Sintonización de un controlador PID-PID en cascada aplicado a un giroscopio de 2 g.d.l.

Transcripción

1 Memoria del XVI Congreo Latinoamericano de Control Automático, CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México Sintonización de un controlador PIDPID en cacada aplicado a un girocopio de g.d.l. Cordero Gutavo Dzul Alejandro Santibáñez Víctor Ollervide E. Javier Intituto Tecnológico de la Laguna, Apdo. Potal 49, Adm., Torreón Coahuila, 7, MEXICO. Fax: e mail: gutavo.cordero.hdz@gmail.com e mail: dzul@faraday.itlalaguna.edu.mx e mail: vantiba@itlalaguna.edu.mx e mail: jollervi@itlalaguna.edu.mx Reumen: El control en cacada e uno de lo método má exitoo para mejorar el deempeño de un itema en lazo imple (SISO) o para controlar auello itema ue cuentan con múltiple entrada y una alida (MISO) y no pueden er controlado con un lazo imple. Sin embargo, la literatura acerca del dieño y la intonización de itema con control en cacada parece er limitada. En ete artículo e preenta un controlador Proporcional Integral Derivativo en cacada (PIDPID) emiintonizable, e decir, la mitad de la ganancia on intonizada de manera directa por el uuario, aplicando cualuier método de intonización conocido (heurítico o formal), y la otra mitad on calculada indirectamente a partir de cierta upoicione hecha para ete método. La principal contribución de ete trabajo radica en la reducción coniderable de la ganancia a intonizar, haciendo ue el controlador en cacada pueda intonizare como un PID imple. Ademá, e aplica dicho controlador a un girocopio de do grado de libertad ubactuado. Finalmente e compara el controlador propueto con un controlador PIDPID completamente intonizado por el uuario y e preentan lo reultado, en imulación y experimentale, demotrando ue el método de intonización propueto conigue un deempeño euiparable, con un efuerzo de intonización menor por parte del uuario. Palabra clave: girocopio, controlador PID, controlador en cacada, emiintonización.. INTRODUCCIÓN El control en cacada puede utilizare cuando exiten varia eñale de entrada y una ola variable de control (Åtröm, 6). Se contruye anidando lo lazo de control, como e muetra en la Figura, donde C p hace referencia al controlador primario, u e la variable de control, P y P indican la diferente dinámica de la planta, la variable y p indica la eñal de referencia, y e la variable controlada. Ademá, el control en cacada emplea una eñal de entrada ecundaria y y también un controlador ecundario realimentado C. La yp Proceo u y Cp C P P Lazo interno Lazo externo Fig.. Diagrama de bloue de un itema con control en cacada. y entrada ecundaria detecta la condición de error má rápido ue la variable controlada y. Dicho controlador también e uado cuando la perturbacione on aociada con la variable controlada o cuando el elemento final de control preenta un comportamiento no lineal (Seborg, 4). El control en cacada e ampliamente utilizado en lo proceo indutriale (Seborg, 4) y tiene do caracterítica principale: La eñal de alida del controlador primario C p (a vece llamado maetro) irve como et point para el controlador ecundario C (a vece llamado eclavo). Lo do controladore realimentado on anidado, e decir, el lazo de control ecundario (a vece llamado lazo interno) etá localizado dentro del lazo de control primario (a vece llamado lazo externo). Alguna ventaja de uar un controlador en cacada on: El control en cacada puede proveer un mejor deempeño ue lo controladore convencionale cuando ambo controladore etán bien intonizado, ya ue reduce el tiempo de repueta de lo elemento del lazo interno ue afectan directamente al lazo externo (Seborg, 4). 4

