Métodos numéricos para cálculo de la prima de opciones asiáticas

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1 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Numercal Methods for Calculaton of Asan Optons Premum Nora Gavra urón * Julo Irvng Agular Galndo ** Fecha de recepcón: 9 de abrl de 6, Fecha de aceptacón: 3 de novembre de 6 REMEN Palabras clave: ABTRACT The most common way to value optons s by closed formulas; however, because ths formulas do not necessarly exst for all types of Asan optons, t s necessary to apply per descrbes the characterstcs and applcatons of numercal methods for the valuaton of Asan Optons. The calculaton wth closed formulas s ncluded to compare results, n those cases where the formula can be used. Advantages and dsadvantages of the methods are descrbed; they assumed a constant rsk free rate, constant volatlty and a lognormal dstrbuton of prces. Wthn the context of ths artcle, t can be concluded that the Montecarlo Method acheves the most relable results when valung Asan optons. Keywords: Asan Optons, Opton Prce, Numercal Methods. * nversdad de Las Amércas, Puebla, Cholula Puebla, nora.gavra@udlap.mx ** Fdecomso de Fomento Mnero, Cudad de Méxco, Méxco, jagular@ffom.gob.mx olumen IN , número versón, enero dgtal, - juno IN 7, pp versón mpresa 7 IN versón dgtal, IN versón mpresa

2 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Introduccón L - et al olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

3 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO look-back- payoff IN versón dgtal, IN versón mpresa 9

4 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo - -. Opcones asátcas nformes, semllas del generador basadas en la hora actual, multplcatvo de Fbonacc, normales, combnacón recursva múltple, etcétera. 3 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

5 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Tpos de payoff A K o A T T K - putcall, Payoff- IN versón dgtal, IN versón mpresa 3

6 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo ca en strkerateprce () strke Kaverage strke call () payoff de una average strke put (3) payoffvanlla strke rateaverage rate put payoff (4) average rate put un (5) cones callput strkerate strke- - 3 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

7 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO average strke optons - Put -. Aproxmacón por métodos numércos. Método bnomal - stock o IN versón dgtal, IN versón mpresa 33

8 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Fgura. mulacón del movmento de los precos con = 9, =., =.8 y 4 perodos. Fuente: Elaboracón propa en Matlab. - - Ecuacón para el valor de una opcón: t t - t del t donde el valor, (6) 34 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

9 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Fgura. Árbol con las dferentes probabldades de resgo neutral de cada nodo. Fuente: Elaboracón propa en Matlab t t y. (7) - (8), (9) ( ) IN versón dgtal, IN versón mpresa 35

10 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo. () - rt. () rt. () e r t p' p', (3). rt e p' (4) p' - e rt T t 36 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

11 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO - e r t p' p' (5) dados - Fgura 3. Árbol bnomal. Para regresar al preco o tronco es necesaro segur el camno por el cual se llegó a los nodos o ramas fnales. Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Opcón amercana: - - IN versón dgtal, IN versón mpresa 37

12 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo r p' p' (6) e t. Método bnomal recursvo payoff - r t max( e p ' p ', payoff ) X ave r q T perodos- contador f X ave rqt perodoscontador payoff perodos T, 38 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

13 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO p e rq T perodos (7) T, r T perodos p ( p), * ) T, max( e T, T, T, amercana 8), donde T ave -, ave ( t ) ave (9) t T perodos perodosperodos contadorcontador +, t ave - T perodos perodosperodos contadorcontador + IN versón dgtal, IN versón mpresa 39

14 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo amercana f se calcula el valor de t, average strke o average prce put o call.3. Método bnomal con matrces X ave rqt perodoscontador perodos perodos perodos perodos el - - F a () =- perodos - 4 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

15 Estocástca: FINANZA Y RIEGO IN versón dgtal, IN versón mpresa 4 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas perodos perodos perodos perodos perodos perodos perodos () perodos perodos perodos perodos ()

16 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo perodos perodos perodos perodos (3) n n = perodos + F, perodos+ = payoff (, perodos+ ), =,, perodos perodos res- perodos en perodos columna perodos perodos - 4 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

17 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO locarla en la columna perodos 4 j 4 j 3 na perodos 4 j 4 4 j con perodos j,..., perodos 4 perodosn perodos n perodosn j j n en las perodosn perodosn perodosn j j con perodos j,..., perodosn t Fgura 4. Cada línea representa los valores que toma cada vector de la matrz. Fuente: Elaboracón propa en Matlab. IN versón dgtal, IN versón mpresa 43

18 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo.4 Método bnomal alternatvo - F - t t t Fórmula para el promedo más grande y más pequeño que alcanza un nodo: camno - j el 44 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

19 Estocástca: FINANZA Y RIEGO IN versón dgtal, IN versón mpresa 45 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas 3 j j j j (4) j j j j j j j j (5) Fgura 5. Trayectora de promedo más grande. Fuente: Elaboracón propa en Matlab.

