Resúmenes y tipos de problemas de movimiento armónico simple y péndulo

Transcripción

1 Resúmenes y tipos de problemas de movimiento armónico simple y péndulo Campillo Miguel Hernández, Murcia 22 de noviembre de 2011 c 2011

2 Índice 1. Movimiento armónico simple 1 2. Péndulo simple 4

3 1 Resumen Orientaciones resumidas sobre la estructura general y la correspondiente solución por grupos de muchos de los problemas que se dan a resolver en bachillerato de movimiento armónico simple y péndulos que oscilan con ángulos pequeños. (Se continúa en otro documento con los de ondas planas progresivas sinusoidales y los de ondas estacionarias en cuerdas y tubos). 1. Movimiento armónico simple El problema directo es el siguiente. Dadas las características físicas k y m del sistema (constante elástica del resorte, masa de la partícula) y el estado x 0 y v 0 (posición y velocidad) en un instante t = t 0, hallar la única solución x = f(t) y la energía. (El eje de las x tiene la dirección de las oscilaciones, y su sentido y origen ya han sido elegidos, así como el instante en que t = 0). Solución: Teoría: Con F x = kx (ley de Hooke para el muelle horizontal, o la de la resultante de esta fuerza y la de la gravedad para el vertical) y F x = mdv/dt (segunda de Newton), siendo v = dx/dt, se ve que al derivar dos veces consecutivas con respecto al tiempo que resulta la misma coordenada x que se deriva al principio, pero multiplicada por una constante positiva k/m cambiada de signo: kx = md 2 x/dt 2 o (k/m)x = d 2 x/dt 2. Obsérvese que en x = 0 está la posición de equilibrio, pues la fuerza se anula allí, por lo que x (la elongación) mide la separación de la posición de equilibrio. Llamando ω 2 a k/m (ω es la frecuencia angular), la solución general es x = C 1 cos ωt + C 2 sen ωt. Se puede comprobar fácilmente que es solución derivando dos veces. Esta misma puede tomar las dos formas x = A cos(ωt + α) = A sen(ωt + β), β = α + 1 π, (1) 2 donde las nuevas constantes A y α (amplitud y fase inicial) se pueden calcular a partir de las antiguas C 1 y C 2 (y viceversa; recuérdese que el coseno de la suma de dos ángulos es idénticamente igual al coseno de uno multiplicado por el coseno del otro menos el producto del seno de uno por el seno del otro). La fuerza elástica es conservativa y su energía potencial se demuestra que es 1 2 kx2 si se cuenta desde la posición de equilibrio. La gravitatoria también lo es, por lo que la superposición de la elástica y la gravitatoria en el caso del resorte vertical tiene una energía potencial asociada. Contándola desde la correspondiente posición de equilibrio, en la que esta vez el muelle ya tiene una deformación, la fórmula es la misma que la de antes. La diferencia es que ahora x no es toda la deformación del muelle durante las oscilaciones, sino solo la deformación adicional a la que se produce al principio para poder sostener la pesa que se cuelga. Derivando x con respecto al tiempo resulta la velocidad v, y 1 2 mv2 es la energía cinética.