2 CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México E ampliamente uado debido a u deempeño cuando hay cambio de carga en el itema (rechazo de perturbacione) (Newell, 988). Hace ue el itema en lazo cerrado ea meno enible a errore del modelo (Broilow, 978). Alguna deventaja de uar un controlador en cacada on: Controlador má complejo. Para ue un itema con control en cacada funcione apropiadamente, la repueta del lazo de control ecundario debe er má rápida ue la del lazo primario (Shinkey, 988; Arrieta et al., 8). Aumento de la ganancia a intonizar. Si el controlador ecundario e reintonizado, generalmente el controlador primario debe er también intonizado (Seborg, 4). El control en cacada a utilizar en ete trabajo involucra el uo y la intonización de do controladore PID. La regla de intonización implican primero la intonización del controlador ecundario, depué, como egundo pao, el controlador primario e intonizado coniderando la acción del controlador ecundario en el lazo interno. Por conecuencia, el procedimiento de dieño e má complicado ue un itema con control PID en lazo imple (Åtröm, 6; Seborg, 4; Arrieta et al., 8; Viioli, 6). Alguno etudio proporcionan método ue ayudan en el dieño y intonización de un itema con control en cacada. En Hang et al. (994) e ua un procedimiento de auto intonizado baado en el método de realimentación con relevador (relay feedback); el procedimiento conume mucho tiempo (Viioli, 6). Otro reultado proporcionan regla de intonización para el controlador principal y ecundario (Lee et al., 998; Tan et al., ); o ugieren etructura de control alterna baado en la modificación de la configuración convencional en cacada (Kaya et al., 7; Yin et al., ); in embargo no exite una guía clara de como automatizar el proceo y la razón ue hay detrá de la intonización propueta. En Viioli (6) e muetra un excelente método para intonizar automáticamente la ganancia de un control en cacada, in embargo, dicha intonización e baa en el modelo (función de tranferencia de primer orden má tiempo muerto FOPDT) ue decribe el comportamiento de mucho proceo indutriale; pero no todo lo itema tienen ee comportamiento y e agrega el problema de elegibilidad del controlador a utilizar (aber i a un proceo deconocido e puede aplicar dicha intonización). En la mayoría de lo artículo publicado e encuentran etudio baado en el modelo, el cual debe er lineal o linealizado (lo cual agrega problema cuando el modelo del itema a trabajar e no lineal y no e puede o e difícil de linealizar); ademá, generalmente e muetran ólo reultado en imulación y no reultado experimentale ue avalen u concluione. controlador en cacada e propone aplicarlo a un girocopio de do grado de libertad ubactuado. Una introducción a lo controladore en cacada, análii del etado del arte y la contribución principal de ete artículo e encuentran en la preente ección. Una breve introducción al itema girocópico y el modelado no lineal y lineal e encuentran en la ección do. En la ección tre e preenta el análii del control en cacada PIDPID y e preenta el proceo de cómo obtener la ecuacione de emi intonización. En la ección cuatro e aplica el controlador en cacada emi intonizable al girocopio de do grado de libertad ubactuado ue e propuo en la ección do y e compara con un controlador en cacada intonizado en u totalidad por el uuario. Se muetran reultado en imulación y también lo reultado experimentale obtenido al aplicar ambo controladore al girocopio de Quaner. En la ección cinco e generan la concluione obtenida durante el trabajo de invetigación y e propone el trabajo a futuro. Finalmente, en la última ección e encuentran la referencia utilizada en la elaboración de ete artículo.. GIROSCOPIO Y MODELO DINÁMICO LINEAL Y NO LINEAL. Girocopio El girocopio e un aparato uado para medir o mantener la