FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO PRÁCTICA N 6 MODELACIÓN E INDENTIFICACIÓN DE UN MOTOR DC

Transcripción

1 FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Carrera de Ingeniería Electrónica y Control LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL DISCRETO PRÁCTICA N 6 1. TEMA MODELACIÓN E INDENTIFICACIÓN DE UN MOTOR DC 2. OBJETIVOS 2.1. Implementar métodos básicos para obtener modelos paramétricos discretos Comparar los modelos parámetros obtenidos con la planta real. 3. INFORMACIÓN El diseño de controladores requiere de un modelo analítico o matemático de la planta. Cuando los sistemas son complejos la obtención del modelo utilizando ecuaciones es inadecuada. En estos casos existe la alternativa de utilizar algoritmos computacionales, información a priori y mediciones de entrada salida que reflejen la dinámica del sistema. El problema de la estimación (dual del control) de estado o de parámetros es muy amplio. Existen métodos en el dominio del tiempo y de la frecuencia, determinísticos y estocásticos, continuos y discretos. En esta práctica se utiliza un método en el dominio del tiempo para obtener un modelo continuo, posteriormente se emplea el método de Mínimos Cuadrados para obtener un modelo paramétrico discreto en ecuación de diferencias, que es ampliamente utilizado Identificación experimental utilizando la respuesta a escalón unitario: La construcción de modelos lineales basados en la curva de reacción del proceso evita métodos de identificación complejos y proporciona un modo práctico de conseguir fácilmente un modelo del proceso en un punto de operación. Además, el diseño experimental es más simple que las necesarias para otras técnicas de identificación, que a veces implican conocer un modelo lineal simple como punto de partida. El escalón es la señal de prueba más utilizada, en la práctica sólo puede lograrse de forma aproximada ya que es imposible lograr un cambio brusco de una variable en un tiempo infinitesimal, no obstante, se considera válido si la constante de tiempo de la señal

2 real es menor que la décima parte de la menor constante de tiempo que se quiere determinar en la identificación Análisis de la respuesta escalón La respuesta de un proceso a la señal escalón puede aproximarse, en muchos casos, mediante los siguientes modelos simplificados: 1. Modelo de primer orden con retardo G m (s) = Ke θs T 1 s Modelo de segundo orden aperiódico con retardo Ke θs G m (s) = (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) 3. Modelo de segundo orden subamortiguado con retardo Kω 2 n e θs G m (s) = s 2 + 2ξω n s + ω 2 n Donde ξ es el factor de amortiguamiento y ω n es la frecuencia natural no amortiguada. La elección de los modelos anteriores depende de la forma de la respuesta transitoria y el grado de precisión que se desean en el ajuste. Los modelos correspondientes a primer orden con retardo, pueden utilizarse generalmente en procesos simples o en otros más complejos si no se requiere mucha exactitud. Los modelos aperiódicos pueden utilizarse en cualquier caso salvo en la que la respuesta es oscilatoria, en cuyo caso se utiliza un modelo de segundo orden subamortiguado Estimación de parámetros del modelo de Primer orden Si la respuesta a la señal escalón de amplitud U tiene la forma: Figura 1. Respuesta de un sistema de primer orden

3 Que corresponde a un sistema de primer orden, la expresión que describe la respuesta del sistema es: y(t) = KU (1 e t θ T1 ) Por lo que la amplitud de la respuesta en t = T 1 + θ es KU. Es decir, localizando donde la respuesta alcanza el 63.2% de su valor final, se inmediatamente el valor de la constante de tiempo T 1. La ganancia K se determina como K = Y est U, donde Y est es igual al valor estacionario de la respuesta. Otra posibilidad de estimar la constante de T 1 parte de trazar la tangente de la curva-respuesta en t = θ. En efecto: dy(t) dt = KU T 1. La ecuación de la tangente será y t (t θ) = KU T 1 (t θ), y para que y t (t θ) = KU, se deduce que T 1 = t est θ, donde t est es el tiempo en que la tangente interseca el valor de la curva. Es muy frecuente que la respuesta tenga la forma general de la siguiente curva: Figura 2. Respuesta de un sistema de 2do orden Es decir, se trata de aproximar la respuesta del sistema de orden superior mediante un modelo de primer orden. Los parámetros del modelo pueden calcularse en este casi usando la construcción gráfica de la figura utilizando el siguiente procedimiento. Se toman dos puntos de la curva que corresponden al 63.2% y al 28.4% del valor estacionario final y se determinan t y t Se plantean las ecuaciones t = θ + T 1 3 y t = θ + T 1

4 Se calculan θ y T Estimación de Parámetros del modelo de segundo orden: Respuesta para sistemas sobreamortiguados: La respuesta de un sistema sobreamortiguado a una entrada escalón de amplitud a la entrada, es de la forma como indica a figura Su ecuación está dada por: t 6 Figura 3. Respuesta para sistemas sobreamortiguados y(t) = ξ 2 1 (ξ + ξ 2 1) e (ξ+ ξ2 1)ω nt 1 2 ξ 2 1(ξ ξ 2 1) e (ξ+ ξ2 1)ω nt En estos casos, al ser el coeficiente de amortiguamiento ξ mayor que 2, el sistema posee polos reales y negativos, bastante distanciados entre sí, por lo menos 3,7 veces el uno del otro. Ellos son: p 1 = ξ + ξ 2 1 p 2 = ξ ξ 2 1 Debido a esta particularidad, resulta más accesible, como objetivo de identificación en este caso, encontrar dos valores aproximados para los polos p 1 y p 2 del sistema, tal que

