XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO pfernandezdiez.es

Transcripción

1 XIII.- TEOREMA DEL IMPULSO XIII.1.- REACCIÓN DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO SOBRE UN CANAL GUÍA El cálculo de la fuerza ejercida por un fluido en movimiento sobre el canal que forman los álabes de una bomba o turbina, se puede realizar aplicando el Teorema de la Cantidad de Movimiento, que dice: El incremento eométrico diferencial de la cantidad de movimiento de un sistema material es iual al impulso elemental de la resultante de las acciones exteriores que actúan sobre dicho sistema. De acuerdo con la Fi XIII.1, supondremos que el canal uía es el (ABCD) por el que va a circular el fluido en movimiento permanente, siendo v 1 la velocidad en la sección Ω 1 y v 2 la velocidad en la sección Ω 2 de dicho canal uía. El fluido es incompresible y las presiones en Ω 1 y Ω 2 tienen por valor p 1 y p 2 respectivamente, siendo G el peso de la vena líquida (ABCD). Para estudiar el movimiento de la vena fluida (ABCD) como el de un cuerpo libre, la supondremos aislada del resto del fluido en movimiento, sustituyendo las masas fluidas, anterior a la sección Ω 1 y posterior a la sección Ω 2, por sus acciones sobre la vena (ABCD) a través de dichas secciones extremas. Estas acciones son las presiones p 1 y p 2, la primera en el sentido del movimiento y la seunda en sentido contrario, aplicadas en Ω 1 y Ω 2 respectivamente; asimismo, el canal uía se puede sustituir por la resultante R 1 de sus acciones sobre el fluido. Desinando por n 1 y n 2 a los vectores unitariuos diriidos en el mismo sentido que las velocidades v 1 y v 2 respectivamente, la vena fluida (ABCD), como cuerpo libre, quedará sometida a las siuientes acciones, cuya resultante será iual a la de las fuerzas exteriores F. Gravedad... Acción del canal sobre el fluido... Acción de la presión sobre Ω 1... Acción de la presión sobre Ω 2... G R 1 n 1 Ω 1 p 1 n 2 Ω 2 p 2 F = G - R + n 1 Ω 1 p 1 - n 2 Ω 2 p 1 El cálculo de la reacción del fluido sobre el canal uía R = - R 1 se efectúa aplicando el teorema de la Teorema del impulso.xiii.-261

2 Cantidad de Movimiento; por lo tanto, el impulso elemental de la resultante de las acciones exteriores que actúan sobre el sistema, masa fluida (ABCD), es: F dt = G dt + R 1 dt + n 1 Ω 1 p 1 dt - n 2 Ω 2 p 2 dt Fi XIII.1.- Canal uía Si a continuación se supone que la masa fluida (ABCD) se desplaza en el tiempo dt a la posición (A'B'C'D'), se habrá producido una variación de su cantidad de movimiento. En efecto, como estamos en la hipótesis de movimiento permanente, para las masas de fluido contenidas entre las posiciones (ABCD) y (A'B'C'D'), la cantidad de movimiento no se modifica. Sin embaro, quedan aún por comprobar las masas (ABA B') y (CDC'D') en las que sus velocidades respectivas son v 1 y v 2 y cuyas cantidades de movimiento vamos a calcular: El volumen ( ABAB) es: Ω 1 v 1 dt El volumen (CDC' D' ) es: Ω 2 v 2 dt En la hipótesis de fluido incompresible, la ecuación de continuidad es ( Ω 1 v 1 = Ω 2 v 2 ) y, por lo tanto, los volúmenes (ABA'B') y (CDC'D') son iuales, de valor: Ω 1 v 1 dt = Ω 2 v 2 dt = q dt siendo q el caudal de fluido que circula por el canal uía. La cantidad de movimiento inicial en la masa fluida es: M 1 = M Aʹ Bʹ CD + γ q n 1 v 1 dt La cantidad de movimiento final en la masa fluida es: M 2 = M Aʹ Bʹ CD + γ q n 2 v 2 dt La variación de la cantidad de movimiento en el tiempo dt, entre las posiciones infinitamente próximas (ABCD) y (A B'C'D') es: M 2 - M 1 = γ q ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) dt Aplicando el teorema de la Cantidad de Movimiento, se tiene: Teorema del impulso.xiii.-262

