Càlcul II / Transformada de Laplace

Transcripción

1 Càlcul II / Tranformada de Laplace de eembre de 5 Definicion. bàic Definició Donada f :, + [ R conínua a, + [. ) Se n diu la eva ranformada de Laplace (o L-ranformada) a la funció L[f depenen d un paràmere R mijançan ( ) L[f()() F () e f() d empre i quan aquea inegral impròpia igui convergen per a algun valor del paràmere (en ca conrari direm que no exieix la L-ranformada de f). ) Alehore, el domini de definició de L[f é el conjun del valor de R per al qual la inegral impròpia (*) anerior é convergen. ) Een f(), per a o > é: L[() e d + [ e Claramen, la correponen inegral impròpia é divergen per a. ) Een f() e, per a o >, é L [ e () [ e e e ( ) d + Claramen, la correponen inegral impròpia é divergen per a. 3) Een f() /, per a o >, fen el canvi de variable z, obé: [ L () e d e z z dz Γ ( ) on Γ(x) x e d é la funció Gamma d Euler, que é la propiea egüen: Γ(x + ) xγ(x). En paricular per n N enim Γ(n + ) nγ(n)... n(n )... Γ() n(n )... n!, ja que Γ() e d. En paricular! Γ(), de fe podem definir x > x! Γ(x + ). Finalmen calculem Γ ( ). Si fem el canvi de variable x indrem ( ) Γ e x dx e x dx, per an, ( ) ( Γ e dx) x x y e R dxdy.

2 Finalmen, canviem a polar per obenir ( ) Γ π Per an, e r dr π, [ π L (). 4) No exieixen L[ ni L[e ja que, qualevol que igui R, le inegral impròpie ón divergen (en i en + repecivamen). e d, e e d Propoició Per a qualevol a, b R i p N, e enen le egüen L-ranformade: L[e a a, > a L[p p! p+, > L[in b b + b, > L[co b + b, > Obervació: Noi que D p L[() ( ) p L[ p (). D alra banda D p L[() ( ) p D ( ) p ( ) p p!. I obé la ranformada de p. p+ I i uem que L[ d in b b L[in b, i fem inegració due vegade per par per arrivar a d obenim la ranformada de in b. Exercici ) Per a α >, é: L[ α Γ(α+) α+, >. ) L[ln Γ () ln, >. L[ d d in b b + L[in b, * Exiència: Funcion d ordre exponencial Propoició Sigui f : [, + [ R conínua a, + [, i al que (i) exieixen γ, M i al que: e γ f() M f() Me γ, per a o > Alehore L[f é ben definida per a > γ. E diu que oa f que cumpleix (i) é d ordre exponencial γ a +. () La funció e a verifica (i) per a o γ a. Donc, é d ordre exponencial a, i per an la propoició anerior garaneix que L[e a é ben definida per a > a. () Le funcion polinòmique verifiquen (i) per a o γ >. Donc, le eve L-ranformade ón ben definide per a >.

3 (3) La funció e NO compleix la condició (i) anerior. (4) Le funcion e, Γ(), no ón d ordre exponencial. (5) La funció f() definida per f(p) p!, i p N, i f(p), i p N, no é d ordre exponencial, però é L-ranformada (que é ). Linealia De la linealia de la inegració é dedueix immediaamen: Propoició Si L[f() F ()i L[g() G(), alehore: L[f() + g() F () + G() L[λf() λf () per a o λ R. Per a o b R b L[inh b b, L[coh b b, Canvi d ecala Un imple canvi de variable demora que: Propocició Si L[f() F (), alehore per a o a > : L[f(a) ( ) a F. a > b > b Segon (.5), é clar que L[ p p p p!. Vegem com el maeix reula po obenir-e per la p+ propiea anerior: L[ p p L[() p ( L[p ) p! p! p (/) p+. p+ Teoreme de ranlació É igualmen rivial que: Propoició Si L[f() F (), alehore: L[e a f() F ( + a), per a o a C L[f( a)u( a) e a F (), per a o a > Obervació A la propoició anerior, U( a) é la funció egraó uniari en a, definida per U( a), i < a U( a), i > a Per conveni, fin i o i f nomé eà definida en, + [, e upoa: () L[e L[ ( + ) π + 3. f( a)u( a), i < a