orientación, baado en lo principio del momento angular. Lo girocopio enan el movimiento angular y on el corazón de lo avione euipado con piloto automático, guía de lanzamiento de cohete, control de orientación de vehículo epaciale, girobrújula de barco y autonavegadore inerciale de ubmarino. Para el preente artículo e ha uado el girocopio de tre grado de libertad de Quaner, el cual e muetra en la Figura. Ete itema conite en un dico (D) montado dentro de un anillo interior de color azul (C), el cual a u vez etá montado dentro de un anillo exterior de color rojo (B). Toda la etructura anterior etá oportada por un marco rectangular de color plata (A) ue gira libremente alrededor de u eje de imetría vertical. La etructura total tipo Cardan le permite al dico girar libremente y le confiere tre grado de libertad (en realidad el itema de Quaner tiene cuatro grado de libertad, uno del dico y tre del mecanimo Cardan. En mucha aplica D A Debido a ue la literatura acerca del dieño y la intonización de itema con control en cacada e limitada (Ceca, 5; Lee et al., 998) y la exitente e un tanto compleja y e baa en el modelo (el cual debe er lineal), en ete artículo, e propone un método nuevo, encillo y eficiente para intonizar un itema con controlador en cacada PIDPID, cuya ventaja radican en intonizar olamente uno de u do controladore y en ue etá libre del modelo, por lo tanto aplica a todo itema ue neceite un controlador en cacada. Para demotrar la efectividad del B C Fig.. Girocopio de tre g.d.l. de Quaner y nomenclatura de cuerpo. 4

3 CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México cione la velocidad del dico e contante, entonce e dice ue el girocopio tiene g.d.l.).. Modelo No Lineal En eta ección e preenta el modelo no lineal del girocopio de Quaner de tre g.d.l. obtenido por el método de Euler Lagrange. El modelo fíico de dicho girocopio e muetra en la Figura. Entonce e el ángulo aociado al cuerpo D medido repecto al eje X; e el ángulo aociado al cuerpo C medido repecto al eje Y y e el ángulo aociado al cuerpo B medido repecto al eje Z. El marco rectangular (A) e mantiene inmóvil de tal manera ue 4 = 4 = 4 =. La velocidad angular n = del dico del girocopio e mantiene contante repecto al anillo interior (C) de tal manera ue la ecuacione de movimiento pueden reducire a do, convirtiendo el girocopio en un itema de do grado de libertad. Por conveniencia olamente e actúa un grado de libertad (τ = ) para finalmente convertir al girocopio en un itema de do grado de libertad ubactuado. Uando matrice de rotación en X, Y y Z e obtiene C S RB = S C C S, RC B = S C, RD C = C S. S C iendo C i = co( i ) y S i = in( i ) con i {,, }. Supóngae ue en general la velocidad angular del cuerpo I con repecto al marco del cuerpo J (I, J {B, C, D}) etá dada por el vector ω J I, uando la matrice de rotación R B, RC B y RC D, e obtiene ω B = [ ω ], ω B C = [ ω ] ω, ω C D =. La velocidade angulare de lo cuerpo B, C y D repecto a u propio marco e obtienen definiendo ω B B = RB ωb = (RB )T ωb, ωc C = (RB C )T (ω B B + ωb C ) y ωd D = (RC D )T (ω C C + ω C D ). Sutituyendo y haciendo operacione e obtienen la iguiente velocidade angulare: ω B B = [ A B ] S S, ω C C =, ω D D =. C C x C X y Y Fig.. Girocopio en una configuración arbitraria. D n B A z Z En la velocidad angular ω D D e han omitido lo término en función de ya ue la poición del dico no e relevante ( = ), olamente la velocidad n = lo e. La energía cinética de cada uno de lo cuerpo del girocopio e obtiene a partir de la ecuación K((t), (t)) = D I=A ωit I I Iω I I. Donde falta por definir I I como la matriz de momento de inercia del cuerpo I referida al marco del mimo cuerpo. (Nótee ue al no haber movimiento de tralación el término m Iv