Control Moderno. Ene.-Jun Observabilidad y Observadores de Estado. Dr. Rodolfo Salinas. mayo 2007

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Ángel Vargas Bustamante
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2007 Observabilidad y Observadores de Estado Dr.

1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Control Moderno Ene.-Jun Observabilidad y Observadores de Estado Dr. Rodolfo Salinas mayo 2007 Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas

2 Resumen de clase Observabilidad - propiedad de los sistemas dinámicos para poder estimar variable estado Observador de estado - estructura de retroalimentación que se utiliza para estimar variable de estado Reconstrucción de la variable de estado. Configuraciones: Observador de lazo abierto Observador de lazo cerrado Ejemplos Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 1

3 Observabilidad Un sistema dinámico es observable en t 0 si x(t 0 ) puede ser determinado a partir de la señal de salida y t0,t 1 para t 0 T y t 0 t 1, donde t 1 es un tiempo finito contenido en T. Para todo t 0 y x(t 0 ). Propiedad del acoplamiento entre x(t) y y(t), por lo cual se involucra el par de matrices (A, C) Permite determinar si las variables del sistema se pueden estimar o no Matriz de observabilidad O = C T A T C T A 2T C T A n 1T C T, dimensión O R n mn La condición es similar a la controlabilidad, para la observabilidad es necesario que ρ(o) = n Para un sistema observable, es posible asignar los valores propios de A LC arbitrariamente. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 2

4 Motivación de un observador de estado El diseño de un control por retroalimentación de estado se hizo asumiendo que x(t) es conocido. Problema: Generalmente, este no es el caso en la práctica, donde existen factores que no permiten disponer de ellos: Las variables no siempre son conocidas por no ser accesibles a medición o por falta de sensores o transductores para realizar esta tarea. De tal manera, para realizar control por retroalimentación de estado, es necesario encontrar un substituto del vector de estado Objetivo: Explicar cómo por medio de las entradas y salidas conocidas del sistema se puede alimentar una estructura llamada estimador de estado para que sus salidas se aproximen al vector de estado del sistema. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 3

5 Observador de estado Cuando no se conoce el valor x(t), para implementar una retroalimentación de estado: Es necesario diseñar dispositivo dinámico de estimación de estado Su estructura tiene como entrada, la entrada u(t) y la salida y(t) del sistema original, y su salida es el vector de estado estimado ˆx(t) Se utiliza en un sistema de control donde no se pueda medir variables para determinar entrada u(t) = K ˆx(t) r u B x. 1 s x C y A K x^ observador Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 4

6 Esquema de estimación de variable de estado El sistema dinámico esta dado como ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) Ec. de salida y = Cx determina las variables medidas, disponibles o conocidas. A, B, y C son conocidas, entrada u(t) es conocida. Las variables medidas son dadas por y = Cx, C I Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 5

7 Estructura del observador de estado de lazo abierto Duplicar ˆx(t) la ecuación de estado que representa el sistema original x(t) A partir de una copia del sistema es posible realizar una estimación ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) u ŷ(t) = C ˆx(t) B x. 1 s x C y A B x^. 1 s x^ A Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 6

8 Análisis del observador de estado de lazo abierto ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) Error de estimación x(t) = x(t) ˆx(t) y se desea tener x(t) = 0, t Es posible verificar el comportamiento de la variable restando ambas ecs. d dt (x ˆx) = A(x ˆx) x(t) = A x(t) es la ec. diferencial que representa dinámica del sistema y tiene solución x(t) = e At x(0) Lo cual representa el error de estimación para el valor inicial del error. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 7

9 Pregunta: Se garantiza que x = 0, t? o mas aun x 0 cuando t? Para x(0) = 0, respuesta es x(t) = 0, pero qué sucede si x(0) 0? Si A es estable, entonces x 0, t, pero la dinámica del error está dada por la dinámica del sistema de lazo abierto valores propios de A. Desventajas: 1. Dinámica del error de estimación podría ser muy lenta 2. De esta representación no hay forma de modificar la dinámica 3. Es necesario calcular el estado inicial ya que no es conocido (solo y(t) se conoce) 4. Para una matriz A con valores propios positivos, cualquier diferencia entre x(t 0 ) y ˆx(t 0 ), para t 0 0 hace que el error de estimación del sistema x(t) aumente paran t t 0. Por lo tanto la estimación de lazo abierto no es útil para el objetivo que buscamos Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 8

