Carlos Mario Morales C 2012

Transcripción

1 Glosaro de térmnos Carlos Maro Morales C

2 Matemátcas Fnanceras No está permtda la reproduccón total o parcal de este lbro, n su tratamento nformátco, n la transmsón de nnguna forma o por cualquer medo, ya sea electrónco, mecánco, por fotocopa, por regstro u otros métodos, sn el permso prevo y por escrto del ttular del copyrght. DERECHOS RESERVADOS 2011 por Carlos Maro Morales C. carrera 77c No Medellín-Colomba Teléfono: E_Mal: carlosmoralescastano@gmal.com Impresón dgtal en Colomba. Datos Catalográfcos para ctar este lbro Matemátcas Fnanceras Carlos Maro Morales C. Edtoral propa. Medellín, 2012 ISBN: Pendente Formato 21x24 cm. Pagnas: Glosaro de térmnos 2

3 Anualdades y gradentes UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES OBJETIVO Al fnalzar la undad los estudantes estarán en capacdad de calcular operacones fnanceras en las cuales la contraprestacón se hace a través de cuotas peródcas. Para esto deducrá los modelos matemátcos para calcular el valor actual, futuro, nterés y número de pagos para dferentes tpos de operacones y aplcará estos en stuacones de la vda empresaral. CONTENIDO 1. Anualdades 2. Anualdades antcpadas 3. Anualdades dferdas 4. Anualdades perpetuas 5. Gradentes Glosaro de térmnos 3

4 Introduccón Es corrente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una oblgacón fnancera en cuotas peródcas a una tasa de nterés, durante un tempo determnado. Cuando las cuotas son constantes la operacón recbe el nombre de anualdad, por el contraro s las cuotas son cambantes se le denomna gradente. Cuando, por ejemplo, una persona compra un automóvl pagado una cuota ncal y el resto del dnero en cuotas mensuales guales durante un tempo determnado, se confgura una operacón fnancera de anualdades; s por el contraro las cuotas crecen con la nflacón por ejemplo, la operacón se denomna gradente. Anualdad o gradente es un sstema de pagos a ntervalos guales de tempo; de esta forma, no sgnfca pagos anuales, sno pagos a ntervalo regular; defnda así en la vda cotdana se encuentran nnumerables ejemplos de este tpo de operacones: el pago de dvdendos, los fondos de amortzacón, los pagos a plazos, los pagos peródcos a las compañías de seguros, los sueldos, y en general todo tpo de renta son, entre otros, ejemplos de anualdades o gradentes. En este tpo de operacones se dstnguen los sguentes elementos: la renta o pago, el perodo de pago o de renta, el tempo o plazo y la tasa de nterés. La renta se defne como el pago peródco, tambén denomnado como cuota o deposto. El perodo de renta es el tempo que se fja entre dos pagos consecutvos; el tempo o plazo de la operacón es el ntervalo de tempo que sucede desde el nco del prmer perodo de pago y el fnal del últmo. Fnalmente la tasa de nterés es el tpo de nterés que se acuerda en la operacón. Dependendo de la forma como se pacten los montos y perodos de pago las operacones se pueden clasfcar en ordnaras, varables, antcpadas, dferdas, perpetuas. En esta undad de aprendzaje se analzan cada una de ellas determnándose los modelos matemátcos que permten smular y analzar estos tpos de operacón fnancera. Glosaro de térmnos 4

5 1. Anualdades Son operacones fnanceras en las cuales se pacta el cubrmento de las oblgacones en una sere de pagos peródcos guales que cumple con las sguentes condcones: Los pagos (rentas) son de gual valor. Los pagos se hacen a guales ntervalos de tempo A todos los pagos (rentas) se les aplca la msma tasa de nterés El número de pagos y perodos pactados es gual Las anualdades que cumplen con estas condcones son las ordnaras o vencdas y las antcpadas. Los modelos matemátcos que se deducen para el cálculo y análss de este tpo de anualdades tenen en cuenta las anterores condcones; por lo cual, es necesaro que al momento de aplcarse las formulas a stuacones partculares, se asegure que se cumplan dchas condcones. Ejemplo 1. Determnar s el sguente sstema de pagos corresponde a una anualdad. A A A A A A A Respuesta El sstema de pagos no corresponde a una anualdad ya que no obstante los pagos son guales y se hacen a ntervalos de tempo gual, el número de pagos no es gual al número de perodos Glosaro de térmnos 5

6 Ejemplo 2. Determnar s el sguente sstema de pagos corresponde a una anualdad. A A A A A A Respuesta S se supone que la tasa de nterés que se aplca a cada pago es la msma, se puede afrmar que el sstema corresponde a una anualdad tenendo en cuenta que los pagos son guales, se hacen a ntervalo de tempo gual y los perodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualdad ordnara o vencda Ejemplo 3. Determnar s el sguente sstema de pagos corresponde a una anualdad. A A A A A A Respuesta El sstema de pagos no corresponde a una anualdad ya que no obstante que el número de pagos es gual al número de perodos y los ntervalos de tempo son guales los pagos no son guales. Ejemplo 4. Determnar s el sguente sstema de pagos corresponde a una anualdad. A A A A A A Glosaro de térmnos 6

