SOLUCIONARI Unitat 5

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat 5 Comencem Escriu tres equacions que no tinguin solució en el conjunt. Resposta oberta. Per exemple: a) x b) 5x 0 c) x Estableix tres equacions que no tinguin solució en el conjunt. Resposta oberta. Per exemple: a) x b) x 0 c) 5x Indica tres equacions que no tinguin solució en el conjunt. Resposta oberta. Per exemple: a) x 0 b) x x 0 c) x x 0 Exercicis. Identifica la part real i la part imaginària de cadascun dels nombres complexos següents: a) i 7 b) 5 i c) 5 d ) i e) 0, i a, b 7 a 5, b a, b 0 5 a 0, b a 0,, b f ) i a, b. Quin ha de ser el valor de p perquè el nom- bre complex (p ) i sigui un nom- 5 bre real? Cal que p 0 p. Quin valor té r si sabem que el nombre complex (r ) i és imaginari pur? 7 Cal que r 0 r. Escriu les arrels quadrades de cadascun d aquests nombres: a) i 9 b) 5 9 i 5 5 c) d ) 5 i 5 5 i e) 9 i 9 5. Resol, en el conjunt dels nombres complexos, les equacions següents: a) x 9 0 x 9 0 x 9 x 7i b) 6 x x x x i 6 Matemàtiques. Batxillerat

2 c) x x 0 x x 0 x i y d ) x 8 0 x 8 0 x 8 x i 7 z, z 5 ( 0, 0) 0 z (0, ) x z (, ) z (, ) 6. Compara les dues solucions obtingudes per a cadascuna de les equacions de l exercici anterior. Quina o quines relacions hi trobes? En els apartats a), b) i d) les dues solucions són dos nombres imaginaris purs oposats. En l apartat c) les dues solucions tenen oposada la part imaginària. 7. Representa els afixos dels nombres complexos: z 8, z i, z i z és el punt ( 8, 0); z és el punt, i z és el punt (0, ), representats en una referència cartesiana. 8. Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d ells? Resposta oberta. Per exemple: z i; z i, z i. Tots aquests nombres tenen la part real igual a la part imaginària. 9. És possible trobar un valor de k perquè els nombres z i i z ( k) i siguin iguals? Raona la resposta. No és possible perquè tenen la part real diferent:. 0. Representa els afixos dels nombres complexos següents: 7 z i, z i, z i, z i, z 5 0. Escriu els nombres complexos z 5 i z i en forma polar i en forma trigonomètrica. z (cos 80 i sin 80 ) z i 5 (cos 5 i sin 5 ) ja que r ( ) ( ) i tg en el tercer quadrant.. Troba el mòdul i l argument del nombre complex z (cos 5 i sin 5 ). Expressa l en forma binòmica. z (cos 5 i sin 5 ) 5 cos 5, sin 5 z i i. Comprova que les expressions binòmiques dels nombres 80, 80 i 50 coincideixen. Raona per què els tres nombres complexos són iguals ( ) Els tres nombres tenen el mateix mòdul i el mateix argument principal.. Donats els nombres complexos: z i; z i i z i comprova que es verifiquen les propietats associativa de la suma i associativa de la multiplicació. Matemàtiques. Batxillerat

3 Propietat associativa de la suma: ( i) ( i) i ( i) i [( i) ( i)] i ( i) i i Propietat associativa de la multiplicació: ( i) i i ( i) (9 i) i [( i) ( i)] i ( 6 i) i i 5. Calcula: igual igual i ( i) a) i i i ( i) i i i ( i) ( i) 7 6 i ( i) ( i) 7 7 i i i i i i i i 85 8 ( i) (5 i) i b) i i ( i) (5 i) i 5 i i i i i i i i i i 0 0 i i 0 i i 5 5 i i i c) i i i i i i i i i i i i i 0 0 i i 0 7 ( i) i i ri 6. Se sap que el quocient és un nom- i bre real. Troba el valor de r. Quin hauria de ser el valor de r perquè aquest quocient fos imaginari pur? ri i r r i i i Per tal que sigui un nombre real: r 0 r Per tal que sigui imaginari pur: r 0 r 7. Efectua: a) ( i) 5 ( i) 5 i 5 i Matemàtiques. Batxillerat