3 γ q ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) dt = G dt + R 1 dt + n 1 Ω 1 p 1 dt - n 2 Ω 2 p 2 dt de la que se deduce la expresión de la reacción R 1 de las paredes del canal sobre la vena fluida. R 1 = γ q ( n 2 v 2 - n 1 v 1 ) G + n 2 Ω 2 p 2 - n 1 Ω 1 p 1 y de acuerdo con el Principio de Acción y Reacción, el valor de la acción del fluido R 1 sobre las paredes del canal uía se obtiene teniendo en cuenta que R = -R 1, en la forma: R = γ q ( n 1 v 1 - n 2 v 2 ) + G + n 1 Ω 1 p 1 - n 2 Ω 2 p 2 Si llamamos X e Y a las componentes de R 1 respecto a los ejes cartesianos de referencia, y: α 1 al ánulo que forman con la dirección ( xx' ) los vectores v 1 y ( n 1 Ω 1 p 1 ) α 2 al ánulo que forman con la dirección ( xx' ) los vectores v 2 y ( n 2 Ω 2 p 2 ) α 3 al ánulo que forma G con la dirección ( xx' ) X = γ q ( v 1 cos α 1 - v 2 cos α 2 ) + G cos α 3 + Ω 1 p 1 cos α 1 - Ω 2 p 2 cos α 2 se tiene: Y = γ q ( v 1 sen α 1 - v 2 sen α 2 ) + G sen α 3 + Ω 1 p 1 sen α 1 - Ω 2 p 2 sen α 2 y despreciando el peso de la vena, y no teniendo en cuenta las presiones, se llea a: R = γ q ( n 1 v 1 - n 2 v 2 ) = γ q ( v 1 - v 2 ) La construcción ráfica de la reacción es la siuiente: X = γ q ( v 1 cos α 1 - v 2 cos α 2 ) Y = γ q ( v 1 sen α 1 - v 2 sen α 2 ) Sobre el punto de intersección de las direcciones v 1 y v 2, punto A de la Fi XIII.1, se construye la diferencia indicada por la fórmula que da el valor de R, obteniéndose su módulo, dirección y sentido, en la hipótesis de despreciar el peso G y las presiones p 1 y p 2. XIII.2.- MOMENTO CON RELACIÓN A UN PUNTO DE LA ACCIÓN R Si se quiere calcular el momento con relación a un punto de la acción, ejercida por el fluido sobre su canal uía, aplicaremos el teorema del Momento Cinético que dice: El incremento diferencial experimentado por el momento cinético de un sistema móvil respecto a un punto fijo O, es iual al momento resultante respecto al mismo punto O, de los impulsos elementales de las fuerzas exteriores que solicitan al sistema. Utilizando la misma notación que para el cálculo de R y de acuerdo con la Fi XIII.1 se tiene: Momento cinético inicial: µ 1 = µ Aʹ Bʹ CD + γ q n 1 v 1 dt r 1 Teorema del impulso.xiii.-263

4 Momento cinético final: µ 2 = µ Aʹ Bʹ CD + γ q n 2 v 2 dt r 2 siendo la variación experimentada por el momento cinético: µ 2 - µ 1 = γ q ( n 2 v 2 r 2 - n 1 v 1 r 1 ) dt El momento resultante de los impulsos que recibe la vena es: G dt ρ + R 1 dt ρ 1 + n 1 Ω 1 p 1 dt r 1 n 2 Ω 2 p 2 dt r 2 Haciendo µ ʹ = R 1 r 1, que es el momento de las acciones de las paredes respecto a O y aplicando el momento citado, se obtiene: γ q ( n 2 v 2 r 2 - n 1 v 1 r 1 ) dt = G dt ρ + µ ʹ dt + n 1 Ω 1 p 1 dt r 1 n 2 Ω 2 p 2 dt r 2 γ q Dividiéndola por dt: ( n 2 v 2 r 2 - n 1 v 1 r 1 ) = G ρ + µ + n 1 Ω 1 p 1 r 1 n 2 Ω 2 p 2 r 2 y como µ = - µ ʹ es el momento resultante respecto a O de las reacciones del fluido sobre el canal uía, se tiene finalmente: µ = γ q ( n 1 v 1 r 1 - n 2 v 2 r 2 ) + G ρ + n 1 Ω 1 p 1 r 1 n 2 Ω 2 p 2 r 2 XIII.3.- TEOREMAS DE EULER APLICADOS A LAS TURBOMAQUINAS Primer teorema de Euler.- Sabemos que la reacción de una vena fluida sobre el canal que la conduce es de la forma: R = γ q ( n 0 v 0 - n 1 v 1 ) + G + n 0 Ω 0 p 0 - n 1 Ω 1 p 1 α 0 y α 1 a los ánulos que forman v 0 y v 1 con el eje Ox y llamando: β 0 y β 1 a los ánulos que forman v 0 y v Ω 0 p 0 x 1 con el eje Oy γ 0 y γ 1 a los ánulos que forman v 0 y v, y considerando que: Ω 0 p 0 y 1 con el eje Oz Ω 0 p 0 z son las componentes de ( n 0, Ω 0, p 0 ) sobre los ejes Ox, Oy y Oz, las componentes X, Y, Z del vector R tienen por expresión, (despreciando la ravedad por ser su efecto mucho menor que el correspondiente a la velocidad y presión), las siuientes: X = γ q Y = γ q Z = γ q (v 0 cos α 0 - v 1 cos α 1 ) + Ω 0 p 0 x - Ω 1 p 1 x ( v 0 cos β 0 - v 1 cos β 1 ) + Ω 0 p 0 y - Ω 1 p 1 y ( v 0 cos γ 0 - v 1 cos γ 1 ) + Ω 0 p 0 z - Ω 1 p 1 Z Teorema del impulso.xiii.-264