4 () Sigui f(), la qual upoarem perllongada per i <. Podem ecriure, donc: f() U( ). Per an: L[ L[ U( ) e L[ π e 3 (3) Coniderem f() definifa per: f() in, f(), i < < π i > π Per a calcular L[f obervem que: f() in in U( π) in in( π)u( π) Per an: Exercici Proveu que: L[f() L[in e π L[in ( e π ) + [ co b L [ in b L π + b + + b π + b + b HINT: ueu que co x eix +e ix i in x eix e ix. A mé ha d uar que i ( ) + ib ± ib ± + b. Tranformade de derivade i inegral Operan per par, e demora fàcilmen: Propoició Een f : [, + [ R k vegade derivable en [, + [, alehore L[D k f() k F () k f() k f ()... D k f(), on F L[f. E po calcular L[in b, L[co b aplican la propoició anerior per a k : Corol.lari Si L[f F (), alehore: [ L e τ τdτ π L[ b in b L[in b b L[ b co b L[co b [ L f(τ)dτ F () + 3. Tranformada del produce i diviió per un monomi Derivan repece al paràmere ubinegral, reula: Propoició Si L[f F (), alehore: E veu derivan p vegade F (). L[ p f() ( ) p D p F ().

5 f() Corol.lari Si exieix lim, alehore: + [ f() L [ e veu derivan L f() () i deprè inegran. () L[ in b ( ) D b +b [ in b + () L b σ + b dσ D b 6b b 3 ( +b ) ( +b ) 3 [ arcan b σ + F (σ)dσ. arcan b Tranformada de la convolució Definició Een f, g :, + [ R, e n diu el eu produce de convolució, f g, la funció definida mijançan i aquea inegral exieix. (f g)() () Per a o >, fen el canvi z τ/, reula: () Anàlogamen: on B(x, y) x ( ) y Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) f(τ)g( τ)dτ, > τ τ dτ B p q B(p, q) p+q, (, ) π, > é la funció Bea d Euler. Obervació E demora que el produce de convolució é commuaiu i aociaiu. Teorema Si f, g, i ambé f i g, enen L-ranformada, alehore ambé en é la eva convolució f g, i reula: L[f g L[fL[g Verifiquem aquea fórmula per a f() p, g() q : L[ p q L[B(p, q) p+q (p + q )! (p )!(q )! B(p, q) p+q p+q L[ p L[ q (p )! (q )! p q * Tranformada d una funció periòdica É fàcil demorar que per a funcion periòdique, el càlcul de la L-ranformada e redueix a una inegral pròpia: Propoició Sigui f :, + [ R T -periòdica (é a dir: f( + T ) f(), per a o > ), conínua a roo en [, T. Alehore f é L-ranformada i ve donada per: L[f() F () e T T e f()d π L[ in x e in d + e π e π e π + * Tranformada per deenvolupamen en èrie

6 Donada una funció uma d una èrie de poèncie ( ) f() a p p a + a a p p +... é planegen crieri obre el coeficien a p per al que f ingui L-ranformada, i pugui éer obinguda erme a erme, é a dir, per al que ( ) F () L[f() a p L[ p a p p! p+ Propoició Amb le noacion anerior: a + a +!a p!a p p+ () Una condició neceària per a (**) é que la èrie (*) convergeixi per a o R (radi de convergència r + ), é a dir: lim up p a p () Alehore, una condició uficien per a que f igui d ordre exponencial i e verifiqui (**), é que aquea èrie convergeixi per a algun valor de >, é a dir: lim up p p! a p L + Obervacion Recordem que le condicion () i () anerior e compleixen, repecivamen, i: ( ) lim a p+ a p ( ) lim(p + ) a p+ a p L + () La funció f(), é com L-ranformada + F () e d +, > Però no podem procedir L-ranforman erme a erme el deenvolupamen en èrie de f() f() ( ) p p +... ja que reularia! +! p!... + ( )p p+ que no convergeix per a cap > (i per an, no po repreenar F ()). Obervem que, en efece, no e compleix la condició neceària () de la propoició anerior, ja que el deenvolupamen en èrie de f() é radi de convergència r. () El deenvolupamen en èrie de la funció f() e + + 4! p p! +... é vàlid per a o R, però e no é L-ranformada.

