1. El producto financiero y el modelo matemático

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1 XXI Congreso de Ecuacones Dferencales y Aplcacones XI Congreso de Matemátca Aplcada Cudad Real, -5 septembre 009 (pp. 8) Modelado con Black-Scholes y resolucón numérca para valorar un contrato tpo Ratchet-Cap M. Suárez-Taboada, C. Vázquez Dpto.Matemátcas, Fac. Informátca, Unversdade da Coruña. E-mals: marasuarez@udc.es, carlosv@udc.es. Palabras clave: dervados fnanceros, Black-Scholes, métodos numércos, Lagrange-Galerkn Resumen El objetvo de modelar las dnámcas de los tpos de nterés es proporconar herramentas apropadas para la valoracón de dervados de tpos de nterés (bonos, caps, swaps, etc). En este trabajo planteamos y resolvemos numércamente modelos de ecuacones en dervadas parcales (edps) apropados para dnámcas BGM, [3]. Presentamos un modelo orgnal de tpo Black-Scholes que goberna el preco de un contrato Ratchet Cap. Se propone un método de Lagrange-Galerkn de segundo orden para la resolucón numérca y para lustrar los resultados numércos presentamos ejemplos académcos y de valoracón de un Ratchet Cap real.. El producto fnancero y el modelo matemátco Un Ratchet Cap es un contrato referencado a tpos (varables) f orward del LIBOR, que se frma en un nstante T 0, con una duracón de N + semestres, hasta un tempo T. El Ratchet Cap se descompone en Ratchet Caplets. Para =,..., N, en el Ratchet Caplet, el tpo de ejercco se fja a K = β(al (T ) + bk + c) + en el nstante de tempo T, en térmnos del LIBOR L (T ), donde β, a, b, c son parámetros [4]. En el nstante de tempo T, se fja L (T ) y en T +, el comprador del contrato recbe la cantdad Mδ (L (T ) K ) +, donde M es el noconal y δ = T + T es el accrual. Así, s b = 0, el valor del Ratchet caplet en T +, V (T +, L, L ), vene dado por: V (T +, L, L ) = M δ (L β(al + c) + ) + Como el Ratchet Caplet se paga en tempo T +, consderamos el preco relatvo, Π, descontando con el bono B +, es decr, Π = V B +. Desde un punto de vsta teórco, un Ratchet Caplet podemos nterpretarlo como el sguente dervado: en tempo T se recbe

2 M. Suárez-Taboada, C. Vázquez una cantdad gual al preco de un caplet ordnaro que vence en tempo T, en térmnos del bono con vencmento T +. Por lo tanto, Π (t, L, L ) tene el valor: { {Π B (t, L (t)) K=K }, s T t T E P+ [{Π B (T, L (T )) K=K } F(t)], s 0 t T () donde Π B (t, L (t)) denota el preco por Black en tempo t del caplet ordnaro descrto. Utlzando el teorema de cambo de medda de Radom-Nykodn y el teorema de Itô (ver [5]) las ecuacones dferencales estocástcas para los tpos forward L y L son: dl (t) L (t) = δ L (t)σ σ + δ L (t) dt + σ dw +, dl (t) L (t) = σ dw + (t), 0 t T () Utlzando Feynman-Kac, se deduce la sguente ecuacón en dervadas parcales: Π t δ L L Π σ σ + + δ L L σ L Π + L Π + ρ σ σ L L + L L σ L Π L = 0, en (0, T ) (0, ) (3) Además, tenendo en cuenta (), se consdera la condcón fnal en t = T : donde Π (T, L, L ) = Mδ (L N (d (T, L )) K N (d (T, L ))), (4) d (T, L ) = log( L K ) + Σ (T ), d (T, L ) = log( L K ) Σ (T ) Σ (T ) Σ (T ) (5) Σ (T ) = T T σ (s) ds (6) N denota la funcón de dstrbucón acumulada para una varable aleatora estándar normalmente dstrbuída. En térmnos de los Ratchet Caplets que lo componen y del bono con vencmento T +, B +, el preco absoluto del Ratchet Cap en tempo cero se expresa de la sguente forma: V (t, L 0, L,..., L N ) = N B + (t)π (t, L, L ), t T 0 = Observacón. En el caso b = 0, para valorar un Ratchet Cap tenemos que resolver N- ecuacones en dervadas parcales en dos dmensones espacales, una para cada Ratchet Caplet que forma el Ratchet Cap. Sn embargo, s b 0 el modelado es mucho más complcado y requere resolver ecuacones en dervadas parcales cuyo número de varables espacales va crecendo a medda que avanzamos en tempo.