7 Respuesta S se supone que la tasa de nterés que se aplca a cada pago es la msma, se puede afrmar que el sstema corresponde a una anualdad tenendo en cuenta que los pagos son guales, se hacen a ntervalo de tempo gual y los perodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualdad antcpada 1.1 Valor presente de la anualdad Para la deduccón del modelo matemátco se consdera una operacón en la cual un préstamo V p se paga en cuotas guales A, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos. La stuacón se muestra en la grafca No 7. GRAFICA NO 7 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD A n-2 n-1 n V p Para calcular el valor presente se utlza la formula (12), consderando cada valor de A como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0. V p = V f (1 + ) n V p = A (1 + ) 1 + A (1 + ) 2 + A (1 + ) A (1 + ) n 2 + A (1 + ) n 1 + A (1 + ) n Factorzando A, se obtene: 1 V p = A [ (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) n (1 + ) n (1 + ) n] (a) Multplcando esta por el factor 1 (1+), esto da como resultado la sguente ecuacón: Glosaro de térmnos 7

8 V p (1 + ) = A [ 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) n (1 + ) n + 1 (1 + ) n+1] (b) Restando la ecuacón (a) de la (b), se obtene: (1 + ) V 1 p = A [ (1 + ) n+1 1 (1 + ) 1] Despejando de este resultado el Vp, se obtene: La cual tambén se puede expresar como: Donde: V p : Valor presente de una sere de pagos A: pagos perodcos V p = A [ 1 1] (1 + ) n 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 (23) : tasa efectva de nteres a la cual se trasladan los pagos a valor presente n: numero de perodos en los cuales se hacen los pagos El factor [ 1 (1+) n ] suele nombrarse como: (V p A, %, n). Este sgnfca el factor para hallar V p, dado el pago o renta A, la tasa de nterés efectva a la cual son trasladados los pagos al valor ncal y el número de pagos n. La formula (23) se puede escrbr en notacón clásca, como: Ejemplo 5. V p = A(V p A, %, n); para 0 (24) Un pequeño empresaro para reponer su equpo de produccón hoy, está en capacdad de realzar 36 pagos de $ mensuales, a partr del próxmo mes; s el banco que fnanca la operacón cobra una tasa de nterés del 24% N-m. De cuánto dnero dspondrá para la reposcón de los equpos? Solucón Glosaro de térmnos 8

9 Parámetros Pagos: $ Numero de pagos: 36 Tasa de nterés: 24% N-m Representacón gráfca Para determnar lo que el pequeño empresaro tendrá dsponble para reposcón de equpos, se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. En la sguente gráfca se representa la operacón: Cálculos V p =? Para determnar el valor presente, lo prmero que se debe hacer es hallar la tasa efectva mensual a partr de la tasa nomnal, para esto se utlza la formula (15): = 0,24 12 j = 24%N-m j = m = 0,02 = 2% EM Tenendo la tasa efectva de nterés se procede a calcular el valor presente, consderando (V p , 2%, 36). Nótese que la tasa efectva de nterés concde los perodos en los cuales se realza los pagos. El calculo se realza utlzando la formula (23) 1 (1 + ) n V p = A [ ] 1 (1 + 0,02) 36 V p = [ ] = ,96 0,02 Respuesta El pequeño empresaro dspondrá de $ ,96 para la reposcón de los equpos. Glosaro de térmnos 9

10 1.2 Pagos o renta a partr del valor presente De la ecuacón (23) se puede deducr el factor para hallar A, dado el valor presente V p, o lo que es gual (A V p, %, n). A = V p [ 1 (1 + ) n] (25) V p = V p (A V p, %, n); para 0 (26) Los símbolos tenen el msmo sgnfcado que en la ecuacón (23) Ejemplo 6. Una persona desea comprar un automóvl que tene un preco de $ a través de un crédto. S la empresa de fnancamento ofrece las sguentes condcones: préstamo del 90% del valor total en cuotas guales durante 60 meses y una tasa efectva de nterés del 0,95% EM, Cuál será el valor de la cuota mensual? Solucón Parámetros Valor del automóvl: $ Fnancacón: 90% del valor total Numero de pagos: 60 Tasa de nterés: 0,95% EM Representacón gráfca Consderando que solo se fnanca el 90% del valor del vehículo el préstamo debe ser por un valor de: Prestamo = V p = ,9 = En la sguente gráfca se representa la operacón: A=? Cálculos V p = = 0,99% EM Para determnar el valor de los pagos mensuales, (A V p, %, n), para lo cual se aplca Glosaro de térmnos 10

11 drectamente la formula (25), consderando la tasa efectva de nterés mensual: A = V p [ 1 (1 + ) n] 0,0095 A = [ 1 (1 + 0,0095) 60] = ,42 Respuesta El valor de la cuota mensual será de $ , Pagos o renta con base en el valor futuro Igual que se hzo en el la deduccón anteror, para determnar este modelo, se consdera una operacón en la cual el valor fnal V f es equvalente a n pagos guales A, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos. La stuacón se muestra en la grafca No 8. GRAFICA NO 8 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD A n-2 n-1 n V f Para determnar el valor futuro (V f A, %, n) remplazamos en la formula (24) el valor presente en funcón del valor futuro, formula (12). V p = V f (1 + ) n (a) A = V p [ 1 (1 + ) n] (b) Remplazando (a) en (b), se obtene: A = V f (1 + ) n [ 1 (1 + ) n] Glosaro de térmnos 11

12 A = V f [ (1 + ) n 1 ] (26) A = V f (A V f, %, n) (27) Ejemplo 8. De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adqurr una casa de $ dentro de cnco años, s la fduca le asegura una tasa de nterés efectva mensual del 0,7%. Solucón Parámetros Valor futuro: $ Numero de pagos: 5 años = 60 meses (nca un mes después de tomar la decsón) Tasa de nterés: 0,7% EM Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A=? = 0,7 EM V f = Cálculos Para determnar los pagos del ahorro (A V f, %, n) se aplca drectamente la formula (26), consderando la tasa efectva de nterés mensual: A = V f [ (1 + ) n 1 ] 0,007 A = [ (1 + 0,007) 60 1 ] = ,88 Respuesta Se deberá realzar un ahorro de $ ,88 mensual Glosaro de térmnos 12

