CAPITULO 9. TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier

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1 CAPITULO 9. TRANSORMADA DE OURIER 9.. Transformada de ourier Sea una función definida en un intervalo finito y desarrollable en serie de ourier, por tanto, la podemos representar como una superposición infinita de ondas armónicas. Podemos extender la función a toda la recta real mediante una prolongación periódica. Esto es, si f está definida en el intervalo (a, b), intervalo fundamental, de longitud T, entonces imponemos la condición f (t + n T) = f (t), t (a, b), n = ±, ± 2,... Nuestro propósito es la representación de una función aperiódica. Veremos que, bajo ciertas condiciones, f se puede representar no mediante una serie de ourier sino mediante una integral, la integral de ourier Supongamos que f (t) está definida en todo R, es aperiódica y goza de las siguientes propiedades. Lisa a trozos, es decir, la función y su derivada son continuas a trozos, en cualquier intervalo finito. 2. En los puntos singulares el valor de la función es la media aritmética de los límites laterales. 3. f(t) dt es convergente. Definimos la transformada de ourier de f como [ ( )] ( ) ( ) () Decimos que ourier de f (t)) ( ) es la transformada de ourier de la función f (t) (también denominada imagen de Para la transformada de ourier, existe una transformada inversa ( ) [ ( )] ( ) Decimos que f (t) es la representación de la función en el dominio del tiempo, mientras ω es la representación de la función en el dominio de frecuencias.

2 Otra notación frecuentemente utilizada es la siguiente: ω f(t) 2 π 2 π f(t) e ω e i ω t i ω t dt dt 9.2. Propiedades de la transformada de ourier Linealidad. Se demuestra que si G( ) y H( ) son las transformadas de ourier de las funciones g(t) y h(t) y {a, b} son constantes (a g(t) + b h(t)) = a G( ) + b H ( ) Transformada de la derivada.se demuestra que si ( ) es la transformada de ourier de la función f(t), se tiene [ ( )] ( ) [ ( )] Propiedad del cambio de escala Se demuestra que si ( ) es la transformada de ourier de la función f (t), y ar, entonces se tiene [ ( )] ( ) Simetría Se demuestra que si ( ) es la transformada de ourier de la función f (t), entonces se tiene [ ( )] ( ) Desplazamiento de frecuencia Se demuestra que si ( ) es la transformada de ourier de la función f (t), enfonces se tiene [ f (t)]=( - ) Desplazamiento en el tiempo. Si [ ( )] ( ), enfonces se tiene [ ( )] ( )

3 Se demuestra que si [ ( )] ( ), entonces se tiene [ ( )] ( ) 9.3. Convolución Se define la convolución de dos funciones f (t) y g (t) como ( ) ( ) ( ) ( ) El teorema de convolución en el tiempo asegura que la transformada de una convolución es el producto ordinario de las transformadas individuales, es decir si [ ( )] ( ) y [ ( )] ( ), entonces se tiene [ ] ( ) ( ) Observemos que cualquier función se puede escribir como la convolución de ella misma con la función delta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9.4. Transformadas de ourier en senos y cosenos Vamos a obtener ahora una transformada definida solamente en el intervalo [, ) Suponemos f definida en toda la recta real. [ ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) Si f (t) es una funcion real y par [ ( )] ( ) ( ) Ya que ( )

4 De la misma forma si f(t) es impar [ ( )] ( ) Vamos a definir ahora la transformada de ourier en cosenos como [ ( )] ( ) ( ) Vamos a definir ahora la transformada de ourier en senos como [ ( )] ( ) ( ) Si esta integral en cosenos es igual a f en [, ) se tiene ( ) ( ) De la misma forma ( ) ( ) órmulas de inversión para la transformada de ourier en cosenos y senos Ejemplo. Calculemos la transformada seno de la función f (t) = e - t definida en, Transformada seno s t ω e sen ωt dt 2 ω ω La fórmula inversa nos asegura que e t 2 π ωsen ωt ω 2 dt Ejemplo 2. Dada la función ( ) {

5 [ ( )] ( ) [ ( )] [ ] 9.5. Transformadas de algunas funciones unción Delta de Dirac En particular: δ t i ω t t t δ t t e dt i ω t δ e La función δ se representa como δ t 2π e iωt dω π cos ωt dω ig 4. unción delta de Dirac ig.5.espectro de amplitud de la función delta de Dirac unción Periódica i k t i tkω e dt 2πδk ω e Con el resultado anterior podemos hallar la transformada de cualquier armónico

6 2i ik t ik t e e δk ω δk ω sen k t 2 i k t k t os k t e e i δk ω δk ω c π i Ahora sea f de período T y desarrollable en serie de ourier ( ) Donde 2π ω es la frecuencia fundamental. Hallemos su transformada T f(t) 2π α δω n ω n n La transformada es una secuencia de pulsos equidistantes. La distancia entre dos pulsos consecutivos es. El espectro es discreto, por tratarse de una función periódica. ig.6.unción periódica ig.7.espectro de amplitud de una función periódica Pulso rectangular f(t) si si t t a a a 2 cos ωt dt ω 2 sen ωa ω

7 ig 8.unción pulso rectangular ig. 9. Espectro de amplitud de un tren de pulsos rectangulares Tren periódico de pulsos rectangulares Supongamos que la anchura de cada pulso es 2a y T el período del tren. Los coeficientes de ourier están dados por donde 2π ω es la frecuencia fundamental. T tren 2 δω n ω n sen n ω n a Tren infinito de impulsos Definimos un tren infinito de impulsos como δ T t δt n T Al ser la función delta de Dirac periódica de periodo T, la expresamos por la serie de ourier compleja

8 ( ) ( ) Ahora bien, por la propiedad de filtro de la función delta de Dirac ( ) ( ) Por otra parte, sabemos que [ ] ( ) y utilizando la propiedad de desplazamiento de la frecuencia, se tiene T i n ω t δ t e ω δω n ω T 9.6. Teorema de Parseval Sea ( ) la transformada de ourier de f (t), entonces se verifica [ ( )] ( ) El primer miembro de esta expresión representa la energía total de la señal f (t), ( ) es el espectro de potencia de la señal. Ejercicios propuestos. Calcular la transformada de ourier de la función ( ) [ ] [ ] ( )

9 Ahora bien, por la propiedad de filtro de la función delta de Dirac es una función par, es una función impar, por tanto se tiene [ ] 2. Calcular la transformada de ourier de la función ( ) [ ( )] ( ) 3. Calcular la transformada de ourier de la función ( ) { [ ( )] ( )