3 Modelado y resolucón numérca para valorar un contrato tpo Ratchet-Cap Con objeto de plantear formulacones varaconales y resolver con métodos numércos basados en ellas, expresamos (3) en forma dvergencal. Además, consderamos el cambo de varable τ = T t obtenendo el problema de valor ncal: Π τ + v Π Dv(A Π ) = 0 en (0, T ) (0, ) Π (0, L, L ) = ϕ (L, L ) en (0, ) donde A(L, L ) = v(l, L ) = ( σ L ρ σ σ L L ρ σ σ L L σ L ( δ L L +δ L σ σ + σ L + σ σ L σ σ L + σ L ) ). Resolucón numérca El algortmo empleado en la resolucón de nuestro problema es una combnacón del método de las característcas Crank-Ncholson para la dscretzacón en tempo y el método de elementos fntos cuádratcos cuadrangulares para la dscretzacón espacal (ver [, ])... Truncamento del domno La dscretzacón numérca medante elementos fntos hace necesaro truncar el domno espacal no acotado e ntroducr condcones artfcales sobre la frontera. En general, estas condcones se obtenen medante razonamentos fnanceros o matemátcos, que deben de ser ncluídos en la formulacón débl del problema. Consderamos L sufcentemente grande y sean = (0, L ), Γ = = Γ + Γ + Γ Γ, n + = + e vector untaro exteror de Γ +, =, (ver Fgura ). Se plantea la formulacón en el domno acotado: Encontrar Π :[0, T ] R tal que Π τ + v Π Dv(A Π ) = 0 en [0, T ] Π (0, L, L ) = ϕ (L, L ) sobre junto con las condcones de frontera Π (t, L, L ) = 0 sobre [0, T ] Γ + Π (t, L, L ) = Mδ (L β(al + c) + ) + sobre [0, T ] Γ +.. Semdscretzacón en tempo: Método de Característcas-Crank- Ncholson En la dscretzacón temporal se utlza el método de las característcas Crank-Ncholson ([]). En partcular, está basado en la dscretzacón de la dervada materal, es decr, la 3

4 M. Suárez-Taboada, C. Vázquez Fgura : Campo de velocdades dervada temporal a lo largo de las líneas característcas de la parte convectva de la ecuacón, medante un esquema de dferencas fntas. La curva característca que pasa por L = (L, L ) en tempo t, X e (L, t; τ), verfca:. τ X e(l, t; τ) = v(x e (L, t; τ)), X e (L, t; t) = L (7) La solucón exacta de (7) es: Xe (L, t; τ) = ( L exp σ σ + σ + δ ) L σ σ ( t τ), + δ L Xe (L, t; τ) = ( L exp ( ) σ σ + σ )( t τ). (8) Supongamos N pasos de tempo, t = T/N y los puntos de la malla t n = n t, n = 0,,, 3,..., N. Para n=0,...,n-, se plantea encontrar Πn+ tal que: Π n+ (L) Π n (Xn e (L)) t dv(agradπn+ )(L) dv(agradπn )(Xe n (L)) = 0, S multplcamos la ecuacón por una funcón test ψ e ntegramos en, obtenemos: Π n+ Π n Xn e t ψdl dv(agradπ n+ )ψdl dv(agradπ n )(Xe n (L))ψdL = 0 Sean X : X(), X C ( ), una aplcacón vectoral nversble y F = X, F C ( ). Entonces, empleando una fórmula de Green no clásca tenemos (ver []): dvw(x(x))ψ(x)dx = F T (x)n(x) w(x(x))ψ(x)da x Γ F (x)w(x(x)) ψ(x)dx DvF T w(x(x))ψ(x)dx, 4

