MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Transcripción

1 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO IES La Magdalena. Avilé. Aturia Si coniderao un cuerpo que e ueve con velocidad variable Cóo podeo calcular el valor de la velocidad en un intante deterinado (por ejeplo para t =5 )? La pregunta no e fácil de contetar i penao cóo calculao la velocidad (en realidad u ódulo): Obervao el óvil durante cierto tiepo y dividio el epacio recorrido entre el tiepo que ha tardado en recorrerlo. Eto iplica que heo de toar un intervalo de tiepo (por ejeplo: 1 ), pero coo u velocidad varía, lo que realente etao calculando erá la velocidad edia entre el intante t = 5,0 y t = 6,0. Eto e, la velocidad contante a la que debe overe el óvil para recorrer el epacio coniderado en el io tiepo v 11 1 Qué ocurrirá i haceo á pequeño el intervalo de tiepo? Seguireo calculando una velocidad edia, pero el reultado e aproxiará á al valor bucado. 5,0 5,00 5, 5 30, 5 30,5 5,00 v 10,50 0,50 Podeo reiterar el procediiento e ir etrechando cada vez á el intervalo de tiepo. De eta anera vao obteniendo el valor de la velocidad edia entre do punto que etán cada vez á próxio y, en conecuencia, el valor obtenido e ira aproxiando á y á al que la velocidad tendría en el intante t = 5. Qué ocurriría i lográeo calcular eta velocidad edia entre do punto infinitaente próxio? Entonce obtendríao la velocidad en el intante t = 5, con un error infinitaente pequeño (infiniteial). Eto e puede lograr ediante un procediiento ateático denoinado pao al líite, que fora parte del llaado cálculo infiniteial. 1

2 5,00 5,00 5, 01 5,10 5,10 5,00 v 10,01 0,01 5,000 5, 001 5,01 5,00 v 10,001 0,001 Velocidad intantánea (ódulo): 5,00 5, 01 v li t0 d t Se lee: líite de increento de, dividido por increento de t, cuando increento de t tiende a cero o (egunda igualdad) derivada de repecto de t. Ueo ahora vectore para poder dar una definición copleta del vector velocidad (edia e intantánea). Cuando un óvil e deplaza, dede un punto1 a otro, el vector de poición toa lo valore r y r (ver figura ). El vector 1 r r r 1 e llaa vector deplazaiento. r 1 r v r r r 1 El vector velocidad edia e define entonce coo: r 1 v r t t 1 El vector velocidad edia viene dado por tanto coo producto de un núero,, por un vector, r. El reultado erá un vector: t r De ódulo. Coo r coincide con el epacio recorrido ( ), podeo decir que u ódulo e t t (rapidez con que e recorre el epacio). Su dirección y entido on lo de r. r 1 r r v r r 1 r e el epacio recorrido edido obre la trayectoria. e el ódulo del vector r Si la trayectoria e una curva, heo de hacer alguna (iportante) conideracione: r r (ver figura). El cociente o rapidez, ya no e el ódulo de la velocidad edia. t Por tanto, v. t

3 Si partiendo de la ituación anterior vao aproxiando cada vez á lo punto, la dirección de la velocidad edia e acerca á y á a la tangente a la curva, e r e aproxia a (ver equea abajo) En el líite (cuando t 0 ), r =, la velocidad edia e convierte en intantánea y u dirección coincidirá con la de la tangente en el punto coniderado. Dirección de la tangente e el epacio edido obre la trayectoria r r r 1 Con trazo continuo e repreenta el vector con punto el vector r v y r dr Se define el vector velocidad intantánea coo: v li ; t 0 v t Lleva la dirección de la tangente. Su ódulo coincide con la rapidez: r v li li u t t dr d v ut t0 t0 t donde u t e un vector unitario en la dirección de la tangente a la trayectoria en el punto coniderado. Reuen: Vector velocidad intantánea Vector velocidad edia dr v d ut Dirección y entido: El de la tangente en el punto coniderado v r 1 r t t Dirección y entido: lo de r Módulo: La derivada de con repecto de t Módulo: r t 3

