3 Transformada de Laplace i sèries de Fourier

Transcripción

1 3 Transformada de Laplace i sèries de Fourier Calculeu la de Laplace de les funcions següens: ransformada a f = +, si < <,, si Solució: s e s s s e s b f = sin Solució: s s + c f = 3 Solució: 48 s 4 4 s s s d f = cos Solució: s + ss + 4 e f = sin sin Solució: f f = e sinh Solució: s s + s s s + 9 a Demosreu que exiseix la ransformada de Laplace Lfs, s >, de la funció f = α α > b Demosreu que si α > aleshores L α s = x >, és la funció Γ d Euler c Què podem dir de la funció f = /? d Maeixa preguna per a la funció f = / Γα + s α+, on Γx = 3 Calculeu una aniransformada de Laplace de les funcions següens: a gs = s + s 3 Solució: b gs = 5s Solució: 5 e/5 s + c gs = s 4ss + 5 Solució: e e 5 d gs = s 4 9 Solució: 6 3 sinh sin 3 4 Calculeu la ransformada de Laplace de la funció e 3, si, 5, f =, si = 5 Què podem dir de la unicia de l aniransformada de Laplace d una funció? x e d, 5 Demosreu que sin u cos u du = sin Indicació: feu servir el eorema de con- volució

2 6 Tenin en compe la definició de l exponencial complexa: e iθ = cos θ+i sin θ, calculeu Le ia per a a R i comproveu que s obé el maeix que si s apliqués, formalmen, la ransformada de Laplace a una exponencial real 7 Calculeu la ransformada de Laplace de les funcions següens: e s a f = e U Solució: s + b f = e cos 3 Solució: s + s s + 36 c f = e 3 cos 3 Solució: d f = τe τ dτ Solució: e f = e sin Solució: 9 + s + 3 s ss + s s + s + s + 8 Calculeu una aniransformada de Laplace de les funcions següens: s + 5 a gs = Solució: s e 3 cos s + 34 sin5 b gs = e s s s Solució: + e U 9 Escriviu la funció f =, si < 3π/, sin, si 3π/ en ermes de funcions esgraó uniàries això és, funcions del ipus U a i calculeu la seva ransformada de Laplace Solució: se 3πs/ s + Feu el maeix que al problema anerior amb la funció f = E[] par enera Solució: se s s + Calculeu una aniransformada de Laplace de la funció gs = ln fen servir que s + 4 L n fs = n dn ds Lfs Solució: cos cos n Calculeu una aniransformada de Laplace de la funció gs = a Fen servir la ransformada de Laplace d una convolució b Pels eoremes de ranslació de la forma següen: s + 3 Calculeu la ransformada de Laplace de la funció ona riangular enin en compe que és periòdica Solució: e s s s + e s + e s s + + s s s e s e s

3 4 a Demosreu que si f és coninua a rossos, d ordre exponencial i al que exiseix f lim, aleshores + f + L s = F u du, on F s = Lfs b Calculeu la ransformada de Laplace de la funció Sinus-inegral: c Demosreu que calculeu sin 5 Demosreu que L 6 Calculeu 7 Sigui la funció d f e cos d a Calculeu Lf b Calculeu Lf d = f = sin u u s du := Si F u du si exiseixen les inegrals Com a aplicació fu du d s = Lfs s f =,,, > c Es compleix la fórmula Lf s = slfs f? Què falla? e 8 Calculeu L s Per a quins valors de s exiseix aquesa ransformada? Solució: π, exiseix per s > s + 9 Calculeu L Si Comproveu que e sin d = π Indicació: feu servir l apara 4a 4 Si f és conínua a rossos i d ordre exponencial, demosreu que: L fτ dτ s = Lfs + fτ dτ s s Calculeu L U Solució: e s [ s s + 4 s a ] a 3 Feu servir la ransformada de Laplace per resoldre els següens problemes de Cauchy: a y + y =, y = 3

