j Unitat 6. Rectes en el pla

Transcripción

1 MATEMÀTIQUES 9 4. Calcula a a sabent que a b, b b 4 i que l angle que formen els vectors a i b mesura 0º. b b 4 b 4 b a b a b cos a a cos 0º a cos 0º a a a 9. Els punts A(, ), B(, ) i C(, ) són tres vèrtexs consecutius d un paral lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt d intersecció de les diagonals. Els vectors AB i DC són equipol lents. Anomenem D(x, y) Llavors AB DC B A C D (, ) (, ) (, ) (x, y) (4, ) ( x, y) Tenim el sistema: 4 = x La solució és: x i y 4. = y El punt buscat és D(, 4). El punt d intersecció de les diagonals és el punt mig M dels segments AC o BD: M = A+ C (, ) + (, ) (, 77 = = = 7 7, j Unitat. Rectes en el pla Activitats. Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt P(4, ) i té com a vector director el vector v (, ). Indica n el pendent i l abscissa i l ordenada a l origen. Vectorial: (x, y) (4, ) k (, ) x 4 k Paramètriques: y k x 4 y Contínua: General: x y 0 Explícita: y x x y Canònica: m p n. Considera la recta d equació vectorial: (x, y) (, ) k (, ) Determina quin és el valor de b per tal que el vector v (, b) sigui un vector director de la recta. Els vèrtexs d un triangle estan situats en els punts A(, ), B(, 4) i C(7, 4). a) Demostra que el triangle és rectangle en el vèrtex A. AB = (, ), AC = (, ) AB AC = = 0 AB AC Aˆ = 90º b) Comprova que els costats del triangle verifiquen el teorema de Pitàgores. AB = AB = 40 = 0 u AC = AC = 40 = 0 u BC = 4, 8) BC = BC = 80 = 4 u ( Es verifica: BC = AB + AC 80 = triangle rectangle isòsceles c) Calcula l àrea del triangle. Àrea AB AC u 0 u v (, b) u (, ) v k u b b x y. Per a la recta d equació, escriu les equacions 4 general i explícita. Indica n un vector director. x y x y 4 4 x y 4 0 x 4 y x 4 y y x m v (, )

2 70 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 4. El punt A(, ) és de la recta que passa pel punt P(, ) i té com a vector director v (, )? Justifica la resposta. P(, ) y x v (, ) x y 4 0 A (, ) No és de la recta.. Quin és el pendent de la recta x? Per què? No té pendent real, ja que és una recta vertical i, per tant, m tg 90.. Escriu l equació canònica de la recta que té per equació explícita: y x 0 y x n 0 0 y 0 x 0 0 x p x y 0 x y 7. Considera la recta d equació: Es demana: un vector director, el pendent i els punts de tall amb els eixos de coordenades. x y x y v (, ) m x y 0 0 x P(, 0) a l eix OX y 4 x 0 y 4 Q 0, a l eix OY 8. Esbrina si el punt P(, ) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica les respostes. a) (x, y) (, ) k (, ) Sí és de la recta. (x, y) (, ) k (, ) x k y k k k P(, ) k k x k b) y k k k P(, ) k k 0 No és de la recta. c) x y 0 P(, ) 4 0 No és de la recta. x y d) 4 P(, ) 4 Sí és de la recta. e) y x P(, ) Sí és de la recta. x y f) 7 P(, ) No és de la recta. 9. Escriu l equació general de la recta que passa pels punts P(4, ) i Q(, ). P(4, ) Q(, ) PQ q p ( 7, ) v (7, ) x 4 y P(4, ) 7 x 7y 0

3 MATEMÀTIQUES 7 0. Sense fer-ne la representació gràfica, esbrina si A(, ), B(, ) i C(, ) estan alineats. A(, ) B(, ) v (, ) A(, ) Estan alineats. AB b a (, ) v (, ) x y x y 0 C(, ) 0. Determina l equació de la recta de pendent m que 4 passa pel punt A(, ). Tot seguit representa-la gràficament. y mx n y x n 4 9 A(, ) ( ) n n y x 4 4. Comprova que els punts A(, ), B(, ) i C(, ) no estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A, B i C. AB b a ( 4, ) AC c a (, 4) No estan alineats. Costat AB: AB k AC AB ( 4, ) v (, ) A(, ) x y x y 4 0 Costat AC: AC (, 4) u (, 4) A (, ) x y 4x y Costat BC: BC c b (7, ) w (7, ) B (, ) x y x 7y Determina l equació explícita de la recta que passa pels punts P(0, ) i Q(, ). Quin és el seu pendent? PQ q p (, ) v (, ) m y x P(0, ) n. Troba l equació de la recta que passa per l origen i té un angle d inclinació 4. Dibuixa-la. m tg tg 4 y x n 0(0, 0) y x. Escriu l equació canònica de la recta an terior. y x n 0 y 0 x 0 x 0 p x y 0

