Efectos del retardo en el control de lazo cerrado de plantas sobreamortiguadas

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1 Revita de la Facultad de Ingeniería Indutrial 5(): 0-9 (0) UNMSM ISSN: (Impreo) / ISSN: (Electrónico) Efecto del retardo en el control de lazo cerrado de planta obreamortiguada Recibido: 3/0/ Aceptado: 0/06/ Bruno Varga Tamani RESUMEN El preente trabajo preenta un etudio del efecto del retardo en el deempeño de lo itema de lazo cerrado de control de planta indutriale que pueden modelare como de egundo orden obreamortiguada, en la cuale no e ha coniderado el retardo en el dieño del controlador. Se eligen lo tipo de planta repreentativa de egundo orden y e dieñan para cada una de ella como controlador, al cláico controlador proporcional integral derivativo (PID). Se experimenta con planta de prueba a la cuale previamente e realizan procedimiento de identificación analógica y luego on controlada por lo PID correpondiente incorporando retardo a la planta no coniderada en el dieño. Se realizan la prueba correpondiente para obtener el deempeño de lazo cerrado midiéndoe lo parámetro de repueta dinámica a la alida de la planta. Palabra clave: itema de lazo cerrado, controlador pid, identificación de itema, dieño de controladore, repueta dinámica. EFFECT OF DELAY IN THE CLOSED LOOP CONTROL ON PLANTS DAMPED ABSTRACT Thi paper preent a tudy of the effect of delay in the performance of cloed loop ytem control plant that can be modeled a econd order obreamortiguada, in which were not conidered the delay in the controller deign. They chooe the type of plant repreentative of the econd order and are deigned for each driver to the claic controller a proportional integral derivative (PID). Experienced with tet plant which are conducted previouly analog and identification procedure are then controlled by the PID incorporating delay correponding to plant i not conidered in the deign. Tet are performed to obtain the correponding cloed-loop performance parameter meaured dynamic repone to the output of the plant. Keyword: cloed loop ytem, pid controller, ytem identification, controller deign, dynamic repone. Introducción Lo tiempo de retardo o tiempo muerto contituyen una parte fundamental de la dinámica de mucho proceo indutriale, iendo una limitante para coneguir un control adecuado; por ello, e importante tomarlo en cuenta durante el dieño del controlador del proceo ya que on una fuente de inetabilidad en lo lazo de control. El tiempo muerto, e el que trancurre dede el intante en que e produce un cambio en una variable de entrada al proceo hata el intante en que el efecto de dicha variación comienza a obervare en la variable de alida. Normalmente, e debe al tiempo que tarda un fluido en circular de un punto a otro a travé de tubería (también conocido como retardo ditancia-velocidad ), a una mezcla imperfecta en un equipo tipo tanque agitado o al itema de medida de la variable controlada. Lo proceo que preentan un tiempo muerto ignificativo frente a la contante de tiempo dominante on difícile de controlar con un bucle de realimentación imple tipo PID. La razón fundamental e debe a que el atrao de fae que introduce el tiempo muerto del proceo (fae negativa y grande incluo a baja frecuencia) hace neceario deajutar el controlador (ganancia proporcional baja y tiempo integral grande) para poder aegurar la etabilidad del itema en bucle cerrado. Ete deajute del controlador provoca que el itema en bucle cerrado de ete tipo de proceo preente un comportamiento lento y bajo rechazo a perturbacione. Por ello, cuando la relación entre el tiempo muerto del proceo y la contante de tiempo dominante ea mayor que e aconejable utilizar algoritmo epecífico de compenación del tiempo muerto para controlar el proceo []. Una amplia gama de controladore de proceo que e utilizan en la indutria ofrecen como principal la etrategia de control proporcional integral derivativo o comúnmente llamado controlador PID, la cual en mucho cao preenta la dificultad de ajute eficiente de eto controladore. El procedimiento de intonía del controlador PID e tedioa y requiere mucho tiempo, el deempeño del itema de lazo cerrado principalmente depende de la experiencia y del conocimiento que el ingeniero encargado tiene del proceo. Se reconoce en la práctica que mucho lazo cerrado de control indutrial etán pobremente intonizado. La técnica de intonización automática, por lo tanto, llaman la atención cada vez má de lo invetigadore y de lo ingeniero en ejercicio []. Magíter en Ingeniería de Control. Docente Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica, Univeridad Nacional Mayor de San Marco, Lima, Perú. bvargat@unmm.edu.pe.