4 2 Sumando las dos (recuérdese que, por Pitágoras, sen 2 (ωt + α) + cos 2 (ωt + α) = 1) se obtiene la constante del movimiento E, o sea, la energía: E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2 = E p, máx = E c, máx. (2) Por lo visto, ω = k/m. En x = A cos(ωt+α) solo faltan A y α. Derivando es v = ωa sen(ωt + α). Sustituyendo las condiciones, obtengo las dos ecuaciones x 0 = A cos(ωt 0 +α), v 0 = ωa sen(ωt 0 +α), y, de ellas, despejo A y α. He resuelto el problema, pues E = 1 2 ka2 y x = A cos(ωt + α) son las soluciones pedidas. Comprimo 5 cm un muelle de k = 1000 N/m y dejo entonces que oscile la masa de 100 g que lleva sujeta. Aquí me dan los valores de k y m. Y me dicen que las condiciones iniciales (el estado) en el instante en que suelto, que puedo tomar (y tomo) como t = 0, son x = 0,05 m, y v = 0 (dispongo el eje x de manera que los alargamientos son positivos). Entonces, ω = 1000/0,100 = 100 rad/s y de 0,05 = A cos α y 0 = ωa sen α, obtengo primero que la fase inicial debe ser cero o π (el seno ha de ser cero). Cualquiera de los dos me da un valor para la amplitud en la primera ecuación. Si elijo π para que A sea positiva, las soluciones son x = 0,05 cos(100t + π) (unidades SI) y E = ,052 = 1,25 J. (Y si elijo α = 0, entonces A = 0,05 m y x = 0,05 cos 100t = 0,05 cos(100t + π), que es lo mismo: solo hay una f(t) que satisface las condiciones). Son k = 1000 N/m y m = 0,100 kg, por un lado, y x 0 = 0,1 3 m, v 0 = 10 m/s en t 0 = 0, por otro, siendo que x se mide desde la posición de equilibrio. Encuentro entonces ω = 100 rad/s y 0,1 3 = A cos α, 10 = 100A sen α. Dividiendo la segunda de las condiciones por la primera, obtengo 1/ 3 = tan α, por lo que α puede ser 30 o y 210 o. Con el primer ángulo, la primera de las condiciones me lleva a A = 0, 2 m, y las soluciones son x = 0, 2 cos(100t + 1 π) 6 y E = ,22 = 20 J. (Con 210 o, A = 0, 2 m, etcétera). Y el problema inverso es este otro: dadas la x = f(t) y la energía E, hallar k y m, así como el estado en cualquier t. Solución: De x = A cos(ωt + α) = A sen(ωt + β) deduzco los valores de A y ω. Y de E = 1 2 mω2 A 2 obtengo entonces m. La posición en cualquier t la han dado con la x = f(t), y su derivada es la velocidad. Sean x = 0, 05 sen 100t (SI) y E = 1, 25 J. Deduzco que A = 0, 05 m y que ω = 100 rad/s. De 1, 25 = 1 2 k0, 052 = 1 2 m1002 0, 05 2 resultan k = 1000 N/m y m = 0, 100 kg. Derivando la coordenada, obtengo la velocidad para cualquier tiempo: v = 5 cos 100t (SI). También hay, por supuesto, cuestiones y problemas que solo juegan con aspectos parciales de los que han salido en la teoría anterior (en los resultados o en las deducciones). Por ejemplo: Hallar el periodo T o la frecuencia ν si dan k y m. Se resuelve con ω = 2π/T y ν = 1/T (ya se sabe cómo calcular ω con k y m).

5 3 Hallar la posición en la que la energía cinética es el doble de la potencial, sabiendo que la amplitud es A. Se resuelve con 1 2 ka2 = 2( 1 2 kx2 ) kx2, que dice que la energía es la suma de la cinética y la potencial con la cinética doble que la potencial de donde se despeja x en función de A, es decir x = ±A/ 3. Con T y A, encontrar la velocidad máxima. Es 1 ωa, y ω se calcula con T. Qué fuerza actúa sobre la partícula de masa m que se mueve según x = A cos ωt cuando: su velocidad (módulo) es mínima? su velocidad es máxima? Este se puede resolver de las dos maneras siguientes. Afirmo que es un mas de amplitud A, por lo que su velocidad es nula en los extremos (x = ±A) y máxima en x = 0; la fuerza es F x = kx con k = mω 2 resultados: mω 2 A y cero. O puedo usar la segunda de Newton: derivo dos veces y tengo la aceleración, multiplico esta por la masa y tengo todas las fuerzas: las dos que me piden y cualquier otra. Con la expresión de la velocidad obtenida en la primera derivación, hallo las fases que la hacen bien nula, bien máxima, y son estas fases las llevo a la expresión de la fuerza para encontrar las que me piden en particular. Si m oscila entre dos muelles horizontales de constantes k 1 y k 2, demostrar que se trata de un mas y calcular la frecuencia angular de las oscilaciones. Si se desplaza la partícula un poco a la derecha desde la posición de equilibrio, el muelle de este lado o bien se comprime un poco más, o bien resulta estirado un poco menos. En el primer caso empuja adicionalmente hacia la izquierda con k 2x; en el segundo, disminuye la fuerza que ejercía hacia la derecha en esa misma cantidad, es decir, el efecto es el mismo. En cambio, para este mismo desplazamiento x hacia la derecha, el muelle del otro lado aporta de una manera u otra un nuevo k 1x hacia la izquierda. El resultado neto es la aparición de la fuerza resultante (k 1 + k 2)x opuesta al desplazamiento: equivale a lo que hace un solo muelle de constante k 1 + k 2, y, por tanto, se trata de un movimiento armónico simple de ω = (k 1 + k 2)/m. Deducir, conociendo ω y A, cómo depende v 2 del cuadrado de la distancia a la posición de equilibrio. No aparece el tiempo t y la conservación de E es el camino: simplificando 1 2 mω2 A 2 = 1 2 mv mω2 x 2 resulta ω 2 A 2 = v 2 + ω 2 x 2 o v 2 = ω 2 (A 2 x 2 ). Obsérvese que no sirve de casi nada memorizar fórmulas como la última, pues, lo que se pide es cómo se llega a ella, es decir, su deducción o derivación a partir de algo más fundamental que, por contra, sí conviene recordar. Sólo cuando el camino de la deducción es largo que no es el caso es útil memorizar el resultado. 1 En v = ωa sen(ωt + α) el seno oscila entre 1 y 1.

