Profesora Anna Patete, Dr. M.Sc. Ing. Escuela de Ingeniería de Sistemas. Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

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Soledad Henríquez Ortega
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1 Modelado de Sistemas Físicos Profesora Anna Patete, Dr. M.Sc. Ing. Departamento de Sistemas de Control. Escuela de Ingeniería de Sistemas., Mérida, Venezuela. Correo electrónico: Página web: 1

2 Los modelos matemáticos dinámicos se clasifican mas específicamente en: Modelos lineales o no lineales Modelos variantes o invariantes en el tiempo Modelos determinístico o estocásticos Modelos continuos o discretos Modelos concentrados o distribuidos Sistemas causales o no causales 2

3 Modelos lineales o no lineales: los modelos lineales y no lineales se caracterizan por su dependencia mutua de las variables. Los modelos matemáticos de sistemas lineales cumplen con el Principio de Superposición, es decir que la respuesta obtenida por la aplicación simultánea de dos entradas diferentes es igual a la suma de las dos respuestas obtenidas individualmente. u1(t) Sistema Lineal y1(t) u2(t) Sistema Lineal y2(t) u1(t) u2(t) Sistema Lineal y(t) = y1(t) + y2(t) 3

4 Mas general, si se tiene una constante que multiplica a la entrada del sistema lineal, entonces se tiene que: α u1(t) β u2(t) Sistema α y1(t) Sistema Lineal Lineal β y2(t) α u1(t) β u2(t) Sistema Lineal y(t) = α y1(t) + β y2(t) α R β R Los modelos de sistemas no lineales no cumplen con el Principio de Superposición. 4

5 Modelo no lineal 1 x () t = a K x() t + u() t A A yt y t yt ut 2 () + 3 () + 2 () = () yt () + 3 yt () + 2 yt () = ut () yt () [ ] yt () + 3 yt () + 2 Sin yt () = ut () Modelo lineal xt () = ax () t + bu () t y() t + 3 y () t + 2 y() t = u() t 5

6 Modelos variantes o invariantes en el tiempo: se caracterizan por la naturaleza desus parámetros respecto altiempo. Un modelo de sistema es invariante en el tiempo cuando los cambios en la salida nodependen del momentoenelcualse aplica la entrada. yt () + 3 yt () + 2 yt () = ut () Por el contrario un modelo de sistema es variante en el tiempo cuando la salida cambia a medida que se introduce una entrada del mismo tipo en tiempo diferente. a es un parámetro del sistema. y () t = a() t y() t + bu() t 6

7 Por lo tanto, un sistema invariante en el tiempo posee parámetros constantes respecto al tiempo. Matemáticamente hablando un sistema invariante en el tiempo, para un estado inicial x0() t = x( t0), con una entrada u1( τ ), t0 < τ < t, tiene una salida y (), t y además si se aplica una entrada u ( τ + T), 1 2 con el mismo estado inicial pero en t + T entonces tiene la misma salida y ( t + T ) = y ( t )

8 Variantes en el tiempo yt () + a() t yt () + a() t yt () = ut () 1 2 yt () + tyt () + 2 yt () = ut () yt yt t yt ut 2 () + 2 () + () = () Invariantes en el tiempo yt () + ayt () + ayt () = ut () yt () = a K yt () + ut () A A

9 Modelos determinístico o estocásticos: se caracterizan por los modelos que dependendela aleatoriedad delas variables. En los modelos determinísticos la interacción con las variables no es probabilística y el valor de la salida depende de los valores pasados de las variables. yt () = ayt () + but () Mientras que los modelos estocásticos involucran relaciones probabilísticas. Eneste caso ω () t y () t = a y() t +ω() t es unaseñal deruido blanco proveniente dela medición. 9

10 Determinísticos yt () + ayt () + ayt () = ut () 1 2 yt () + 3 yt () + 2 yt () = ut () Estocásticos yt () + ayt () + ayt () = ut () +ξ () t 1 2 ξ () t es una variable estocástica yt yt yt ut ε t ε t N σ 2 () + 3 () + 2 () = () + (), () (0, )

11 Modelos continuos o discretos: los modelos continuos son aquellos que están definidos para todo t, mientras que los modelos discretos están definidos solamente para instantes de tiempo k. Modelos continuos x() t = α x () t + β x() t + γ u(), t t, Modelos discretos xk ( ) = axk ( 1) + bxk ( 2) + cuk ( 1), o x 1, k = axk + b xk 2 + cuk 1 k. 11

12 Continuos yt () + ayt () + ayt () = ut (), 1 2 t yt () + 3 yt () + 2 yt () = ut () Discretos y a y... a y u, = k k 1 k 1 n k n k 1 y + a y + a y = u K 1 k 1 2 k 2 k 1 y + 3y + 2y = u K k 1 k 2 k 1

13 Modelos concentrados o distribuidos: idos en los modelos concentrados, no importa en que punto del espacio se aplique una determinada entrada, mientras que en los modelos distribuidos depende del tiempo y la posición donde se aplique la entrada. Sistemas de parámetros concentrados: aquellos en los que no es necesario considerar la distribución espacial de sus parámetros (p.ej. la masa en un sistema mecánico) sino que se puede considerar concentrada en un punto. Sistemas de parámetros distribuidos: d aquellos en los que es necesario considerar la distribución espacial de sus parámetros. 13

14 Modelos concentrados o distribuidos: idos Un parámetro concentrado es aquél cuyas magnitudes físicas son tales que podemos considerarlo ubicado en un punto del espacio. Por otra parte, un parámetro distribuido es aquél que como su nombre lo indica, se encuentra distribuido en una región del espacio. Modelos concentrados: son representados matemáticamente a través de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y () t + a y () t a y () t + a y() t = bu () t + bu () t b u() t ( n) ( n 1) ( m) ( m 1) 1 n 1 n 0 1 m Modelos distribuidos: son representados matemáticamente a través de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) 14

15 Modelos concentrados: Los fenómenos resistivo, inductivo y capacitivo se concentran en un único elemento. Modelos distribuidos: qt () = it () 15

16 Sistemas causales o no causales: los modelos causales son aquellos cuya salida depende de las salidas y entradas anteriores, mientras que los no causales dependen además de salidas y/o entradas futuras. Sistemas causales yk ( ) = ayk ( 1) + buk ( 1) + cuk ( 2) + uk ( 3) Sistemas no causales yk ( ) = ayk ( 1) + buk ( ) + cuk ( + 1) + uk ( + 2) 16

17 Causales yt () + ayt 1 () + ayt 2 () = ut (), t =, k y a y a y u k 1 k 1 n k n k 1 No causales yt () + ayt 1 () + ayt 2 () = ut (), t y a y... a y u, = k k 1 k 1 n k n k+ 1

18 Modelado de Sistemas Físicos Referencias del material usado para estas diapositivas: Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento de Control, Facultad de Ingeniería,, Mérida, Venezuela, Ogata, g, K. Dinámica de Sistemas, Prentice Hall, Lewis, J. Modelling Engineering Systems, High Text Publications,

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