Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace

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1 Aplicar la transformada de aplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales: ) dy y e dt y ( 0) 3 5t ) ( 0) 0 y t + 4y t sin 3t y y 0 0 y y 8y 0 t t 0 3 3) y y 0 6 d y t + y e sin t dt 0 0 4) y y 0 0 y '' + 5 y ' + 4y 0 0 5) y y ' y '' 8 y ' + 7y 0 0 6) y y ' 0 3 d y d y dy y 0 cost 3 dt dt dt 0 0 ' 0 0 7) y y y '' 0 3 y ''' 5 y '' + 7 y ' 3y 0sin t y ( 0) 0 8) y '( 0) 0 y ''( 0) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página

2 dy y e ) dt y ( 0) 3 5t Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo II.Ingeniería. Página 805. Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemas propuestos ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: dy y t e dt 5t { } { } (A) Donde: dy s{ y( t) } y ( 0) sy ( s) 3 dt { } y ( s) y t s 5 s a 5t at { } ya que: { e } e ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: dy 5t { y( t) } { e } dt ( sy( s) 3) y( s) s Sacando factor común, luego y( s) [ s ] 3 s 5 s 5 sumando fracciones algebraica 4 y( s) Despejando a ( s 5)( s ) ( y s ) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página

3 y s y t 3 ) Debemos ahora calcular { } Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) 4 A + ( s 5)( s ) ( s 5) ( s ) B Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s5 ( s 5) 4 ( s 5) ( s 5) ( s ) ( s 5) 4 3(5) 4 A A s A B ( s 5) ( s 3 ) + Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-) ambos miembros, simplificamos y luego evaluamos para s ( s ) 4 ( s 5) ( s ) ( s ) A + 4 3() B ( s ) ( s ) ( s 5 ) ( s ) B ) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición { } Como: y( s) y( t) 4 / 3 8/ 3 + ( s 5)( s ) ( s 5) ( s ) Usamos tablas 8 + at 3 ( s 5) 3 ( s ) e s a 5t 8 t e + e 3 3 5t 8 t y( t) e + e (Solución de la ecuación diferencial) 3 3 Podemos ver que también es cierta y(0)3. Verifícalo cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 3 B

4 () ( 0) 0 y t + 4y t sin 3t y y 0 0 Solución: ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d y + { } { } 4 y t sin 3t dt (A) Donde: d y { } y ( s) 4 y t 4 { }. ( 0 ) '( 0) 0 0 s y t s y y s y s s y s dt 3 b { sin 3t} ya que: { sin bt} s + 9 s + b ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: s y s 3 + s s 9 3 y s 4y ( s) s + 4 ( Factor común) y s + ( s + 9)( s + 4) ( Despejando a y ( s) ) y s y t 3 ) Debemos ahora calcular { } { } y s y t Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 4

5 3 { y ( s) } ( s + 9)( s + 4) asin bt bsin at ( s + 9)( s + 4) ( s + a )( s + b ) ab( a b ) 3 in t sin 3t in t sin 3t 3 3.( 9 4) 0 { } in sin 3 t t y s y t 0 a solución de la ecuación diferencial viene hacer: y ( t ) in t sin 3t 0 Verificamos las condiciones iniciales in t sin 3t in t sin 3t y ( t ) Si t 0 y ( 0) 0 6cos t 6cos3t 3 y '( t ) ( cos t cos3t ) Si t 0 y '( 0) Tal que: y t + 4y t sin 3t 6 9 in t sin 3t sin t + sin 3t sin t sin 3t + sin t sin 3 t sin 3 t sin 3 t 5 5 y y 8y 0 t t 0 3 3) y y 0 6 cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 5

6 Solución: ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: y y 8 + { y ( t) } 0 t t (A) Donde: y { }. ( 0 ) '( 0) 3 6 s y t s y y s y s s t y s{ y( t) } y ( 0) sy ( s) 3 sy ( s) 6 t { } y ( s) 8 y t 8 ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: ( s y ( s) 6) ( sy ( s) 6) 8y ( s) 0 s y ( s) sy ( s) 8y ( s) ( Eliminando paréntesis, simplifando) y ( s). s s 8 ( Sacamos Factor común) y s Despejando y factorizando s s 8 ( s 4)( s + ) el denominador y s y t 3 ) Nuestro propósito es calcular { } o primero es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes Indeterminados A y B Método de sustitución A + ( s 4)( s + ) ( s 4) ( s + ) B Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por ( s 4) ambos miembros simplificamos y luego evaluamos para s 4 cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 6