4 7 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Troba la mesura dels angles del triangle que formen les rectes r: x y 7 0; s: x y 0 i t: y 0. Fes-ne el dibuix corresponent. x y 7 0 m tg 4 x y 0 m tg,7 80 ( ) 80 78,7 0, 7. Troba l equació de la recta que passa pel punt de tall de les rectes x y 8 0 i x 7y 0, i és paral. lela a 8 x y la recta. 7 x y 8 0 x, y P(, ) x 7y 0 8 x y x 8 y 7 7 v (, 7) x y P(, ) 7 7x y Esbrina si les tres rectes x y 0, x y 0 i x 4y 0 es tallen o no en un mateix punt. x y 0 x, y P(, ) x y 0 x y 0 x, y P(, ) x 4y 0 Sí, es tallen en el punt P(, ). 9. Troba el baricentre del triangle de vèrtexs A(, 0), B(, 4) i C(, ). M punt mitjà del segment AB M (0, ) C (, ) MC (, ) v (, ) M(0, ) x y x y 4 0 Mediana des de C. 9 N punt mitjà del segment BC N, A(, 0) u (, ) A(, 0) Mediana des de A. NA, x y x y 0 x y 4 0 x, y G(, ) x y 0 0. Classifica aquests parells de rectes en incidents, coincidents o paral. leles. En cas que siguin incidents, troba n el punt on es tallen. y a) y x, x y x x y 0 y x x y Incidents; P, b) x y 0, x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 Coincidents c) x y 7 0, x y 0 x y 7 0 x y 0 x y 9 0 Paral. leles d) (x, y) (, ) k (, ), x y 0 (x, y) (, ) k (, ) x y x y 7 0 Paral. leles x y 0

5 MATEMÀTIQUES 7. Determina el punt d intersecció de les rectes: x y i (x, y) (, ) k (, ) x y x y 0 (x, y) (, ) k(, ) x y x y 0 9 x, y 9 P,. Considera els punts P(, ) i Q(, ) i les rectes r: x 4y 0 i s: x y 0 Troba l equació de: a) La recta paral. lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ. M, punt mitjà del segment PQ M, r: x 4y 0 Paral. lela x 4y C 0 M, C 0 C 0 x 4y 0 b) La recta que passa pel punt d intersecció de r i s i té pendent m. x 4y 0 8 x, y ; x y A, 7 7 m y x n 8 A, n n 7 y x 4x 7y 0 7 c) La recta que passa per Q i és paral. lela a s. s: x y 0 Paral. lela x y C 0 Q(, ) C 0 C x y 0 d) La recta que passa per P i és paral. lela a r. r: x 4y 0 Paral. lela x 4y C 0 P(, ) 9 4 C 0 C x 4y 0 Determina també les coordenades del punt on es tallen les rectes corresponents als apartats c) i d). x y x, y x 4y B, 7 7. Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paralleles: r: qx y 4 0 s: x (q ) y 7 0 q q q q 0 q, q 4. Comprova que els punts A(, ), B(, 0) i C(, 4) són els vèrtexs d un triangle rectangle. En quin dels tres punts està el vèrtex corresponent a l angle recte? Justifica la resposta. AB b a (, ) AC c a (, ) AB AC A 90 BA AB (, ) BC c b (4, 4) BA BC B 90. Determina l equació de la recta perpendicular a la recta y x i que passa pel punt on es tallen les rectes 4 x y 9 0 i x y 0. x y 9 0 x y 0 x 7, y P( 7, ) y x 4 4 Perpendicular: y x n 4 P( 7, ) ( 7) n