6 4 2. Péndulo simple Resumen de teoría: Del diagrama de fuerzas se obtiene que la componente tangencial de la fuerza mientras que la lenteja asciende es mg sen θ, por lo que la correspondiente componente intrínseca de la aceleración es g sen θ, a su vez igual a la derivada con respecto al tiempo del módulo de la velocidad, que escribimos dv/dt. Pero el ángulo con la vertical es θ = s/l y v = ds/dt (L es la longitud del péndulo y s el arco desde la posición de equilibrio), por lo que se llega, sustituyendo, a g sen(s/l) = d 2 s/dt 2. Para ángulos pequeños, el seno es aproximadamente igual al ángulo (en radianes), y entonces gs/l = d 2 s/dt 2 o (g/l)s = d 2 s/dt 2. Esta última igualdad es de la misma forma que la (k/m)x = d 2 x/dt 2 del mas, por lo que s se comporta igual que la x, solo que el cuadrado de la frecuencia angular es g/l. De ω 2 = g/l se deduce inmediatamente la conocida ecuación T = 2π L/g. Por supuesto, se conserva la energía (la fuerza de la gravedad es conservativa y la tensión del hilo es perpendicular al movimiento y no hace trabajo). Tipos de problemas y cuestiones: Suelen ser de aplicación de la última fórmula (determinar la longitud de una cuerda que cuelga de lo alto sin medirla directamente, con el periodo de las oscilaciones y el valor de g; medir g con exactitud a partir de L y T...), combinados a veces con la conservación de E y algo de geometría (la altura de su lenteja respecto a la de su posición más baja es h = L L cos θ y la energía potencial es mgh), y poco más. Se sabe que en la superficie de un planeta, el mismo péndulo que en la superficie de la Tierra da una oscilación cada dos segundos, daría dos oscilaciones por segundo. Comparar la gravedad del planeta con la de la Tierra. El periodo allí (0,5 s) es la cuarta parte que aquí (2 s). Es decir, T = 2π L/g = 1 4 T = 1 4 2π L/g = 2π L/16g y g = 16g. Se separa de la vertical la lenteja de un péndulo de 1 m de longitud hasta que el ángulo alcanza los 10 o, y se suelta. Con una aceleración de la gravedad de 9,81 m/s 2, encontrar la máxima velocidad de la lenteja y el tiempo para 20 oscilaciones. La conservación de la energía resuelve la primera. La energía, constante durante las oscilaciones, es la que tiene en cualquier punto. En lo más alto es toda potencial, y es mgh = mgl(1 cos θ) = E. En lo más bajo es toda cinética: E = mgl(1 cos θ) = 1 2 mv2 máx.. Luego, v máx. = 2gL(1 cos θ), y solo falta sustituir valores y calcular. Con la fórmula del periodo se calcula el tiempo de una oscilación, que multiplicado por 20 da lo segundo que se pide.