la que llamaremos a p. Por tanto su suma vale cero. a + a p También sabemos que la aceleración que sufre el seundo koalindre es la opuesta a la que sufre el sistema de la tercera polea dentro del sistema de referencia de la seunda polea acelerada. A estas aceleraciones les pondremos un superíndice para distinuirlas de las aceleraciones en el sistema de referencia de la primera polea. a + a p3 Por último, sabemos que la aceleración que sufre el tercer koalindre es la opuesta a la que sufre el cuarto koalindre dentro del sistema de referencia de la tercera polea. a 3 + a a 3 = a 3 a p3 a 3 = a 3 + a a = a a p3 a = a + a a 3 + a + a + a a + a 3 + a Ya tenemos las aceleraciones en el sistema de referencia de la seunda polea. Ahora solo falta calcular las aceleraciones en el sistema de referencia de la primera polea. a = a a p a = a + a a 3 = a 3 a p a 3 = a 3 + a a = a a p a = a + a a + a 3 + a

5 (a + a ) + a 3 + a + a + a a + a + a 3 + a Sustituyendo las aceleraciones por las expresiones calculadas al principio obtenemos T + T T3 T + + T + T T + + T T T + T + 8T 8 + T + T T 6 6 T = Sustituyendo en la ecuación de la aceleración en función de la tensión obtenemos a = 6 T = = 5 Por tanto la aceleración del primer koalindre será: a = 5, 55 áquina de Atwood con n poleas Siuiendo la dinámica anterior y sin entrar mucho en detalle, voy a escribir las ecuaciones para el caso enérico de n poleas. Ecuación de la aceleración para el koalindre i-ésimo T i T i a i = a i =

6 Ecuación de las tensiones en función de la tensión del primer koalindre T i = T i Relación entre las aceleraciones a n+ + n ( n i ai) Nota: la aceleración a n+ va fuera del sumatorio ya que no va multiplicada por ninuna potencia de. De todas formas cuando apliquemos límites nos dará iual. Si aplicamos la ecuación de la aceleración obtenemos T n+ + n ( n i T ) i T n + n ( T n i ) i ultiplicamos ambos lados de la ecuación por T + n n ( n i ( T i )) Separamos el sumatorio en dos T + n n ( n i T i ) n ( n i )

7 Sacamos factor común y T ( T + n ( )) n i n i ( n n i ) Resolviendo un poco más ya tenemos la expresión para la tensión koalindre, de la aceleración de la ravedad y del número de poleas del sistema. T = ( n ( n n n i ) n i+ ) + ( ) T en función de la masa del Si el sistema tuviera poleas el resultado sería 6 T = 3 a = 3, 88 Si el sistema tuviera 5 poleas el resultado sería 56 T = 7 a = 7 85, 97 Como podemos observar, el resultado parece que tiende a 0, 5 Vamos a comprobarlo. áquina de Atwood con infinitas poleas Para calcular la aceleración del primer koalindre en un sistema de infinitas poleas, vamos a calcular su tensión mediante la fórmula anterior, aplicando límites, cuando el número de poleas tiende a infinito.

8 Antes que nada, vamos a dividir por T = ( n ( n n i ) + ( ) n en el numerador y en el denominador i+ ) Ahora calculamos el límite T = lim n ( n ( n n i ) i+ ) + ( ) El numerador se convierte en la suma de una serie eométrica de primer elemento y de razón Una serie eométrica convere si y solo si su razón es menor que. Aquí vale un medio, por tanto es coverente y su suma vale S = a r Siendo a el primer elemento y r la razón S = = Por tanto el numerador tiende a cuando n tiende a infinito. Vamos con el denominador. El primer sumando sumando n 8 3 ( i+ ) n claramente tiende a 0. El seundo tiende a convertirse en una serie eométrica de esta forma

9 Serie eométrica de primer elemento y de razón, por tanto su suma vale S = = 3 Por tanto el límite vale T = lim n ( n i ) ) = 3 = i+ 3 ( n n + ( ) Ya solo queda calcular la aceleración a = T = 3 = Solución a =