2 Bruno Varga T. Sitema de egundo orden obreamortiguado repreentativo para un amplio rango de valore de relación de amortiguamiento Una planta con entrada u(t) y alida y(t) (con tranformada de Laplace U() y Y() repectivamente) que repreenta un itema de egundo orden tiene la iguiente función de tranferencia [3] : () Y() = R() K ω + n ξω n + ωn = () La relación de amplitude de lo componente tranitorio que correponden a la contante de tiempo má rápida τ repecto a la contante de tiempo má larga τ, e igual a ρ. La Figura, muetra un juego de repueta al ecalón unitario de itema obreamortiguado con ganancia unitaria para diferente valore de ρ, coniderando una contante de tiempo normalizada τ =. Figura. Repueta al ecalón unitario de itema obreamortiguado para diferente valore de ρ. ρ=0. Lo parámetro que caracterizan a un itema de egundo orden on: u ganancia K, u relación de amortiguamiento ξ y la frecuencia natural no amortiguada ω n. El término ξω n =σ e llamado atenuación. De acuerdo al valor de la relación de amortiguamiento e claifican lo itema de egundo orden, para ξ> el itema e denomina de egundo orden obreamortiguado. Ete itema etá caracterizado por do contante de tiempo τ y τ (aumimo la condición τ >τ ). La ecuación () para un itema obreamortiguado e puede repreentar por: ρ=0.5 ρ= () = K ( τ + )( τ ) () + Definimo ρ como la relación entre la contante de tiempo τ y τ : τ ρ = (3) τ Con (3) en () el itema obreamortiguado e repreenta por : () = K ( τ + )( ρτ ) () + Para una entrada ecalón de amplitud unitaria la repueta del itema obreamortiguado de ganancia K =, etá dada por [] : ρ = + ρ ρ t / ρτ t / τ y (t) e e (5) Cuando ρ e muy pequeño, de acuerdo a (5) la contante de tiempo τ produce una repueta tranitoria má rápidamente decreciente que el tranitorio producido por la contante de tiempo τ. Con eto e podría depreciar la contante de tiempo τ y el itema e comportará como uno equivalente de primer orden. Cuando ρ e e trata de un itema críticamente amortiguado (ξ=). Un itema repreentativo de lo itema obreamortiguado para un rango 0<ρ<, puede er el que correponde a la repueta central de la figura (repueta intermedia entre la repueta equivalente de primer orden y la repueta de un itema críticamente amortiguado) para el cual el valor de ρ e igual a 0.5. Dieño de controladore pid para la planta repreentativa obreamortiguada A. Dieño de controlador PID para una planta repreentativa de egundo orden obreamortiguada con ρ=0.5. Ind. data 5(), 0

3 Efecto del retardo en el control de lazo cerrado de planta obreamortiguada La Figura repreenta el itema de lazo cerrado para el control de la planta repreentativa (). La planta () erá controlada mediante un controlador con función de tranferencia C () en cacada con la planta, mediante un itema de lazo cerrado con realimentación unitaria. En la Figura, r(t) e la eñal de referencia de lazo cerrado, e(t) e la eñal de error que e deea anular en etado etacionario para cumplir con el objetivo que la referencia e refleje en la alida de la planta. El controlador repreentado por C () en todo tiempo t debe producir la eñal de control u(t) que e aplica a la planta para aegurar el objetivo de control. Figura. Diagrama de bloque del itema de lazo cerrado para controlar la alida de la planta y(t). r(t) + R() - e(t) E() C () u(t) U() () y(t) Y() Para una planta de egundo orden obreamortiguada, e cumple que lo do polo y de ea planta de acuerdo a (), e relacionan con la contante de tiempo τ y τ a travé de : = (6) τ = (7) τ Con el valor repreentativo ρ=0.5 y de acuerdo a (3), e cumple: = (8) Si conideramo que el itema de lazo cerrado debe etar manejado en u repueta tranitoria por un par de polo dominante ubamortiguado con amortiguamento ξ LC =0.5, entonce lo polo de lazo cerrado dominante LC y LC (donde ambo on conjugado), deben ubicare obre la línea que ale del origen con un ángulo α entre el eje real negativo y dicha línea, la cual