2.3 El método de matriz de transferencia: modelo de Ising en d = 1

Transcripción

1 2.3 El método de matriz de transferencia: modelo de Ising en d = Este es un método para resolver sistemas definidos en redes con variables discretas, el cual se utiliza fundamentalmente para resolver problemas unidimensionales, aunque puede en algunos casos extenderse a dimensiones mayores. Supongamos un sistema definido en una red unidimensional de N sitios con condiciones de contorno periódicas y variables dicretas σ i, i =, 2,..., N, las cuales pueden tomar M valores diferentes y satisfacen: σ i+n = σ i Supongamos ademas interacciones solo entre primeros vecinos, con lo cual el Hamiltoniano del sistema puede ser escrito de manera genérica como N H({σ}) = [U(σ i ) + V (σ i, σ i+ )] (6) i= donde, por las condiciones periódicas, σ N+ = σ. La función de partición viene dada por Z = [ ] N exp β {U(σ i ) + V (σ i, σ i+ )} {σ i } i= = N T (σ i, σ i+ ) (62) {σ i } i= con T (σ, σ ) = exp [ β { U(σ)/2 + V (σ, σ ) + U(σ )/2 }] donde hemos simetrizado el exponente, por motivos que quedarán claros inmediatamente. Las funciones T (σ, σ ) pueden ser pensadas como los elementos de una matriz M M, que llamaremos T, la cual se conoce como matriz de transferencia. Tenemos entonces 68

2 Z N = T (σ, σ 2 )T (σ 2, σ 3 ) T (σ 3, σ 4 )... T (σ N, σ ) (63) {σ } {σ 3 } {σ N } {σ2} = T 2 (σ, σ 3 )T (σ 3, σ 4 ) T (σ 4, σ 5 )... T (σ N, σ ) (64) {σ } {σ 4 } {σ N } {σ3}. (65) = {σ } T N (σ, σ ) (66) ( ) = Tr T N (67) La matriz T es simétrica por construcción y por lo tanto sus autovalores son reales. Si llamamos λ j, j =, 2,..., M a los autovalores de T entonces M Z = λ N j (68) j= Teorema de Perron-Frobenius: Dada un matriz M M (M < ) A, con elementos de matriz A ij > para todo i, j, el mayor autovalor es:. real y positivo, 2. no-degenerado, 3. una función analítica de los elementos de matriz A ij. Podemos entonces ordenar los autovalores de T de manera que λ > λ 2 λ 3 λ M donde λ por el teorema anterior es una función analítica de β (T > ) y otros parámetros incluidos en el Hamiltoniano, ya que asumimos M finito. De esta manera, la energía libre resulta 69

3 βf = lim N = lim N N ln Z [ N ln = ln λ + lim N ( )] M + (λ i /λ ) N i=2 [ ] M N ln + (λ i /λ ) N λ N i=2 = ln λ (69) Dado que λ es una función analítica de todos sus parámetros, esto constituye una demostración alternativa de que en un sistema unidimensional con interacciones de primeros vecinos no existe transición de fase a temperatura finita. Vamos analizar ahora la solución del modelo de Ising unidimensional con interacción a primeros vecinos. Antes de aplicar el método anterior, vamos a resolver el problema con condiciones de contorno libres a campo nulo, para el cual βh = K N i= S i S i+ Z(N, T ) = Sumemos primero sobre S N : S =± N S N =± i= exp (KS i S i+ ) exp(ks N S N ) = exp(ks N ) + exp( KS N ) S N =± = 2 cosh (KS N ) = 2 cosh (K) (7) ya que cosh (x) es una función par. Tenemos entonces Z(N, T ) = 2 cosh (K)Z(N, T ) Iterando esta ecuación obtenemos 7

4 Z(N, T ) = [2 cosh (K)] N = 2 [2 cosh (K)] N S =± de donde la energía libre resulta βf(t ) = lim ln Z(N, T ) = ln (2 cosh K) (7) N N La derivación anterior se basa en el hecho de que el resultado de la suma sobre S N es independiente de S N. En presencia de campo externo esto ya no se cumple. Vamos a entonces a calcular la función partición a campo no nulo, pero usando condiciones de contorno periódicas mediante el método de matriz de transferencia. En este caso podemos escribir Z(N, B, T ) = [ N exp K S i S i+ + h ] N (S i + S i+ ) 2 S =± S N =± i= i= con h βb y S N+ = S. elemetos tienen la forma (72) La matriz de transferencia en este caso es 2 2 y sus [ T (S, S ) = exp KSS + h ] 2 (S + S ) (73) con S, S = ±, esto es T = T (+, +) T (+, ) T (, +) T (, ) = ek+h e K e K e K h (74) Los autovalores resultan ] λ,2 = e [cosh(h) K ± cosh 2 (h) 2 e 2K senh(2k) (75) A campo nulo h = tenemos λ = 2 cosh(k) > λ 2 = 2 senh(k) > y en general λ > λ 2. La energía libre por partícula resulta entonces 7

5 T = m(b,t) T > T = - B Figura 6: Magnetización vs. campo para el modelo de Ising en d =. { } f(t, B) = J k B T ln cosh(βb) + cosh 2 (βb) 2 e 2βJ senh(2βj) (76) que es una función analítica de T y B. Notemos que a campo nulo esta expresión se reduce a la Ec.(7), tal como esperado. La magnetización por spin esta dada por ( ) f m(t, B) = B T senh(βb) = cosh 2 (βb) 2 e 2βJ senh(2βj) Vemos que m cuando B, para toda T, y por lo tanto este sistema no presenta transición de fase a temperatura finita, esto es, se comporta como un paramagneto a toda temperatura. Para T (β ) tenemos que (77) senh(βb) sgn(b) 2 eβ B cosh(βb) 2 eβ B con lo cual m(t, B) sgn(b) (ver Fig.6). Podemos calcular también la susceptibilidad a campo nulo 72