4 Concepto de aceleración Si etao etudiando el oviiento de un cuerpo que varía u velocidad, neceitao definir una agnitud que no dé la rapidez con la cual varía la velocidad. Eta agnitud e la aceleración. Se define el vector aceleración: v v1 v a t t t 1 Nota Realente la expreión dada anteriorente, define el vector aceleración edia. Si el oviiento coniderado e tal que la aceleración no e contante, deberíao ditinguir entre aceleración edia e intantánea, que e definiría de una anera análoga a lo hecho en el cao de la velocidad: v dv a li t0 t Moviendo uniforeente acelerado Un cuerpo e ueve con oviiento uniforeente acelerado i: a con tan te La contancia del vector aceleración, iplica que e antenga invariable en ódulo, dirección y entido. Cóo e ueve un objeto para el cual a con tan te? La pregunta no e fácil de reponder, ya que la trayectoria eguida depende del vector velocidad inicial. Veao alguno ejeplo: v 0 Y a a v 0 Objeto que e lanza paralelaente al uelo. El vector velocidad inicial e paralelo al uelo. Objeto parado que coienza a acelerar hacia la derecha. El objeto e overá en línea recta alejándoe cada vez a á velocidad. Objeto que e ueve inicialente hacia la izquierda, oetido a una aceleración hacia la derecha. El objeto e ueve en línea recta e irá diinuyendo u velocidad hata que e pare y luego coenzará a overe con velocidad creciente hacia la derecha. El vector aceleración (aceleración de la gravedad) e contante en ódulo (10 / ), dirección (perpendicular al uelo) y entido (hacia abajo). a Y X Objeto que e lanza hacia arriba con un cierto ángulo. El vector velocidad inicial fora un ángulo con la horizontal. El vector aceleración (aceleración de la gravedad) e contante en ódulo (10 / ), dirección (perpendicular al uelo) y entido (hacia abajo). v 0 a X 4

5 Un cuerpo e overá con oviiento rectilíneo y uniforeente acelerado i inicial e nula (v 0 = 0) o tiene la ia dirección que el vector aceleración. a cte. y u velocidad Si e cuplen eta condicione el cuerpo e ueve variando u velocidad de anera unifore (iepre la ia cantidad en la unidad de tiepo) y la trayectoria decrita erá una línea recta. Oberva que en el io intervalo de tiepo (1 ) cada vez recorre á epacio, ya que la velocidad va auentando / 4 / 6 / 8 / 10 / 1 / La velocidad auenta iepre lo io en 1. La aceleración e contante. La velocidad auenta linealente con el tiepo. Ecuacione del oviiento 1 r r v v 0 a t 0 v 0t a t Coo el oviiento tiene lugar egún una línea recta podeo precindir de la notación vectorial y ecribir encillaente: Donde: = 0 + v 0 t + ½ a t v = v 0 + a t v 0 = velocidad cuando t =0 0 = ditancia al origen cuando t =0 = ditancia al origen (puede que no coincida con el epacio recorrido) t = 0, indica cuando epieza a contare el tiepo (cuando e pone en archa el cronóetro). v v v 1 v 0 t= t t 1 v= v v 1 La gráfica v - t e una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 hay que deterinar el punto de corte de la recta con el eje v v a t Para calcular la aceleración hay que calcular la pendiente de la recta a a 1 t 1 t t a > a 1 La gráfica /t e una parábola. La aceleración e poitiva i la parábola e abre hacia arriba y negativa i lo hace hacia abajo. Cuanto á cerrada ea la parábola, ayor aceleración. El deplazaiento inicial 0 e deterina viendo el punto de corte con el eje. 0 = 0 t 5

6 Para ecribir la ecuacione de un oviiento rectilíneo y uniforeente acelerado: Fija el origen a partir del cual e va a edir la ditancia. Fija el entido al que e le aigna igno poitivo. Deterina el valor de la contante del oviiento: a, 0, v 0. Adapta la ecuacione generale al cao particular utituyendo lo valore de a, 0, v 0 para el cao coniderado. Ten en cuenta que, aunque no ueo notación vectorial, la agnitude que etá uando: ditancia al origen, velocidad, aceleración, on vectore. Por tanto, adeá de un valor (el núero), tienen una dirección y un entido; el igno no indica el entido del vector (hacia adonde apunta la flecha). Ejeplo 1. Ecribe la ecuacione que decriben el oviiento del punto de la figura v= 0 / t = a = 5 / Solución: Ecuacione generale para el oviiento: v = v 0 + a t = 0 + v 0 t + ½ a t Se toa coo origen de ditancia la línea vertical. Sentido poitivo hacia la derecha. Deterinación de 0: A qué ditancia del origen etá el punto cuando t =0? 0 = 100 Deterinación de v 0 : Cuál e la velocidad del punto cuando t =0? v 0 = 0 / Deterinación de la aceleración: a = - 5 / (igno eno, ya que apunta hacia la izquierda). Ecuacione particulare para ete oviiento: v = 0-5 t = t -,5 a t Una vez ecrita la ecuacione e pueden reolver prácticaente toda la cuetione que e quieran plantear. Solaente hay que traducir de nuetro lenguaje al lenguaje de la ecuación que olaente abe de valore de, v ó t. Ejeplo: Cuánto tarda en frenar el punto del ejeplo anterior?. Traducción al lenguaje ecuación: qué valor toa t cuando v =0? Si v = 0 ; 0 = 0 5 t ; 0 t 4 5 Cuál e u velocidad al cabo de 5,3? Traducción al lenguaje ecuación: qué valor toa v cuando t = 5,3? Si t = 5,3 ; v = ,3 = - 6,5 / (el igno eno indica que e deplaza hacia la izquierda; depué de frenar ha dado la vuelta) 6

