TIRO PARABÓLICO Advertencia.

Transcripción

1 61 TIRO PARABÓLICO Advertencia. Tiro parabólico no e un tea fácil. Lo concepto no on fácile de entender. La ecuacione no on iple. Lo problea tienen u vuelta. Encia para poder entender tiro parabólico y para poder reolver lo problea hay que aber bien - bien tiro vertical, caída libre, MRUV y tabién MRU. Sugerencia?. Reolver ile de problea. ( Oh!. ile?! ). Ea e toda la cuetión. Haciendo ucho problea uno terina agarrándole el odo perfectaente y el tea paa a er una verdaderaente encillo. Pero hay que proponérelo. ( Y eo lleva tiepo ). Pero por favor, repito, ( Y eto contituye un gran error por parte de lo aluno ): no te ponga a hacer problea de tiro parabólico hata que no haya entendido perfectaente MRU, MRUV, Caída libre y tiro vertical. Fui claro?. De anera que i el aluno te reuelve bien el problea de tiro parabólico, e puede coniderar que el tipo conoce bien MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical... ( A grande rago eta afiración e cierta ). Tiro parabólico no e ipoible. Lee con atención lo que igue. QUÉ ES UN TIRO PARABÓLICO? Rta.: Un tiro parabólico e eto: TRAYECTORIA V 0 E decir, en vez de tirar la coa para arriba coo en tiro vertical, ahora la tiro en fora inclinada. Ante, el vector velocidad inicial iba aí. Ahora va inclinado aí.

2 6 Ante de eguir con eto neceito que vea tea que on de ateática. Eto tea on trigonoetría y proyección de un vector obre un eje. Lo pongo en el apunte porque probableente te podrán ervir de repao. Mucho libro dan por hecho eto tea cuando eplican tiro parabólico. Lo dan por abido. Eto llega a confundir a lo aluno. Por eo te recoiendo que lea lo que igue con atención. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO La palabra trigonoetría ignifica edición de triángulo. A grande rago la idea e poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo in tener que ir a edirlo con una regla. Para hacer eto, lo tipo inventaron la funcione trigonoétrica eno, coeno y tangente de un ángulo. Eta funcione e uan cuando uno tiene un triángulo que tiene un ángulo de 90 (rectángulo). Si uno tiene un triángulo de ete tipo, e definen la funcione eno, coeno y tg aí: Hipotenua Adyacente Opueto 90 op en hip ; ady co hip ; op tg ady FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejeplo: Calcular el valor de la funcione trigonoétrica para un triángulo rectángulo de lado 3, 4 y 5. 5 c 3 c 4 c 90

3 63 Para calcular lo valore de eno, coeno y tangente de alfa, hago la cuenta. La funcione trigonoétrica para el ángulo alfa valen: op 3c en 0,6 hip 5c op co hip 4c 0,8 5c op tg hip 3c 0,75 4c Para cada ángulo alfa eta funcione toan ditinto valore. Conviene recordar lo valore que á e uan : Sen 0 0,5 0,707 0,866 1 Co 1 0,866 0,707 0,5 0 Tg 0 0, ,73 E un poco largo de eplicar cuále on todo lo uo de la funcione trigonoétrica pero puedo darte un ejeplo: Supón que quiere aber la altura de un árbol pero no tiene gana de ubirte hata la punta para averiguarlo. Lo que e podría hacer entonce e eto: 1 ro te para en un lugar y ide la ditancia al árbol. Supón que te da 8. Depué con un buen tranportador ide al ángulo hata la punta del árbol. Supón que te da 30. Equeáticaente ería algo aí: Ahora, uando la fórula de tangente de un ángulo: tg op. ady Entonce : Altura del árbol tg 30 8

