Solución de Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias

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Julia Rojas Marín
hace 5 años
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1 Solucón de cuacones Dferencales y de Dferencas UdeC - DI Problema Planear la solucón generalada de ecuacones dferencales y de dferencas. Formulacón general de ec. dferencales n m d y a d b du d Formulacón general de ec. de dferencas n ay( T T ) bu( T T ) m espuesa Toal espuesa forada espuesa Homogénea m m n ( ) ( ) bs bs u as y y u( n n n as as as ec. dferencal m m n b b u( T ) a y( T ) y( Z u n n Z n a a a ec. de dferencas Def.: Se defne el polnomo caracerísco de una ecuacón dferencal ordnara lneal como: n n n as s an s as a. Def.: Se defne el polnomo caracerísco de una ecuacón de dferencas como: n n n a an a a. Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

2 UdeC - DI espuesa Toal espuesa esaconara espuesa ransene Def.: espuesa esaconara es la pare de la respuesa oal que no se aproxma a cero cuando el empo ende a nfno. Se abreva y ss. Def.: espuesa ransora es la pare de la respuesa oal que se aproxma a cero cuando el empo ende a nfno. Se abreva y r. Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

3 cuacones Dferencales y de Dferencas UdeC - DI Problema cuacones Dferencales esolver ecuacones dferencales y de dferencas. Crcuo y fuene e() consane. Parámeros Modelo del crcuo. d :. :. : o : e d d d e() - () o: b o : Transformada de aplace s ( s ) o ( e( s( o espuesa Homogénea. o ( h ( ( h : o exp Φ espuesa Forada. s( ( e( f ( s s f ( s f : s espuesa Toal. : h f o exp Φ exp : Φ f : 6 n f : :,.99.. f h Correnes exp Φ f Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 3 de 3 Ssemas neales Dnámcos

4 espuesa Toal. : o exp Φ exp Φ UdeC - DI espuesa saconara. ss ss : Φ( ) espuesa Transora. r : exp Correnes Φ o exp Φ y ss se obene hacendo las dervadas cero al ener enrada consane r Crcuo y fuene e() snusodal. Transformada de aplace s( o f ( f s : ( e( exp s espuesa Homogénea. s ( s ) o : ( s π s s sn aan : o f ( ( exp Φ e : sn h o exp : cos( ) Φ sn ω o espuesa Forada. s( Φ ( e( Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 4 de 3 Ssemas neales Dnámcos

5 espuesa Toal. : h f : o exp h Φ Correnes exp sn aan Φ UdeC - DI f espuesa saconara. ss ss r espuesa Transora. ω o : sn ω o aan ω ω o Φ r : o o Correnes exp No srve hacer las dervadas cero para obener y ss Φ Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

6 cuacones de Dferencas y( ) aa o y u Parámeros Transformada Z y y o espuesa Forada. y espuesa Toal. T:. aa o y u aa o y u f ( y o : o aa o : exp a o T aa o u b o : aa o a o aa o u u: f f : T espuesa Homogénea. y y o aa o aa o aa o y aa o u :.. T f y h y o aa o ( aa o ) aa o f : h : y o aa o aa o u UdeC - DI aa o Φ Φ : h f h Varables aa o u f espuesa saconara. ss : aa o uφ espuesa Transora. r : aa o u T aa o Varables Φ y o aa o Φ y ss se obene hacendo y() y() aa o u ss r T Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 6 de 3 Ssemas neales Dnámcos

7 Problema Aplcar la Transformada Z en la solucón de una ecuacón de dferencas (Poblacón de Conejo. Modelo y( y( T y( T C.I. sa es una ecuacón que endrá y( y( T y( T y y sólo respuesa homogénea. y( T y( T y( K y( y T UdeC - DI Transformada Z ( y y ( T ) y ( )) ( y ) ( y ) y y ( ) y y y Solucón en y A B Ab Ba Solucón en, omando Z nversa. y a b a b A B A B b a b a a respuesa es dsna de cero gracas a las C.I. y la dvergenca de la solucón. espuesa saconara. ss eso porque, ( A B) Ab A B ( A B) Ab a b ( a) ( b) ab espuesa Transora. : r : ab y : : y Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 7 de 3 Ssemas neales Dnámcos

8 Solucón de cuacones de sado Dferencales UdeC - DI Problema Planear la solucón generalada de ecuacones de esado dferencales Homogénea en el Tempo u() cuacón Generalada x& Ax x& Ax& AAx A x M x ( ) A x dx()/d Ax() Bu(), y() Cx() Du() ( ) x x() x& x& x!! x Ax A x A x!! I A A A x!! Def.: a mar de ranscón de esados Φ() se defne por, A Φ e I A A A.!! Homogénea en aplace espuesa Toal sx( x() Ax( ( si A) x( x x( ( si A) x {( si A) } x A x( ) Φ( ) x e x y CΦ x Ce x A y Cx Ce x CΦ x C {( si A) } x x Φ x Φ( τ) Bu( τ) dτ A y CΦ x CΦ( τ) Bu( τ) dτ Du x Φ( ( si A) Φ I A A e {( s ) } x( Φ( x Φ( Bu( Forada en aplace y( CΦ( x CΦ( Bu( Du( dx()/d Ax() Bu(), y() Cx() Du() sx ( Ax( Bu(, y( Cx( Du( ( si A) x( Bu(, y( Cx( Du( x I A Bu Φ Bu ( ( s ) ( ( ( A( τ) x e Bu τdτ Φτ Bu τdτ y C I A Bu Du ( ( s ) ( ( y( ) Ce A( τ) Bu( τ) dτ Du( ) Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 8 de 3 Ssemas neales Dnámcos