5 Modelado y resolucón numérca para valorar un contrato tpo Ratchet-Cap donde w H (X()) es una aplcacón vectoral y ψ H () una funcón escalar. Ahora, aplcando la anteror fórmula de Green y la más clásca, obtenemos: Π n+ Π n Xn e ψdl + AgradΠ n+ gradψdl+ t + Fe (AgradΠ n )(Xe n (L))gradψdL+ + DvFe (AgradΠ n )(Xe n (L))ψdL = n AgradΠ n+ ψda L + Γ + Fe n (AgradΠ n )(Xe n (L))ψdA L Γ Por un lado, Γ n AgradΠn+ ψda L = 0 para ψ = 0 sobre Γ + Γ+, ya que n AgradΠn+ = 0 sobre Γ Γ. Por otro lado, Γ F e n (AgradΠ n )(Xn e (L))ψdA L = Γ gn ψda L, donde ) σ Πn y L (Xe n (L)) sobre Γ ) σ L Πn L (Xe n (L)) sobre Γ g n (L)= ) [σ L L Πn L (Xe n (L)) + σ σ L L Πn L (Xe n (L))]+ + ) [σ σ L L Πn L (Xe n (L)) + σ L Πn L (Xe n (L))] sobre Γ + ) [σ L Πn L (Xe n (L)) + σ σ L L Π n L (X n e (L))]+ + ) [σ σ L L Π n L (X n e (L)) + σ L L Π n L (X n e (L))] sobre Γ + En consecuenca, la formulacón varaconal equvale a lo sguente: Para n=0,...,n-, encontrar Π n+ H0,Γ D () tal que: Π n+ Π n Xn e ψdl + AgradΠ n+ gradψdl + Fe (AgradΠ n )(Xe n (L))gradψdL+ t + DvFe (AgradΠ n )(Xe n (L))ψdL = g n (L)ψdA L ψ H0,Γ D () Γ donde H Γ D () = {ψ H ()/ψ Γ + = 0, ψ Γ + = Mδ (L aβl βc) + } y H 0,Γ D () = {ψ H ()/ψ ΓD = 0}.3. Método de elementos fntos Sguendo [], planteamos el problema totalmente dscretzado: Dada Π 0 h V h, encontrar Π h = {Π n h }n n= [V h] N tal que t < Dn+ E [Π], ψ > + < Mn, ψ >=< N n, ψ > (9) para toda ψ V h y n=0,...,n-, donde: V h = {φ h C 0 () : φ h T Q, T τ h }, V h,γd = {φ h V h ; φ h = 0, sobre Γ D } 5

6 M. Suárez-Taboada, C. Vázquez < M n, ψ >: = + D n+ E [Π] := Π n+ h Π n h Xn e ψ h dl (0) t A Π n+ h ψ h dl + DvFe (A Π n h )(Xn e (L))ψ h dl < N n, ψ >:= Γ Fe (A Π n h )(Xn e (L)) ψ h dl+ () g n (L)ψ h da L () con M n [ψ] (H ()), para Π h C 0 (H ()) y N n (H ()). Además, consderamos T h la famla de mallas cuadrangulares de parámetro h, el espaco de elementos fntos Q k h := {f C0 (), f K Q k, K T h } con Q k polnomo de grado menor o gual que k en cada varable y consderamos k =. La establdad y la convergenca de este tpo de métodos ha sdo estudada en [] y []. 3. Resultados numércos 3.. Test académco Consderamos la funcón Π e (τ, x, y) = e τ(x+y), (x, y) = [0, ], t [0, ] como solucón del modelo matemátco de tpo Ratchet Caplet: Π τ + v Π Dv(A Π) = f n (0, ) Π(0, x, y) = n ( A(x, y) = σ 0 x ρσ 0σ xy ρσ 0σ xy σ y Π(τ, x, y) = Π e (τ, x, y) n (0, ) Γ D ) ( δxy, v(x, y) = +δy σ 0σ + σ 0 x + σ 0σ x σ 0σ y + σ y ) f(τ, x, y) = Πe τ + v Πe Dv(A Π e ) σ 0 = 0,4, σ = 0,4, ρ =, δ = 0,49833 Presentamos en la Tabla el error obtendo para las mallas de la Tabla. 3.. Valoracón Ratchet Cap real En las Tablas 3 y 4 mostramos los datos necesaros para la valoracón de un Ratchet Cap real. En la Tabla 5 se recogen los resultados obtendos y el resultado con smulacón por Monte Carlo que lustra el buen funconamento de los métodos propuestos (mucho menos costosos que Monte Carlo). Se pueden encontrar más detalles sobre el modelo, los métodos numércos y los resultados para cada Ratchet Caplet en [6]. 6