cumple: Con lo cual : co α ξ = 0.5 (9) = LC α = co (0.5) = 60 (0) Para aegurar la condición etacionaria e debe contar con un componente integral en el controlador C (). Ee componente integral aegura la anulación del error en etado etacionario para itema etable de lazo cerrado, para entrada de referencia y de perturbación contante. El retrao de fae que produce el integrador e debe compenar agregando un par de cero iguale. Con lo cual el controlador tendrá la etructura PID dada por: ( a) C () K = () La Figura 3, muetra la ditribución de polo y cero de la trayectoria directa formada por el controlador propueto y la planta, ademá del polo dominante de lazo cerrado en el tercer cuadrante elegido. A partir de la condición de fae del lugar geométrico de la raíce [5] y en bae a la relacione geométrica motrada en la Figura 3, el valor de a e obtiene como: a = 3 () Utilizando la condición del módulo del lugar geométrico de la raíce [5], e obtiene la ganancia K de control como:.667 K = (3) K Por tanto, al controlador propueto dieñado a partir de () y (3) reemplazado en () le correponde la iguiente función de tranferencia:. 667 ( 3 ) C( ) = () K Ind. data 5(), 0

4 Bruno Varga T. Figura 3. Vectore y ángulo trazado dede lo polo y cero de la trayectoria directa LR () al polo deeado LC. jω LC jωd = jωnlc ξlc Figura. Vectore y ángulo trazado dede lo polo y cero de la trayectoria directa LR () al polo deeado LC. jω LC jωd = jωnlc ξ LC r =r 5 r r r 3 r =r 5 r=r r 3 a φ = φ θ θ 3 = ξ ω 0 LC nlc α θ 3 σ a φ = φ = = ξ ω 0 LC θ = θ nlc α θ 3 σ B. Dieño de controlador PID para una planta críticamente amortiguada. Para una planta repreentativa de egundo orden críticamente amortiguada, e preenta un amortiguamiento de ξ=. Ea planta la caracterizan do contante de tiempo τ y τ, con la condición τ = τ. La ganancia de la planta e K, el modelo de la planta, egún (), preenta polo iguale y e cumple : τ = τ = (5) Lo polo dominante e eligen con la conideracione dada en (9) y (0). Por la razone dada en III. A., el controlador PID etá repreentado por (). La Figura, muetra la ditribución de polo y cero de la trayectoria directa formada por el controlador propueto y la planta, ademá del polo dominante de lazo cerrado en el tercer cuadrante elegido. Utilizando la condicione de fae y de módulo del lugar geométrico de la raíce, e obtiene el iguiente controlador PID: C (). 5 ( ) K = (6) C. Obtención de PID realizable agregando un polo adicional igual a tre vece la parte real del polo dominante. Lo controladore propueto dado por () y (6) preentan etructura de función de tranferencia no realizable. Para obtener un controlador PID que e pueda implementar, debemo modificar la repreentación de lo controladore dieñado y lograr u realizabilidad. Se propone agregar un polo adicional ad alejado a la izquierda de la zona de incidencia del polo dominante, de tal manera que el controlador realizable tenga la iguiente función de tranferencia: Creal () = C() Cad () (7) Ind. data 5(), 0 3

5 Efecto del retardo en el control de lazo cerrado de planta obreamortiguada Donde C () repreenta a cada uno de lo controladore dieñado y Cad () repreenta la función de tranferencia del componente adicional que permitirá que el conjunto repreentado por (7) ea realizable. El componente Cad () que e adicionará debe preentar un polo adicional, por tanto, e ugiere la iguiente función : Cad ad ( ) = (8) ( ) La ganancia de Cad () erá unitaria. El polo adicionado en ad debe er ubicado alejado de la zona dominante de lazo cerrado, ee polo erá un número n de vece la parte real del polo dominante, aí : = n Re( ) (9) ad LC Coniderando n=0 y (9) en (8) y en (7), a partir del controlador PID repreentado por () e obtiene el iguiente controlador PID realizable : Creal 7. 