4 64 Altura 0 577, 8 tg 30 Altura 4,61 Altura del árbol. De eta anera e pueden calcular ditancia ( = lado de un triángulo ) en fora teórica. E decir, in tener que dibujar el triángulo y edirlo. ( Que e puede hacer, pero e ucho lío y no da eacto). E á hay vece que hay ditancia difícile de edir. Por á que uno quiera, no puede ir hata ahí y edirla. En eo cao, la única anera de calcularla e uar trigonoetría. Por ejeplo,te pongo un cao difícil: la ditancia a una etrella. Cóo haría para edirla?. Penalo. A ver i ete dibujito te ayuda un poco. PROYECCIÓN DE UN VECTOR Supón que e dan un vector coo éte: Hallar la proyección del vector obre el eje ignifica ver cuánto ide la obra de ee vector obre ee eje. E decir, lo que quiero aber e eto:

5 65 Hallar la proyección obre el eje y e la ia hitoria: Para aber cuánto ide la proyección de un vector obre un eje, en vez de andar idiendo obra e ua la trigonoetría: op en hip ady co hip op hip en ady hip co E decir, i tengo un vector v, la proyeccione v y v y van a er: v v co v v en y Ejeplo: Hallar la proyeccione de un vector que ide 10 c y fora un ángulo de 30 grado con el eje X. Tengo un vector de 10 c con alfa = 30. E decir, algo aí : v = 10c V y 0,5 10 c en 30 5 c v 10 c co30 8,66c 0,866 Entonce la proyección obre el eje X ide 8,66 c y la proyección obre el eje Y ide 5 c.

6 66 Aprendete ete procediiento. Lo va a uar todo el tiepo para calcular la velocidade iniciale en el eje y en el eje y. E á, conviene eorizar la forula que pue en clae en el capítulo 1. ( V =..., V y =... ). E fácil : La Vy e V por eno y la V e V por coeno. Eo e todo. PITÁGORAS El teorea de Pitágora irve para aber cuánto vale la hipotenua de un triángulo rectángulo abiendo cuánto valen lo cateto. Si tengo un triángulo rectángulo e cuple que: hip ady op hip = ady + op TEOREMA DE PITAGORAS Ejeplo: Tengo un triángulo de lado 6 c y 8 c. Cuánto ide u hipotenua? Rta.: hip = ( 6 c ) + ( 8 c ) hip 8 6 c h = 100 c h = 10 c Hata ahora todo lo que pue de tiro parabólico fueron coa de ateática. Ahora í voy a epezar con el tea de tiro parabólico propiaente dicho. Pretá atención:

7 67 PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Ete principio fue enunciado por el ater Galileo. ( Idolo! )). Lo que él dijo fue que un tiro parabólico podía coniderare coo i etuviera copueto por do oviiento: uno rectilíneo y unifore obre el eje, y otro uniforeente variado obre el eje y. Mirá el dibujo: Cada oviiento actúa coo i el otro no eitiera, e decir, la obra en el eje no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje y. Y vicevera, la obra en el eje y no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje. E decir ( y ete e el truco ): CADA MOVIMIENTO ACTÚA SIN ENTERARSE DE LO QUE ESTÁ HACIENDO EL OTRO. Capta la idea? Cada oviiento e INDEPENDIENTE del otro y la uperpoición de eto oviiento da el oviiento real. E decir, tengo eto: La obra en el eje e va oviendo todo el tiepo a la ia velocidad. Su oviiento erá rectilíneo y unifore y u velocidad erá la proyección de la velocidad inicial obre el eje, e decir, V valdrá V 0 por co.