20 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo 3 j j j j j j j (6) j j j 3 j j j j j j j j n n payoff de los n uno de los n ave payoff ave ave r e t p p) ( (8) 46 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

21 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO la n,, n.5. Método de smulacón Montecarlo average strke o average prce, put call - - (average prce o average strke - payoff un payofft - payoff payoff nformes, semllas del generador basadas en la hora actual, multplcatvo de Fbonacc, normales, combnacón recursva múltple, etcétera. IN versón dgtal, IN versón mpresa 47

22 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo - payoff- payoff payoff - d rdt dz (9) t t t t t t t ˆ t t t t t t t ˆ (3) t t r q t t t t t donde dzr - t donde (t) - t al ser calculado desde el valor ncal de t t usando N ln d ln ˆ dt dt (3) 48 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

23 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO ln ˆ t t ln t t t (3) t t t e t t t t t r q t t e (33) ln Fgura 6. Comparacón de las dos formas de modelar la trayectora del subyacente. Fuente: Elaboracón propa en Matlab. IN versón dgtal, IN versón mpresa 49

24 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo ln (34) T ln T T T t T T e T T r q T T e (35) ()(T) - - Algortmo smulacón Monte Carlo (Haug, 6) X T perodos trayectorasrq contpayoffs n trayectoras s= ave = m T T s s( r q) s aleatoronormal(,) perodos (36) perodos 5 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

25 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO aleatoronormal ave - ave ave * ( perodo ) s perodo (37) perodo payoffcontador contador = contador + payoff contador rt e trayectoras Fgura 7. mulacón de dez trayectoras (líneas), con su promedo acumulado (líneas punteadas). Fuente: Elaboracón propa en Matlab..6 Método explícto dferencal fnto IN versón dgtal, IN versón mpresa 5

26 Estocástca: FINANZA Y RIEGO 5 olumen 7, número, enero - juno 7, pp Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo t cuando t k T t t h t h t lím h,,, (38). t t t k k, (39) - k k (4) k k k t, (4) Black-choles r r t (4) r r t k k k k k k k k t, O (43) donde t, O

27 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO k k k k k k k k r r t (44) k Fgura 8. Obtencón de k k k a partr de, y. Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Condcón de salto: I I I t t t t r r (45) I - IN versón dgtal, IN versón mpresa 53

28 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo t t t I, t, I t,, (46) I, t, F, I,,, t (47) de II e I e I, I, t e I; es e I t se, A, t, A, t ), A, ( (48) t payoff 3. Resultados olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

29 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO 3. Aplcacones de los métodos bnomales call- Fgura 9. Gráfca de tempo contra preco del método bnomal con matrces (gráfca ntermeda), bnomal con recursvdad (gráfca nferor) y el preco obtendo con fórmula (gráfca superor). Fuente: Elaboracón propa en Matlab Tabla. Estmacón del valor de una opcón call europea, con preco promedo geométrco del subyacente, utlzando los métodos bnomal matrcal y bnomal recursvo (tempo de corrda y preco obtendo). Bnomal matrcal Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : : : : : (Contnuacón) IN versón dgtal, IN versón mpresa 55

30 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Bnomal matrcal Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Fgura. Precos contra tempo del método alternatvo (gráfca superor) y el preco con fórmula (gráfca nferor). Fuente: Elaboracón propa en Matlab 56 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

31 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Tabla. Estmacón del valor de una opcón call europea, con preco promedo geométrco del subyacente, utlzando el método Bnomal Alternatvo (tempo de corrda y preco obtendo). Bnomal alternatvo mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : :.88. :..977 : : : : : : :.4 3,8.867 Fuente: Elaboracón propa en Matlab. - IN versón dgtal, IN versón mpresa 57