T I v I e uprimido). La energía cinética del cuerpo D e puede exprear como igue K D ((t), (t)) = ωdt D I D ω D D, K D ((t), (t)) = I Dxx + I Dyy + I Dzz I Dxx S + (I Dxx I Dzz )S. La energía cinética del cuerpo C e la iguiente K C ((t), (t)) = ωct C I C ω C C, K C ((t), (t)) = (I Cxx I Czz )S () + I Cyy + I Czz. () La energía cinética del cuerpo B ueda como igue K B ((t), (t)) = ωbt B I B ω B B, K B ((t), (t)) = I Bzz. () La energía cinética total (K = K B + K C + K D ) e la iguiente K((t), (t)) = I Dxx + J + J I Dxx S + J S. (4) donde J = I Cxx I Czz I Dzz + I Dxx, J = I Bzz + I Czz + I Dzz y J = I Cyy + I Dyy. La energía potencial total del girocopio U((t)) =, ya ue lo marco aociado a todo lo cuerpo del girocopio coinciden con lo centro de maa. Para encontrar la ecuacione de movimiento e neceario encontrar el Lagrangiano L ue e define como L(, ) = K((t), (t)) U((t)) y ya ue U((t)) =, entonce L(, ) = K((t), (t)). Aplicando [ entonce ] la ecuacione de movimiento de Lagrange d L(, ) L(, ) dt = τ, e obtienen la iguiente ecuacione de movimiento para el girocopio:. Modelo Lineal I Dxx [ C S ] = τ, (5) J + I Dxx C J S C = τ, (6) (J + J S) + J S C I Dxx [S + C ] = τ. (7) El modelo lineal e utiliza para demotrar por ué un controlador PID de lazo imple no e capaz de controlar el girocopio, 44

4 CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México teniendo, por lo tanto, la neceidad de recurrir al controlador Proporcional Integral Derivativo en cacada (PIDPID). Ya ue la velocidad del dico n = e contante, e tiene =. Definiendo h = I Dxx n = I Dxx y aplicando la aproximacione por variacione peueña de ángulo alrededor de = e tiene in( ) y co( ) ; tomando en cuenta ue h >> J S, h >> J S y h >> J S C ya ue la velocidad n e muy grande, alcanzando la 75 rpm, entonce lo término a la derecha de la deigualdade anteriore pueden coniderare cero; por lo tanto la ecuacione (6) y (7) uedan linealizada de la iguiente manera: J + h = τ, (8) J h =. (9) Llevando la ecuacione (8) y (9) al dominio de la frecuencia e llega a J + h = τ, () J h =. () Depejando de () e obtiene = J h, ue al utituirlo en () y haciendo operacione e obtiene la iguiente función de tranferencia en lazo abierto: h = τ J J + h. () La ecuacione (6), (7), (8) y (9) fueron obtenida analíticamente por lo autore, iendo euivalente a la obtenida por Canon () uien uó el método de D alembert. La ecuación () e idéntica a la utilizada por Quaner ().. CONTROLADOR PIDPID EN CASCADA SEMI SINTONIZABLE. Objetivo de control El objetivo de control e llevar el anillo exterior del girocopio (B) aociado a, el cual e ubactuado, a una configuración deeada d actuando implemente el anillo interior (C) aociado a. Para ue urja el efecto girocópico, el dico (D) rotará a velocidad n = = 75 rpm.. Controlador PID de lazo imple El primer pao ante de proponer un controlador en cacada PIDPID e aegurare ue el itema girocópico no puede controlare con un lazo imple PID. Con ete fin, e propone un controlador PID de lazo imple C() = K p + Ki + K v C()G() +C()G() y uando la ecuación H() =, dónde G() e la ecuación (), e obtiene la iguiente función de tranferencia del girocopio en lazo cerrado: h(k v + k p + k i ) H() = J J 4 + (h + hk v ). () + hk p + hk i donde k p, k v y k i on la ganancia proporcional, derivativa e integral del controlador, repectivamente. Para obtener H() en forma numérica, e uan lo iguiente valore proporcionado por Quaner () : h =.89[ kg m ], J =.6[kg m ] y J =.4[kg m ]. Aplicando el criterio de RouthHurwitz, para conocer la etabilidad de la función de tranferencia en lazo cerrado (), e utiliza el polinomio caracterítico del denominador de dicha función para formar la matriz de Routh y e analiza la primera columna para encontrar