8 68 La obra en el eje e ueve todo el tiepo con velocidad V = V 0. co α. Eta velocidad no e odifica en ningún oento. E contante. Voy ahora al eje vertical. Bueno, en y la obra e ueve coo i hiciera un tiro vertical. Su velocidad inicial erá la proyección de v 0 obre ete eje: E decir, lo que paa en el eje y e que la obra ale con una velocidad inicial que vale Vo y = V 0. en α. Sube, ube, ube, llega a la altura áia y ahí epieza a bajar. Eactaente coo i fuera un tiro vertical. Ve coo e la coa?. Galileo tabién e dio cuenta de que la trayectoria en el tiro parabólico era una parábola. E decir, i bien uno decopone el oviiento en para poder entenderlo, el oviiento en realidad e uno olo: la parábola de tiro parabólico. Ahora, ete oviiento puede entendere coo i fuera una uperpoición de lo otro do. Eto e todo lo que tiene que aber. Éte e todo el concepto. Do oviiento independiente, uno obre cada eje, tale que cobinado, uperpueto, dan el oviiento original. ( = la parábola de tiro parabólico ). Quiero que vea uno ejeplo. EJEMPLOS DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (ver) Iaginate un helicóptero que etá quieto a una deterinada altura y deja caer una coa. Supongao que la coa tarda 0 egundo en caer ( por ejeplo ).

9 69 Supongao ahora que el tipo epieza a avanzar en fora horizontal oviéndoe a 50 k por hora en dirección equi. Te pregunto... Qué paa i ahora deja caer el objeto?. Va a tardar á o eno en tocar el pio?. Bueno la repueta a eto parece fácil pero no e tan fácil. ( Atento ). El aunto e que teniendo el helicóptero velocidad horizontal, el paquete... Va a tardar lo io que ante en tocar el uelo!. Por qué paa eto?. (Eta e una buena pregunta ). Bueno, hay que tratar de iaginárelo un poco. El tiepo de caída e el io porque a lo que paa en el eje y ( caída libre ), no le iporta lo que paa en el eje ( MRU ). La caída libre e produce coo i el oviiento en el eje no eitiera ( atento con eto! ). Mira eta otra ituación. Supongao que un tipo viene corriendo y e tira de un trapolín. ( Eto lo habrá hecho alguna vez ). Supongao que en el io oento otro tipo e deja caer parado... Te pregunto: Cuál de lo llega priero al agua?. CUAL DE LOS LLEGA MAS RAPIDO AL AGUA? Rta: E lo io que ante. Lo do tocan el agua al io tiepo.

10 70 Por qué eto e aí?. Rta: Por lo io de ante. Porque el oviiento rectilíneo y unifore que tiene en el eje el que viene corriendo no afecta para nada, ni influye obre lo que paa en el eje y. Vayao ahora a ete otro ejeplo bien aldito conocido coo ahí va la bala. Suponete que un tipo dipara un revolver en fora horizontal y la bala cae a 1 kilóetro. Y upongao tabién que eactaente en el io oento en que el tipo dipara, uelta con la otra ano una bala vacía. Te pregunto: Cuál de la bala toca 1ro el uelo? La repueta a eta pregunta e la ia de iepre. El tiepo que tardan la bala en tocar el uelo e el io. La llegan al io tiepo al pio. Por qué?. Por el principio de independencia de lo oviiento de Galileo Idolo. ECUACIONES EN EL TIRO PARABÓLICO ( leer ) Del principio de independencia de lo oviiento urge que, i decopongo el vector velocidad inicial en u coponente, V o y V oy puedo decir que: Tengo un tiro vertical en el eje y, de velocidad inicial V oy, y un MRU de velocidad V o, en el eje.

11 71 Entonce la ecuacione en el eje van a er la de MRU y la del eje y, van a er la del tiro vertical. E decir: Eje v v 0 0 v 0 t cte Eje y y y v fy 0 v v 0 y 0 y t g t 1 g t a 0 a cte g y Ecuacione para el oviiento de laobra en el eje (MRU) Ecuacione para el oviiento dela obra en el eje y (Tiro vertical) CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TIRO PARABÓLICO? Supongao que e dan un problea de tiro parabólico en donde un tipo patea una pelota. ( Típico problea de eaen parcial ). Para reolver un problea de ete etilo, hay que eguir una erie de pao. Lo que generalente conviene hacer e lo iguiente : ( Atención ). 1-Too un itea de referencia. Lo pongo donde yo quiero y coo á e gute. y ( En general yo iepre lo uelo toar aí: ). Sobre ete dibujo arco V 0, V 0y y g, cada una con u igno. Si alguna de eta cantidade apunta al revé de coo va el eje, e (-). Por ejeplo, g apunta iepre aí, de anera que i yo too el eje y aí, g va a er ( - ). E decir que al poner g en la fórula tengo que poner 9,8 / - Ecribo la ecuacione horaria para el eje X y para el eje Y : v 0 0 t y y v 0 0 y t 1 g t Eje v v 0 cte Eje y v fy v 0 y g t a 0 a y g cte