6 74 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 4 n 4 4 y x 4x y 4 0. Classifica els següents parells de rectes incidents segons siguin o no perpendiculars. Justifica n les respostes. a) x y 0 x y 7 0 x y 0 u (, ) x y 7 0 v (, ) u v 9 0 No són perpendiculars. y b) y x 4 x 7 7 y x 4 m 7 7 u (7, ) y x x 7 y v (, 7) 7 No són perpendiculars. u v x 7 h c) (x, y) k (, ) y h x 7 h u (, ) y h (x, y) k (, ) v (, ) Són perpendiculars. u v d) x y 8 0 9x y 0 x y 8 0 u (, ) 9x y 0 v (, ) Són perpendiculars. u v 0 7. Determina l equació de la mediatriu del segment d extrems els punts A(, ) i B(, ). Recorda que la mediatriu d un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà. M, punt mitjà del segment AB M(, ) AB b a (8, 4) n (, ) x y C 0 M(, ) 4 C 0 C x y 0 8. Determina les coordenades del circumcentre i de l ortocentre del triangle de vèrtexs A(, ), B(, ) i C(, ). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle. L ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle. M, punt mitjà del segment AB M, AB b a (, 4) n (, 4) x 4y C 0 7 M, C 0 C 7 x 4y 0 x 8y 7 0 Mediatriu AB. N, punt mitjà del segment BC N, BC c b (, ) n (, ) x y C 0 N, 4 C 0 C Mediatriu BC. x y 0 4x y 0 x 8y x, y 4x y Circumcentre:, 4 4 Paral. lela: x 8y C 0 Alçada desde C. x 8y 7 0 C(, ) C 0 C x 8y 0 x 4y 0 Paral. lela: 4x y C 0 Alçada desde A. 4x y 0 A(, ) 8 0 C 0 C 8 4x y 8 0 x y 9 0 x 4y 0 x, y 4x y Ortocentre:, 7 7

7 MATEMÀTIQUES 7 9. Donat el punt P(, 4): a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta r: 4x y. r: 4x y 0 s r s: x 4y C 0 P(, 4) C 0 C x 4y 0 9 x, y 4x y P, 7 7 b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte de la recta r. P(, 4) 9 P, 7 7 S(x, y) x 9 9 x y 8 y S, Dedueix els valors de q perquè les rectes r i s siguin perpendiculars: r: qx y 0 s: (q ) x (q ) y 0 r: qx y 0 u (, q) s: (q ) x (q ) y 0 v ( q, q ) u v 0 q q q 0 q 0 q, q. Calcula l angle que formen les rectes: r: x y 4 0 s: y 4x r: x y 4 0 u (, ) s: y 4x m 4 v (, 4) u v 4 cos u v 7 4 arc cos 0,9 4. Considera la recta r: x y 4 0 i el punt P,. Troba l equació de les rectes que passen per P i formen un angle de 0 amb la recta r. r: x y 4 0 u (, ) v (, m) u v m cos 0 u v m m m 4 8m 4m ( m ) 4 m m 8m 0 m P, m P, m 4m 0 m y ( )(x ) y ( )(x ). Quant mesuren els angles del triangle de vèrtexs els punts A(, 4), B(, ) i C(, )? A(, 4) AB b a (, ) B(, ) A(, 4) AC c a (, ) C(, ) AB AC 0 cos A AB AC 0 A arc cos 78,7 BA AB (, ) B(, ) C(, ) BC (, 7) BA BC 0 cos B BA BC B arc cos 9 0 C 80 ( A B) 80 07,7 7,

8 7 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 4. Determina les equacions de les rectes que formen un angle de 0 amb la recta x y 0 i passen pel punt P(x, ), on P és un punt de la recta donada. Troba l angle que formen aquestes rectes. P(x, ) x y 0 P(x, ) x 0 x P(, ) x y 0 u (, ) v (, m) u v m cos 0 u v 9 m 4 0m m 9 ( m ) 4 80m 00m 87 87m m 80m m 40 9 m P(, ) 40 9 y (x ) 40 9 m P(, ) 40 9 y (x ). Donades les rectes y x r: x i s: y, determina l angle que formen. y r: x u (, ) x x y s: y v (, ) u v cos u v 0 arc cos 8,87. Calcula de dues maneres diferents la dis tància de l origen de coordenades a la recta x y 7 0. a) r: x y 7 0 O (0, 0) d(0, r) u b) r: x y 7 0 s r s: x y C 0 O (0, 0) C 0 s: x y 0 7 x, y r: x y O, és el projectat de O sobre r OO, 0 0 d(o, r) d(o, O ) OO u Troba la distància entre les rectes: x y 0 i 4x y 0 r: x y 0 r i s són paralel. les s: 4x y 0 P(, ) és un punt de r, aleshores: 8 8 d(r, s) d(p, s) u 8. Els punts de la mediatriu d un segment equidisten dels seus extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina l equació de la mediatriu del segment d extrems A(, ) i B(4, 7). A(, ) AX x a (x, y ) X(x, y) B(4, 7) X(x, y) BX x b (x 4, y 7) AX BX (x ) (y ) (x 4) (y 7) x 4x 4 y 0y x 8x y 4y 49 x 4y 0 x y 0 9. Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x y 0 i s: x y 0. Comprova que són perpendiculars. r: x y 0 s: x y 0 x y x y

