D.S.F. TP Trabajo Práctico Nº 4: "Análisis de sistemas no lineales en el espacio de estados: Puntos de equilibrio" PLL (Phase Locked Loop)

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1 UNR- Ingenería Trabajo Práctco Nº 4: "Análss de sstemas no lneales en el espaco de estados: Puntos de equlbro" PLL (Phase Locked Loop) TP04.98 Depto. de Electrónca D.S.F. Dnámca de los Sstemas Físcos A-444 / E Objetvos Estudar la respuesta dnámca de un sstema no-lneal (ΣNL) de nterés práctco medante un enfoque metodológco teórco y expermental-numérco. Medante técncas de lnealzacón se analzará el comportamento local del ΣNL alrededor de sus puntos de equlbro. Medante smulacón dgtal se analzará el comportamento global del ΣNL. El empleo combnado de técncas de análss teórcas y matemátco-expermentales consttuye una metodología muy efectva para entender la dnámca de muchos ΣNL habtuales en la práctca ngenerl. 2. Lazo enganchado en fase / Phase Locked Loop (PLL) 2.1. Introduccón El PLL es un crcuto electrónco que aparece en la década de 1930 en aplcacones de rado y posterormente en sncronzacón de radares. Desde entonces, el desarrollo de las comuncacones sateltales y dversos procesos dgtales mpulsó su uso, nvestgacón y perfecconamento tecnológco. Actualmente exsten versones ntegradas amplamente dfunddas de PLL, como lo son [4], [5] : LM565 de NATIONAL (versón analógca) CP4046 de MOTOROLA (versón dgtal) Algunas aplcacones más comunes de PLL se encuentran en : sncronzacón de datos modems demodulacón FM síntess de frecuenca decodfcacón de tonos multplcacón y dvsón de frecuenca recepcón telemétrca regeneracón de señales demodulacón coherente Pueden verse algunas de estas aplcacones en [1], [2] y [7]. En [3] hay una recoplacón de artículos publcados sobre aplcacones y análss más avanzados de PLL Funconamento Un PLL es capaz de generar una señal alterna - senodal o cuadrada- de gual frecuenca y fase que la señal que recbe a su entrada. De esta forma, s se producen varacones de fase o frecuenca en la señal de entrada, la salda del PLL tende a segurlas. Esta consttuye la propedad de sncronsmo del PLL. En ausenca de señal de entrada, la salda oscla a la frecuenca de régmen ω c del dspostvo. Los componentes báscos de un PLL son los sguentes : Un detector de fase DF (o detector sncrónco) Un fltro cuya funcón es la de controlador del lazo realmentado (mejora la respuesta del lazo medante crteros de performance [6]) Un osclador controlado por tensón VCO tp-pll.doc DSF TP / 5

2 En la fgura 1 se muestra la estructura básca del PLL. Fgura 1. Estructura básca de un PLL. El detector de fase está compuesto por en multplcador, que hace el producto de las dos señales de entrada, y de un fltro pasa bajos, cuya funcón es la de elmnar las componentes de alta frecuenca provenentes de la salda del bloque producto. La fgura 2 muestra un dagrama del msmo. Fgura 2. Esquema detallado del DF 2.2. Formulacón de un MM del PLL. Consderando las señales de entrada y salda respectvamente : Xc() t = V 2 sen( ϕ ()) t con: Xf () t = Vo 2.cos( ϕo ()) t ϕ (t) : fase de la señal de entrada. ϕ o (t) : fase de la señal de salda. y suponendo V y Vo constantes, se formulará un MM del PLL tomando las fases de las señales como varables de nterés. De la fgura 2, la salda del bloque multplcador del detector de fase DF es : Xm ( t) = 2 V Vo sen( ϕ ( t)) cos( ϕo ( t)) = V Vo (sen( ϕ ϕo ) + sen( ϕ + ϕ o )) El fltro pasabajos atenúa la señal de alta frecuenca, resultando a la salda del DF : ( ) Xe() t = Kd V Vo sen ϕ () t ϕ o () t con Kd=constante del detector El VCO (osclador controlado por tensón) genera una señal armónca de argumento (fase) ϕ 0 : ϕ = θ + dt 0 0 ω0 θ 0 : ω 0 : desfasaje propo frecuenca nstantánea, suma de la frecuenca central ω c más una componente proporconal al valor nstantáneo de la tensón de entrada. ωo dϕ = o = K ω dt V Xe() t + c tp-pll.doc DSF TP / 5