cambio de igno. En el tercer término puede comprobare ue k v, con ɛ y en el tercer y cuarto término exite una contradicción, a aber, k p < y k p > lo ue lleva a concluir ue no exiten valore de k p, k v y k i ue hagan etable el itema en lazo cerrado. Se concluye ue un controlador PID en lazo imple no e capaz de etabilizar el itema. Eto e debido a ue el controlador PID agrega do cero al itema y un polo en el origen. Si el polo en el origen pudiee movere entonce el controlador PID podría etabilizar el itema; e por eo ue un compenador de fae > JJKp ɛ de la forma C() = k(+α) +β í puede proporcionarle etabilidad al itema, tal y como e menciona en Quaner ().. Controlador en cacada PIDPID Para utilizar controladore del tipo PID, e reuiere utilizar una variable intermedia y un controlador ecundario PID, ue al conectare en cacada con el primero pueda cumplir con el objetivo de control. Se propone un controlador en cacada iguiendo la configuración de la Figura. Lo controladore C p y C e proponen como PID. Según Kelly y Santibáñez () la ley de control PID puede expreare como τ = K p + K v + K i (σ)dσ, donde lo valore de dieño K p, K v, K i R, on la llamada repectivamente ganancia proporcional, derivativa e integral; y τ e el par aplicado. La iguiente on la leye de control PID para cada uno de lo lazo (interno y externo) con la variable adaptada al girocopio. k p + k v + k i (σ)dσ = τ, (4) k p + k v + k i (σ)dσ = τ. (5) La ecuación (4) pertenece al controlador primario C p y e ecogido aí, pue contiene la variable a controlar. Por ende, la ecuación (5) e la del controlador ecundario C ; iendo = d y = d. Si e derivan eta ecuacione, e claro ue = d y = d, donde denota error y el ufijo d ignifica deeada. El controlador en cacada urge al hacer la alida del controlador primario la entrada de referencia o etpoint del ecundario ( d = τ). Aí, = τ, (6) = τ. (7) Sutituyendo (6) y (7) en la ecuación (5), haciendo operacione y reduciendo término, e obtiene la ley de control PID PID en cacada: (k p k p + k v k i + k v k i ) + (k p k v + k p k v ) +(k p k i + k p k i ) (σ)dσ + k v k v +k i k i (σ)dσ ( ) k p + k v + k i (σ)dσ = τ. (8) 45

5 CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México La ecuación (8) contiene ei ganancia a er intonizada por el uuario, para la cuale no exite un método de intonización uniforme y heuríticamente el proceo de intonización e complicado..4 Controlador en caacada PIDPID emi intonizable A partir de la ley de control (8) e obtiene el controlador en cacada PIDPID emi intonizable haciendo alguna upoicione, ue tienen origen al obervar la ganancia de la mima ley, la cuale on: k vt = k v k v = k p k v + k p k v, (9) k it = k i k i = k p k i + k p k i. () Si eto e cierto, entonce, implica ue el coeficiente de la egunda derivada del error de e puede obtener directamente del coeficiente de la primera derivada y el coeficiente de la egunda integral del error de e puede obtener directamente del coeficiente de la primera integral. Ya ue e han unificado u repectiva ganancia, depejando k v y k i de la ecuacione (9) y () e obtienen la iguiente ecuacione de dieño. k v = k p k v D v, () k i = k p k i D i. () donde D i = k i k p y D v = k v k p. Ademá, por conveniencia, e hace la iguiente euivalencia: k pt = k p k p + k i k v + k v k i = k p. () D i D v Sutituyendo la ecuacione () y () en () y depejando k p e obtiene k p k p = k p D i D v + k i k v (D v + D i ). (4) Puede obervare en la ecuacione (), () y (4), ue k p, k v y k i dependen de la ganancia del controlador ecundario k p, k v y k i ; eto implica ue e pueden intonizar la ganancia del controlador ecundario C relacionado a y la otra tre ganancia del controlador primario C p relacionado a uedan implícitamente ajutada. Si