7 Ejeplo Ejeplo 3 Un cuerpo parte del repoo y coienza a overe. Lo dato toado e recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de oviiento tiene y deterinar la ecuacione para el io. Solución: Coo e oberva en la tabla adjunta el epacio recorrido no varía linealente con el tiepo. Eto e: en el intervalo de un egundo recorre cada vez á epacio. Eto indica que u velocidad va auentando. Si e trata de un oviiento uniforeente acelerado el auento de velocidad, o lo que e lo io, u aceleración, erá contante. t( ) ( ) Si el oviiento e uniforeente acelerado deberá cuplir la ecuación: = 0 + v 0 t + ½ a t. Coo en ete cao v 0 = 0, la ecuación quedará: = 0 + ½ a t. Depejando a : 1 a t 0 ; a t 0 Uando la ecuación anterior vao probando con dato correpondiente de t y coprobao i el valor de a e contante: a 6 ; a 6 ; a 6 3 Etao ante un oviiento uniforeente acelerado con a 6 Para obtener la ecuacione deterinao el valor de v 0 y 0 : v 0 = 0, ya que no lo dicen en el enunciado 0 = 10, ya que e el valor de cuando t = 0 (ver tabla). Ecuacione: Una piedra e lanzada verticalente y hacia arriba con una velocidad de 15 /. Deterinar: a) Ecuacione del oviiento. b) Altura áxia alcanzada. c) Valor de la velocidad cuando t = 0,8 y t =,3. Coentar Solución: Equea: g 10 v 15 v = 6 t = t Origen : el uelo (punto de lanzaiento) Sentido poitivo : hacia arriba Deterinación de v 0 : cuál e la velocidad cuando t = 0? El tiepo epieza a contar cuando la piedra ale de la ano. Luego v 0 = 15 / Deterinación de 0 : a qué ditancia del origen etá la piedra cuando t =0? Cuando e lanza la piedra etá en el punto de lanzaiento (origen). Luego 0 = 0 Deterinación del valor de a : a = g = - 10 /.. El igno eno e debe a que la aceleración apunta hacia abajo y heo coniderado entido poitivo hacia arriba. a ) Ecuacione: b) Cuál e la altura áxia alcanzada? v = t = 15 t 5 t Traducción al lenguaje ecuación: para que valor de t, v = 0? (ya que en el punto de altura áxia la piedra e detiene durante un intante) 7

8 Si v= 0 ; 0 = t ; 15 t 1,5. Tiepo que tarda en alcanzar la altura áxia 10 Ejeplo 4. Para calcular la altura áxia alcanzada calculao la ditancia a la que e encuentra del origen cuando t = 1,5 : = h ax = 15. 1,5 5. 1,5 = 11,5. c) Valore de la velocidad: v (t = 0,8) = ,8 = 7 / v (t =,3) = ,3 = - 8 / Coo e puede obervar al cabo de 0,8 del lanzaiento la piedra aún etá en la fae acendente, ya que el igno de la velocidad e poitivo (entido poitivo: hacia arriba). Coo e ve u velocidad va diinuyendo, debido a que durante el trao de aceno la aceleración lleva entido contrario a la velocidad (oviiento decelerado) Al cabo de,3 la piedra e ueve hacia abajo. El igno e negativo: entido hacia abajo. Efectivaente, a lo 1,5 alcanza la altura áxia, y coo la aceleración continúa actuando, coienza u carrera de deceno, pero eta vez al tener el io entido aceleración y velocidad, éta auenta. La gráfica de la izquierda e ha obtenido tra etudiar el oviiento de un cuerpo. a) Qué tipo de oviiento tiene? b) Cuále on u ecuacione? c) Qué ucede para t = 5? v (/) 40 5 t () a) La gráfica v t e una recta con pendiente negativa. Eto no indica que la velocidad diinuye con el tiepo, pero de fora lineal (la ia cantidad en 1 ). Luego el oviiento e uniforeente acelerado (con aceleración negativa; tabién e llaa decelerado). Para calcular la aceleración (deceleración) calculao la pendiente de la recta v t: 0 40 v v1 Pendiente = a 8. t t Oberva lo valore toado: t 1 = 0 v 1 = 40 ; t = 5 v = 0 b) Coo no no dan dato, podeo toar para 0 cualquier valor. Toareo 0 = 0 v 0 = 40 / (leído en la gráfica) a = - 8 / (calculado) Ecuacione: v = 40 8 t = 40 t 4 t c) En la gráfica e puede leer que cuando t = 5, v = 0. Luego al cabo de 5 e detiene (e un oviiento decelerado). Si t e ayor de 5, oberva que la línea en la gráfica v t rebaa el eje horizontal epezando la velocidad (valore del eje Y) a toar valore negativo cóo interpreta éto? 8