7 ( s 4) + Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de aplace ( s 4) ( s 4) ( s + ) ( s 4) A Multiplicamos y B + ( s 4) simplificamos por ( s ) + ( s 4) 3 4 A A Evaluamos para ( s ) Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +) ambos miembros, simplificamos y evaluamos para s ( s + ) ( s 4) ( s + ) ( ) ( ) A ( s ) ( s ) ( s 4 ) ( s + ) 3 6 B B Evaluamos para s 4 6 B Multiplicamos y simplificamos por ( s + ) 4 ) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa dicha descomposición: { } ( s 4)( s + ) ( s 4) ( s + ) Por tablas de Transformada + at ( s 4) ( s ) inversa e + s a + Como: y s y t y t e + e 4t t e + e 4t t Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas: 4t t Por tanto Si 0 ( 0) y y t e e t y e e 0 3 4t t 4t t e e t 8 6 y '( 0) y ' t e (4) + e ( ) 8 Por tanto Si 0 y ' 0 6 Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la derivada podemos ver si es cierta la ecuación diferencial y '' y ' 8y 0 cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 7

8 d y t + y e sin t dt 0 0 4) y y 0 0 Solución: ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: d y + t { } { } y t e sin t dt (A) Donde: d y { } y ( s) { }. ( 0 ) '( 0) 0 0 s y t s y y s y s s y s dt y t t at b { e sin t} ya que: { e sin bt} s + + s + 4s + 5 s a + b ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: s y s y ( s) s + ( Sacamos factor común) y s y s + s + 4s + 5 s 4s ( s + 4s + 5)( s + ) ( Despejando y ( s) ) y s y t 3 ) Nuestro propósito es calcular { } o primero es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B, C y D As + B Cs + D + ( s + 4s + 5)( s + ) ( s + 4s + 5) ( s + ) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 8

9 Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de aplace 3 3 A + A + B ( As B)( s ) ( Cs D)( s s ) ( s )( s ) Sumando fracciones s + 4s + 5 s + s algebraicamente Como los numeradores son iguales, ( As + B)( s + ) + ( Cs + D)( s + 4s + 5) aplicamos la propiedad distributiva s s s B Cs Cs + 5Cs + Ds + 4Ds + 5D 3 ( A + C) s + ( B + C + D) s + ( A + 5C + 4D) s + ( B + 5D) ( semejantes) Sumando términos Se forma el sistema siguiente: A + C 0 A C B + C + D 0 A + 5C + 4D 0 B + 5D Supongamos que: A 0 C 0 En la ecuación II B + D 0 B D Al sustituirlo en IV ( D) + 5D D 4 4 ) Sustituimos los coeficientes AC0, D/4 y B -/4 y tenemos que la expresión buscada es: Como: { } y s y t / 4 / 4 + ( s + 4s + 5)( s + ) ( s + 4s + 5) ( s + ) + 4 ( s 4s 5) ( s + ) + 4 ( s ) ( s + ) t e sin t + sin t 4 4 Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes b at b e sin bt sin bt ( s a) + b s + b cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 9

10 t y t e sin t + sin t 4 4 a solución a la ecuación diferencial buscada es Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación: t y ( t ) e sin t + sin t y ( 0) t t y '( t ) e sin t + e cost cos t y '( 0) y '' + 5 y ' + 4y 0 0 5) y y ' 0 0 Solución: ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: y y { y ( t) } 0 t t (A) Donde: y s y t s y y s y s s { } y ( s) { }.. 0 ' 0 t y s. { y( t) } y ( 0) sy ( s) t y t ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: { } ( s y ( s) s) + s y ( s) + y s y ( s). s + 5s + 4 s 5 0 ( Sacando factor común) y y Como: 5 4 y t 0 Propiedad de linelidad + + t t y s aplaciano de una derivada s + 5 s s s s s Despejando y( s) y factorizando el denominador cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 0

