Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS

Transcripción

1 Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS 2.1. Divisió de polinomis. Podem fer la divisió entre dos monomis, sempre que m > n. Si hem de fer una divisió de dos polinomis, anirem calculant les divisions terme a terme (veure els exemples). Divisió entera. Quan fem una divisió de polinomis P(x) : D(x) i obtenim el quocient Q(x) i el residu R(x), obtenim aquestes igualtats: Divisió exacta. Una divisió de polinomis és exacta si el residu R(x) és zero Divisió d un polinomi per x a. Regla de Ruffini. Quan hem de fer una divisió de polinomis i el dividend D(x) és un polinomi de primer grau, més concretament un polinomi del tipus x a, podem seguir el següent procediment per a obtenir el quocient i el residu.

2 Observem que si la divisió és exacta, el nombre a ha de ser un divisor del terme independent del polinomi. Segons això, si tenim P(x) un polinomi qualsevol i busquem divisions exactes entre polinomis del tipus x-a, només cal comprovar aquelles divisions amb el nombre a que sigui un divisor del terme independent de P(x). Recordem també que si tenim un polinomi P(x) i un nombre x = a, el valor numèric del polinomi és el resultat que obtenim en substituir el nombre a per la x i fer les operacions. Teorema del residu. El valor numèric d un polinomi P(x) quan x = a coincideix amb el residu de la divisió P(x): ( x a ) 2.3. Factorització de polinomis Un nombre a és una arrel d un polinomi P(x) si el valor numèric P(a) = 0. Les arrels del polinomi són per tant les solucions de l equació P(x) = 0. Si a és una arrel del polinomi, pel teorema del residu, podem afirmar que el residu de la divisió P(x) : (x a) és zero. Aleshores P(x) = (x-a) Q(x) Podem buscar les arrels del polinomi P(x) mitjançant la regla de Ruffini, provant divisions que siguin exactes (amb residu zero). Factoritzar un polinomi P(x) consisteix en expressar-lo com a producte de polinomis de grau el més petit possible. Per exemple, el polinomi P(x) = x 4 + 2x 3 7x 2 8x + 12 té com a arrels els nombres x = 1, x = 2, x = -2 i x = -3 (ho comprovem amb la regla de Ruffini). Aleshores podem expressar el polinomi P(x) com:

3 Si prenem el polinomi P(x) = x 3 1, podem veure que la única arrel és el nombre x = 1, i que el polinomi es factoritza com I el polinomi x 2 + x + 1 no es pot factoritzar més. En general un polinomi qualsevol es pot factoritzar de la forma següent: On a 1, a 2,... són les arrels del polinomi, i possiblement apareguin també polinomis de segon grau que siguin irreductibles (que no es poden factoritzar) Equacions. I) Equacions de segon grau. Una equació de segon grau, anomenada també equació quadràtica, és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la integren és 2. La seva expressió general és: Una equació de segon grau, anomenada també equació quadràtica, és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la integren és 2. La seva expressió general és: on a 0. Les equacions de segon grau es resolen mitjançant la fórmula: En funció del signe del determinant ( diferents, una única solució o cap solució. ) l equació tindrà dues solucions II) Equacions biquadrades. Si tenim una equació de quart grau on només apareixen els monomis de grau parell, podrem trobar les solucions fent el canvi de variable x 2 = t, de forma que I quan hem trobat els valors solucions de la incògnita t, caldrà desfer el canvi de variable:

4 III) Equacions amb radicals. Si ens trobem amb una equació on la incògnita x apareix a l interior d una o més arrels quadrades, podem aplicar aquest procediment: - Si només hi ha una arrel quadrada: Deixem l arrel a un costat de la igualtat, i tots els altres termes de l equació, a l altre costat. Fet això podem elevar al quadrat els dos membres de l equació, de forma que l arrel quadrada desapareix. Exemple: I quan hem trobat la solució x = 2, cal comprovar-la, ja que quan elevem els membres d una equació al quadrat, poden aparèixer solucions falses. - Si l equació té dues arrels o més, podem aplicar el procediment anterior per cadascuna de les arrels. IV) Equacions amb la incògnita x en el denominador. Si una equació conté fraccions algèbriques, podrem eliminar tots els denominadors reduint les fraccions a comú denominador, bé amb el mínim comú múltiple, o bé multiplicant tots els termes pel producte de tots els denominadors. En aquest tipus d equacions també haurem de comprovar les solucions que apareixen. V) Equacions exponencials i logarítmiques. Les equacions exponencials són aquelles en les quals la incògnita x apareix a l exponent d alguna potència. Si l equació consta únicament de dues potències que són iguals, podem aplicar la propietat de les potències que diu: Exemple: I si ho comprovem, totes dues solucions són vàlides. Hi ha un altre tipus d equacions exponencials que es poden resoldre mitjançant un canvi de variable. Per exemple:

5 Si fem el canvi 2 x = t, Hi ha equacions del primer tipus que no es poden resoldre tal com s ha indicat ja que 10 no es pot expressar com a una potència de 3. Hem de recórrer aleshores als logaritmes. I per últim, les equacions logarítmiques són aquelles en les quals la incògnita es troba a l interior d algun logaritme, i per resoldre-les hem d aplicar les propietats dels logaritmes Sistemes d equacions. Recordem que un sistema d equacions és un conjunt d equacions de les quals volem trobar la solució comuna de les diferents incògnites. Per resoldre un sistema d equacions disposem de diferents mètodes: substitució, igualació o reducció Inequacions amb una incògnita. Una inequació és una desigualtat entre expressions algèbriques. La solució d una inequació és el conjunt de tots els nombres que verifiquen la desigualtat, i generalment és un interval de la recta real. El procés de resolució és molt semblant al d'una equació: cal anar transformant els termes de la desigualtat en d'altres menys senzills aplicant les propietats descrites més amunt. Alguns dels passos possibles són: Sumar i restar el mateix nombre als dos membres de la inequació: el sentit de la desigualtat es manté inalterat. Multiplicar i dividir el mateix nombre, més gran que zero, als dos membres de la inequació: el sentit de la desigualtat es manté inalterat.

6 Multiplicar i dividir el mateix nombre, més petit que zero, als dos membres de la inequació: el sentit de la desigualtat s'inverteix. Per tant, si es canvien tots els signes dels dos membres de la inequació, el sentit de la desigualtat canvia (canviar els signes és equivalent a dividir per menys u, que és més petit que zero). Inequacions de segon grau. Aquest tipus d inequació es poden resoldre mitjançant la representació gràfica de la funció corresponent al polinomi de segon grau que determina la inequació: Fent la gràfica de la funció (la paràbola), podrem deduir per quins valors de la variable x el polinomi és més gran o igual a zero. La desigualtat és certa quan ( ] [ )