Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2009

Transcripción

1 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 SÈRIE 4 QÜESTIONS.- Donats el punt P =(,, ) ilarectar : x = y + = z 5 : a) Trobeu l equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D =0)delplaπ que passa per P i és perpendicular a la recta r. b) Trobeu el punt de tall entre la recta r ielplaπ. [ punt per cada apartat] a) Podem agafar com a vector característic del pla buscat el vector director de la recta; així, π : x +y z + D =0. Imposem ara que el punt P compleixi aquesta equació, + +D =0. D aquí D = 5. L equació del pla és π :x +y z 5=0. b) El punt de tall és el que compleix les dues equacions que defineixen la recta i l equació del pla, x +=z 0 x +z = y =z 5 y +z = x +y z 5=0 x +y z = 5 Encara que aquest sistema es pot resoldre utilitzant el mètode de Cramer, n hi ha altres (Gauss, substitució,...) molt més fàcils. La solució d aquest sistema és x =, y =, z =4.Elpuntdetallés, doncs, (,, 4) Siguin A = 0 0 i B = a) Comproveu que la inversa de A és A. b) Comproveu també que A 58 = B. [ punt per cada apartat] a) Per comprovar que A = A, cal veure que A A = I, essent I la matriu identitat d ordre. Calculem primer el valor de A, A = A A = = Llavors, tal com volíem A A = = 0 0,

2 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 Naturalment, la qüestió es pot resoldre calculant A directament de la matriu A i comprovant després que A = A, encara que no és aquest el procediment demanat; o sigui, en aquesta qüestió no es demana que l estudiant sigui capaç de calcular la inversa d una matriu. b) Com que A A = A = I, tenim A 58 = A 7+ =(A ) 7 A = A = B. x(a x).- Considereu la funció f(x) =,amba>0. a a) Trobeu els punts de tall de la funció amb l eix OX. b) Comproveu que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x) i l eix d abscisses no depèn del valor del paràmetre a. [0,5 punts per l apartat a;,5 punts per l apartat b] a) f(x) =0 x(a x) =0 x =0o x = a. Els punts de tall són, doncs, (0, 0) i (a, 0). b) L àrea de recinte és a x(a x) A = 0 a dx = [ ] ax a a x = 6, 0 que, efectivament, no depèn del paràmetre a. 4.- En la resolució pel mètode de Gauss d un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent: a) Expliqueu, raonadament, quin és el caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució. [ punt per cada apartat] a) Com que el rang de la matriu de coeficients del sistema i el de la matriu ampliada és dos, podem assegurar que el sistema inicial és compatible indeterminat. }, que té per solució x =(5+8z)/, b) El sistema inicial és equivalent al sistema y =+z, onz és un paràmetre. x 5y +z = 5 y z =

3 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 PROBLEMES 5.- La gràfica de la funció f(x) = +x,desdex =fins a x =4, és la següent: x 4 4 a) Calculeu l equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d abscissa x = i x =. b) Dibuixeu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents que heu calculat. c) Trobeu els vèrtexs d aquest recinte. d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit. [ punt per l apartat a; 0,5 punts per l apartat b; punt per l apartat c;,5 punts per l apartat d] a) L equació de la recta tangent a la gràfica d una funció f(x) en un punt x 0 és y = f(x 0 )+f (x)(x x 0 ). La derivada de la funció donada és f (x) = x.pertant, En el punt d abscissa x =, l equació de la recta tangent és y = f() + f ()(x ), ésadir, y =7 x. En el punt d abscissa x =, l equació és y = f() + f ()(x ), osigui,y = x. b) El dibuix del recinte limitat per la corba i les dues tangents trobades és c) Els vèrtexs del recinte són els punts de tall (o de contacte) entre la corba i les dues rectes que el limiten. Com que les rectes són tangents a la corba, els punts de tall (de fet, solament de contacte) entre cada una de elles i la corba són (, 4) i (, ), respectivament. El vèrtex que falta és el punt d intersecció entre les dues rectes, } y =7 x x =/, y=5/. y = x/