11 y s y t 3 ) Nuestro propósito es calcular { } Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I) s + 5 A + ( s + 4)( s + ) ( s + 4) ( s + ) B Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente, s A ( s ) s B ( s ) 4 ) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B, tenemos s + 5 / 3 4 / 3 + ya que: y s y t ( s + 4)( s + ) ( s + 4) ( s + ) 4 + como: 3 ( s + 4) 3 ( s + ) s a 4t 4 t e + e 3 3 a sol 4t 4 t ución de la ecuación Asi que: y( t) e + e 3 3 diferencial buscada 6 y '' 8 y ' + 7y 0 0 6) y y Solución: ' 0 { } at e ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: 6. d y dy 8 7 y t + dt dt { } { } (A) Donde: cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página

12 { } y ( s) { } Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de aplace s y t s y y s y s s y s dt dy s{ y( t) } y ( 0) sy ( s) 0 s. y ( s) dt d y { }. ( 0 ) '( 0) 0 y t s ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: d y dy Como: { y ( t) } { } dt dt Entonces 6. ( s y ( s) ) 8 ( sy( s) ) + 7y ( s) s Sacamos factor común y ( s) 6s 8s s y sumando fracciones + 6s y ( s) ( Despejando y( s) ) s s s Si intentamos factorizar ( ) 6s 8s 7 tanto, completamos cuadrados para expresarla como: +, podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo ( s a) + b Como: / s s + s s Sumamos y restamos 6 s s para completar cuadrados 6 s Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto 6 s s + Sacamos factor común 4 4 y s y t 3 ) Nuestro propósito es calcular { } Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página

13 Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los Coeficientes Indeterminados A, B y C + 6s A Bs + C Sumamos fracciones + s s s + s 6s 8s + 7 algebraicamente ( 6 8 7) ( B C) ( s ) + 6s A 6s 8s s + s Como el Numerador y s( 6s 8s + 7) s 6s el denominador son iguales + 6A 8A + 7A + B + Cs ( licando propiedad distributiva) 6s s s s Ap ( 6A + B) ( C 8A) 7A : + 6s s + s + Agrupando términos semejante Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente 6 A + B 0 C 8A 6 7 A A 7 Sustituimos el valor de A, en la ecuación II C 8( /7) 6 C 6 + C Sustituimos el valor de A 7, en la ecuación I 6 6A + B 0 B s + 6s s s ( 6s 8s + 7) s 6s 8s s 7 6 ( s / 4) + 35 s + 7 s ( s / 4) 7 + Completando cuadrados 4 ) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B y C, tenemos : cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 3

14 + 6s s 35/ y s y t { } ya que: s ( 6s 8s + 7) 7 s 7 ( s / 4) + 7 s 7 s Donde: ; 69 s s 35/ ( s / 4) + 7 ( s / 4) + s ( s / 4) + 68 ( s / 4) + s 4 t / 4 s a at e cos t e cosbt 7 ( s / 4) + 7 ( s a) + b t / 4 b at e sin t e sin bt 68 ( s / 4) + 68 ( s a) + b { } t / 4 t y s y t y t e cos t + e / 4 sin t Verificamos las condiciones iniciales para t 0, t 69 / 4 t y t e cos t + e / 4 sin t y ( 0) y ( 0) t / 4 69 t / 4 y '( t) Dt e cost + e sin t t / 4 t / 4 e cost t / 4 69 e sin t t / 4 0 e sin t + + e cost y '(0) + y '(0) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 4

15 3 d y d y dy y 0 cost 3 dt dt dt 0 0 ' 0 0 7) y y y '' 0 3 Solución: ) Apliquemos el aplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada: 3 d y d y dy 4 5 y( t) 0 cost dt dt dt Donde: { } y ( s) { } { } 3 d y { } s y t s y 0 s y ' 0 y ' 0 s y s 3 dt d y { } ( 0 ) '( 0) s y t sy y s y s dt dy s{ y ( t) } y ( 0) s y ( s) dt y t s s { cost} ya que; { cosbt} s + s + b ) a ecuación diferencial (A) transformada quedaría así: 3 d y d y dy Como: { y( t) } 0{ cost} dt dt dt 3 0s entonces: ( s y ( s) 3) + 4( s y ( s) ) + 5( s y ( s) ) + y ( s) s + 0s s + 0s + 3 y s 3 y s s s s + 3 ( s + )( s + 4s + 5s + ) cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 5