13 1.4 Valor futuro de la Anualdad De la formula (26) se puede determnar el valor futuro en funcón de los pagos, así: Ejemplo 7. V f = A [ (1 + )n 1 ] (28) V f = A(V f A, %, n) (29) Un padre de famla quere conocer de cuánto dspondrá para la educacón superor de su hjo, s nca un ahorro mensual de , un mes antes de que cumpla 10 años y hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estma ncara los estudos unverstaros; la fduca donde se realza el ahorro asegura una de nterés del 10% N-m Solucón Parámetros Valor de los pagos: $ Numero de pagos: 8 años = 96 meses Tasa de nterés: 10% N-m Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A= j = 10% N-m V f =? Cálculos Para determnar el valor futuro del ahorro (V f A, %, n) ncalmente se debe hallar la tasa de nterés efectva mensual, para esto se aplca la formula (15), consderando que la tasa de nterés que ofrece la fduca esta expresa en nomnal: = 0,10 12 j = m = 0,0083 = 0,833% EM Con esta tasa de nterés efectva se puede calcular, (V f A, %, n), para lo cual se aplca drectamente la formula (28), consderando la tasa efectva de nterés mensual: Glosaro de térmnos 13

14 V f = A [ (1 + )n 1 ] V f = [ (1 + 0,0083)96 1 ] = ,87 0,0083 Respuesta El Padre de famla dspondrá de $ ,87 cuando su hjo cumpla 18 años 1.5 Número de pagos con base en el valor futuro S se conocen el V f, los pagos A, y la tasa de nterés, de la ecuacón (28) se puede determnar el valor de n; es decr, el número de pagos. Lo msmo se podría hacer a partr de la ecuacón (23) cuando se conocen V p, los pagos A, y la tasa de nterés. A contnuacón se deduce la formula para calcular el valor de n, a partr de la ecuacón (28). V f = A [ (1 + )n 1 ] V f = A(1 + ) n A A(1 + ) n = V f + A Aplcando logartmo en ambos lados de la ecuacón se obtene: Log(A(1 + ) n ) = Log(V f + A) Por propedades de los logartmos, se obtene: LogA + Log(1 + ) n = Log(V f + A) LogA + nlog(1 + ) = Log(V f + A) nlog(1 + ) = Log(V f + A) LogA Despejando n, se obtene: n = Log(V f + A) LogA Log(1 + ) (30) Glosaro de térmnos 14

15 Ejemplo 8. Cuántos pagos semestrales de $ deberá realzar un padre de famla para pagar la unversdad de su hjo que en futuro estma le costará $ ; el banco reconoce por este tpo de ahorros una tasa de nterés del 7% N-s Solucón Parámetros Valor futuro: Valor de los pagos: $ Tasa de nterés: 7% N-s Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A= n-2 n-1 n j = 7% N-s V p= Cálculos Incalmente se hallar la tasa de nterés efectva semestral aplcando la formula (15), consderando que la tasa de nterés nomnal que cobra el banco: = 0,07 2 j = m = 0,035 = 3,5% ES Con esta tasa de nterés efectva, el valor futuro V f, y el valor de los pagos A, se puede determnar el valor de n, para lo cual se aplca drectamente la formula (30), consderando la tasa efectva de nterés semestral: n = Log(V f + A) LogA Log(1 + ) n = log ( , ) Log( ) Log(1 + 0,035) = 6,77 Esta respuesta ndca que deben hacerse 6,77 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vsta practco el ahorrador (deudor) tene dos opcones: a) Termnar de ahorrar (pagar) en el semestre 6, aumentando el últmo pago Glosaro de térmnos 15

16 b) O termnar de ahorrar (pagar) en el semestre 7, dsmnuyendo el ultmo pago Respuesta Se deben realzar 6 o 7 pagos. 1.6 Número de pagos con base en el valor presente S se conocen el V p, los pagos A, y la tasa de nterés, de la ecuacón (23) se puede determnar el valor de n; es decr, el número de pagos. A contnuacón se deduce la fórmula para calcular el valor de n, a partr de la ecuacón (23). 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 V p = A[1 (1 + ) n ] V p = A A(1 + ) n V p + A = (1 + ) n = A (1 + ) n A A V p Aplcando logartmo en ambos lados de la ecuacón, se obtene: n log(1 + ) = log A Log (A V p ) n = log A Log (A V p) log(1 + ) (31) Ejemplo 9. Cuántos pagos semestrales de $ deberá realzar un padre de famla para pagar la unversdad de su hjo que hoy día cuesta $ ; el banco cobra tasa de nterés del 3,5% ES Solucón Parámetros Valor presente: Valor de los pagos: $ Tasa de nterés: 3,5% ES Glosaro de térmnos 16