7 Modelado y resolucón numérca para valorar un contrato tpo Ratchet-Cap N o Elementos N o Nodos Malla 4 9 Malla Malla Malla Malla Malla Tabla : Datos mallas FEM t Malla Malla 8 Malla 6 Malla 3 Malla e 6.58e 6.079e 6.804e 6.95e e 8.056e e 8.7e 8.8e e e 0.0e e 0.660e e 8.04e 9.030e e e e 8.38e 9.038e e 0.5e 0 Tabla : Error test académco Moneda EURO Índce EURIBOR Volatldades-Tpos 0 Oct 00 Fecha fjacón er Tpo Ejercco 0 Oct 00 er Tpo Ejercco 4.8 % (0.048) Fecha fjacón er Forward 0 Abr 00 Frecuenca índce Semestral Tenor 5 Años Day Count ACT/360 β,a, b, c.0, 0.9, 0.0,.0 % Tabla 3: Datos Ratchet Cap real Agradecmentos Este trabajo ha sdo fnancado por el proyecto de nvestgacón del MICINN (MTM C0), Xunta de Galca (PGIDIT06PX0530PR), Ayuda 007/00037-O y Beca FPI BES Referencas [] A. Bermúdez, M. R. Nogueras, C. Vázquez., Numercal analyss of convecton-dffuson-reacton problems wth hgher order characterstcs fnte elements. Part I: Tme dscretzaton, SIAM Journal on Numercal Analyss, 44 (006), 5, [] A. Bermúdez, M. R. Nogueras, C. Vázquez, Numercal analyss of convecton-dffuson-reacton problems wth hgher order characterstcs fnte elements. Part II: Fully dscretzed scheme and quadrature formulas, SIAM Journal on Numercal Analyss, 44 (006), 5,

8 M. Suárez-Taboada, C. Vázquez Fecha fjacón Spot Fecha Pago Accrual Volatldad Expry FD TFT0 0 Apr 00 0 Oct Oct 00 0 Apr Apr Oct Oct Apr Apr Oct Oct Apr Apr Oct Oct Apr Apr Oct Oct Apr Tabla 4: Datos Ratchet Cap real (FD: Factor Descuento, TFT0: Tpo Forward tempo cero) Malla Malla 8 Malla 3 Malla 64 Malla Tabla 5: Preco Ratchet Cap (Monte Carlo: ) [3] A. Brace, D. Gatarek, M. Musela, The Market Model of Interest Rate Dynamcs. Mathematcal Fnance, Vol. 7, 7-55, 997. [4] D. Brgo, F. Mercuro, Interest Rate Models: Theory and Practce, Sprnger Fnance, 00. [5] A. Pelsser, Effcent Methods for Valung Interest Rate Dervatves, Sprnger, 998. [6] M. Suárez-Taboada, C. Vázquez, Numercal soluton of a Black-Scholes for a Ratchet-Caplet prcng based on a LMM nterest rate dynamcs, Preprnt,