5 representen de la mejor forma posible a los parámetros fundamentales del sistema de segundo orden. Por lo tanto, la ecuación representativa del sistema de segundo orden a encontrar es: T(s) = y(s) x(s) = p 1 p 2 s 2 + (p 1 + p 2 )s + p 1 p 2 Para ello, conociendo que la respuesta en el tiempo al salto escalón está prácticamente determinada por el polo de menor valor absoluto p 2, cuando la amplitud de la salida es superior a la mitad del valor total, el cálculo de los coeficientes se facilita determinando primero el polo p 2, como si fuera el único existente. Para ello se determinan dos valores de ordenadas de la curva de respuesta temporal, Y 5 (t 5 ) e Y 6 (t 6 ), tal que ambos sean mayores que el 50% de la amplitud final de la respuesta, según indica la Figura 3. Entonces, el polo p 2 esta dado por: p 2 = Y luego el valor del polo p 1 como: ln (1 Y 5 ) ln (1 Y 6 ) t 5 t 6 p 1 = p 2 (1 Y 5 ) e p 2t 5 (1 Y 5 ) e p 2t 5 1 O p 1 = p 2 (1 Y 6 ) e p 2t 6 (1 Y 6 ) e p 2t 6 1 Tomándose en la práctica el valor promedio entre ambas expresiones. Finalmente, de las ecuaciones anteriores, si se desea, pueden encontrarse los valores de ξ y ω n, según: ω n = p 1 p 2 y ξ = p 1+p 2 2 p 1 p IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA DISCRETA Método de los mínimos cuadrados:

6 Se utiliza el modelo ARMA (Auto Regresive Moving Average): y(k) + a 1 y(k 1) + + a n y(k n) = b 1 u(k 1) + + b n u(k n) + e(k) Donde e(k) es una secuencia de ruido blanco gaussiano de media cero y varianza 1. Haciendo: θ = vector de parámetros = a 1 a n b 1 [ b n ] x(k) = [y(k 1) y(k n) u(k 1) u(k n)] = vector de información Se minimiza la función de costo: y(k) = θ(k)x(k) N J = e(i) 2 = E T (N)E(N) i=n Donde: E(N) = Y(N) θ(n)x(n) E(N) = [ e(n) ] = error de la ecuación e(n) Y(N) = [ y(n) ] = mediciones de la salida y(n) X(N) = [ x(n) ] = vector de información x(n) Haciendo J θ = 0 se llega a: θ = Parámetos estimados = [X T X] 1 X T Y θ θ 0 Donde θ 0 son los parámetros verdaderos que no se conocen. Se requiere una señal de entrada u(k) de excitación persistente (ruido banco gaussiano de media 0 y varianza 1).

7 Puede ser una PRBS (PseudoRandom Binary Signal) o cualquier función randómica. Este método se conoce como minimos cuadrados (ordinario) MC ó MCO que es un método determinístico de procesamiento en lote (batch) para obtener el modelo: y(z 1 ) = B(z 1 ) A(z 1 ) U(z 1 ) B(z 1 ) = b 1 z b n z n A(z 1 ) = a 1 z a n z n} Polinomio en z 1 Conociendo las secuencias {y(k)}, {u(k)} de salida y entrada. Si el ruido no es blanco (correlacionado) este método entrega estimados desviados (existe un offset) y no consistentes. 4. TRABAJO PREPARATORIO 4.1. Se midió la curva de reacción de un sistema a una entrada escalón unitario y se obtuvieron los siguientes datos. Cuál será la función de transferencia del sistema? y(t) t Incluir cálculos y diagrama 4.2. Leer el manual de usuario de la EPC, capitulo III, Medición y Control de Velocidad, Práctica M1, M2, M3 (Anexo 1) Revisar y analizar los VI s (EPC programas) que se utilizan en las practicas M1, M2, M3 (Anexo 2). 5. EQUIPO Y MATERIALES EPC (Entrenador de planta de control) Tarjeta de adquisición y datos. Computador con software MATLAB y Labview Destornilladores pequeños y cables 6. PROCEDIMIENTO 6.1. Adquisición de datos utilizando Labview y tarjetas de adquisición NI y planta EPC, para identificación del modelo del motor DC.

8 7. INFORME 7.1. Utilizando los datos recolectados en la práctica realizar la identificación y modelación de su sistema Conclusiones 7.3. Bibliografía 8. REFERENCIAS S. Fadali, Digital Control Engineering, Analysis and Design, Academic Press, 2nd Edition, 2012 Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering. Pearson Education, KUO, B. Sistemas de Control Digital EPC Manual de Usuario Elaborado por: Revisado por: Ing. Andrés Cuaycal Dr. Paulo Leica