5 ( 3) () = (0) K ( 5 ) y el controlador PID repreentado por (6) realizable erá el iguiente : Creal 5 ( ) () = () K ( 0 ) Análii del efecto del retardo de la planta en el deempeño de lazo cerrado de la planta repreentativa obreamortiguada A. Análii del efecto del retardo en el deempeño de lazo cerrado de la planta repreentativa obreamortiguada con ρ = 0.5 Conideramo la planta repreentativa de egundo orden obreamortiguada con ρ=0.5 con ganancia unitaria K y contante de tiempo mayor τ también unitaria reemplazando en () e obtiene la iguiente función de tranferencia de la planta : () = () ad El controlador realizable ugerido para eta planta etá repreentado por (0). Coniderando en (0) =/τ =-, el controlador realizable para eta planta erá el iguiente: ( + 3) Creal () = 7. 5 (3) ( + 5 ) El itema de lazo cerrado de acuerdo a la Figura, coniderando () y (3), erá analizado en término del efecto en la etabilidad de lazo cerrado del tiempo de retardo m que preenta la planta y que no fue coniderado en el dieño del controlador PID. (Para itema de lazo cerrado etable, la repueta etacionaria etá aegurada por la preencia del componente integral en el controlador). Para diferente relacione del tiempo de retardo m a la contante de tiempo mayor de la planta τ, la Figura 5 muetra la repueta en frecuencia de la trayectoria directa en término de gráfico de magnitud y fae. La Tabla I, muetra cómo varían lo márgene de fae (MF), de ganancia (M) y la frecuencia de cruce de ganancia (ω cg ) y de fae (ω cf ). Se aprecia de la Figura 5 (y de lo reultado motrado en la Tabla I) que la frecuencia de cruce de ganancia no e afecta por el aumento del retardo, pero í e aprecia una diminución del margen de fae llegándoe a ituacione inetable. Eto e confirma con la diminución del margen de ganancia. Figura 5. Variación de la repueta en frecuencia en magnitud y fae de la trayectoria directa por variación del retardo de la planta obreamortiguada. m/τ =0 m/τ =0.5 Ind. data 5(), 0

6 Bruno Varga T. Tabla I. Márgene de ganancia y de fae. Frecuencia de cruce de fae y de ganancia al variar el retardo de la planta obreamortiguada m/ τ M ω cf MF ω cg Figura 6. Variación de la repueta en frecuencia en magnitud y fae de la trayectoria directa por variación del retardo de la planta críticamente amortiguada. m/τ =0 m/τ =0.35 B. Análii del efecto del retardo en el deempeño de lazo cerrado de la planta repreentativa críticamente amortiguada Se conidera la planta repreentativa de egundo orden críticamente amortiguada con ρ=, con ganancia unitaria K y contante de tiempo mayor τ también unitaria; reemplazando en () e obtiene la iguiente función de tranferencia de la planta : () = ( + ) () El controlador realizable ugerido para eta planta etá repreentado por (). Coniderando =/τ =- en (6), el controlador realizable para eta planta erá el iguiente : ( + ) Creal () = 5 (5) ( + 0 ) El itema de lazo cerrado de acuerdo a la Figura, coniderando () y (5), erá analizado en término del efecto en la etabilidad de lazo cerrado del tiempo de retardo m que preenta la planta y que no fue coniderado en el dieño del controlador PID. Se conidera una relación del retardo m a la contante de tiempo mayor de la planta τ variable. Para diferente relacione del tiempo de retardo retardo m a la contante de tiempo mayor de la planta τ, la figura 6 muetra la repueta en frecuencia de la trayectoria directa en término de gráfico de magnitud y fae. La Tabla II, muetra cómo varían lo márgene de fae, de ganancia y la frecuencia de cruce de ganancia y de fae. Tabla II. Márgene de ganancia y de fae. Frecuencia de cruce de fae y de ganancia al variar el retardo de la planta críticamente amortiguada. m/ τ M ω cf MF ω cg Se aprecia de la Figura 6 (y de lo reultado motrado en la Tabla II) que el retardo adicionado en el lazo, diminuye el margen de fae y el margen de ganancia llegándoe a ituacione inetable. Prueba experimentale A. Prueba experimental con planta equivalente de primer orden con diferente retardo. Se experimentó con una planta de la cual luego de un procedimiento de identificación analógica [6], e obtuvo el iguiente modelo que la repreenta: Ind. data 5(), 0 5