9 MATEMÀTIQUES 77 x y x y x y 8 0 u (, ) x y x y x y 0 v (, ) 4. L incentre d un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de l incentre del triangle determinat per les rectes: r: x 4y 0, s: x 4y 7 0 i t: 4x y 0. u v Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen dues rectes que es tallen són perpendiculars. Ax By C A x B y C A B A B A A B x B A B y C A B A A B x B A B y C A B (A A B A A B ) x (B A B B A B ) y C A B C A B 0 u ( B A B B A B, A A B A A B ) A A B x B A B y C A B A A B x B A B y C A B (A A B A A B )x (B A B B A B )y C A B C A B 0 v ( B A B B A B, A A B A A B ) u v ( B A B B A B ) ( B A B B A B ) (A A B A A B ) (A A B A A B ) ( B A B ) (B A B ) (A A B ) (A A B ) B (A B ) B (A B ) A (A B ) A (A B ) B A B B B A B B A A A B A A A B 0 r: x 4y 0 t: 4x y 0 x 4y 4x y x 4y 4x y x 7y 0 m 0 no x 4y 4x y 7x y 0 m 0 s: x 4y 7 0 t: 4x y 0 x 4y 7 4x y x 4y 7 4x y x y 0 m 0 no x 4y 7 4x y 7x 7y 0 m 0 7x y 0 7x 7y 0 9 Incentre:, 4 9 x, y 4 4. Donades dues rectes de pendents m i m, calcula els pendents de les dues rectes bisectrius dels angles que determinen. m y x n x y n 0 m y x n x y n 0

10 78 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE x y n x y n 0 x y n x y n b : x y n x y n b : ( )x ( )y n n 0 ( ) ( ) m 7 7 b : x y n x y n b : ( )x ( )y n n 0 ( ) ( ) m 7 4. Donades les rectes x = 0, y = 0 i x + 4y = 0, determina: a) Les coordenades dels vèrtexs del triangle que determinen. Y 0 Q I x y 0 P 4 x y 4 0 X d) Les coordenades de l incentre. El sistema que resulta de considerar dues qualssevol de les bisectrius del triangle té per solució x y. Incentre I (, ). e) La distància de l incentre a cadascun dels costats del triangle. La distància és d u. Activitats finals. Donada la recta d equació 4x + y + 0 = 0, indica n: a) El pendent i un vector director. A 4 m v ( ) B,, 4 b) Les equacions explícita i canònica. 4x + y y 4 x equació explícita 4x + y x 0, y 4 q i y 0, x p x y + equació canònica. 4 c) Una equació vectorial, una de paramètrica i una de canònica. Per exemple, si prenem P(0, 4) i v = (, 4): (x, y) = (0, 4) + k(, 4) equació vectorial x y 4 + equació 4 contínua. El punt P(t, ) pertany a la recta de pendent m = que passa pel punt Q(4, ). Calcula el valor de t. Equació de la recta donada: y+ ( x 4) x+ y 0 El punt P(t, ) pertany a aquesta recta: t 0 t 7. La recta d equació x + y = 0 dista unitats de la recta y y 0 Fent la intersecció de les rectes que determinen els costats del triangle, en trobem els vèrtexs: O(0, 0), P(4, 0) i Q(0, ). Es tracta d un triangle rectangle. b) L àrea d aquest triangle. 4 A = = u c) Les equacions de les bisectrius dels angles del triangle. Bisectriu de l angle amb vèrtex en O: x y = 0 Bisectriu de l angle amb vèrtex en P: x+ 4y y x+ y 4 0 Bisectriu de l angle amb vèrtex en Q: x+ 4y x x+ y 0 x n. Calcula el valor de n. Considerem un punt qualsevol de la primera recta, per exemple P(, 0), i imposem la condició que la distància d aquest punt a la segona recta és : + n d = + n = n =, n = 4. Troba l equació de la recta que conté el punt P(, ) i és paral lela a la recta x + y. x y + x+ y 0 0 L equació d una recta paral lela a la recta que ens donen és de la forma x + y + C 0. Imposem la condició que passi pel punt P(, ): + C = 0 C 7 La recta que ens demanen és: x + y + 7 = 0