17 Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A= Cálculos n-2 n-1 n V p= = 3,5% ES El número de pagos se puede calcular drectamente de la formula (31), consderando la tasa efectva de nterés semestral: n = log A Log (A V p) log(1 + ) n = log Log ( , ) log(1 + 0,035) = 8,85 Esta respuesta ndca que deben hacerse 8,85 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vsta practco el ahorrador (deudor) tene dos opcones: a) Termnar de ahorrar (pagar) en el semestre 8, aumentando el últmo pago b) O termnar de ahorrar (pagar) en el semestre 9, dsmnuyendo el últmo pago Respuesta Se deben realzar 8 o 9 pagos. 1.7 Tasa efectva de nterés a partr del valor presente Cuando se tenen los demás elementos de la anualdad, es decr: el valor presente V p o valor futuro V f, el valor y numero de pagos A, se puede determnar el valor de la tasa de nterés a partr de la formula (23) o (28). No obstante por tratarse de ecuacones con más de una raíz, no es posble hallar la solucón analítcamente; por esta razón se debe utlzar un método de tanteo y error. 1 (1 + ) n V p = A [ ] Glosaro de térmnos 17

18 V f = A [ (1 + )n 1 ] La forma de proceder en estos casos, es la sguente: a) Se asgna un valor ncal a la tasa de nterés y se calcula la ecuacón. b) S el valor es menor que la gualdad V p o V f entonces se dsmnuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contraro se aumenta la tasa y se vuelve a calcular c) Cuando se logre determnar dos valores, uno mayor y otro menor, sufcentemente aproxmados a los valores de la gualdad, se procede a calcular la tasa de nterés por nterpolacón. Con el sguente ejemplo se lustra el anteror procedmento: Ejemplo 10. S una compañía de pensones ofrece, por un pago nmedato de $90 mllones, una renta de $5 mllones durante 30 años. Qué tasa de nterés está reconocendo? Solucón Parámetros Valor presente: Valor de los pagos: $ Numero de pagos: 30 anuales Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A= =? EA V p= Cálculos Para determnar la tasa de nterés se parte de la formula (23): 1 (1 + ) n V p = A [ ] Glosaro de térmnos 18

19 De acuerdo al procedmento descrto se le da valor ncal a la tasa (efectva anual) y se calcula el valor del lado derecho, así para un valor de = 2%, se obtene: < ,8 Consderando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado zquerdo, aumentamos el valor de, y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para = 3%, obtenendo: < ,75 Consderando que el valor de la derecha es mayor al lado zquerdo, aumentamos el valor de, y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para = 4%, obtenendo: > ,50 Consderando que en este caso el valor de la menor al lado derecho, se puede conclur que la tasa de nterés está entre 3% y 4%. El valor exacto se calcula por nterpolacón como se ndca a contnuacón: ,75 3% X ,50 4% Aplcando una senclla regla de tres: s para una dferenca entre ,75 y ,50, exste una dferenca del 1%; que dferenca en % habrá para dferenca entre ,75 y , así se obtene la fraccón que sumada a 3% completa la tasa de nterés. X = ,75 1% ,25 = 0,693 Sumando el resultado a 3%, se obtene la tasa de nterés buscada: 3,693% Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuacón (23) y verfcando que se cumple la gualdad. 1 (1 + ) n V p = A [ ] ,32 Respuesta La compañía de pensones reconoce una tasa efectva anual de: 3,693% Glosaro de térmnos 19

20 2. Anualdades antcpadas En los negocos es frecuente que los pagos se efectúen al comenzo de cada perodo; es el caso de los arrendamentos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tpo de operacones fnanceras recben el nombre de anualdades antcpadas. Una anualdad antcpada es una sucesón de pagos o rentas que se efectúan o vencen al prncpo del perodo del pago. En la gráfca No 9 se comparan las anualdades vencdas y antcpadas GRAFICA NO 9 COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS Anualdad Vencda n-2 n-1 n n-1 n Anualdad Antcpada 2.1 Valor presente de las anualdades antcpadas Para la deduccón del modelo matemátco se consdera una operacón en la cual un préstamo V p se paga en cuotas guales A, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos, desde el perodo 0. La stuacón se muestra en la grafca No 10. GRAFICA NO 10 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A n-2 n-1 n V p S se analza la operacón se puede afrmar que el valor presente en este caso se puede determnar como la suma de A y el valor presente de una anualdad durante n-1 perodos. Glosaro de térmnos 20

21 Ejemplo (1 + ) (n 1) V p = A + A [ ] 1 (1 + ) (n 1) V p = A [1 + ] (32) El contrato de arrendo de una ofcna fja pagos de $ mensuales al prncpo de cada mes, durante de un año. S se supone un nterés del 2,5% efectvo anual; Cuál será el pago únco al nco del contrato que cubre todo el arrendo? Solucón Parámetros Valor de los pagos antcpados: $ Numero de pagos: 12 mensuales Tasa de nterés efectva mensual: 2,5% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A= = 2,5% EM Cálculos V p =? Para determnar el valor presente de la anualdad antcpada se aplca drectamente la formula (32): 1 (1 + ) (n 1) V p = A [1 + ] 1 (1 + 0,025) (12 1) V p = [1 + ] = ,85 0,025 Respuesta El valor total del contrato al momento de su frma es: $ ,85 Glosaro de térmnos 21

22 2.2 Valor futuro de las anualdades antcpadas Para la deduccón del modelo matemátco se consdera una operacón en la cual un ahorro V f se paga en cuotas guales A, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos, desde el perodo 0. La stuacón se muestra en la grafca No 11. GRAFICA NO 11 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA A n-2 n-1 n V f S se analza la operacón se puede afrmar que el valor futuro de la anualdad antcpada es gual al valor futuro de la anualdad durante n perodos (desde -1 hasta n-1) trasladada 1 perodo, ha través de la formula (11), hasta el perodo n. Ejemplo 12. V f = A [ (1 + )n 1 ] (1 + ) (33) Una empresa arrenda una bodega que tene de sobra por $ mensuales, los cuales se pagan de manera antcpada. S cada que recbe el arrendo lo coloca en un fondo de nversones que promete una tasa de nterés del 2% EM. Cuánto podrá retrar al cabo de un año? Solucón Parámetros Valor de los pagos antcpados: $ Numero de pagos: 12 mensuales Tasa de nterés efectva mensual: 2% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: Glosaro de térmnos 22