4 b) ( i) ( i) 6 i c) i 5 d ) ( i) 6 e) ( i) 6 i 5 65 ( i) 6 ( i) 9 ( i) f ) ( i ) ( i ) 9 i 9 g) 0 i i 0 i h) i 5 i 5 i, ja que el residu de dividir 5 entre és. 8. Troba el nombre complex que resulta de les potències següents: a) ( i) 5 ( i) 5 ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( 7 i) ( i) 8 i b) ( i) 7 ( i) 7 (( i) ) ( i) ( i) ( i) 8i ( i) 8 8 i c) ( ) 6 ( i) 6 (( i) ) ( i) ( i) ( i) ( 7 i) ( i) 69 8 i d ) i i i 5 6 i 5 i 6 9. Calcula ( i). Recorda que com que es tracta d un exponent negatiu, z. z ( i) ( i) (( i) ) ( i) 7 i 7 i 7 i 7 i 7 i 7 i Comprova mitjançant l exemple que no és certa la igualtat r s (r s) i i r 5 tg tg 70 no existeix.. Calcula: i i Efectua l operació amb les expressions binòmiques i amb les polars. Compara n els resultats. En forma binòmica: i i En forma polar: i 0 ; i Evidentment els dos resultats coincideixen. i. Troba el quocient utilitzant les ex- i pressions polars dels dos nombres complexos. i 5 5 i 5 i 5 : 5 80 i Matemàtiques. Batxillerat

5 . Calcula ( i) 5 de dues maneres diferents. Comprova que n obtens el mateix resultat. Si passem de la forma binòmica a la forma polar tenim: ( i) 5 ( 5 ) Per la potència del binomi: ( i) 5 i i i i i i 0 0 i 5 i i 5. Comprova que ( 60 ) 6. ( 60 ) Expressa en forma binòmica el resultat de ( 0 ) 5. ( 0 ) i 6. Expressa en forma binòmica les arrels quartes de z. 0 mòdul. Els argu- 0 k 60 ments surten d aplicar donant a k els valors 0,,, i. Són: 0, 90, 80 i 70. En forma binòmica: 0 ; 90 i; 80 ; 70 i 7. Troba les arrels vuitenes d. A continuació, comprova que el producte de dues qualssevol d aquestes arrels és també una arrel mòdul: 8. Per trobar els arguments procedim com en l exercici ante- 0 k 60 rior: amb k 0, k, k, 8 k, k, k 5, k 6 i k 7. Les arrels són: 0, 5, 90, 5, 80, 5, 70, 5. Multiplicant dues arrels qualssevol se n obté una de mòdul i d argument un múltiple de Una de les arrels cúbiques d un nombre complex és 60. Calcula aquest número complex i les altres dues arrels. z 60 ( 60 ) z mòdul:. Els arguments són: 80 k 60, k 0, k i k Les arrels són: 60 (ja la teníem); 80 ; Resol les equacions: a) x 6 0 x 6 0 x mòdul 6 Arguments: 80 k 60, k 0, k, k i k 5, 5, 5, 5. L equació té arrels complexes: 5, 5, 5 i 5 b) x 6 i x 6 i x 6 i 6 90 mòdul: 6 Arguments: 90 k 60 k 0, k, 6 k, k, k i k 5 Les sis arrels: 5, 75, 5, 95, 55, 5. c) x 8 i x 8 i x 8 i 8 70 mòdul: 8 Arguments: 70 k 60, k 0, k i k 90, 0, 0 Les tres arrels són: 90, 0, 0 Matemàtiques. Batxillerat

6 Acabem. Resol les equacions següents en el conjunt dels nombres complexos: a) x x 0 8 x x 0 x i x i x i b) x x x x 6 0 x c) x i 5 x i 5 x i x 5 0 x 5 x 5 5 i. Donats els nombres complexos z ( p) i i z 5 i, troba el valor de p sabent que z z és un nombre real. z z ( p) i ( 5 i) (7 p) i Si ha de ser un nombre real, 7 p 0 p 7.. Calcula: a) i ( i) ( 5 i) i ( i) ( 5 i) ( 5) i i b) 0 i [( i) ( i)] 0 i [( i) ( i)] 0 i ( i) 6 i. Comprova amb un exemple que quan se suma i quan es multiplica un nombre complex pel seu conjugat s obté un nombre real en cada cas. Siguin, per exemple, z i; z i. z z ( i) ( i) z z ( i) ( i) i 5 5. Donats el nombres complexos z i, z i i z i, comprova que es verifica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. z (z z ) ( i) ( i i) ( i) ( i) 7i (z z ) (z z ) ( i) ( i) ( i) i ( 5 5 i) (6 i) 7i S obté el mateix resultat. 6. Calcula en forma binòmica: a) ( i) ( i) i i i b) ( i) ( i) i 9 i 5 i c) ( i) ( i) i i i 7. Efectua les operacions del numerador i del denominador en les expressions fraccionàries següents i després, calcula n el quocient: ( 7 i) ( i) ( i) a) (5 i) ( 7 i) ( i) ( i) (5 i) ( 7i) ( i) 5 i 5 0 i i 0 i Calculem el quocient: (5 i) ( 0 i) 60 6 i ( 0 i) ( 0 i) i 69 8 Matemàtiques. Batxillerat

