FUERZA CENTRAL (soluciones)

Transcripción

1 FUERZA CENTRAL (olucione) 1.- Un cuerpo de peo g gira en una circunferencia vertical de radio R atado a un cordel. Calcular la tenión del cordel en el punto á alto y en el á bajo. Calcule la velocidad crítica (velocidad ínia para que el cuerpo, etando en la parte á alta de la circunferencia... no caiga). Repueta: En el punto á alto, e tiene la iguiente ituación vectorial, con la fuerza que actúan obre. T En la parte á alta, entonce, e tiene que la ua de la fuerza que actúan obre e equivalente a la fuerza centrípeta, entonce: F C g + T, de donde e tiene que T F C g, y i coniderao que F C v /R, entonce e tiene T v /R g Y, en la parte á baja de la circunferencia que recorre el cuerpo, e tiene la iguiente ituación vectorial, con la fuerza obre. T Entonce, la fuerza centrípeta, ería: F C T g, por lo tanto, T F C + g. Y, en relación a la velocidad crítica, en la parte á alta de la circunferencia e obtiene cuando T 0 N, por lo tanto e tendrá: F C g v /R g v Rg Rg.- Calcular la rapidez con que gira un atélite para antenere en una órbita circular a 630 k de la uperficie terretre. Conidere radio de la tierra k. R k 7x10 6 Suponiendo que etá en un punto fijo obre la uperficie de la Tierra, entonce T 1 día ? πr/t 3,14 7x10 6 / ,8 / Y, i no pidieran la fuerza centrípeta que actúa obre el atélite, coniderando que tenga una aa de kg, ella ería: F C v /R kg (508,8 /) / 7x N 3.- Un auto de 800 kg gira una curva de 1 k de radio a 180 k/hr. Cuál e la aceleración y la fuerza centrípeta que actúa obre él? 800 kg R 1 k k/h 50 / a c v /R (50 /) / 1.000,5 / Profeor de Mateática y Fíica 1

2 F c a c 800 kg,5 /.000 N 4.- Un perno etá ituado a 10 c del eje del volante de una áquina que gira a.400 rp. Qué aceleración centrípeta tiene el perno? R 10 c 0,1 ω.400 rp 51, -1 a c ω R (51, -1 ) 0, / 5.- Un cuerpo de 00 g gira en un plano horizontal unido a un cable de 40 c de largo a.400 rp. Qué tenión oporta el cable? 00 g 0, kg R 40 c 0,4 ω.400 rp 51, -1 Cuando el cuerpo gira hay una tenión T en el cable, por lo tanto, iendo ea única fuerza la que contribuye con el oviiento circular, e tiene que e equivalente a la fuerza centrípeta que afecta al cuerpo: T F c a c ω R 0, kg (51, -1 ) 0, N 6.- Un cuerpo de 100 g gira horizontalente en una circunferencia de 5 de radio. Si el período e 0,5. Cuál e la frecuencia, en rp?, cuál e la fuerza que actúa obre el cuerpo? 100 g 0,1 kg R 5 T 0,5 f 1/T 1/0, rp (conidere que i en 1 realiza 4 giro, en un inuto realizará 40 giro, e decir 40 revolucione en un inuto). F c v /R (πr/t) /R 4π R/T F c 4 3,14 0,1 kg 5 / (0,5 ) 1577,5 N (con πr/t) 7.- Una partícula de aa gira en una ultracentrífuga a rp, a 10 c del eje. Copare u aceleración con la de la gravedad. ω rp R 10 c 0,1 g 9,8 / Para coparar a c con g, debeo hallar a c /g a c ω R ( ) 0, / Entonce: a c /g / / 9,8 / Y, e tiene que a c 10 5 g 8.- Un avión en picada ale de ella a k/h decribiendo un arco de 4 k de radio. Si la aa del piloto e 80 kg, copare la fuerza que actúa obre él, en ete cao, con u propio peo k/h 300 / Profeor de Mateática y Fíica