23 A= Cálculos = 2% EM Para determnar el valor futuro de la anualdad antcpada se aplca drectamente la formula (33): V f = A [ (1 + )n 1 ] (1 + ) V f =? V f = [ (1 + 0,02)12 1 ] (1 + 0,02) = ,61 0,02 Respuesta El valor ahorrado por el empresaro al cabo de un año es: $ ,61 3. Anualdades dferdas Hasta el momento se ha consderado que el pago de las rentas se nca nmedatamente después de que se plantea la operacón; no obstante, exsten transaccones donde los pagos o rentas se realzan después de haber pasado certa cantdad de perodos, en estos casos la operacón se denomna anualdad dferda. En la gráfca No 12 se lustran este tpo de actvdades. GRAFICA NO 12 ANUALIDAD DIFERIDA A 0 V p n-3 n-2 n-1 n Glosaro de térmnos 23

24 3.1 Valor presente de las anualdades dferdas En este caso se halla el valor presente de la anualdad en un perodo antes de ncarse los pagos, utlzando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al perodo 0 utlzando para ello la formula (12) Ejemplo 12. Una empresa acepta que un clente le pague el valor de una compra realzada el día de hoy, en ses cuotas mensuales de $ a partr del séptmo mes. S la empresa aplca una tasa efectva de nterés del 2,5% EM, Cuál será el valor de la venta? Solucón Parámetros Valor de los pagos: $ Numero de pagos: 6 mensuales, a partr del mes 7 Tasa de nterés efectva mensual: 2,5% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: = 2,5% V p =? Cálculos Para determnar el valor presente ncalmente calculamos el valor presente de la anualdad en el perodo 6, utlzando para ello la ecuacón (23): 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 1 (1 + 0,025) 6 V p6 = [ ] = ,28 0,025 Este valor se traslada al perodo 0, para esto se utlza la formula (12) Glosaro de térmnos 24

25 V p = V f (1 + ) n V p = ,28 (1 + 0,025) 6 = ,38 Respuesta El valor de la venta realzada por la empresa es: $ , Valor futuro de las anualdades dferdas En este caso se halla el valor presente de la anualdad un perodo antes de ncarse los pagos, utlzando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al perodo n utlzando para ello la formula (11) Ejemplo 13. S un padre nca un ahorro mensual de $50.000, cuando su hjo cumple 1 año, Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, s el banco donde hace el deposto le reconoce un nterés anual del 0,6% EM? Solucón Parámetros Valor de los pagos: $ Numero de pagos: 204 mensuales, a partr del mes 12 Tasa de nterés efectva mensual: 0,6% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: = 0,6% Cálculos V f =? Para determnar el valor futuro ncalmente calculamos el valor presente de la Glosaro de térmnos 25

26 anualdad en el perodo 11, utlzando para ello la ecuacón (23): 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 1 (1 + 0,006) 204 V p6 = [ ] = ,73 0,006 Este valor se traslada al perodo 216, para esto se utlza la formula (11) V f = V p (1 + ) n V f = ,73(1 + 0,006) 205 = ,23 Respuesta El valor del ahorro cuando el hjo cumpla 18 años es : $ ,23 4. Anualdades perpetuas Cuando el número de pagos de una anualdad es muy grande, o cuando no se conoce con exacttud la cantdad de pagos se dce que la anualdad es perpetua. Al deducrse los modelos matemátcos se debe tener en cuenta que solo exste el valor presente ya que por tratarse de una anualdad perpetua el valor futuro de este tpo de anualdades sería nfnto. Partendo del valor presente de la anualdad formula (23) se puede hallar el lmte cuando n tende a nfnto, tenendo en cuenta la defncón de anualdad perpetua. V p = lm A n 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 (1 + ) n [1 ] = lm A 1 0 = A n V p = A ; para 0 (34) Ejemplo 14. El consejo muncpal de Santa Fe de Antoqua resuelve crear un fondo para proveer a perpetudad las reparacones del puente colonal de esa poblacón que se estma tendrá un costo anual de $91 mllones de pesos, doce años después de una reparacón general. Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de termnar la reparacón general, s Glosaro de térmnos 26

27 la tasa de nterés de colocacón del mercado es del 7% anual? Solucón Parámetros Valor de los pagos: $91 mllones Numero de pagos: nfntos, a partr del año 12 Tasa de nterés efectva anual: 7% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: 91 mllones n-2 n-1 = 7% EA V p =? Cálculos Lo que habrá que depostar en el fondo será gual al valor presente de la anualdad perpetua calculada en el año 11, para lo cual se utlza la formula (34), y este valor trasladado al momento 0, que es donde se supone se termno la reparacón general, para esto se utlza la formula (12): V p11 = A ; para 0 V p11 = ,07 = V p = V f (1 + ) n V p = = (1 + 0,07) 12 Respuesta En el fondo se deben colocar: $ Glosaro de térmnos 27