7 En efece, la èrie que reularia de L-ranformar erme a erme la anerior no convergeix per a cap >. (3) El deenvolupamen en èrie de f() in é vàlid per a o R. A mé, +! + 3! 4! (p)! 5 p! +... p+ 3! + 5!... + ( )p p (p + )! +... (/(p + 3)!) lim(p + ) (/(p + )!) lim (p + ) (p + 3)(p + ) Per an, é L-ranformable, i: [ in L 3! +! 5!... + p! 3 ( )p (p + )! +... p+ (4) Aplican l exemple () de la ecció ranformada del produce i diviió per un monomi, obenim: [ in bτ L dτ τ arcan b Podem reobenir el maeix reula per deenvolupamen en èrie: f() in bτ τ dτ b b3 3 vàlid per a o R. Si L-ranformem erme a erme : 3! ( )p b p+ p+ (p + )!(p + ) +... b b3 3! 3! b p+ (p + )! 4 ( )p +... (p + )!(p + ) p+ ( ) b (b/) ( ) p (b/)p+ 3 p arcan b Obervem que, de fe e compleix la condició uficien () de la propoició anerior, ja que aquea darrera èrie convergeix per a > b. Tranformada invera Le propiea egüen reulen mol úil per a le aplicacion: Propoició Si L[f() F (), alehore: lim f() lim F () + + lim f() lim F () + i exieixen el lími en qüeió. E veu, a parir de la fórmula L [Df () F () f(). Aniranformade de fraccion racional Po er calculada a parir del deenvolupamen en èrie de F ( ). Sovin é mé úil procedir per decompoició en fraccion imple i aplicar depré aule de L-ranformade; com en el exemple egüen: () [ L ( )( + )( + 4) [ /5 L + /6 + + / e 6 e + e 4

8 () [ L + ( + ) 3 L [ /6 + /8 + /6 + + /4 ( + ) e 8 e 3) [ 3 L 3 ( + 4) [ /8 L + 3/4 + / co 3 in 8 ( /8) + ( 3/4) + 4 Obervacio En cer cao, hi ha alernaive mé direce: [ [ L L (in ) (co ) in τ co( τ)dτ ( + ) + + in + in( τ) dτ in [τ 4 [co(τ ) in. O ambé: [ L ( + ) [ L D [ + L [ : Com calculem L? ( +4) Tenim que [ L in() in() ( + 4) + in. in(τ) in(( τ))dτ. Ara uem que in(τ) in(( τ)) [co(4τ ) co(). Per an, [ L ( + 4) 4 in() co(). * Funció impul uniari o Dela de Dirac, δ. La eva ranformada. La dela de Dirac δ, é una funció generalizada ( o diribució ) mol úil per a modelizar accion inene inanànie (o de durada mol cura), com ara cop mecànic, impulo elècric, ec. Reula, donc, inuïiva la caracerizació de δ mijançan le due propiea egüen δ() +, δ(), i () δ()d δ()f()d f() f C. Fin ara en hem referi a impulo en l inan. Per ralació e generaliza a qualevol: δ( ) +, i ; δ( ), i δ( )d Propiea: U ( ) δ( ). Exercici: Comproveu que L[δ( a) e a. δ( )f()d f( ) f C.

9 Definició Taula de L-ranformade f(), > F () e f()d Propiea f () + f () λf() F () + F () λf () f(a), a > (/a)f (/a) e a f() F ( + a) f( a)u( a), a > e a F () D N f() N f() f(τ)dτ F ()/ f()/ N F () N f() N f ()... D N f() ( ) N D N F () F (σ)dσ f () f () f (τ)f ( τ)dτ F ()F () f( + T ) f() lim + f() lim + F (); lim + f() lim + F () δ() δ( a) F () /( e T ) T e f()d e a / e a /( a) N N!/ N+ α Γ(α + )/ α+ in b b/( + b ) co b /( + b ) inh b b/( b ) coh b /( b ) (in b b co b)/(b 3 ) /( + b ) (b coh b inh b)/(b 3 ) /( b ) (in b)/ ln arcan(b/) (Γ () ln )/