3 R 4 k kg La fuerza que actúa obre el piloto e la fuerza centrípeta, e decir: F c v /R 80 kg (300 /) / N Y, al copararla con u peo, e tiene: F c /g N / (80 kg 9,8 / ).3 E decir, la fuerza centrípeta que le afecta, e,3 vece uperior a u peo. Y, i haceo la coparación de la fuerza noral que le afecta, la que el aiento le ejerce, e tendrá: Cuando el avión ale de la picada, etá en la parte á baja de la circunferencia que realiza, y ahí hay do fuerza que actúan obre el piloto: u propio peo g, y la noral que el aiento ejerce obre él. Por lo tanto: F c N g, luego N F c + g v /R + g N 80 kg (300 /) / kg 9,8 /.584 N Y, i e copara ea fuerza que actúa obre el piloto con u peo, e tiene: N/g.584 N / (80 kg 9,8 / ) 3,3 N g E decir, el aiento le ejerce una fuerza, hacia arriba, equivalente a 3,3 vece u peo. 9.- La trayectoria de la Luna en torno a la Tierra e cai una circunferencia de aproxiadaente k de radio, deorando 7,3 día en recorrerla. Deterine la fuerza que antiene a la Luna en u órbita alrededor de la Tierra. Maa lunar 1/81 de la aa terretre (5,98x10 4 kg). R k 3,84x10 8 T 7,3 día,359 x10 6 L 1/81 T 5,98x10 4 kg / 81 7,38x10 kg G 6,67x10-11 N /kg En ete cao, la fuerza centrípeta F c e equivalente a la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna, entonce: F c F G G T L / R F c 6,67x10-11 N /kg 5,98x10 4 kg 7,38x10 kg / (3,84x10 8 kg) 1,997x10 0 N 10.- En un átoo de hidrógeno el electrón en órbita alrededor del protón experienta una fuerza atractiva de aproxiadaente 8,x10-8 N. Si el radio de la órbita e 5,3x10-11, cuál e la frecuencia en revolucione por egundo? F 8,x10-8 N R 5,3x10-11 Ea fuerza e de carácter eléctrica, por lo tanto, hay que coniderar la carga eléctrica del electrón y del protón: q e -1,6x10-19 C q p 1,6x10-19 C Profeor de Mateática y Fíica 3

4 Ea fuerza e F E kq e q p / R, con k 9x10 9 N /C Y, coo ea fuerza e equivalente a la fuerza centrípeta que afecta al electrón, hay que tener en cuenta la aa del electrón: e 9,1x10-31 kg Para hallar la frecuencia del electrón en u órbita alrededor del protón, e debe encontrar la velocidad lineal, que e relaciona con la frecuencia f a travé de: πrf. Entonce, al hacer F c F E, e tiene e v /R kq e q p /R, de donde: kqeqp 9x10 N / C 1,6x10 C 1,6x10 C 6,185x10 / R 9,1x10 5,3x10 e Se conideró la carga del electrón coo poitiva, ya que hay que coniderar olo u agnitud. Por lo tanto, de πrf, e tiene: f v/πr,185x10 6 / / ( 3,14 5,3x10-11 ) 6,57x Y, coo cada revolución equivale a π, e divide la expreión anterior por ea cantidad, y e tiene: f 1,046x10 15 rp Otra fora, aparenteente á iple: 8 F 8,x10 N F a c a c 9x ,1x10 kg v ac Ra 5,3x10 9x10 R 6,18x10 v πrf f 11 πr 3,14 5,3x10 11 c 6,56x10,18x Una aa de 3 kg unida a una cuerda ligera gira obre una ea in fricción horizontal. El radio del círculo e 0,8 y la cuerda puede oportar una aa de 5 kg ante de ropere. Qué intervalo de velocidade puede tener la aa ante de que e ropa la cuerda? kg R 0,8 5 kg De acuerdo a la inforación dada, la cuerda oporta una tenión áxia equivalente al peo de una aa de 5 kg, por lo tanto: T g 5 kg 9,8 / 45 N Entonce, la velocidad ínia que puede tener la aa al girar, erá uperior a 0 /, y la áxia e deterina a partir de igualar: RT F c T v /R T, de donde: Profeor de Mateática y Fíica 4

5 Entonce: 0,8 45N 3kg 8,08 / E decir, la velocidad no puede uperar lo 8,08 / 1.- Un atélite de 300 kg de aa e encuentra en órbita circular alrededor de la Tierra a una altitud igual al radio edio de la Tierra (6.370 k). Encuentre: a) la velocidad orbital del atélite, b) el periodo de u revolución, y c) la fuerza gravitacional que actúa obre él. 300 kg R k 1,74x10 7 (i etá a una altitud equivalente al radio de la Tierra, a ea altura hay que uarle el propio radio de la Tierra) Adeá, coo la fuerza que perite que el atélite gire de la fora que lo hace, e la fuerza gravitacional entre la Tierra y el atélite, hay que toar en cuenta la aa de la Tierra y la contante de gravitación univeral. T 5,98x10 4 kg G 6,67x10-11 N /kg Entonce, e tiene: c) F G G T S /R F G 6,67x10-11 N /kg 5,98x10 4 kg 300 kg / (1,74x10 7 ) 737,4 N a) La velocidad del atélite la podeo obtener luego de igualar la fuerza centrípeta con la fuerza gravitacional: F c F G v /R F G 737,4 N 1,74x kg 7 F G R / b) Y, el período lo obteneo de la igualdad πr/t, e decir: T πr/v T 3,14 1,74x10 7 / / Mientra do atronauta etaban en la uperficie de la Luna, un tercer atronauta la orbitaba. Suponga que la órbita e circular y e encuentra 100 k obre la uperficie de la Luna. Si la aa y el radio de la Luna on 7,4x10 kg y 1,7x10 6, repectivaente, deterine: a) la aceleración del atronauta en órbita, b) u velocidad orbital, y c) el periodo de la órbita. R L 1,7x10 6 h 100 k 10 5 R 1,8x10 6 (aquí e conidera el radio de la Luna á la altura de la órbita) L 7,4x10 kg G 6,67x10-11 N /kg Si la aa del atronauta e, él etá oetido a una fuerza gravitacional que equivale a la fuerza centrípeta, entonce, e tiene: F c F G a c F g a c G L /R a c G L /R Profeor de Mateática y Fíica 5