4 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 4 de 0 En resum, els vèrtexs del recinte són, ordenats segons les abscisses, (, 4), (/, 5/) i (, ). d) La superfície demanada és / ( ) +x ( ( +x A = (7 x) dx + x )) dx x / x / ( ) ( ) = x 6+x dx + / x +x dx [ ] / [ ] = ln x 6x + x + ln x x + x 6 = ln(7) 0, 958. / 6.- Siguin r i s dues rectes de l espai les equacions respectives de les quals, que depenen d un paràmetre real b, sónlessegüents: { bx + y +z = r : x +y +5z =, s : x = y b b + = z +. a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d equació x =0ielpuntdetalldela recta s amb aquest mateix pla. b) Calculeu un vector director per a cada una de les rectes. c) Estudieu la posició relativa de les dues rectes en funció del paràmetre b. [ punt per l apartat a; punts per l apartat b; punts per l apartat c] a) Elpuntdetalldelarectar amb el pla x =0, té la primera component nul la i, per tant, ha de complir que { y +z = y +5z =. La solució d aquest sistema és y = i z =. Així el punt que estem buscant és P =(0,, ). Quant a trobar el punt de tall de la recta s amb el pla x =0, solament cal substituir aquest valor a l equació contínua de la recta s per veure que, llavors, y = b i z =. Així el punt buscat és Q =(0,b, ). b) El vector director de la recta r ha de ser perpendicular als vectors característics dels plans que la determinen, v =(b,, ), v =(,, 5). Llavors, si v r =(α, β, γ), cal que (α, β, γ) (b,, ) = 0, (α, β, γ) (,, 5) = 0. Aquests productes escalars donen lloc al sistema d equacions } αb + β +γ =0 α +β +5γ =0 De la segona equació, α = β 5γ. Substituint a la primera equació i fent operacions s arriba a que β( b) =γ( 5b), la qual cosa permet agafar, per exemple, β = 5b i γ = b. Llavors, α = β 5γ = ( 5b) 5( b) =. Així el vector director serà v r =(, 5b, b ). Recordem que v r també es pot calcular efectuant un producte vectorial, i j k v r =(b,, ) (,, 5) = b = i +( 5b)j +(b )k =(, 5b, b ). 5

5 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 5 de 0 El vector director de la recta s es treu directament de la seva equació, v s =(,b+, ). c) Construïm la matriu PQ 0 b + b + A = v r = 5b b 0 b + v s b b b Estudiem el rang d aquesta matriu, comprovant per quin valor del paràmetre b les dues últimes files són proporcionals, és a dir, Per tant, (b + )(b ) = (4 4b) b b +=0 b =o b =. Si b i b, tenim que rang A =; les dues rectes es creuen. 0 ( ) Si b =, A = vr ; d aquí, rang A =irang =. Les dues rectes són v s paral leles. 0 4 ( ) Si b =, A = vr 7 ; osigui,ranga =irang =. Les dues rectes es tallen. v s

6 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 6 de 0 SÈRIE QÜESTIONS.- Considereu la matriu A = tingui rang. [ punts] a b. Trobeu els valors dels paràmetres a i b perquè b a Escalonem la matriu, a b 0 b a. b a 0 a b Perquè el rang sigui calque b a =0i a b =0.Delaprimera equació se n dedueix que b =a; posant-ho alasegona queda a 4a =0; és adir, a =0o a =4.Llavors les solucions són: a =0,b=0 o bé a =4,b=8. També es pot plantejar l exercici, per exemple, forçant que les dues columnes siguin proporcionals, però les equacions a resoldre seran les mateixes..- Considereu les corbes y =4x x i y = x 6. a) Trobeu-ne els punts d intersecció. b) Representeu les dues corbes en una mateixa gràfica, on es vegi clarament el recinte que limiten entre elles. c) Trobeu l àrea d aquest recinte limitat per les dues corbes. [0,5 punts per l apartat a; 0,5 punts per l apartat b; punt per l apartat c] a) Les abscisses dels punts de tall d ambdues corbes, han de complir que 4x x = x 6. Les solucions d aquesta equació són x = i x =.Aixíels punts de tall són (, 5) i (, ). b) La gràfica és lasegüent:

7 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 7 de 0 c) Comprovem quina és la corba que limita el recinte per dalt y =4x x = y(0) = 0 ; y = x 6= y(0) = 6. La corba d equació y =4x x éslaque va perdamunt. Llavors, A = [(4x x ) (x 6)]dx = (4x x +6)dx = [ x x +6x ] = 64. { x + py = p.- Donat el sistema px + y = p : a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p =. [,5 punts per l apartat a; 0,5 punts per l apartat b] a) Escalonem la matriuampliada del sistema, ( ) ( ) p p p p p p 0 p p p Analitzem el valor de l element p.tenim que p =0si isol si p = ±. Per tant, Si p i p,elsistema és compatible determinat, ja que el rang de la matriu delsistema i el de l ampliada és, coincidint, a més amés, ambelnúmero d incògnites. ( ) Si p =, lamatriu escalonada és.elrang de la matriu delsistema és i el 0 0 de l ampliada és.elsistema és incompatible. ( ) Si p =,lamatriu escalonada és.elsistema és compatible indeterminat perquè el rang de la matriu delsistema i el de l ampliada coincideixen (valen ), peròés inferior alnúmero d incògnites. b) Per p =,elsistema és { { x +y = x +y = x + y = o,escalonat,.lasolució és x =/, y =/. y = 4.- Donats el pla π : x +y z =0ielpuntP =(,, ): a) Calculeu l equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [ punt per cada apartat] a) Els coeficients de l equació del pla ens proporcionen el seu vector característic, que ens pot servir com a vectordirector de la recta buscada. Per tant, l equació d aquesta recta és r : x = y = z