7 Efecto del retardo en el control de lazo cerrado de planta obreamortiguada. 6x0 () = e x0 () = ( )( e ) (6) De acuerdo a (), e obtiene para eta planta una contante de tiempo mayor τ = y una contante de tiempo menor τ = El tiempo de retardo e m = De acuerdo a (3) e obtiene la relación ρ=τ /τ = y la relación m/τ = Aí, el efecto de τ y m on de menor conideración repecto a τ. Eto reultado ignifican que el itema e comporta en forma efectiva como un itema de primer orden. Para ete itema e obtiene como ganancia de la planta K =.5. Para ea ganancia y =- /τ =-3.365, el controlador PID dado por (0) e el iguiente: B. Prueba experimental con planta equivalente de egundo orden obreamortiguada repreentativa con diferente retardo. Se experimentó con una planta que luego de un procedimiento de identificación analógico e obtuvo el iguiente modelo que la repreenta:.33x0 ( ) = e x0 ( ) = ( + 5.)( e. ) (8) Figura 7. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta equivalente de primer orden in retardo. ( ) Creal () = (7) ( ) Se implementó el itema de lazo cerrado que repreenta la Figura para el control de la planta utilizando el controlador PID dado por (7). Se aplicó una entrada de lazo cerrado tipo ecalón y e regitraron la caracterítica de la repueta de lazo cerrado de la alida para diferente tiempo de retardo de la planta no coniderado en el dieño del controlador. En la Tabla IV e muetran lo reultado de lo parámetro dinámico de la repueta como on el tiempo de etablecimiento t como el valor de porcentaje de obreimpulo M P. En todo lo cao en etado etacionario e anuló el error. Tabla IV. Parámetro de repueta al ecalon en lazo cerrado del control de planta equivalente de primer orden para diferente tiempo de retardo. Figura 8. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta equivalente de primer orden con retardo efectivo de m/τ =0.5. m/ τ M P (%) t (g.) Inetable 0.5 Inetable La Figura 7 muetra la repueta medida en la alida para la planta anterior in retardo para una entrada ecalón de amplitud 0.8 voltio. La Figura 8 muetra la repueta medida en la alida para la planta anterior con un retardo de la planta efectivo de m/τ =0.5, para una entrada ecalón de amplitud 0.8 voltio. 6 Ind. data 5(), 0

8 Bruno Varga T. De acuerdo a (), e obtiene para eta planta una contante de tiempo mayor τ =0.0. y una contante de tiempo menor τ = El tiempo de retardo e m= Se obtuvo la relación ρ=τ / τ = y la relación m/τ = El efecto del retardo e depreciable e trata de un itema obreamortiguado de egundo orden. Para ete itema e obtiene como ganancia de la planta K =.5. Para ea y =-/τ =-70.9, el controlador PID dado por () e el iguiente : ( +. 8) Creal () = 0 (9) ( ) Se implementó el itema de lazo cerrado que repreenta la Figura para el control de la planta (8) utilizando el controlador PID dado por (9). Se aplicó una entrada de lazo cerrado tipo ecalón y e regitraron la caracterítica de la repueta de lazo cerrado de la alida para diferente tiempo de retardo de la planta no coniderado en el dieño del controlador. En la Tabla V e muetran lo reultado de lo parámetro dinámico de la repueta como on el tiempo de etablecimiento t, como el valor de porcentaje de obreimpulo M P.En todo lo cao en etado etacionario e anuló el error. La Figura 9 muetra la repueta medida en la alida para la planta (8) in retardo para una entrada ecalón de amplitud.0 voltio. La Figura 0 muetra la repueta medida en la alida para la planta (8) anterior con un retardo de la planta efectivo de m/τ =0.30 para una entrada ecalón de amplitud.0 voltio. Tabla V. Parámetro de repueta al ecalon en lazo cerrado del control de planta de egundo orden obreamortiguada para diferente tiempo de retardo. m/ τ M P (%) t (g.) Inetable 0.0 Inetable C. Prueba experimental con planta equivalente de egundo orden críticamente amortiguada repreentativa con diferente retardo. Se experimentó con una planta con el iguiente modelo identificado:. 705x0 () = x0. 705x0 () = ( +. 9)( ) (30) Figura 9. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta de egundo orden obreamortiguada in retardo. Figura 0. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta de egundo orden obreamortiguada con retardo efectivo de m/τ =0.30. Ind. data 5(), 0 7