12 7 3 - En eta ecuacione reeplazo por lo dato, pongo g con u igno, arco v 0 ( = V 0. co ) y V 0y ( = V 0. en ), con u igno. Una vez que tengo toda la ecuacione con lo valore nuérico depejo lo que e piden. Sólo e uan la 1 ra ec. para el eje y la 1ª y ª para el eje y. Con eta 3 ecuacione e puede reolver cualquier problea. Repito: Sólo e uan TRES ecuacione para reolver un tiro parabólico. Tratar de inventar á ecuacione e un error. Todo ejercicio de tiro parabólico tiene que alir de ahí, de ea 3 ecuacione. EJEMPLOS DE TIRO PARABÓLICO Un tipo que viene en oto a 90 por hora ( 5 / ) ube una rapa inclinada 30. Suponiendo que la rapa e uy corta y no influye en diinuir u velocidad, Calcular: a ) - A qué altura áia llega. b ) - Cuánto tiepo etá en el aire. c ) - A qué ditancia de la rapa cae. He aquí un típico problea de tiro parabólico. Hagao un dibujito aclarador : MOTO RAMPA Para reolver eto elijo un itea de referencia. Marco en el dibujo toda la velocidade, la aceleración de la gravedad y todo eo.

13 73 A la velocidad V 0 la decopongo en la coponente horizontal y vertical. Decopongo la Vo en Vo Y en Vo y. Me queda : V 0 V. co 5 0 V0y V0. en 5. co 30 1,65. en 30 1,5 En el eje X la obra de la oto tiene un MRU. La velocidad de ete oviiento e contante y vale V 0 = 1,65 /. En el eje y la obra de la oto e ueve haciendo un tiro vertical de V 0y = 1,5 /. La ecuacione horaria quedan aí: Eje 0 1,65 t v v0 1,65 a 0 Ecuacione para el eje horizontal ( MRU). Para el eje vertical la coa quedan de eta anera: Eje y (MRUV) Y 0 1,5 t 1 9,8 t V fy 1,5 9,8 t ay 9,8 cte ECUACIONES PARA EL EJE VERTICAL Todo lo tiro oblicuo e reuelven uando olaente la priera ecuacione en Y y la 1ª ecuación en X. ( 3 en total ). La otra 3 ecuacione igual la pongo porque on iportante conceptualente. Lo que quiero decir e que: 1,65 t y 1,5 t 4,9 t v 1,5 9,8 t fy Sólo eta ecuacione e uan.

14 74 a ) - Hallar la altura áia. Cuando el tipo llega a la altura áia, la obra obre el eje y ya no igue ubiendo á. ( Tratá de iaginártelo ). E decir, que eactaente en ee oento la velocidad en y tiene que er cero. ( cero ). Entonce reeplazando la velocidad final en y por cero : V y = 0 0 1,5 9,8 t 9,8 t 1,5 t 1,5 9,8 ta 1,75eg Tiepo quetarda la oto en llegar a la altura áia. b ) - Cuánto tiepo etá en el aire? Si para ubir el tipo tardó 1,75 eg, para bajar tabién va a tardar 1,75 eg. ( Todo lo que ube tiene que bajar ). E decir, el tiepo total que el tipo etá en el aire va a er vece el t de ubida. Pero atención, eto vale en ete ttot cao porque ta la oto ale tdel tot pio 1,75 y llega eg al pio. t tot t t t tota Eto io lo puede coprobar de otra anera. Cuando el tipo toca el uelo la poición de la obra t obre el eje y e y = 0. Entonce, i reeplazo y por cero en : tot ttot,55eg,55 eg Tiepo Tiepo total que total la que Y = 1,5 /. t 4,9 /.t, e queda : oto etá oto enetá el aire. en el aire. a 1,5 t tot. t 4,9 4,9. t 1,5 1,5 t 4,9,55 eg t tot. t t,55 eg 0 t 1,75 eg 1,75 eg tot ( verifica). Tiepo total que la oto etá en el aire.