6 a c 6,67x10-11 N /kg 7,4x10 kg / (1,8x10 6 ) 1,5 / De a c v /R e tiene R a c 1,5 / 1,8x / De πr/t, e tiene T πr/v T 3,14 1,8x10 6 / / Una cuerda bajo una tenión de 50 N e ua para hacer girar una roca en un círculo horizontal de,5 de radio a una velocidad de 0,4 /. La cuerda e jala hacia adentro y la velocidad de la roca auenta. Cuando la cuerda tiene 1 de longitud y la velocidad de la roca e de 51 /, la cuerda e rope. Cuál e la reitencia a la ruptura de la cuerda? T 50 N R,5 0,4 / R 1 v 51 / Con lo priero dato e deterina la aa de la roca: F c T v /R T TR/v 50 N,5 / (0,4 /) 0,3 kg Entonce, la tenión de ruptura erá: T v /R T 0,3 kg (51 /) / 1 781,5 N 15.- El piloto de un avión ejecuta una pirueta de giro copleto a velocidad contante en un plano vertical. La velocidad del avión e de 300 i/h y el radio del círculo e de 1.00 pie. A) Cuál e el peo aparente del piloto en el punto á bajo i u aa real e de 160 lb?, b) Cuál e u peo aparente en el punto á alto?, c) Decriba cóo podría experientar falta de peo el piloto i e variara tanto el radio coo la velocidad. (u peo aparente e igual a la fuerza que el aiento ejerce obre u cuerpo) 300 i/h 134,1 / (1 illa ) R 1.00 pié 366 (1 pié 0,305 ) 160 lb 73,76 kg (1 lb 0,461 kg) a) En la parte á baja, el peo aparente correponde a la fuerza noral que actúa obre él. E decir: F c N g N F c + g N v /R + g 73,76 kg (134,1 /) / ,76 kg 9,8 / N Ea fuerza equivale al peo de una aa de 96 lb. b) En la parta á alta, el peo aparente tabién correponde a la fuerza noral que actúa obre el piloto (e la que el aiento le ejerce). N g F c N + g N F c g N v /R g 73,76 kg (134,1 /) / ,76 kg 9,8 /.901 N T Profeor de Mateática y Fíica 6

7 Eta fuerza equivale al peo de una aa de 64 lb. c) Para que el piloto experiente una carencia de peo, entonce la noral debe er nula. En la parte á baja eo no puede lograre, pero í en la parte á alta, y para ello puede coniderare: i) variación del radio de giro. Entonce, debería cuplire que: F c g v /R g R v /g Por lo tanto, el radio del círculo que debería decribir el piloto ería: R (134,1 /) / 9,8 / ii) variación de la velocidad. Entonce, debería cuplire que: F c g v /R g Rg Por lo tanto, la velocidad con que debería overe el avión, ería: 366 9,8 / 59,89 / 16.- Cuál e la velocidad áxia a que puede viajar un autoóvil al girar en una curva horizontal de 130 de radio cuando el coeficiente entre la rueda y el paviento e 0,91? R 130 µ 0,91 Al etar en oviiento circular, hay una fuerza centrípeta que e dirige hacia el centro de la circunferencia que tiene coo trayectoria, coo e uetra en figura vita dede arriba. Al io tiepo, e oberva en la otra figura, que hay una fuerza de fricción, f, que ipide que el autoóvil e alga de la pita circular. Por lo tanto, e tiene: F c f v /R µn µg autoóvil no tiene oviiento en la dirección vertical) v R F c Vita dede arriba µ Rg (e conidera N g ya que el f N Vita perpendicular al radio de la trayectoria 0, ,8 / 34 / 17.- Iaginar que e tiene que dieñar un trao de una autopita donde hace una curva de radio 310. Si e deea que ahí lo autoóvile viajen a una velocidad de 5 /. Qué ángulo debe tener el peralte? (e requiere algo de trigonoetría) R / Para que ea la inclinación de la calle la que ipida que un autoóvil e depite, entonce la coponente de la fuerza noral que e dirige hacia el centro de la trayectoria circular debe er equivalente a la fuerza centrípeta que actúa obre el autoóvil. E decir: v R F c Vita dede arriba N Vita perpendicular al radio de la trayectoria F c Nen, y coo Nco g, e tendrá: N g/co, entonce: F c gen /co Y, coo en / co tg, e tiene que: Profeor de Mateática y Fíica 7