7 0 [( i) ( i)] b) i ( i) ( i) 0 [( i) ( i)] i ( i) ( i) i i i ( ) 7 i Calculem el quocient: ( i) (7 i) 80 6 i (7 i) (7 i) i Demostra que si z és un nombre complex, z z el quocient, en què z és el conjugat z z de z, és sempre un nombre complex imaginari pur. Sigui z a bi; z a bi: z z (a bi) (a bi) z z (a bi) (a bi) b b i i a a Efectivament, és un nombre imaginari pur. 9. Escriu en forma polar els nombres complexos que tenen per afixos els vèrtexs de l hexàgon regular de la figura 5.6. Tots els punts de la circumferència de centre l origen de coordenades i de radi dos corresponen a tots els nombres complexos de mòdul.. Donat el nombre complex 60, escriu-lo en forma binòmica. Troba n l oposat, el conjugat i l invers. 60 a bi; a cos 60 ; b sin 60 ; z i L oposat: El conjugat: L invers: z i z i z i i i i i i i 6. Calcula. Efectua primer la divisió i i després la potència. i ( i) ( i) i i ( i) ( i) ( i) 6 i 6 i Fig. 5.6 El vèrtexs de l hexàgon corresponen als nombres complexos de mòdul i argument un angle múltiple de 60. Són els següents: 0, 60, 0, 80, 0, Descriu la figura que s obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos de mòdul.. Comprova que la suma de les arrels vuitenes de la unitat dóna com a resultat zero. Calculem les arrels vuitenes d : mòdul: 8. Arguments: 0 k 60, k 0, k, k, k, 8 k, k 5, k 6 i k 7. Les arrels són: 0, 5, 90, 5, 80, 5, 70, 5 Matemàtiques. Batxillerat

8 En forma binòmica: 0 5 i 90 i 5 i 80 5 i 70 i 5 i La suma: i i i i i i 0. Descriu la figura que s obtindria en representar gràficament tots els nombres complexos l argument dels quals és 60. Tots els nombres complexos d argument 60 formen una semirecta d origen l origen de coordenades i que forma un angle de 60 amb el semieix positiu OX. 5. Determina el valor de la suma següent: i i... i 5 Cal tenir en compte que: i i i i i i 0 Separant, la suma de les 5 potències successives de i contenen grups que sumen 0 i queda i 5, ja que 5. i i... i 5 i 5 i 6. Expressa en forma binòmica el resultat de la divisió: 6 0 : : Passant a forma binòmica: 90 i. 7. Calcula el mòdul i l argument de la tercera potència de i. ( i) i r tg 0 ( 0 ) Troba les arrels quartes de z 8 8 i. Passem a forma polar: r 8 (8 ) 56; tg, mòdul 56, arguments: 60 k 60, k 0, k, k i k. Arrels: 5 ; 05 ; 95 ; Determina les equacions de les rectes que contenen els costats del triangle que té per vèrtexs els afixos de les arrels cúbiques de 8 i. 8 i 8 90 mòdul 8 ; arguments: 90 k 60, k 0, k i k. Arrels: 0 ; 50 ; 70. Els afixos són els punts que tenen de coordenades els components en forma binòmica. Vèrtex A 0 (cos 0 i sin 0 ) i (, ) Vèrtex B 50 (cos 50 i sin 50 ) i (, ) Vèrtex C 70 i (0, ) Recta AB: y Recta BC: y x Recta AC: y x 0. Calcula la suma dels quadrats de les arrels cúbiques de mòdul 8 ; arguments: 80 k 60, k 0, k i k. Arrels: 60 ; 80 ; 00. Calculem els quadrats: ( 60º ) 0 (cos 0 i sin 0 ) i i ( 80 ) 60 Matemàtiques. Batxillerat

9 ( 00 ) (cos 0 i sin 0 ) i i Suma: ( i) ( i) 0. Troba les arrels cúbiques de 7. Comprova que una d aquestes arrels és el nombre real mòdul: 7 ; argu k 60 ments:, k 0, k i k. Les arrels: 60 ; 80 ; 00.. Calcula les arrels quartes de 6 i comprova que dues d aquestes arrels són nombres reals mòdul: 6 ; arguments: 0 k 60, k 0, k, k i k. Arrels: 0 ; 90 ; 80 ; 70. Les arrels i són nombres reals.. Una de les arrels cúbiques del nombre complex z és 0. Calcula z i les altres dues arrels. z 0 z ( 0 ) mòdul: ; 0 k 60 arguments: Arrels: 0 ; 0 ; 50.. Utilitza el mètode més senzill per calcular ( i) 0. Per què creus que el mètode que has utilitzat és el més senzill? El mètode més senzill és passar el nombre complex a la forma polar: i 5 ( 50 ) Representa gràficament les arrels quartes de 6. Les arrels quartes de 6 s han obtingut en l exercici. Els seus afixos són els punts (, 0); (0, ); (, 0) i (0, ). Matemàtiques. Batxillerat