32 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Fgura. Preco contra tempo del modelo bnomal recursvo (gráfca nferor) y el preco con fórmula (gráfca superor). Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Tabla 3. Estmacón del valor de una opcón call europea, con preco promedo geométrco del subyacente, utlzando el método Bnomal Recursvo (tempo de corrda y preco obtendo). Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : : : : : (Contnuacón) 58 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

33 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco : : : : Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Fgura. Preco contra tempo del método bnomal alternatvo (gráfca superor), el método bnomal recursvo (gráfca nferor) y el preco con fórmula (obscura). Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Tabla 4. Estmacón del valor de una opcón call europea, con preco promedo geométrco del subyacente, utlzando el método bnomal alternatvo y el bnomal recursvo (tempo de corrda y preco obtendo). Bnomal alternatvo Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : (Contnuacón) IN versón dgtal, IN versón mpresa 59

34 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Bnomal alternatvo Bnomal recursvo mn:seg.mlseg Preco mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : :.88. : :..977 : : : : : : : : : : : : : :.4 3,8.867 : Fuente: Elaboracón propa en Matlab. 3. Aplcacones del método smulacón Montecarlo call strke Fgura 3. mulacón de preco promedo, call, europea, promedo artmétco, preco del subyacente:, tempo del perodo: un año, preco strke:, r =.5, =.5. Preco vs tempo de ejecucucón Preco :::3 ::: :::6 :::5 :::3 :::63 :::78 :::4 :::34 :::38 :::56 :::688 :::969 :::8 :::73 :::3 :::88 ::3:579 Tempo de ejecucón Fuente: Elaboracón propa en Matlab. ::4:4 ::5:4 ::6:594 ::7:969 ::9:547 :::66 ::3:36 ::5:938 ::8:78 :::47 ::4:9 ::7:73 ::3:65 ::35:844 ::4:96 ::45:735 :3:4:83 :4:4:765 6 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

35 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Tabla 5. Estmacón del valor de una opcón call europea, con preco promedo artmétco del subyacente, utlzando el método Montecarlo, preco strke (tempo de corrda y preco obtendo). Montecarlo mn:seg.mlseg Preco : : : : : : : : : : : : : : : : : Fuente: Elaboracón propa en Matlab. strke- put o call - put o call, IN versón dgtal, IN versón mpresa 6

36 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo Fgura 4. mulacón de preco promedo, call, europea, promedo artmétco, preco del subyacente:, tempo del perodo: un año, preco strke: 8, r =.5, =.5. Preco vs trempo Preco ::: ::: ::: :::6 :::6 :::47 :::78 :::5 :::34 :::38 :::5 :::73 ::4:46 :::968 :::359 :::75 :::4 :::844 ::3:578 Tmepo Fuente: Elaboracón propa en Matlab. ::5:437 ::6:656 ::7:984 ::9:64 :::375 ::3:38 ::5:74 ::8:66 :::5 ::4:5 ::7:88 ::3:766 ::36:6 ::4:97 ::45:875 Tabla 6. Comparacón de modelos de la estmacón del valor de una opcón call europea, con promedo artmétco, preco del subyacente, tempo del perodo: un año, preco strke: 8, r =.5, =.5. Aproxmacón Levy s Bnomal Turnbull y Wakeman Fuente: Elaboracón propa en Matlab. Conclusones - 6 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

37 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO - - n IN versón dgtal, IN versón mpresa 63

38 Estocástca: FINANZA Y RIEGO Nora Gavra urón y Julo Irvng Agular Galndo - - Referencas bblográfcas Journal of Bankng y Fnance, - Invest- IB Taurs - Journal of Fnancal Economcs. - Boletín Económco de ICE, - Revsta Electrónca de Comuncacones y Trabajos de AEPMA, IEE Busness chool,. 64 olumen 7, número, enero - juno 7, pp. 7-66

39 Métodos numércos para cálculo de la prma de opcones asátcas Estocástca: FINANZA Y RIEGO Journal of Bankng y Fnance, - Boletín económco de ICE, Informacón Comercal Española, The Complete Gude to Opton Prcng Formulas.-, Journal of Internatonal Money and Fnance, - - In Proc. of 4th Actuaral Approach for Fnancal Rsks Internatonal Colloquum - Contaduría y Admnstracón, - Revsta Española de Fnancacón y Contabldad, - Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, IN versón dgtal, IN versón mpresa 65

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