16 Factorizamos la expresión( s 3 + 4s + 5s + ) en el denominador usando la regla de Ruffini los divisores de son ±, ± 3 s s s s s De esta manera: y ( s) + 0s s ) Nuestro propósito es calcular 3 ( s + )( s + 4s + 5s + ) ( s + )( s + ) ( s + ) y s y t { } Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para luego usar la tabla de transformada inversa de aplace (o transformada inversa) Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I) s + s + As + B C C D ( s + )( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) Calculemos C y D por el método corto o de sustitución: Para hallar C, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( s + ) y luego evaluamos para s, simplificamos C + 0s + 3 3( ) + 0( ) C ( s + )( s + ) (( ) + )(( ) + ) Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( s + ), simplificamos y luego evaluamos para s + 0s + 3 3( ) + 0( ) D 5 5 ( s + )( s + ) (( ) + )(( ) + ) D Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego, como veremos a continuación: cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 6

17 s 3 As B C As B C ( s + )( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) s s s A + B C ( s + )( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) Sumando fracciones algebraicamente 0s 3 ( As + B)( s + ) ( s + ) + C ( s + )( s + )( s + ) ( s + )( s + ) ( s + )( s + ) ( s )( s ) s s s s os numeradores y los coeficientes son iguales, ya que los denominadores tambien lo son. ( A B) C s 3 s s s s s s s s s s Desarrollemos el miembro derecho: ( As B)( s 4s 5s ) C ( s ) ( s s s ) ( s s s s ) Aplicando la propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente: A + A + A + A 4 3 s 4 s 5 s s Bs 4Bs 5Bs B s 4s s 4 C s + 3C s + 3C s + 3C s + C Sumamos luego términos semejantes 4 3 s s s s 4 3 ( A + C ) s + ( 4A + B + 3C 4) s + ( 5A + 4B + 3C 6) s + ( A + 5B + 3C 4) s + ( B + C 5) Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión + 0s + 3 y tenem A + C 0 4A + B + 3C 4 0 5A + 4B + 3C 6 3 A + 5B + 3C 4 0 B + C 5 3 ( C ) ( C ) A + C A C 4A + B + 3C 4 5A + 4B + 3C 9 A + 5B + 3C 4 B + C 8 B 4 C ( 4 3 ) Sustituimos A C y B 4 C en la ecuación II A + B + C C 4 4 4C + 4 C + 3C 4 A C B 4 C C 4 8 A B 4 C 4 / A B C os el siguiente sistema: cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 7

18 a expresión buscada quedaría así: 0s 3 s ( s + )( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) 4 ) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B, C, C y D tenemos: { } y s y t + 0s + 3 s + + ( s + )( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) Donde s + + ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( s + ) ( usando la transformada inversa ): s cost ( s + ) sin t ( s + ) e s + t te ya que: ya que: ya que: t s cos bt s + b b sin bt s + b e s a ( s + ) ( s a) e s + t Tenemos entonces que : y t ya que: ya que: cos t + sin t + e te e at n! n t e n+ e s a at at t t t a solución de la ecuación diferencial es y t cost + sin t + e te e t t t Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y evalúalas para t 0, comprueba que si es cierto. cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 8

19 8) y ''' 5 y '' + 7 y ' 3y 0sin t y ( 0) 0 y '( 0) 0 y ''( 0) Solución: En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo: Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s) ( s + s + ) s + 0s + 0 y( s) 3 s + s 5s + 7s 3 s + s s 3 Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados obtenemos ( s + 0s + ) s ( s + )( s ) ( s 3) ( s + ) ( s ) ( s ) ( s 3) y s y t Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t), es decir, y t cos t + in t 3e 6te + e t t t a solución de la E.D.O es: 3 { } cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 9

20 Problemas Propuestos: Aplicar la transformada de aplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con valores iniciales: 3t t ( A ) y y e e y y. '' + 4 ' 6 3 ; 0, ' 0 ( A ) y y t y y. '' + sin ; 0 0, ' 0 0 ( A ) y y e t y y.3 '' + 9 ; 0 0, ' 0 0 t ( A ) y y y y e y y y.4 ''' + 3 '' 3 ' ; 0 0, ' 0 0, '' 0 ( A ) y y y y t y y y.5 ''' + '' ' sin 3 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 cdo. Eliezer A. Montoya Z. Página 0