28 5. Gradentes Son operacones fnanceras en las cuales se pacta cubrr la oblgacón en una sere de pagos peródcos crecentes o decrecentes que cumplen con las sguentes condcones: Los pagos cumplen con una ley de formacón Los pagos se hacen a guales ntervalos de tempo A todos los pagos (rentas) se les aplca la msma tasa de nterés El número de pagos y perodos pactados es gual La ley de formacón, la cual determna la sere de pagos, puede tener un snnúmero de varantes; no obstante, en la vda cotdana las más utlzadas son el gradente artmétco y el geométrco; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecentes o decrecentes. Como el lector ya lo habrá deducdo, las anualdades son casos partculares de los gradentes donde el crecmento es cero, lo que causa que los pagos sean todos guales; entonces gual que el caso de la anualdad los modelos matemátcos que se deducen para el cálculo y análss de los gradentes tenen en cuenta las anterores condcones por lo cual, es necesaro que al momento de aplcarse las formulas a stuacones partculares, se asegure que se cumplan dchas condcones 5.1 Gradente artmétco Para el gradente artmétco, la ley de formacón ndca que cada pago es gual al anteror, más una constante k; la cual puede ser postva en cuyo caso las cuotas son crecentes, negatva lo cual genera cuotas decrecentes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son unformes, es decr se tene el caso de una anualdad Ley de formacón Consderando que los pagos en cada perodo serán dferentes, entonces estos se dentfcaran con un subíndce que ndca el consecutvo del pago. De acuerdo a la ley de formacón, en este caso, cada pago será gual al anteror más una constante, así como se muestra a contnuacón: Glosaro de térmnos 28

29 A 1 Prmer pago A 2 = A 1 + k Segundo pago A 3 = A 2 + k = A 1 + 2k A 4 = A 3 + k = A 1 + 3k Tercer pago Cuarto pago A n = A 1 + (n 1)k Neavo pago Valor presente de un gradente artmétco Para la deduccón del modelo matemátco se consdera una operacón en la cual un préstamo V p se paga en una sere de cuotas formada a través de un gradente artmétco, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos. La stuacón se muestra en la grafca No 13. GRAFICA NO 13 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO A 1 + (n 3)k A 1 + (n 1)k A 1 + (n 2)k A 1 + k A 1 + 2k A n-2 n-1 n V p Para calcular el valor presente se utlza la formula (12), consderando cada valor de las cuotas A 1 + jk y sumando todos los resultados en 0. V p = V f (1 + ) n Glosaro de térmnos 29

30 V p = A 1 (1 + ) 1 + A 1 + k (1 + ) 2 + A 1 + 2k (1 + ) A 1 + (n 3)k (1 + ) n 2 + A 1 + (n 2)k (1 + ) n 1 + A 1 + (n 1)k (1 + ) n Rescrbendo la ecuacón se obtene el sguente resultado: V p = A 1 (1 + ) 1 + A 1 (1 + ) A 1 (1 + ) n + k (1 + ) 2 + 2k (n 1)k + + (1 + ) 3 (1 + ) n De la anteror expresón se puede conclur que la prmera parte, las fraccones con numerador A 1 corresponde al valor presente de la anualdad y que las otras expresones tenen como factor común K; de esta forma la ecuacón se puede escrbr como: 1 (1 + ) n 1 V p = A 1 [ ] + K [ (1 + ) (n 1) + + (1 + ) 3 (1 + ) n] (a) Supongamos que el factor de K es gual F, es decr: 1 F = [ (1 + ) (n 1) + + (1 + ) 3 (1 + ) n] S multplcamos la ecuacón anteror por (1 + ), entonces se obtene: 1 F(1 + ) = [ (1 + ) (1 + ) (n 1) (1 + ) (n 1)] S se resta F(1 + ) de F, se obtene: 1 F(1 + ) F = [ (1 + ) (1 + ) (n 1) (1 + ) (n 1)] [ 1 (1 + ) (n 1) + + (1 + ) 3 (1 + ) n] F = 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) (n 1) + 1 (1 + ) n n (1 + ) n 1 (1 + ) n F = [ ] n (1 + ) n Glosaro de térmnos 30

31 F = 1 Remplazando (b) en (a), se obtene: (1 + ) n [1 ] n (b) n (1 + ) 1 (1 + ) n V p = A 1 [ ] + K [1 (1 + ) n n (1 + ) n] (35) Ejemplo 15. Un padre de famla esta dspuesto a realzar el ahorro que se muestra en la grafca; de cuánto debería ser la nversón hoy para gualar dcho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de nterés del 5% semestral =5% V p =? Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: 6 semestrales Tasa de nterés efectva anual: 5% ES El gradente tene un crecmento de $ , es decr K = Cálculos Para hallar el equvalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradente, para lo cual se utlza la formula (35): 1 (1 + ) n V p = A 1 [ ] + K [1 (1 + ) n n (1 + ) n] Glosaro de térmnos 31

32 1 (1 + 0,05) 6 V p = [ 0,05 ] ,05 [1 (1 + 0,05) 6 0,05 Respuesta El valor equvalente del ahorro al día de hoy es: $ ,40 6 (1 + 0,05) 6] = , Valor futuro de un gradente artmétco Para hallar el valor futuro (V f ), basta remplazar el valor presente (V p ) del gradente, formula (37), en la formula (11). V f = V p (1 + ) n 1 (1 + ) n V p = A 1 [ ] + K [1 (1 + ) n n (1 + ) n] V f = A 1 [ (1 + )n 1 ] + K [(1 + )n 1 n] (36) Ejemplo 15. Qué valor recbrá una persona que realza el ahorro semestral que se ndca en la gráfca? El banco donde se realza el ahorro reconoce una tasa de nterés del 6% semestral V f =? Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: 6 semestrales Glosaro de térmnos 32