5 iualdades que constituyen el Primer Teorema de Euler. santes para la determinación del empuje axial en las turbinas de reacción. Fi XIII.2 Cada una de estas expresiones consta de dos términos: - El sumando γ q ( n 0 v 0 - n 1 v 1 ) se corresponde con la acción dinámica debida a la variación de la Cantidad de Movimiento de la vena líquida, entre la entrada y salida de la rueda, Fi XIII.2. - El sumando n 0 Ω 0 p 0 - n 1 Ω 1 p 1 se corresponde con la acción estática resultante de las distintas presiones existen-tes en las mismas secciones. Ambas ecuaciones son muy intere- Seundo teorema de Euler.- El momento de la reacción de una vena sobre el canal uía respecto a un punto O, viene dado por la expresión: µ = γ q ( n 0 v 0 ρ 0 - n 1 v 1 ρ 1 ) + n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 + G ρ 0 Determinaremos a continuación las componentes de este vector sobre los ejes coordenados, que tienen su orien en el punto O, respecto al cual se calcula el momento µ De acuerdo con la Fi XIII.3, se tiene que p 0 = OA ; p 1 = OB, y las velocidades se descomponen Fi XIII.3.- Canal uía en rotación seún las direcciones axial, tanencial y radial; también se indican las componentes meridianas v 0m y v 1m. En lo que siue consideraremos que el momento de un vector respecto a un eje es la proyección respecto a dicho eje del momento del vector respecto a un punto cualquiera de aquel. De acuerdo con ésto se tiene: Momento de v 0 respecto de Oz = ( n 0 v 0 ρ 0 ) es la proyección de ( n 0 v 0 ρ 0 ) sobre Oz Además: v 0 = v 0n + v 0r + v 0z = v 0n + v 0m El momento de v 0 respecto a Oz es el momento de v 0n respecto a Oz, ya que el momento de v 0m respecto a Oz es nulo, por cortar v 0m a Oz. ( n 0 v 0 ρ 0 ) z = v 0n r 0 k, siendo su módulo: v 0n r 0 De todo ello se deduce que: ( n 1 v 1 ρ 1 ) z = v 1n r 1 k, siendo su módulo: v 1n r 1 Si llamamos a 0 y a 1 a los módulos de las componentes tanenciales v 0n y v 1n, respectivamente, y M 0x, M 0y y M 0z a las proyecciones sobre Ox, Oy, y Oz, del momento resultante de las presiones estáticas Teorema del impulso.xiii.-265

6 se tiene: M 0x = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) x M 0y = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) y M 0z = ( n 0 Ω 0 p 0 ρ 0 - n 1 Ω 1 p 1 ρ 1 ) z y despreciando el peso G se puede poner: µ x = L = γ q ( r,, 0 b0 - r 1 b1 ) + M 0x µ y = M = γ q ( r,,,, 0 c0 - r 1 c1 ) + M 0y µ z = N = γ q (r 0 a 0 - r 1 a 1 ) + M 0z, r en donde 0, r 0 y, r0, son las distancias del punto A a los ejes Ox, Oy, y Oz r 1, r, 1 y r, 1, son las distancias del punto B a los mismos ejes En la práctica, los términos M 0x, M 0y y M 0z de estas expresiones son despreciables o nulos, por ser las presiones simétricas, o estar situadas en planos que cortan al eje. Si el canal uía no puede irar más que alrededor del eje Oz, la expresión del par motor teórico, considerando, a 0 = v 0n y a 1 = v 1n, componentes iratorias, proporciona el Seundo Teorema de Euler aplicado a las turbomáquinas: C m( teórico ) = N = γ q ( r 0 a 0 - r 1 a 1 ) = a 0 = v 0n a 1 = v 1n = γ q ( r 0 v 0n - r 1 v 1n ) que sirve de base a la obtención de la ecuación eneral de las turbinas hidráulicas y bombas centrífuas. Teorema del impulso.xiii.-266