4 b y 4y + 4y = 3, y =, y = c y + y y y = sin 3, y =, y =, y = d y 5y + 6y = U, y =, y = 4 Resoleu l equació diferencial amb condicions inicials: y + 4y + 3y = δ π + δ 3π, y =, y =, on δ és la dela de Dirac en el pun 5 Resoleu l equació: y + y + y = cosδ 3π, y =, y = 6 Feu servir la ransformada de Laplace per resoldre les equacions inegrals següens: a f + b f = fτ cos τ dτ = 4e + sin Solució: 4e 7e + 4 e e τ e τ f τ dτ Solució: 3 7 Resoleu, fen servir la ransformada de Laplace, el problema de Cauchy y y =, y = Noeu que, en aques cas, no cal conèixer y 8 Considereu l equació inegro-diferencial y x + x yx e d =, y = a Derivan en ambdós membres, deduïu l equació diferencial ordinària de segon ordre que verifica la seva solució Preciseu-ne igualmen les condicions inicials que la deerminen b Alernaivamen, apliqueu direcamen la ransformada de Laplace a l equació inicial 9 a Trobeu la sèrie de Fourier de la funció fx = x + π a l inerval π < x < π Solució: a = π, a n =, b n = n n+ b Useu a per demosrar que 3 a Trobeu la sèrie de Fourier de fx = π 4 = , per π < x <, x, per x < π Solució: a = π 3, a n = n n, b n = π n, b n+ = π n πn + b Useu a per demosrar que π 6 = i que π =

5 c Useu b per robar una sèrie numèrica al que la seva suma sigui π /8 3 a Trobeu la sèrie de Fourier de fx =, si π < x <, x, si x < π a l inerval π < x < π Solució: a = π, a n = n, b πn n = n n b Quan val f a x = 7π 7π? I quan a x = 4π? Solució: f =, f4π = π 3 Trobeu, si és que exiseix, una sèrie de Fourier que convergeix cap a sin x per a o x R Solució: a = 4 π, a n = 4n, a n+ =, b n = 33 Trobeu la sèrie de Fourier de la funció fx = cos x, n=, si π/ x π, si x < π/ 34 Sigui fx coninua a, L i siguin a n i b n els seus coeficiens de Fourier a Proveu que si S M x = a + M a n cos nπ n= L x + b n sin nπ L x, aleshores L a M fxs M x dx = L + a n + b n b Proveu que S Mx dx = L a M + n= a n + b n c Proveu que fxs M x dx SMx dx fx dx d Fen servir els aparas aneriors proveu la anomenada desiguala de Bessel : a + a n + b n L n= fx dx 35 Desenvolupeu la funció fx = x +, per < x <, x, per x < en sèrie de sinus o cosinus, segons convingui Solució: a n =, b n = nπ 36 Desenvolupeu la funció fx =, per < x < /,, per / x < en sèrie de cosinus en mig inerval i en sèrie de sinus en mig inerval 5

6 37 Desenvolupeu la funció fx = x, < x < L a en sèrie de cosinus Solució: L 3 + n 4L nπx n π cos 3 L 4L b en sèrie de sinus Solució: n π 3 n n L nπx sin nπ L c en sèrie de Fourier Solució: L L 3 nπx L nπx 3 + nπ cos L nπ sin L 38 a Trobeu la forma general de la sèrie de Fourier en cosinus i de la sèrie de Fourier en sinus a [, C] per a funcions que compleixen la relació fc x = fx b Maeixa preguna per fc x = fx 39 Desenvolupeu la funció cos xz en sèrie de Fourier en l inerval [ π, π], on z és un paràmere z real Solució: a n = πn z n+ sin z, b n = Proveu les igualas i deduïu que sin πz = z π co πz = π π = + π = 4 z + + z k= k= k= k= k+, k z z k z 4 k+ 4k, 8 6k 6