11 MATEMÀTIQUES 79. Les rectes x + y 0 i Ax + By 4 0 són perpendiculars. Calcula el valor de A i de B sabent que la segona recta passa pel punt P(, ). 9. Calcula l àrea del triangle de vèrtexs els punts A(, ), B(, 4) i C(, ). Les dues rectes són perpendiculars: A + B 0 La segona recta passa per P(, ): A + B 4 Resolem el sistema format per aquestes dues equacions: A, B. Determina l equació de la recta que passa pel punt (, ) i forma amb els eixos de coordenades un triangle d àrea u. Considerem l equació de la recta en la seva forma canònica. Es verifica: + i, simultàniament, pq =. p q El sistema format per aquestes dues equacions té dues solucions: p q x + y x+ y 0 p, q 0 4x + 9y Considera les rectes r: recta de pendent que passa pel punt (, 4), i s: recta que conté el punt (, ) i forma un angle de 4 amb el sentit positiu de l eix de les abscisses. Escriu l equació de les rectes r i s i calcula l angle que formen. Recta r: y + 4 = (x ) x + y + = 0 Recta s: m = tg 4º = ; y = x + x y + = 0 Vectors directors: v = (, ) i v = (, ) cos α v v v r v s 0 0 α = 7,º 8. Donada la recta r d equació x y + 7 = 0 i el punt P(, 0), determina: a) L equació de la recta r que passa per P i és perpendicular a r. mr mr' ; y ( x ) x+ y 4 0 b) El punt d intersecció de les rectes r i r. Resolent el sistema format per les equacions x y i x + y 4 0 s obté la solució x, y. Les rectes r i r es tallen en el punt P (, ). c) El punt simètric de P respecte de r. P és el punt mitjà del segment que determinen el punt P i el punt P (x, y) les coordenades del qual hem de determinar. Per tant: + x y x 4 ; y 4 El punt simètric de P respecte de r és P ( 4, 4). v (4, ) A(, ) AC c a (4, ) b AC 9 u x y r: x 4y h d(b, r) u 8 S b h 9 u 0. Determina el valor de k per tal que les rectes: r: kx (k ) y 0 i s: kx (k ) y 0 siguin: a) Paral. leles. b) Perpendiculars. k k k k k k k k k k 0 k (k ) 0 u ( k, k) v (k, k) k 0, k u v 0 ( k) (k ) k k 0 k k k 0 k 0 k

12 80 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Determina l equació de la recta que passa pel punt P(, 4), tal que la seva perpendicular per l origen de coordenades forma un angle de 4 amb l eix d abscisses. c) La distància de C a cada vèrtex és la mateixa. CO (, ), d (C, O) CO 9 0 u CP (, ), d (C, P) CP 9 0 u CQ (, ), d (C, Q) CQ 9 0 u 4 m tg tg 4 y x O (0, 0) r: x y 0 s r, s: x y C 0 P (, 4) 4 C 0 C x y 0. Els punts O(0, 0), P(4, ) i Q(, ) són els vèrtexs d un triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l ortocentre (A). PO ( 4, ) PO PQ PQ (, 4) P 90 És un triangle rectangle en P. 4 8 Baricentre: B, B, Circumcentre: punt mitjà del segment OQ C(, ) Ortocentre: vèrtex P A(4, ) Comprova que: a) B, C i A estan alineats. AB, AC (, ) Són linealment dependents, per tant els punts A, B i C estan alineats. b) AB BC. AB, BC, BC,, AB BC. Escriu l equació de la recta perpendicular a x y 0 que es troba a distància del punt P(, ). r: x y 0 s r, s: x y C 0 C d(p, s) 0 4 C C C 0 4 s x y s x y Els punts A(0, ) i B(4, 0) són dos vèrtexs d un triangle rectangle isòsceles d hipotenusa AB. Calcula les coordenades del tercer vèrtex C i l àrea del triangle. A(0, ), B(4, 0), C(x, y) CA ( x, y) CB (4 x, y)