en la ley de control (8) e utituyen la upoicione (9), () y la euivalencia (), entonce la nueva ley de control emi intonizable ueda de la iguiente manera: k pt + k vt + k it (σ)dσ +k vt + k it (σ)dσ ) + k i (σ)dσ = τ. (5) ( k p + k v El diagrama a bloue del controlador propueto en la ecuación (5) e encuentra en la Figura 4. De la ecuacione () y () e puede obervar ue para ue k v y k i no ean infinita, e reuiere ue k v > k p y k i > k p ; y para ue no tengan valore muy elevado, entonce e reuiere ue k v >> k p y k i >> k p. 4. RESULTADOS EN SIMULACIÓN Y EXPERIMENTALES Para obtener reultado en imulación e utilizó el pauete Simulink de Matlab. Se utiliza el modelo dinámico no lineal propueto en la ecuacione (5) (6) y (7) y el lazo e cierra aplicando lo controladore propueto en la ecuacione (8) y (5). Se propone como eñal de referencia d = igmf(y, [a, c]), la cual genera una eñal igmoidal de y uando la función f(y, a, c) = iendo a y c +e a(y c) parámetro de dieño ecogido convenientemente. A u vez y = gn(ain[ωt]), iendo gn la función igno, A la amplitud, ω la frecuencia y t el tiempo. La eñal d e una eñal cai cuadrada cuyo cambio de dirección on uave. La amplitud e ha elegido como A = y la frecuencia como ω =. Hz. La Figura 5 muetra el deempeño de lo controladore en cacada PIDPID y PIDPID emi intonizable ante la eñal de referencia d y la Figura 6 muetra el error de eguimiento para ambo controladore. Para el controlador PIDPID e han uado la ganancia k p = 4[ N m rad ], k v =.[ N m rad ], k i = 7[ N m rad ], k p =.5[ N m rad ], k v =.5[ N m rad ] y k i =.[ N m rad ]. Para el controlador PIDPID emi intonizable e han uado la ganancia k p =.4[ N m rad ], k v =.5[ N m rad ] y k i =.5[ N m rad ]. Por implicidad, el método de intonización ha ido heurítico. Se puede obervar en la Figura 5 ue el deempeño del controlador en cacada PIDPID emi intonizable e bueno y euiparable al deempeño del controlador PIDPID totalmente intonizado por el uuario, con la ventaja de intonizar olamente tre ganancia. La Figura 7 y 8 muetran lo reultado experimentale obtenido. La Figura 7 muetra el deempeño de lo controladore en cacada PIDPID y PIDPID emi intonizable ante la eñal de referencia d. La Figura 8 muetra el error de eguimiento para ambo controladore. Para el controlador PIDPID e han uado la ganancia k p = 5[ N m rad ], k v =.[ N m rad ], k i = 5[ N m rad ], k p =.5[ N m rad ], k v =.5[ N m rad ] y k i =.[ N m rad ]. Para el controlador PIDPID emi intonizable e intonizaron: k p =.[ N m rad ], k v =.[ N m rad ] y k i =.5[ N m rad ]. Por implicidad, el método de intonización ha ido heurítico. Se puede obervar en la Figura 7 ue el deempeño del controlador en cacada PIDPID emi intonizable e bueno y euiparable al deempeño del controlador PID PID totalmente intonizado por el uuario, con la ventaja de intonizar olamente tre ganancia. d... d d τ k vt k vt k pt k it k i k p k v τ GIROSCOPIO Fig. 4. Diagrama de bloue del controlador PIDPID emi intonizable

6 CLCA 4 Octubre 47, 4. Cancún, Quintana Roo, México Poición anillo exterior (rad) Comparación PID PID en cacada con PID PID en cacada emi intonizable Referencia PID PID PID PID Semi intonizable Tiempo () Fig. 5. Comparación entre un controlador PIDPID en cacada y un PIDPID en cacada emi intonizable. Error de eguimiento (rad) Error de lo controladore en cacada Error PID PID Error PID PID emi intonizable Tiempo () Fig. 6. Error de eguimiento de lo controladore en cacada PIDPID y PIDPID emi intonizable. Poición anillo exterior (rad) Reultado Experimentale Referencia PID PID PID PID Semi intonizable Tiempo () Fig. 7. Reultado experimentale del controlador PIDPID en cacada y el PIDPID en cacada emi intonizable. Error de eguimiento (rad) Error de lo controladore (experimental) Error PID PID Error PID PID Semi intonizable Tiempo () Fig. 8. Reultado experimentale del error de eguimiento de lo controladore en cacada PIDPID y PIDPID emi intonizable. 