Equacions Diferencials 10 de Gener de 2014

Transcripción

1 Equacions Diferencials de Gener de Problemes Temps: 2 hores 5 minuts 2,5 punts Contesteu les següents preguntes independents entre sí a Considereu el sistema X α t = AXt amb A =, α R. α a. Classifiqueu-lo. a.2 Considereu el problema de Cauch X t = AXt, X =. Eistei algun valor de α tal que la solució satisfà lim Xt =? t + = b Estudieu l estabilitat del, punt d equilibri del sistema = 2 de Lapunov, prenent la funció V, = c Sigui u, t una solució del PVI u t k 2 u = < < L, t > u, = f < < L u, t = t > ul, t = t > pel mètode Proveu que Et = 2 u 2, td mai és creient. a i traça A = det A = α 2 < = sella ii És un problema de la llista VAP d A λ +, = ± + α 2. α α Cal que = λ sigui VEP de λ : + α = λ α = λ } = + α = α = impossible = no hi ha cap valor de α. b W, = 2 [ 2 4] és semidefinida negativa en, per tant, és estable. c És un problema de la llista. N hi ha prou amb provar que E t : E t = = u, tu t, td = L EDP per parts U = u, du = u d dv = u d, V = u = k 2 [u, t u, t] =L = k 2 k 2 u, tu, td = u 2, td = uo, t = ul, t = k 2 u 2, td. = ,5 punts Considerem el sistema = a Trobeu les 2 rectes de punts crítics equilibri. b Què es pot dir sobre l estabilidad d aquests punts d equilibri usant el mètode de linealització?

2 c Les òrbites d aquest sistema són corbes polinomials de grau 2 de la forma a + b 2 = constant. Calculeu-les.Indicació: Trobeu a i b, tals que si t, t és una solució, llavors d dt at + bt 2 =, i es diu que C, = a + b 2 és una quantitat conservada o una integral primera. d Useu la informació de l apartat c i dibuieu el retrat de fase del sistema. e A partir del retrat de fase, discutiu l estabilitat de tots els punts d equilibri. a Les rectes són = i = 3 6 b DF, = , llavors T = DF, = < I D = 3 T = DF, 3 = D = < < 3/4I c Multiplicant la a equació per 4 i restant a la 2a, s obté 2 2 = = = C o bé, imposant: a + 2b = 2a + 6b 3 2 4a + 2b = si b = 2a. Prenem a =, b = 2, llavors les òrbites s epressen per 2 2 = constant. d Observem que les rectes = i = 3 són plenes de punts d equilibri 3 4 e Del retrat de fase deduïm que per als punt de la recta, > E =,, I.3, 3 3/4 I, 3 [, 3/4] E 3 2,5 punts

3 a Considerem el problema de valors a la frontera = λ, =, π =. 2 Deduïu, amb detall, els valors de λ < per als quals * admet solució no trivial, aií com les corresponents solucions no trivials. b Resoleu el problema de valor inicial i condicions a la frontera mites per a l equació de la calor: u t u = + sin5,, π, t > 2 u, = u, t = π u 2, t = Indicació: b. Calculeu primer una solució z de l EDP no homogènia. b.2 Considereu i resoleu ara el problema de valor inicial i condicions de frontera mites que satisfà la funció v, t = u, t z. a = λ, =, π/2 = Si λ = µ 2 <, µ > ; = A cos µ + B sin µ = π/2 = µ sin µπ/2 µ cos µπ/2 det A µ = µ cos µπ/2 = µ n π/2 = nλπ + π/2, és a dir, µ n = 2n + µ VAP: λ n = 2n + 2, n =,, 2, 3,... FUP: n = sin2n +, n =,, 2,... b Calculem z: z = sin5; z = cos5; z = sin5. v, t = u, t z 5 25 satisfà v t v = u t u + z = sin 5 sin 5 = v, = sin 5 P 25 v, t = v π/2, t = Considerem el problema homogeni associat: v t v = v, t = v π/2, t = Resolem * per separació de variables: v, t = XT t XT X X T = XT t = = X = T T = λ X = X π/2t t = X π/2 = Cal resoldre P X = λx X = X π/2 = } A B = P 2 T t = λt t Per a les solucions de P són: X n = sin2n + o bé A sin2n +, n =,,..., amb λ n = 2n + 2. Les solucions de P2: T n t = e 2n+2t o bé Be 2n+2t, n =,, 2,... Els modes normals de * són X n T n t = e 2n+2t sin2n +.

4 Calculem ara la solució de P prenent v, t = c n e 2n+2t sin2n +. n= Imposem v, = 25 sin 5 = c n sin2n + = n= = c = c = c 2 = /25 c n =, n 3 Per tant, v, t = 25 e 25t sin 5 és la solució de P. Finalment, desfent el canvi de variables: u, t = z + v, t = 25 sin 5 25 e 25t sin 5.

5 Equacions Diferencials de Gener de Teoria Temps: 3 minuts,5 puntos. El movimiento D de un punto sometido a la fuerza F se describe por la EDO = F = c+c, c es una constante real. Introducimos la velocidad = convertimos la ecuación al sistema 2D no lineal: =, = c + c De los 4 retratos de fases indicados abajo sólo uno puede corresponder al sistema. Cual es? Razonar la respuesta ecluendo los retratos imposibles o no apropiados. Intentad no hacer muchos cálculos, comparad la dirección el comportamiento de las traectorias mostradas con el vector de velocidad, del sistema 2D. Los puntos negros en las figuras marcan los equilibrios. Aparte de esos puntos, no ha otros equilibrios Según el sistema, si >, tenemos >. Entonces, en la parte superior del retrato de fases con > el vector de velocidad, tiene orientación derecha en todos los puntos. Por lo tanto, ecluimos enseguida los retratos 3 4, en los cuales algunas traectorias en la parte superior se dirigen hacia la izquierda. Para elegir entre 2, se puede hacer linealización del sistema en el punto fijo,, los VAPs son c, c}. Por tanto, el origen es una silla no lineal, el retrato correspondiente es 2.

6 2 punto. Consideramos el PVI de la cuerda vibrante infinita utt c 2 u =,, t R u, = f, R Qué condiciones iniciales faltan para que podamos calcular la solución u, t del problema? Y cuando tengamos esas condiciones, que método formula aplicamos para calcular la solución? Describirlo eplícitamente. Falta la velocidad inicial u t, = g, R. La formula de d Alembert