9 Efecto del retardo en el control de lazo cerrado de planta obreamortiguada De acuerdo a (), e obtiene para eta planta una contante de tiempo mayor τ = y una contante de tiempo menor τ = Se obtuvo la relación ρ=τ /τ =0.9079, e trata de un itema aproximado a uno de egundo orden críticamente amortiguado. Para ete itema e obtiene como ganancia de la planta K =.5. Para ea y =-/τ = , el controlador PID dado por () e el iguiente: ( + 0. ) Creal () = 0 (3) ( + 00) Se implementó el itema de lazo cerrado que repreenta la Figura para el control de la planta (30) utilizando el controlador PID dado por (3). Se aplicó una entrada de lazo cerrado tipo ecalón y e regitraron la caracterítica de la repueta de lazo cerrado de la alida para diferente tiempo de retardo de la planta no coniderado en el dieño del controlador. En la Tabla VI e muetran lo reultado de lo parámetro dinámico de la repueta como on el tiempo de etablecimiento t,como el valor de porcentaje de obreimpulo M P. En todo lo cao en etado etacionario e anuló el error. Tabla VI. Parámetro de repueta al ecalon en lazo cerrado del control de planta de egundo orden críticamente amortiguada para diferente tiempo de retardo. m/ τ M P (%) t (g.) Inetable 0.5 Inetable La Figura muetra la repueta medida en la alida para la planta (30) anterior con un retardo de la planta efectivo de m/τ =0.35 para una entrada ecalón de amplitud.0 voltio. Figura. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta de egundo orden críticamente amortiguada in retardo. Figura. Repueta de lazo cerrado a entrada ecalón de planta de egundo orden críticamente amortiguada con retardo efectivo de m/τ =0.35. La Figura muetra la repueta medida en la alida para la planta (3) in retardo para una entrada ecalón de amplitud.0 voltio. 8 Ind. data 5(), 0

10 Bruno Varga T. Concluione En la prueba experimentale e confirma el hecho de que el aumento del retardo en la planta produce diminución del margen de fae y de ganancia de lazo cerrado, al punto de producir inetabilidad. El efecto del retardo e aprecia en la repueta dinámica en un incremento del obreimpulo y del tiempo de etablecimiento, aí como en el incremento de la ocilacione amortiguada. El itema de primer orden e má enible al aumento del retardo de la planta. El itema de egundo orden obreamortiguado e má enible al aumento del retardo de la planta críticamente amortiguada. Un leve aumento del retardo en 5% del retardo en relación a la contante de tiempo mayor τ produce un incremento en el obreimpulo que excede lo etándare aceptado. Se deben utilizar método de identificación que permitan obtener lo má cercano poible el tiempo de retardo de la planta, el cual neceariamente debe er coniderado en el dieño del controlador. Referencia bibliográfica [] Marto, Marga. (003). Control de proceo con grande tiempo muerto. ESI Bilbao. [] Hang C.C., Atrom K. J. & Wang Q.. (00). Relay feedback auto-tuning of proce controller - a tutorial review, Journel of Proce Control,, dia.bi.ehu.e/panih/aignatura/7/ PRACTICA%0IV.pdf. [3] Ogata, Katuhiko. (993). ingeniería de control moderna. México, Prentice-Hall Hipanoamericana, S.A. [] Varga Tamani, Bruno. (008). Dieño e implementacion de tarjeta electrónica de imulacion de proceo. Revita Electrónica UNMSM,. [5] Franklin,., Powell, D., & Emami-Naeini, (99). Control de itema dinámico con retroalimentación. U.S.A., Addion-Weley Iberoaméricana [6] Alfaro, V. (00). Identificación de Proceo Sobreamortiguado Utilizando Técnica de Lazo Abierto, Ingeniería,, -5. Ind. data 5(), 0 9