33 Tasa de nterés efectva anual: 6% ES El gradente tene un crecmento de $ , es decr K = Cálculos Para hallar el valor fnal del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradente, para lo cual se utlza la formula (38): V f = A 1 [ (1 + )n 1 ] + K [(1 + )n 1 n] V f = [ (1 + 0,06)6 1 ] ,06 0,06 [(1 + 0,06)6 1 6] = ,31 0,06 Respuesta El valor fnal del ahorro es: $ , Valor presente de un gradente artmétco nfnto Cuando se habla de pagos de gradentes matemátcos nfntos, solo tene sentdo hablar del valor presente, como equvalente de dchos pagos. La prncpal aplcacón de dcha sere es el cálculo del costo de captal. GRAFICA NO 14 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO A 4 A 1 A 2 A V p =? Modelo matemátco Glosaro de térmnos 33

34 Planeando la ecuacón de valor de la sere se obtene: 1 (1 + ) n V p = lm [A 1 [ ] + K n [1 (1 + ) n n (1 + ) n]] 1 (1 + ) n V p = lm A 1 [ ] + lm n Ejemplo 16. n K V p = [ A 1 ] + K 2 0 V p = A 1 + K 2 (37) (1 + ) n K [1 ] lm n [ n (1 + ) n] Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retro para recbr anualmente una pensón de 30 mllones, la cual se ncrementara 2 mllones cada año? El fondo de pensones reconoce una tasa de nterés del 6,5% anual V p =? = 6,5 % Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: nfntos Tasa de nterés efectva anual: 6,5% EA El gradente tene un crecmento de $ , es decr K = Cálculos Para hallar el valor ncal que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente del gradente nfnto, para lo cual se utlza la formula (37): Glosaro de térmnos 34

35 V p = ,065 V p = A 1 + K (0,065) 2 = ,60 Respuesta El futuro pensonado deberá cancelar : $ , Gradente geométrco Para el gradente artmétco, la ley de formacón ndca que cada pago es gual al anteror, multplcado por una constante (1+G); s G es postva el gradente será con cuotas crecentes, s G es negatvo el gradente será decrecente y s G es gual a 0, los pagos son unformes, es decr se tene el caso de una anualdad Ley de formacón Consderando que los pagos en cada perodo serán dferentes, entonces estos se dentfcaran con un subíndce que ndca el consecutvo del pago. De acuerdo a la ley de formacón, en este caso, cada pago será gual al anteror multplcado por una constante, así como se muestra a contnuacón: A 1 Prmer pago A 2 = A 1 (1 + G) Segundo pago A 3 = A 2 (1 + G) = A 1 (1 + G) 2 A 4 = A 3 (1 + G) = A 1 (1 + G) 3 Tercer pago Cuarto pago A n = A 1 (1 + G) n 1 Neavo pago Valor presente de un gradente geométrco Para la deduccón del modelo matemátco se consdera una operacón en la cual un préstamo V p se paga en una sere de cuotas formadas a través de un gradente Glosaro de térmnos 35

36 geométrco, a una tasa de nterés efectva por perodo, durante n perodos. La stuacón se muestra en la grafca No 14. GRAFICA NO 14 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO A 1 (1 + G) n 1 A 1 (1 + G) n 2 A 1 (1 + G) n 3 A 1 (1 + G) A 1 (1 + G) 2 A n-2 n-1 n V p Para calcular el valor presente se la ecuacón de valor, para lo cual se utlza la formula (12), consderando cada valor de las n cuotas y sumando todos los resultados en 0. V p = V f (1 + ) n V p = A 1 (1 + ) 1 + A 1(1 + G) (1 + ) 2 + A 1(1 + G) 2 (1 + ) A 1(1 + G) n 3 (1 + ) n 2 + A 1(1 + G) n 2 (1 + ) n 1 + A 1(1 + G) n 1 (1 + ) n (a) Multplcando la ecuacón anteror por (1+G), se obtene: (1+) V p (1 + G) (1 + ) = A 1(1 + G) (1 + ) 2 + A 1(1 + G) 2 (1 + ) 3 + A 1(1 + G) 3 Restando (a) de (b), se obtene: (1 + ) A 1(1 + G) n (1 + ) V p (1 + G) (1 + ) V p = A 1(1 + G) n (1 + ) n+1 A 1 (1 + ) 1 n+1 (b) Glosaro de térmnos 36

37 (1 + G) V p [ (1 + ) 1] = A 1 (1 + ) (G ) V p [ (1 + ) ] = A 1 (1 + ) + G)n [(1 1] (1 + ) n + G)n [(1 1] (1 + ) n V p = A 1 + G)n [(1 1] s G (c) (G ) (1 + ) n S G = el valor presente es ndetermnado; no obstante, esta stuacón se puede aclarar usando la regla de L ôptal y dervando la expresón con respecto a ; así como se muestra a contnuacón: A 1 + G)n V p = lm [(1 1] G (G ) (1 + ) n A 1 d V p = lm G d (G ) d d + G)n [(1 1] (1 + ) n (1 + )n V p = A 1 lm n [ G (1 + ) n+1] V p = na 1 (1 + ) s G = (d) De (c) y (d) se puede conclur que: = A 1 + G)n [(1 (G ) (1 + ) n 1] s G (38) V p = na 1 (1 + ) s G = Ejemplo 17. Cuál será el valor hoy de una pensón de un trabajador que le pagaran durante su época de jublacón 24 pagos anuales ncando en y con ncrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de nterés del 7% EA Solucón Parámetros Glosaro de térmnos 37