13 MATEMÀTIQUES 8 CA CB ( x) ( y) (4 x) ( y) x 4 4y y 8x x y 8x 4y 0 x y 0 CA CB 0 x (4 x) ( y)( y) 0 x y 0 x y 4x y 0 Dues solucions: C(, ) A(0, ) 4x x y y 0 x y 4x y 0 x, y C (, ) x, y C (, ) CA (, ) CA 9 0 u CB CA 0 u S CA CB 0 0 u r: x y 0 u (, ) v (, m) u v m cos 0 u v m 4m 4m ( m ) 4 4 m m m 8 m m 0 m P(, ) 8 m P(, ) 8 m 8 y (x ) 8 y (x ). Troba l incentre del triangle determinat per les rectes x y 8 0, x y 0 i x y 4 0. Comprova que l incentre equidista dels tres costats del triangle.. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta x y 0 en el punt d abscissa x i formen amb ella un angle de 0. x y 0 y P(, ) s: x y 0 t: x y 4 0 x y x y 4 x y x y 4 x y 9 0 m 0 no

14 8 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE r: x y 8 0 s: x y 0 x y x y 4 x y 0 m 0 x y 8 x y x y 8 x y x y 7 0 m 0 no AC c a (, ) b AC 9 0 u 9 4 h d(b, s) u 0 0 S bh 0 u 0 x y 8 x y x y 0 m 0 x y 0 x, y x y 0 Incentre: I, 8 d(i, r) 4 u 9 4 d(i, s) 4 u 4 d(i, t) 4 u 8. Determina l equació de les rectes paral. leles a la recta: x y 0 que es troben a distància del punt P(, ). r: x y 0 s paral. lela a r s: x y C 0 C d(p, s) C C s : x y 0 s : x y 0 7. Calcula l àrea del triangle determinat per les rectes: r: 4x y 0; s: x y 4 0 i t: x y 0. r: 4x y 0 x, y A(, ) s: x y 4 0 r: 4x y 0 x, y t: x y 0 B(, ) s: x y 4 0 x 4, y 0 t: x y 0 C(4, 0)

15 MATEMÀTIQUES 8 9. El centre d un quadrat és el punt C(0, ) i el punt P(, ) n és un vèrtex. Troba els tres vèrtexs restants, el perímetre i l àrea del quadrat. OA (, ) C(, ) B(x, y) CB b c (x, y ) CB OA (x, y ) (, ) x x 4 y y B(4, ) x P(, ) 0 x C(0, ) R(, 0) y R(x, y) y 0 PC c p (, ) u PC u (, ) C(0, ) u (, ) CQ u (x, y ) (, ) Q(x, y) x Q(, ) y y x Q(, ) 0 x C(0, ) y S(x, y) y p 4 PQ 4 u S PQ u S(, ) PQ q p (, ) PQ u b OA 9 0 u u OA (, ) O(0, 0) x y r: x y 0 h d(c, r) u 0 0 S bh 0 u 0. Determina l equació de les rectes que contenen les altures del triangle de vèrtexs A(, ), B(0, ) i C(4, 0). A(, ) B(0, ) B(0, ) C(4, 0) AB b a (, ) n (, ) x y C 0 C(4, 0) 8 C 0 C 8 h c : x y 8 0 BC c b (4, ) n (, ) x y C 0 A(, ) 4 C 0 C h A : x y 0 A(, ) AC c a (, ) C(4, 0) n (, ) x y C 0 B(0, ) C 0 C h B : x y 0 0. Un paral. lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts O(0, 0), A(, ) i C(, ). Calcula les coordenades del vèrtex B i l àrea del paral. lelogram.