10 Estructura del observador de estado de lazo cerrado Forma de remediar los problemas del observador de lazo abierto: Comparar la salida del sistema estimado ŷ(t) = C ˆx(t) con la salida medida (sistema original) y(t) = Cx(t), y obtener el error como ỹ(t) = y(t) ŷ(t) = C x(t) u B x. 1 s x C y A L y~ B x^. 1 s x^ C y^ A Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 9

11 Análisis del observador de estado de lazo cerrado El sistema anterior está dado como ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + Lỹ(t) ŷ(t) = C ˆx(t) donde L es la matriz de ganancia del observador. Análisis de la dinámica del observador de lazo cerrado L R n 1 x(t) = ẋ(t) ˆx(t) = Ax + Bu Aˆx + Bu + L(y ŷ) = A(x ˆx) L(Cx C ˆx) = A x LC x = (A LC) x Dinámica del error de estimación de lazo cerrado x = (A LC) x cuya solución es x(t) = e (A LC)t x(0) La ventaja de este observador es que se puede mejorar el error de estimación seleccionando ganancia L adecuada. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 10

12 Características del observador de lazo cerrado Las características del observador de lazo cerrado son Se utiliza salida y(t) para mejorar el diseño anterior haciendo una corrección proporcional al error de estimación en la salida. Un diseño apropiado de L podrá hacer que el error de estimación tienda asintóticamente a cero, x(t) 0 cuando t. Los valores propios de (A LC) se pueden asignar de forma que tengan parte real menor que σ, σ > 0 de tal manera que el error de estimación en el vector de estado (todos los estados) disminuiríıa a una velocidad de e σt. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 11

13 Asignación de polos en observador Cómo se selecciona la ganancia L? Diseño de control: Escoger K para A c = A BK, donde u = Kx Obtener K R 1 n tal que los polos de A c det(si A + BK) = φ c (s) se asignen a los polos deseados φ d. Diseño de observador: Escoger ganancia de estimación L para A LC Obtener L R n 1 tal que los polos de lazo cerrado del observador det(si A + LC) = φ o (s) se asignen en los polos deseados φ d. Estos dos problemas son muy similares y se denominan problemas duales. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 12

14 Procedimiento de asignación de polos en observador 1. Verificar condición necesaria: rango de matriz observabilidad del sistema sea igual a la dimensión del mismo, ρ(o) = n 2. Obtener la ecuación característica del observador A LC y sus valores propios 3. Valores propios del sistema de lazo cerrado son las raíces de polinomio característico del observador φ o (s) = det(si A + LC) = 0 4. Determinar ecuación característica deseada polos deseados φ d 5. Encontrar ganancias de observador L por asignación de polos tal que la ecuación característica de observador de lazo cerrado sea igual a los polos deseados σ det si A + LC = 0 φ d (s) = (s σ 1 )(s σ 2 ) (s σ n ) = 0 l 1, l 2,..., l n Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 13

15 Ejemplo A = , B = 1 0, x(0) = C = 1 0, D = 0 Para el observador Asumir que las condiciones iniciales no son conocidas. El sistema original es estable, λ 1 (A) = , λ 2 (A) = La condición necesaria, observabilidad: O = C T A T C T, ρ(o) = n A T C T = =, O =, ρ(o) = Por lo tanto, el sistema es observable. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 14

16 Las condiciones iniciales del observador no son conocidas, se puede utilizar cualquier condicion inicial, aqui usaremos ˆx(0) T = 0 0. Observador de lazo abierto ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) ŷ(t) = C ˆx(t) Observador de lazo cerrado x(t) = Aˆx + Bu + Lỹ = Aˆx + Bu + L(y ŷ) = (A LC)ˆx + Bu + Ly ŷ(t) = C ˆx(t) cuya dinámica está dada por λ i (A LC), la cual toma las salidas medidas como entrada y genera un estimado de x. Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 15

17 Lazo abierto: Sistema y su copia dados por siguientes ecuaciones ẋ = Ax + Bu y = Cx ˆx = Aˆx + Bu ŷ = C ˆx en forma matricial ambos sistemas son ẋ ˆx y ŷ = = A 0 0 A C 0 0 C xˆx xˆx + B B u, x(0) ˆx(0) = Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 16

18 Lazo cerrado : Sistema y su copia dados por siguientes ecuaciones ẋ = Ax + Bu x = (A LC)ˆx + Bu + LC ˆx en forma matricial ambos sistemas son ẋ ˆx = A 0 LC A LC xˆx + B B u Control Moderno N1 mayo 2007 Dr. Rodolfo Salinas 17

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