15 75 c ) - Calcular a qué ditancia de la rapa cae el tipo con la oto. El tiepo total que el tipo tardaba en caer era,55. Para calcular en qué lugar cae, lo que e tengo que fijar e qué ditancia recorrió la obra obre el eje en ee tiepo. Veao. La ecuación de la poición de la obra en equi era X = 1,65 /.t Reeplazo por t =,55 egundo 1,65 y t e queda: 1,65,55 eg caída Ditancia a la que 55, cae laoto. caída OTRO EJEMPLO DE TIRO PARABÓLICO El cañoncito de la figura tira balita que alen horizontalente con velocidad inicial 10 /. En el oento en que e dipara la balita ale el cochecito a cuerda que etá a 8 del cañón. A qué velocidad tendría que overe el cochecito para que la balita le pegue? En realidad, éte no e un problea de tiro parabólico ino de tiro horizontal. Lo problea de tiro horizontal on un poco á fácile porque inicialente no hay velocidad en y. Voy a toar ete itea de referencia: Ete problea lo aqué de un parcial. Etá bueno porque parece er difícil pero no lo e. E eactaente igual a cualquier otro problea de tiro parabólico. Tiene la

16 76 pequeña trapa de parecer un problea de encuentro. Pero no e un problea de encuentro. Epiezo dándoe cuenta que la velocidad inicial e horizontal. Sólo tiene coponente en equi. Entonce irando el dibujo: v v 0 y v La obra de la balita en el eje e ueve con un MRU. La obra de la balita en el eje y e ueve en una caída libre. La ecuacione horaria para cada eje on: Eje 0 v a v t 10 Eje y y 1 0 t 1 9,8 t PROYECCION SOBRE EL v EJE fy 0 HORIZONTAL 9,8 t ( MRU, V X = Contante) ay 9,8 cte Eje y Y 1 0 t 1 V 0 ( 9,8 ). t fy ay 9,8 cte 9,8 t PROYECCION SOBRE EL EJE VERTICAL. ( MRUV, a = 9,8 / ) De toda eta ecuacione que on la 6 de tiro oblicuo, iepre e uan 3, una en equi y en Y. Entonce ólo voy a uar la iguiente: X 10. t Unica ecuacio Y 1 4,9. t ne que voy a uar. V 9,8. t fy

17 77 Lo priero que neceito aber e el tiepo que tarda la balita en tocar el uelo. Eo lo aco de la ecuación en y. Cuando la balita toca el pio, y e cero, entonce: ( Y 0 ) 4,9 t caída 0 1 4,9. t. t 1 0,45 eg TIEMPO QUE TARDA EN CAER El lugar donde toca el uelo lo aco de la ecuación en. Sé que llega al pio en 0,45 egundo. Entonce reeplazo t = 0,45 egundo en la ecuación de equi: X 10 0,45 eg Xcaída 4,5 Lugar donde cae la balita. E decir que i reuo lo que calculé hata ahora tengo eto: Entonce, en el tiepo que tarda la balita en caer ( 0,45 eg ), el cochecito tendrá que recorrer 3,5 hacia la izquierda. Entonce u velocidad va a er: 3,5 VA t 0,45 va 7,77 Velocidad que tiene que tener el auto. ( hacia la izquierda) Fin Teoría de Tiro Parabólico Próio tea: Fluido