16 84 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Dos dels vèrtexs oposats d un rombe es troben situats en els punts A(, 4) i C(0, ) i el vèrtex B és un punt de l eix d abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i calcula l àrea del rombe. M, punt mitjà del segment AC M(, ) AC c a (, ), n (, ) x y C 0 M(, ) C 0 C 4 x y 4 0 x 4, y 0 B(4, 0) y 0 4 x B(4, 0) x M(, ) D(, ) y D(x, y) y AC c a (, ) d AC u; BD d b (, ) d BD 7 u S d d u O(0, 0) r: x y 4 0 x 4, y 0 A(4, 0) y 0 r: x y 4 0 x, y s: x y 0 B, s: x y 0 x 0, y C(0, ) x 0 OB, u (, ) O (0, 0) y x x y 0 AC c a ( 4, ) v ( 4, ) A(4, 0) x 4 y x 4y 0 4 x y 0 x, y x 4y D, Calcula l àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(, ); B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric del punt B respecte de l eix d ordenades, i D, simètric de C respecte de l eix d abscisses.. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes x y 4 0 i x y 0. A(, ) B(, ) C(, ) D(, )

17 MATEMÀTIQUES 8 AD d a (, ) AB b a (, ) S AD AB CB b c (4, 0) CD d c (0, ) 0 u S CB CD 4 u = = u S bh 7 u S S S 7 u. Els vèrtexs corresponents al costat des igual d un triangle isòsceles se situen en els punts A(, ) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x y 8 0. Troba les coordenades de C i calcula el perímetre i l àrea del triangle. A(, ) AB (, ) B(4, 0) M, punt mitjà del segment AB, M, n (, ) x y C 0 M, C 0 C 7 x y 7 0 r: x y x, y C, 7 8 AC c a, 7 8 AC 89 4 u b AB u p AB AC u 0 MC c m, 0 h MC. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de vèrtexs A( 4, ), B(, 7) i C( 4, 7). A( 4, ) AB b a (9, ) B(, 7) u (9, ) x 4 y A( 4, ) 9 x 8 9y 4 r: x 9y 0 A( 4, ) AC c a (0, ) C( 4, 7) v (0, ) s: x 4 0 A( 4, )

18 8 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE B(, 7) C( 4, 7) BC c b ( 9, 0) w (, 0) B(, 7) t: y 7 0 r: x 9y 0 s: x 4 0 x 9y (x 4) 8 x 9y 8 (x 4) x 9y 8x 4 8 ( 8 )x 9y m 0 no 8. Determina les coordenades de l ortocentre, el baricentre i el circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, ), B(0, ) i C(, ). r: x 9y 0 t: y 7 0 x 9y 8 (x 4) x 9y 8x 4 8 ( 8 )x 9y m 0 x 9y (y 7) 8 x 9y 8 (y 7) x 9y 8y 7 8 x (9 8)y m 0 s: x 4 0 x 4 (y 7) t: y 7 0 x 4 y 7 x y 0 m 0 no x 4 y 7 x y 0 m 0 7. Dos dels vèrtexs d un triangle rectangle són els punts B(, ) i C(, ). Calcula l ordenada de l altre vèrtex A sabent que la seva abscissa és x i que A 90. A(, y) AB b a (, y) B(, ) A(, y) AC c a (, y) C(, ) A 90 AB AC y y 0 y 7y 0 y, y A (, ), A (, ) A(4, ) AB b a (, 4) B(0, ) A(4, ) C(, ) AC c a (, ) AB AC 0 A 90 Ortocentre: el vèrtex A(4, ) 4 0 Baricentre:, 0 7 G, Circumcentre: punt mitjà del segment BC M 8, 9. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats d un paral. lelogram de centre el punt C(, ) són y x i x y. Troba n les coordenades dels quatre vèrtexs. r: y x x 0, y 0 s: x y

19 MATEMÀTIQUES 87 x O(0, 0) x 4 C(, ) Q(4, 4) y Q(x, y) y 4 y x x y 0 Paral. lela: x y C 0 Q(4, 4) 8 4 C 0 C 4 x y 4 0 x y x y 0 Paral. lela: x y C 0 Q (4, 4) 4 8 C 0 C 4 x y 4 0 x y x, y x y R, x y x, y x y P, y x x y 0 Perpendicular: x y C 0 C(0, 4) 4 C 0 C 4 x y 4 0 x y 4 0 x, y M(, ) x y 0 A(x, x) M(, ) AM m a ( x, x) AM ( x) ( x) (4 4x x ) 4 4 4x x x 4x 0 x A(, ), B(, ). El catet AB d un triangle rectangle en A es troba sobre la recta x y 4 0 i el punt C(4, ) és un vèrtex del triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud del catet AC. r: x y 4 0 Perpendicular s: x y C 0 C(4, ) 0 4 C 0 C s: x y 0 x y 0 x y x, y A, El costat desigual d un triangle isòsceles mesura 4 i es troba sobre la recta d equació y x. El vèrtex oposat és el punt C(0, 4). Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle AC d(c, r) u 9