9 cuacones de sado Crcuo C y fuene e(). : 4 : 4 3 C: 6 : UdeC - DI Varables de sado x v x Solucón Homogénea. A: C b: v o : o : Φ( s / / C s s / /( C) / s Smulacón. Aparece una ensón escalón en e() en con amplud. nvlaplace, s Φ : ( sdeny A), exp(. ) cos( 3. ).486exp(. ) sn( 3. ) floa, nvlaplace, s Φ : ( sdeny A), 4.86exp(. ) sn( 3. ) floa, e() - () v c () - C nvlaplace, s Φ : ( sdeny A), exp(. ) sn( 3. ) floa, nvlaplace, s Φ : ( sdeny A), exp(. ) cos( 3. ).486exp(. ) sn( 3. ) floa, Φ : Φ Φ Φ Φ x o : x h : Φ x o f : 3 f : f :,.. n f f Volaje capacor y correne x h x h Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 9 de 3 Ssemas neales Dnámcos

10 Solucón Forada. UdeC - DI x f : Φ τ ( b ) Φ τ ( b ) dτ dτ Volaje capacor y correne x f x f espuesa Toal. x : x h x f Volaje capacor y correne oales () s / v / s s C / / x x s () y la ensón aplcada es gual a v, enonces la correne es sempre cero. v() s s( / /( vc )) / v v s s / /( C) s s () y la ensón aplcada es gual a v, enonces laensón es sempre. Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

11 Solucón de cuacones de sado de Dferencas UdeC - DI Problema Planear la solucón generalada de ecuacones de esado de dferencas cuacón Generalada x(t Ax( Bu(, y( Cx( Du( Homogénea en el Tempo, u( x( T ) Ax() Ax x( T ) Ax( T ) AAx A x M x( T ) A x Def.: a mar de ranscón de esados dscrea Φ( se defne por, Φ( T ) A. Homogénea en Z x x() Ax ( I A) x x x ( I A) x Z ( T ) x {( I A) } x x( T ) Φ( T ) x A x y( T ) CΦ( T ) x CA x Φ ( I A) Φ A I A ( T ) {( ) } y( T ) Cx( T ) CA x CΦ( T ) x C {( IA) } x Z Z Forada en Z x(t Ax( Bu(, y( Cx( Du( x Ax Bu, y Cx Du ( I A) x Bu, y Cx Du x I A Bu Φ Bu ( ) x( T ) Φ( TTT ) Bu( T ) y C I A Bu Du ( ) y( T ) C Φ( T T T ) Bu( T ) Du( espuesa Toal x( T ) Φ( T ) x Φ( T TT ) Bu( T ) y( T ) CΦ( T ) x CΦ( T T T ) Bu( T ) Du( T ) x Φ x Φ Bu y CΦ x C Φ Bu Du Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

12 cuacones de Dferencas Varables de sado x v x Solucón Homogénea. A: C b: Smulacón. Aparece una enrada escalón en u() en con amplud. UdeC - DI T m :. A d : Φ( T m ) x dh : f, x o, A d xo f : f T m A d.4.69 :.. f x(, x( homogéneos m b d : ( Φ( T m τ) b) dτ T T m ( Φ( T m τ) b) dτ T. b d Solucón Forada. x df : f,, j j A d bd espuesa Toal. x d : x dh x df x(, x( forados x(, x( oales Capíulo IV - Caraceracón Maemáca de 3 Ssemas neales Dnámcos

13 Problema Aplcar la Transformada Z en la solucón de ecuacones de esado de dferencas (Poblacón de Conejo. UdeC - DI Modelo y( y( T y( T C.I. sa es una ecuacón que endrá sólo respuesa y( y( T y( T y y homogénea. y( T y( T y( K y( y T cuacones de sado x ( y( x ( T y( T x ( x ( T x ( x ( y( T x ( T y( T y( y( T x ( x ( x ( T x ( x ( Solucón en A b c ( ) x Φ ( I A) a respuesa es, y cφ x ( ) y y ( ) a Mar de Transcón es, adj deny de deny ( ) ( ) smplfy a respuesa es dsna de cero gracas a las C.I. y la dvergenca de la solucón. espuesa saconara. ss r espuesa Transora. Capíulo IV - Caraceracón Maemáca 3 de 3 Ssemas neales Dnámcos

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