5. Contribucione 5. CONCLUSIONES A lo largo de la invetigación obre controladore e ha uerido tener auello ue ean encillo de aplicar, de intonizar, robuto y ue el error con repecto a la referencia tienda a cero. En el preente artículo e encuentra un controlador exento de complicacione matemática y libre del modelo de la planta. Una ventaja del controlador propueto repecto al controlador de fae, e ue e tiene acceo a la eñal ecundaria de entrada, permitiendo aí u total manipulación; para cierto proceo eto e deeable. El objetivo de ete trabajo no e motrar ue el método de intonización propueto produce mejore repueta en lazo cerrado ue el controlador PIDPID intonizado totalmente por el uuario, ino ue e puede coneguir la mima repueta con amba intonizacione pero con un efuerzo menor de cálculo, epecialmente para el uuario. De tal manera ue el controlador propueto, ayuda a auello ue on principiante, inexperto o etudiante, y a auello ue bucan precindir de la complejidad de otro controladore. 5. Trabajo futuro Se propone trabajar con la prueba de etabilidad de lo controladore en cacada PIDPID y PIDPID emi intonizable. Ademá aplicar el controlador propueto a otro itema ubactuado, como: el carropéndulo, el itema bolabarra, el péndulo con rueda de reacción y el itema bicicleta. 5. Agradecimiento Ete trabajo e apoyado por el proyecto CONACYT 454 y DGEST. REFERENCIAS Arrieta, O., Vilanova, R., y Balaguer, P. (8). Procedure for Cacade Control Sytem Deign: Choice of Suitable PID Tuning. Int. J. of Computer, Communication and Control, Vol. III, No., pp Åtröm, K. J. y Hägglund, T. (6). Advanced PID Control. ISBN ISAThe Intrumentation, Sytem, and Automation Society. pp Broilow, C.B. y Tong, M. (978). The tructure and dynamic of inferential control ytem, AIChE J. 4,49, pp. 56. Cannon, R. H. (). Dynamic of Phyical Sytem, Capítulo 5, Sección 5, pp 596, Dover. Ceca, M. R. y Marchetti, J. L. (5). IMC Deign of Cacade Control. European Sympoium on Computer Aided Proce Engineering. L Puigjaner and A. Epuña (Editor). Hang, C.C., Loh, A. P. y Vanani, V. U. (994). Relay feedback auto tuning of cacade controller, IEEE Tranaction on Control Sytem Technology, vol.. Kaya, I., Tan, N. y Atherton, D. P. (7). Improved cacade control tructure for enhanced performance, vol. 7, pp. 6. Kelly, R. y Santibañez, V. (). Control de Movimiento de Robot Manipuladore, Pearon Education, S.A., Madrid, ISBN:8458. Ingeniería general 6. pp. 87. Lee, Y. Park, S. y Lee, M. (998). PID Controller Tuning To Obtain Deired Cloed Loop Repone for Cacade Control Sytem. Ind. Eng. Chem. Re. vol. 7, pp American Chemical Society. Newell, R. B. y Lee, P. L. (988). Applied Proce Control, PrenticeHall of Autralia, Brookvale, NSW, Autralia, pp.. Quaner (). Gyrocope Poition ControlIntructor Manual, Document Number 87, Reviion,. Seborg, D. E., Edgar, T. F. y Mellichamp, D. A. (4). Proce Dynamic and Control. Segunda Edición. Editorial John Wiley and Son, NY. pp 449. Shinkey, F. G. (988). Proce Control Sytem, a ed., McGrawHill, New York. Tan, K. K., Lee, T. H. y Ferdou, R. (). Simultaneou online automatic tuning of cacade control for open loop table procee, ISA Tranaction, vol. 9, pp. 4. Viioli, A. y Piazzi, A. (6). An automatic tuning method for cacade control ytem, Proceeding of the 6 IEEE International Conference on Control Application Munich, Germany, October 46. Yin, Ch., Hui, H., Yue, J. (). Cacade control baed on minimum enitivity in outer loop for procee with time delay J. Central South Univerity Pre y SpringerVerlag, Berlín, Heidelberg, pp