20 88 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Els punts A(, ), B(0, ) i C(, ) són tres vèrtexs consecutius d un paral. lelogram. Determina n el vèrtex D i calcula n el perímetre i l àrea. M, punt mitjà del segment AC, M, x B(0, ) x M, y D(x, y) y 4 D (, 4) AB b a (, ) AB 4 u AD d a (, ) AD u p AB AD ( ) u b AD u AD (, ) u (, ) A(, ) Avaluació x y r: x y 0 h d(c, r) u S bh 9 u. Els punts A(, ), B(, 8) i C(, d) estan alineats. Calcula el valor de d. Primerament trobem la recta AB: Un vector director és v B A (,8) (,) (4,). L equació contínua és: x y = 4 El punt C compleix aquesta equació: d 0 d 0 = = d = + = + = Determina l equació general de cadascuna de les rectes següents: a) La recta r de pendent m = que conté el punt P(, 4). y+ 4 ( x ) x+ y+ 0 b) La recta s que passa pels punts A(4, ) i B(, ). v AB (, ) x 4 y+ x + y 0 c) La recta t l equació canònica de la qual és x + y. x + y 0 d) La recta u que passa pel punt Q(, ) i és paral lela a la recta 4x y x y + C 0 4 ( ) + C 0 C 7 4x y Considera r la recta d equació x y 0. Troba les equacions de les rectes paral lela i perpendicular a r que passen pel punt (, 4). Recta paral lela: és de la forma x y C 0. Substituint el punt: ( ) (4) + C = C = 0 =. L equació de la recta paral lela és x y 0. Recta perpendicular: és de la forma x y C 0. Substituint el punt: ( ) C = C = 0 C =. L equació de la recta perpendicular és x y Donades les rectes xay i xy 8 calcula el valor de a perquè siguin: a) Paral leles. La condició de paral lelisme és: A B C = ' ' ' A B C En el nostre cas: a = = a a =. 8 b) Perpendiculars. La condició de perpendicularitat és: ' ' A A + B B = 0 En el nostre cas: a = 0 a = 0 a =.

21 MATEMÀTIQUES 89. El punt P(, q) dista unitats de la recta x + 4y 0. a) Calcula q. + 4q 4q 04q q 4, q b) Troba l àrea limitada per la recta i els eixos de coordenades. Punts d intersecció amb els eixos de coordenades: (0, ) i (4, 0). 4 Àrea del triangle: A u j Unitat 7. La circumferència i altres llocs geomètrics Activitats. Escriu l equació de la circumferència de centre el punt (, 0) i radi. Dibuixa-la. Hi apliquem la fórmula directament: (x a) (y b) r (x ) y 4. a) Representa gràficament les rectes x y 0 i x y 0. Fem el gràfic. La recta x y 0 talla els eixos en els punts (0, ) i,0. La recta x y talla en els punts (, 0) i (0, 4).. Identifica el centre i el radi de la circumferència d equació (x ) (y ) 4 i tot seguit representa-la gràficament. Si comparem l equació (x ) (y ) 4 amb l equació general, tenim el següent: a, b i r, és a dir, la circumferència té centre (, ) i radi. b) Demostra que són perpendiculars. Els vectors perpendiculars a la primera i segona rectes són (, ) i (, ). Fem el producte escalar i tenim () 0, i per tant són perpendiculars. c) Calcula n el punt d intersecció. La intersecció l obtenim resolent el sistema: x y = x + y = 7 que dóna com a resultat el punt,. d) Determina l àrea del triangle que limiten aquestes dues rectes i l eix d ordenades. El triangle ABC té base CB 4 () i altura sobre A de longitud (abscissa de A). Per tant la seva superfície és S = = =,7 u 4. L equació d una circumferència és x y. Determina n el centre i el radi. De la mateixa manera que en l exercici anterior es dedueix: centre, (0, 0) i radi, Escriu l equació de la circumferència de centre C(, ) i radi r 4. Esbrina si el punt P(, 4) pertany a aquesta circumferència. Hi apliquem la fórmula: (x ) (y ) Per saber si el punt P(, 4) pertany a la circumferència cal substituir les coordenades del punt a l equació: ( ) (4 ) 9 4 El punt P no és de la circumferència.