8 F c gtg v /R gtg, de donde: tg v /Rg tg (5 /) / (310 9,8 / ) 0,057 tiene: Y, al calcular el arcotangente, e arctg 0,057 11,65º 18.- Cuando Newton uó un péndulo cónico para deterinar el valor de g, etableció u valor diciendo que un objeto oltado dede el repoo caería 00 pulgada en 1. A partir de eta afiración, deterinar el tanto por ciento de error en ete valor de g, repecto al valor real. (Averigüe la equivalencia entre pulgada y etro) h 00 pulgada 5,08 (1 pulgada 0,054 ) t 1 Con eto valore, y utilizando la expreión h gt / para la caída libre de un objeto, e tiene que g ería g h/t g 5,08 / (1 ) 10,16 / El valor real de g, coniderando el peo de un objeto de aa pueto en la uperficie de la Tierra, de radio k 6,37x10 6, que e g, e tiene que ee peo e igual a la fuerza gravitacional de la Tierra obre el objeto. Por lo tanto: g G T /R, por lo tanto: g G T /R g 6,67x10-11 N /kg 5,98x10 4 kg / (6,37x10 6 ) 9,83 / Entonce, i 9,83 / e el 100%, la diferencia entre lo do valore de g, que e 0,33 /, erá x %, e decir: x 0,33 / 100 / 9,83 / 3,357 % 19.- Cuando un aeroplano e inclina adecuadaente para decribir un giro durante el vuelo con velocidad contante, la fuerza ejercida por el aire obre el aeroplano e directaente perpendicular al plano que contiene la ala el aeroplano y u fuelaje. Un aeroplano que viaja con una velocidad cuyo ódulo e 75 /, e inclina 8º para girar adecuadaente. Cuál e el radio de curvatura de ete giro? (e requiere algo de trigonoetría) y 75 / 8º B Ben En la figura e oberva lo iguiente: En el eje vertical, y, e tiene que el peo del avión, g, e equilibra con la coponente vertical de la fuerza de epuje, B, por lo tanto: g R Bco g, de donde e tiene que B g/co (1) Por otro lado, la fuerza que apunta hacia el centro de la trayectoria circular, e la coponente horizontal de la ia fuerza de epuje, e decir: Ben. Y, coo ea e la única fuerza que e dirige hacia el centro de la trayectoria, entonce correponde a la fuerza centrípeta, y e tiene: Profeor de Mateática y Fíica 8

9 F c Ben al reeplazar B por (1) F c gen/co, que e equivalente a: F c gtg v /R gtg R v /gtg (75 / ) 5.65 / Entonce R ,8 / tg8º 9,8 / 0, Cuál e el periodo de un péndulo cónico de longitud 1, cuya cuerda fora con la vertical un ángulo de 30º? (e requiere trigonoetría) L 1 30º L T Tco Ten g R La figura no uetra la fuerza, y u decopoición, que actúan obre la efera del péndulo cónico. Coo e ha indicado en ejercicio anteriore, e oberva que la única fuerza que actúa hacia el centro de la trayectoria e la fuerza Ten, por lo tanto, ea fuerza e equivalente a la fuerza centrípeta: F c Ten, y coo en el eje vertical no hay oviiento, e tiene que el peo, g, e equivalente a la coponente vertical de la tenión: Tco g, de donde, T g/co Por lo tanto, e tiene: F c gen/co gtg v /R gtg Para calcular el periodo del péndulo neceitao la velocidad, depejando de la ecuación anterior: Rgtg Hay que coniderar que el radio de giro e R Len, por lo tanto: glen tg 9,8 / 1 en30º tg30º 9,8 / 1 0,5 0,577 1,68 / Y, coo πr/t, e tiene: T πr/ πlen/v T 3,14 1 en30º / 1,68 / 3,14 1 0,5 / 1,68 / 1,867 Profeor de Mateática y Fíica 9