Transformada de Laplace, aplicaciones

Transcripción

1 Tranformada de Laplace, aplcacone Ora eñale de excacón Señal mpulo f A 0 eñal Impulo deal La eñal mpulo real eórca e una eñal de amplud 0 de alura y de área gual a A Se mbolza de la guene forma fa.δ en la cual δ e la funcón dela de Drac. S A vale la funcón e denomna mpulo unaro fδ Cuando e hace el anál epecral de dcha eñal, (ulzando la ranformada de Fourrer) la mma ea compuea por oda la frecuenca, e decr que excar un equpo con dcha eñal mplca ponerlo a prueba con oda la frecuenca y de ea forma poder ver oda la repuea en frecuenca poble y ver a que frecuenca reponde ben, a cuale ene pérdda, ec. En la prácca e ulza el mpulo real, pue e mpoble generar una eñal de alura nfna y duracón 0, pero ea e puede aproxmar a una eñal que enga un gran conendo de frecuenca como la que a connuacón e muera: f eñal Impulo real Tranformada de Laplace de la funcón mpulo Págna de 7

2 Funcón Plano emporal Plano de Laplace Impulo fa.δ F()A Impulo unaro fδ F() Un uo prácco de la funcón mpulo en alguno programa de mulacón e que el programa ene la pobldad e excar a un equpo con la funcón ecalón unaro o con la funcón mpulo unaro no convene ea úlma en el cao en que dponemo la expreón de la eñal de alda de un ema en el plano Laplace, eo e aí porque como la ranformada de Laplace del mpulo unaro e al mulplcarlo por la eñal de alda no queda la mma expreón enonce e mula la alda que e lo deeado. Por ejemplo ya enemo la guene funcón de alda X() 0.(+) S e δ E() Enonce Eo() X().E() X(). X() De ea forma la funcón del Sclab cm que ene com pobldade de excacón a la funcón ecalón unaro y al mpulo unaro puede aplcar ea úlma y recbr como expreón ranformada drecamene a al expreón de alda de un ema y obener la mulacón de la funcón emporal de la mma Señal rampa f Ea funcón e defne como: f 0 para <0 f A. para > 0 Fcamene repreena la nyeccón a parr de 0 de una eñal que crece unformemene con el empo con un rmo de crecmeno marcado por la pendene de A de la mma (excacón de velocdad conane). Cuando la pendene A de la rampa e enemo la funcón rampa unara Págna de 7

3 f 0 para <0 f para > 0 Tranformada de Laplace de la funcón rampa Funcón Plano emporal Plano de Laplace rampa fa. ( para >0 ) 0 ( para < 0 ) rampa unara f ( para >0 ) 0 ( para <0 ) Tranformada de Laplace de la funcón enodal F ( ) F ( ) A La eñal enodal e una eñal de excacón ípca, pue e común que a lo crcuo e le aplquen eñale alerna que on enodale. Veamo u ranformada de Laplace Funcón Plano emporal Plano de Laplace Senodal fen(ω. F( ) + ω Coenodal fco(ω. F( ) + ω ω Págna 3 de 7

4 Tranformada de Laplace la negral de una funcón del empo f La negral rve para decrbr maemácamene al dpovo "negrador" que forma pare de un conrolador ípco denomnado PID, (proporconal-inegravo-dervavo). El mmo normalmene e coneca enre la eñal de error y la enrada del acuador La pare negradora del conrolador PID ene como funcón generar una eñal de alda del conrolado que crece cuando hay una eñal de enrada del conrolador dferene a 0, coa que e da cuando la eñal err,(error) del ema e dferene a 0 y por la ano el valor de la alda del ema dfere del e pon. El negrador generará enonce una eñal que e aplcará a la plana y luego e realmenara y enderá a reducr la eñal de error que lo produce. Su ranformada de Laplace e: Funcón Plano emporal Plano de Laplace Inegral conane negrava 0 K f 0. f K Aplcacone de la ranformada de Laplace a la olucón de crcuo elécrco Crcuo -C ere e c e T 000ohm C mf e c e T (0 v) µ e c (0) 0 En ee crcuo egún la º ley de Krchoff e T e + e c pero e. c Págna 4 de 7

5 enonce e T. c + e c La ncógna erá e c por lo ano hay que enconrar ua expreón que relacone c con la aneror Correne elécrca en un capacor e c C En el crcuo que e muera luego de que la llave pae de pocón a el capacor e carga con una carga elécrca q egún la guene expreón q C.e c e c varía con el empo e ranforma en q C.e c Por oro lado la correne elécrca e la velocdad de varacón de la carga elécrca que e puede exprear como: q( que para el cao general de querer la varacón en cada puno de la curva ( q( 0 dq( 3 dq Págna 5 de 7

6 para nroducrla en la ecuacón del capacor dervamo membro a membro a la ecuacón dq( C. ec ) Aumendo que la capacdad C e conane en el empo e puede acar afuera de la dervada dq( ec ) C. 4 Enonce por la ecuacón 3 la 4 y aí obenemo la ecuacón del capacor: ec ) C. 5 Ahora nroducmo la ecuacón 5 en la y ambén lo valore de oda la conane dec ( 0v) µ C + ec reemplazando lo valore de y C dec ( 0v) µ 000Ω mf + ec ecuacón dferencal que fnalmene no queda aí: dec 0µ + ec Ejercco Obener la expreón de E c () Págna 6 de 7

7 Crcuo -L paralelo I I L I T e L e L Planeamo la ecuacone T + L e como e el lo queda el y reemplazando en la ecuacón aneror el L T + egún la ley del nducor una varacón de la correne genera una enón en el mmo e L L dl que reemplaza en la ecuacón quedará aí L dl L T + Ejercco ) Aumendo que L mhy 000 ohm T 0,5µ con L ( 0) 0 Hallar I L () ) reolver el crcuo -L ere,(planear la ecuacón dferencal con ncógna I L y luego hallar I L () para condcón ncal nula). 3) eolver el crcuo -C paralelo, (planear la ecuacón dferencal con ncógna e c y luego hallar E c () para condcón ncal nula ) Págna 7 de 7