6 χ = m B = e2j/k BT B= k B T Para T tenemos que χ /k B T, lo cual se conoce como ley de Curie (comportamiento típico de paramagnetos). Podemos calcular también la entropía por spin s(t, B) = ( f/ T ) B, y mediante esta el calor específico a campo constante C B= = T ( ) ( s 2 ) f = T T B= T 2 = J 2 k B= B T 2 ( cosh 2 J k B T ) (78) que es también una función analítica para toda T >. Notemos que tanto χ como C divergen cuando T. Podemos utilizar la matriz de transferencia para calcular también funciones de correlación. Para ello calculemos primero S i = T (S, S 2 ) T (S i, S i ) S i T (S i, S i+ ) T (S N, S ) Z S S N Analicemos primero la suma en S i : S i =± T (S i, S i ) S i T (S i, S i+ ) es simple verificar que la misma es igual al elemento de matriz A(S i, S i+ ) de la matriz A = T σ z T donde σ z = es una de las matrices de Pauli. Usando la propiedad cíclica de la traza de un producto de matrices tenemos que S i = Z Tr [ T i σ z T N i] = Z Tr [ σ z T N ] 73

7 Sea ahora C la matriz de la transformación unitaria que diagonaliza T, esto es C T C = T = λ λ 2 y llamemos C σ z C = e f g k Los elementos de matriz (e, f, g, k) son funciones analíticas de (B, T, J) y pueden calcualrse sin esfuerzo. Tenemos entonces que S i = Z Tr [ C σ z CT N ] = eλn + kλn 2 λ N + λn 2 de donde S i = e en el límite N. Calculemos ahora la función de correlación: S i S i+r = Z Tr [ T i σ z T r σ z T N r i] = Z Tr [ σ z T r σ z T N r] = Z Tr [(C σ z C)T r (C σ z C)T N r] (79) Puede verse entonces que en el límite N : S i S i+r = e 2 + f g ( ) r λ2 λ La función de correlación conectada resulta entonces donde la longitud de correlación C c (2) (r) = f g ξ = ( λ2 λ ln (λ /λ 2 ) ) r = fg e r/ξ se mide en unidades del parámetro de red. A campo nulo tenemos que ξ = ln (cothk) 74

8 Vemos que las correlaciones decaen exponencialmente para toda T >. Notemos que ξ diverge para T. Esta divergencia, al igual que la del calor específico y de la susceptibilidad nos muestran que el modelo presenta una transición de fase a temperatura cero. 2.4 El modelo n-vectorial unidimensional Consideremos el modelo n-vectorial con S i = a campo nulo, en una dimensión y con condiciones de contorno libres. La función de partición tiene la forma ( Z(N, T ) = exp K N i= S i. S i+ ) d S d S N donde cada una de las integrales esta restringida a una hiperesfera de radio unidad S i =. Al igual que en el modelo de Ising con condiciones de contorno libres, vamos a ir resolviendo las integrales de a una, comenzando por la integral en S N. Esta integral tiene la forma donde α es un vector n-dimensional. función de la forma S = F n (r) = e α. S d S Para resolver esta integral consideremos una S =r e α. S dσ r donde dσ r es el elemento de área sobre una hiperesfera n dimensional de radio r, esto es, dσ r = r n dω n. Tenemos que e sr2 F n (r)dr = = ( π s ( n n exp s Si 2 + α i S i )ds ds n i= i= ) n/2 exp (α 2 /4s) (8) donde hemos usado que dx e ax2 +bx = 75 π a exp (b2 /4a)

9 ni= y α α = αi 2. Haciendo el cambio de variable r2 = x en la integral del lado izquierdo de la Ec.(8) tenemos que la misma resulta igual a la transformada de Laplace de la función F n (x /2 )/2x /2 : De tablas obtenemos que L e sr2 F n (r)dr = [ (x k ) ν 2 e sx F n (x /2 )dx/2x /2 I ν (2 k x) ] = s ν ek/s ν > donde I ν es una función de Bessel modificada de primer tipo de orden ν, la cual posee la representación integral: I ν (y) = (y/2) ν c+i exp (p + y 2 /4p)p (ν+) dp 2πi c i donde c es una constante real arbitraria c >. Haciendo todos los reemplazos apropiados obtenemos finalmente y asi S = F n (r) = (2π) n/2 α n/2 r n/2 I n 2 (αr) e α. S d S = F n () = (2π) n/2 α n/2 I n 2 (α) En nuestro caso α = K S donde S es un vector unitario, la integral es independiente de S y por lo tanto { } Z(N, T ) = Z(N, T ) (2π) n/2 K n/2 I n 2 (K) Iterando esta ecuación N veces obtenemos Z(N, T ) = { } N (2π) n/2 K n/2 I n 2 (K) ds = 2πn/2 { } N (2π) n/2 K n/2 I n S = Γ(n/2) 2 (K) Esta es una función analítica para K finito y por lo tanto el modelo no presenta transición de fase con orden de largo alcance a temperatura finita, tal como esperado. 76