38 Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: 24 anuales Tasa de nterés efectva anual: 7% EA El gradente tene un crecmento del 10% anual, es decr G = 10% Representacón grafca , V p =? = 7 % Cálculos Para hallar el valor ncal de la pensón que se deberá pagar se aplca la formula (38) cuando G, consderando que se trata de un gradente geométrco con un crecmento del 10%. V p = A 1 + G)n [(1 1] (G ) (1 + ) n (1 + 0,1)24 V p = [ 1] = ,63 (0,1 0,07) (1 + 0,07) 24 Respuesta El valor presente de la pensón es : $ ,63 Ejemplo 18. Cuál será el valor hoy de una pensón de un trabajador que le pagaran durante su época de jublacón 24 pagos anuales ncando en y con ncrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de nterés del 10% EA Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Glosaro de térmnos 38

39 Numero de pagos: 24 anuales Tasa de nterés efectva anual: 10% EA El gradente tene un crecmento del 10% anual, es decr G = 10% Representacón grafca , V p =? = 7 % Cálculos Para hallar el valor ncal de la pensón que se deberá pagar se aplca la formula (38) cuando G =, consderando que se trata de un gradente geométrco con un crecmento del 10%. V p = na 1 (1 + ) s G = V p = = = ,64 (1 + 0,1) Respuesta El valor presente de la pensón es : $ , Valor futuro de un gradente geométrco Para hallar el valor futuro (V f ), basta remplazar el valor presente (V p ) del gradente, formula (40), en la formula (11). V f = V f = V p (1 + ) n A 1 + G)n [(1 1] (1 + )n (G ) (1 + ) n Glosaro de térmnos 39

40 V f = A 1 (G ) [(1 + G)n (1 + ) n ]; s G De otro lado, V f = na 1 (1 + )n (1 + ) De esta manera, V f = na 1 ; s G = (1 + ) n+1 V f = A 1 (G ) [(1 + G)n (1 + ) n ]; s G = na 1 ; s G = (1 + ) n+1 (39) Ejemplo 19. Cuál será el valor fnal de un ahorro que se realza durante 36 semestres ncando con un pago de e ncrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de nterés del 3,5% ES Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: 36 semestrales Tasa de nterés efectva semestral: 3,5% ES El gradente tene un crecmento del 4% anual, es decr G = 4% Representacón grafca Glosaro de térmnos 40

41 , = 3,5% V f =? Cálculos Para hallar el valor fnal del ahorro se aplca la formula (39) cuando G, consderando que se trata de un gradente geométrco con un crecmento del 4%. V f = A 1 (G ) [(1 + G)n (1 + ) n ]; s G V f = (0,04 0,035) [(1 + 0,04)36 (1 + 0,035) 36 ]; = ,50 Respuesta El valor del ahorro es: $ ,50 Ejemplo 20. Cuál será el valor fnal de un ahorro que se realza durante 36 semestres ncando con un pago de e ncrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de nterés del 4% ES Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: 36 semestrales Tasa de nterés efectva semestral: 4% ES El gradente tene un crecmento del 4% anual, es decr G = 4% Representacón grafca Glosaro de térmnos 41

42 , = 4% V f =? Cálculos Para hallar el valor fnal del ahorro se aplca la formula (39) cuando G =, consderando que se trata de un gradente geométrco con un crecmento del 4%. V f = na 1 ; s G = (1 + ) n V f = = ,40 (1 + 0,04) 36+1 Respuesta El valor del ahorro es: $ , Valor presente de un gradente artmétco nfnto Cuando se habla de pagos de gradentes geométrcos nfntos, solo tene sentdo hablar del valor presente, como equvalente de dchos pagos. La stuacón se lustra en la grafca No 16. Glosaro de térmnos 42

43 GRAFICA NO 16 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO A 4 A 1 A 2 A V p =? Modelo matemátco De la ecuacón (40) para cuando G, se obtene: V p = S G > entonces la expresón ( (1+G) (1+) )n tende a. A 1 + G)n [(1 1] s G (G ) (1 + ) n A 1 + G)n V p = lm [(1 1] n (G ) (1 + ) n V p = A n 1 (G ) lm + G) [((1 n (1 + ) ) 1] es mayor que 1, y no tendrá límte cuando n S G < entonces la expresón ( (1+G) (1+) )n es menor que 1, y por consguente el límte será gual a = 0, cuando n tende a. V p = A 1 (G ) [0 1] = A 1 ( G) (a) De la ecuacón (40) para cuando G =, se obtene: En este caso, no hay límte V p = lm n na 1 (1 + ) s G = (b) Glosaro de térmnos 43

44 De (a) y (b) entonces se puede escrbr el valor presente de un gradente geométrco nfnto, como: = A 1 ( G) ; s G < (40) V p = ; s G Ejemplo 21. Cuál será el valor de la prma de un seguro que pretende realzar pagos de forma ndefnda, ncando en con ncrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de nterés del 1,5% EM Solucón Parámetros Valor del pago ncal: A 1 = $ Numero de pagos: nfntos Tasa de nterés efectva mensual: 1,5% EM El gradente tene un crecmento del 1% mensual, es decr G = 1% Representacón grafca = 1,5% V p =? Cálculos Para hallar el valor de la prma del seguro se debe calcular el valor presente de la sere nfnta de la formula (42), consderando que G, y tenendo en cuenta que se trata de un gradente geométrco con un crecmento del 1%. Glosaro de térmnos 44

45 V p = A 1 ; s G < ( G) V p = (0,015 0,01) = ,00 Respuesta El valor del ahorro es: $ ,00 Glosaro de térmnos 45

46 Glosaro de térmnos 46