8 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 8 de 0 b) El punt de tall entre r i π és el punt mig entre el punt P i el seu simètric respecte del pla π. P π M r S Busquem aquest punt, al qual anomenarem M. { (x, y, z) r x =+λ, y =+λ, z = λ (x, y, z) π x +y z =0 Llavors, (+λ)+(+λ) ( λ) = 0 6λ+6 = 0 λ =. El punt de tall és M =(, 0, ). Si anomenem S =(x s,y s,z s ) al punt simètric, tenim PM = MS (, 0, ) (,, ) = (x s,y s,z s ) (, 0, ) x s =,y s =, z s = El punt simètric és S =(,, ). PROBLEMES 5.- Sigui f(x) =a + 4 x + b x. a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta x +y =4és tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d abscissa x =. Per la resta d apartats, considereu que a = iqueb =4. b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f(x). Trobeu i classifiqueu els extrems relatius que té la funció. c) Calculeu els punts de tall de la funció f(x) amb l eix OX. d) Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f(x), l eixox i les rectes x =i x =. [ punt per l apartat a; punt per l apartat b; 0,5 punts per l apartat c;,5 punts per l apartat d] 4 x a) Perquè la recta y = sigui tangent a f(x) en el punt x =cal que f() = y() ique f () = y (). Tenint en compte que f (x) = 4 x b,ensqueda el sistema d equacions x a b 9 = 8 i 4 9 b 7 =, que té per solució a =i b =. b) La funció, quan a = i b =4, és f(x) = + 4 x + 4 x i la seva derivada és f (x) = 4 x 8 x. Els possibles extrems relatius han de complir f (x) =0;defet, aquesta equació solament té la solució x =. Cal tenir encompte, a més amés, que el punt x =0no ésdeldomini de la funció. Així, per estudiar els intervals on lafunció creix o decreix, haurem d assenyalar sobre la recta real els punts x = i x =0, 0

9 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 9 de 0 Com que f ( ) < 0, f ( ) > 0 i f () < 0, podem assegurar que la funció f(x) és creixent a (, 0); la funció f(x) és decreixent a (, ) (0, + ); la funció té un mínim relatiu enx = ; és el punt (, 4). Cal notar que la funció no té extrem relatiu enx =0perquè aquest punt no ésdeldomini. c) Les abscisses dels punts de tall d aquesta funció amb l eix OX són lessolucions de l equació f(x) =0 (és adir, + 4 x + 4 =0). Aquestes solucions són x = / i x =. x d) Com que el punt de tall amb l eix OX x =està dins de l interval d integració, talcom es pot veure a la figura següent, l àrea demanada s ha decalcularendos trossos, A = ( + 4 x + 4 ) x dx + = 4 +4ln4, 484. ( 4 x 4 x ) dx = [ x +4ln x 4 ] [ + x 4ln x + 4 ] x x 6.- Siguin P =( a, b, 4), Q =(a, +b, 0) i R =(,, ) tres punts de l espai R. a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats. b) Calculeu l equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats. c) Quan b =0, trobeu les valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R. d) Si b =0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter. [ punt per cada apartat] a) Els punts P, Q i R estan alineats si isol si PQ = k PR, és adir, si isol si (a 4,, 4) = k(a, b, ) D aquí, calque a 4=ka, =k( b) i 4=k. Del última equació se n treu que k =i, llavors, a = 4 i b =. b) Per a = 4 i b =, els punts són P =(,, 4), Q =( 5,, 0) i R =(,, ). Larecta que passa per P i Q (i, pertant,també per R) té per equació contínua x 5 = y + + = z x, és adir, 6 = y + = z +4 4.

10 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 0 de 0 c) Quan b =0els punts són P =( a, 0, 4), Q =(a,, 0) i R =(,, ). Llavors, d(p, Q) = d(p, R) = [(a ) ( a)] +( 0) +(0+4) = (a 4) +0, [ ( a)] +( 0) +( +4) = 4a +8. La igualtat entre aquestes dues distàncies es produeix quan (a 4) +0=4a +8, és adir, quan a =4/5 o a =. d) Perquè el triangle sigui equilàter ha de passar que d(p, Q) =d(p, R) =d(q, R). Laprimera igualtat éslaque s ha estudiat en l apartat anterior. Imposem ara que d(p, Q) =d(q, R): d(p, Q) =d(q, R) 9a 4a +6=a 8a +6 8a 6a =0 a =0o a =. Evidentment també podem imposar que d(p, R) =d(q, R). Enaquest cas queda a =o a = 4/. Sigui com sigui, elvalor del paràmetre a per al qual el triangle determinat per P, Q i R és equilàter és a =. Aquest apartat es pot resoldre també substituint a cada un dels punts els valors del paràmetre a trobats a l apartat anterior, comprovant quin dels dos fa que les tres distàncies siguin iguals.