Unitat 1. Nombres reals.

Transcripción

1 Unitat 1. Nombres reals. Conjunts numèrics: - N = Naturals - Z = Enters - Q = Racionals: Són els nombres que es poden expressar com a quocient de dos nombres enters. El conjunt dels nombres racionals, format per tots els nombres fraccionaris, conté com a subconjunt els nombres naturals i els nombres enters. Aquest conjunt també es pot pensar com tots els nombres decimals que siguin exactes, periòdics purs o periòdics mixts Els nombres reals. La recta real. Els nombres racionals els podem representar sobre una recta numèrica. Es verifiquen aquestes dues propietats: - Entre dos nombres racionals, hi ha altres infinits nombres racionals. - Si prenen qualsevol nombre d aquesta recta, podrem trobar nombres racionals tan propers com nosaltres vulguem. Resulta, però, que a la recta hi ha infinits punts (o nombres) que no corresponen a nombres racionals. Es tracta dels nombres irracionals. Els nombres irracionals són aquells que no es poden expressar en forma de fracció. Són irracionals, per exemple:... El conjunt format pels nombres racionals i els nombres irracionals s anomena conjunt dels nombres reals.

2 Activitats. 1. Situa els nombres següents en el diagrama: 2. Situa els nombres de l exercici anterior en les caselles. Cada nombre pot estar en més d un. Naturals Enters Racionals Reals No reals Afegeix un nombre més (inventat per tu) a cada casella. Intervals i semirectes. Es tracta d un sistema per descriure els subconjunts o les parts de la recta real. (a,b) = (-, a) = [a,b] = (-, a] = (a,b] = (a, + ) = [a,b) = [a, + ) =

3 Activitats. 3. Representa els conjunts següents: a) (-3, -1) b) [4, + ) c) (3, 9] d) (-, 0] 4. Representa els conjunts següents: a) { x -2 x < 5 } b) [-2, 5 ) U ( 5, 7 ] c) ( -, 0 ) U ( 3, + ) d) (-, 1 ) U ( 1, + ) 5. Escriu un nombre racional que es trobi entre: a) 3/7 i 4/7 b) 5/2 i 6/6 6. Representa sobre una recta numèrica els nombres -3, 5/4, -7/3,, Valor absolut d un nombre real. El valor absolut d un nombre a és el mateix nombre si aquest és positiu, i el seu oposat, si aquest és negatiu. { Activitats. 5. Troba els valors absoluts següents: a) -11 = b) π = c) = d) 0 = e) 3 π = f) 3 - = g) 1 - = h) =

4 6. Esbrina per a quins valors de x s acompleixen les relacions següents: a) x = 5 b) x 5 c) x 4 = 2 d) x 4 2 e) x 4 > 2 f) x + 4 > Radicals. Propietats. Recordem que, on n és un nombre natural major que 1, i a i b són nombres reals. Exemples:, ja que..., ja que... s anomena radical, a radicand, i n índex de l arrel. Si a és positiu o zero, existeix per a qualsevol valor de l índex. Si a és negatiu, existeix només per a valors imparells de l índex. Les arrels es poden expressar com a potències: I per tant,. Radicals equivalents Dos o més radicals s'anomenen equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. Donat un radical es poden obtenir radicals equivalents infinits, multiplicant o dividint l'exponent del radicand i l'índex de l'arrel pel mateix nombre. Si es multiplica s'anomena amplificar i si es divideix s'anomena simplificar el radical. Un radical és irreductible quan la fracció de la potència associada és irreductible.

5 Introducció i extracció de factors Per introduir un factor dins d'un radical s'eleva el factor a la potència que indica l'índex i s'escriu a dins. Si algun factor del radicand té per exponent un nombre més gran que l'índex, es pot extreure fora del radical dividint l'exponent del radicand entre l'índex. El quocient és l'exponent del factor que surt a fora i la resta és l'exponent del factor que queda a dins. Reducció a índex comú Reduir a índex comú dos o més radicals és trobar radicals equivalents als donats que tinguin el mateix índex. Un índex comú és qualsevol múltiple del mcm dels índexs. El mínim índex comú és el mcm dels índexs; habitualment es tria aquest. Radicals semblants Els radicals semblants són aquells que tenen el mateix índex i el mateix radicand. Poden diferir únicament en el coeficient que els multiplica. Arrel d'un producte L'arrel n-èsima d'un producte és igual al producte de les arrels n-èsimes dels factors. Arrel d'un quocient L'arrel n-èsima d'un quocient és igual al quocient de les arrels n-èsimes del dividend i del divisor. Arrel d'una potència Per trobar l'arrel d'una potència, es calcula l'arrel de la base i després s'eleva el resultat a la potència donada.

6 Arrel d'una arrel L'arrel n-èsima de l'arrel m-èsima d'un nombre és igual a l'arrel n m-èsima del nombre esmentat. Suma i resta de radicals Només podem sumar o restar arrels que siguin semblants. Racionalització de denominadors Si tenim fraccions amb alguna arrel al denominador, el procés de racionalització consisteix en trobar una fracció equivalent que no tingui cap arrel al denominador, multiplicant el numerador i el denominador per l expressió adequada Nombres aproximats. Notació científica. Quan hem de fer càlculs, sovint utilitzem nombres aproximats, en comptes de fer servir els valors exactes. Per exemple, - Aproximem per 1,41 - El nombre d assistents a una manifestació, aproximadament d uns La distància entre Vilanova i Barcelona és aproximadament d uns 45 km. Quan treballem amb valors aproximats, cal conèixer els conceptes següents: - Xifres significatives: Són les xifres que fem servir per expressar un nombre aproximat. Només cal utilitzar aquelles que són exactes, i de manera que siguin destacables pel que es vol transmetre. - Error absolut: És la diferència entre un valor real i el valor aproximat que fem servir. - Error relatiu: És el quocient entre l error absolut i el valor real.

7 Notació científica. És un sistema d escriptura que es fa servir per representar nombres molt grans, o nombres molt petits = 3, = 3, , = 9,8 0, = 9, Sempre els expressarem com el producte d un nombre entre 1 i 10 i una potència de Logaritmes. Propietats. El logaritme en base a d un nombre P és l exponent al que hem d elevar el nombre a per a obtenir com a resultat P. El logaritme decimal (en base 10) s escriu sense indicar la base:. El logaritme neperià ( en base e) s escriu amb ln (x). Propietats. 1. El logaritme de la seva base és 1. Així ja que. 2. El logaritme de 1 és zero (independentment de la base). Així ja que. 3. El logaritme d un producte és igual a la suma dels logaritmes. 4. El logaritme d un quocient és igual a la resta dels logaritmes. 5. El logaritme d una potència és igual a l exponent multiplicat pel logaritme de la base. 6. El logaritme d una arrel és igual al logaritme del radicand dividit entre l índex. 7. Canvi de base.