3 A partr de estas ecuacones y suponendo que el fltro controlador es un PI de transferenca 1 s F()= s + τ1 τ2 s y agrupando constantes en K = Kv.Kd.V.Vo, puede formularse el MM smplfcado de la Fgura 3. Fgura 3. DBN smplfcado del PLL A partr del DBN de Fgura 3 y defnendo φ = ϕ - ϕo como el error de fase y ω = ω - ωc frecuenca de entrada referda a la de régmen del PLL, se llega a la EDO sguente : Kτ φ + 1 K (cos φ) φ+ senφ = ω τ 2 τ 2 3. Desarrollo El desarrollo del trabajo práctco consste en un estudo dnámco del PLL utlzando como MM la EDO deducda en la seccón anteror. Este estudo se dvde en dos partes : 1) Dnámca local : Análss teórco de la dnámca en el espaco de estados del PLL alrededor de sus puntos de equlbro a través de lnealzacón de su MM. Dseño del fltro controlador para determnar las característcas dnámcas de la respuesta del PLL a partr de su MM lnealzado. 2) Dnámca global : Análss expermental de la dnámca del PLL en todo el espaco de estados a través de la smulacón dgtal de su MM. Deberán compararse los resultados teórcos con los obtendos expermentalmente, justfcando las conclusones extraídas Dnámca local Deberá realzarse un estudo del comportamento en el espaco de estados del MM del PLL en las cercanías de sus puntos de equlbro consderando entrada nula (ω(t) 0). Para ello deberán obtenerse : a) Puntos de equlbro del PLL. b) Modelos ncrementales lnealzados del PLL alrededor de sus puntos de equlbro. c) Para los sguentes valores numércos de un PLL comercal X-R215 : Kd= 2 rad/v Kv = rad/vs V =Vo=10 mv Calcular todos los parámetros del fltro PI sntetzado medante un amplfcador operaconal que se ndca en la fgura 4, de forma que el PLL tenga las sguentes característcas dnámcas : tp-pll.doc DSF TP / 5

4 2 ξ 2 t µ r 5% 300 alrededor de sus puntos de equlbro estable. τ1 Fs A s + 1 () = τ 2 A R 4 = ; τ1 = R1. C2; τ2 = R2. C2; R3 Fgura 4. PI mplementado con AO d) Plano de fase de los modelos ncrementales para dstntas condcones ncales, dentfcando el tpo de sngulardad en cada uno de los puntos de equlbro consderados Dnámca global Deberá obtenerse un plano de fase global del PLL medante smulacón dgtal de su MM, de forma de conocer la evolucón del sstema a partr de condcones ncales en todo el espaco de estados. Analzar sobre el ΣNL s se cumplen las especfcacones de dseño del punto 3.1.c). Justfcar conclusones. 4. Referencas [1] C. Etchart, D. Svampa, Demodulador Costas, Monografía de regularzacón, Comuncacones Electróncas, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, 1991 [2] Colombett, Análss del PLL 4046, Proyecto de Ingenería Electrónca, FCEIyA, UNR. [3] W. Lndsey, M. Smon, Phase-Locked Loops & ther applcaton, IEEE Press, (En bbloteca del Dpto. de Electrónca) [4] Lnear Handbook, Natonal Semconductor. [5] Lnear Handbook, Motorola. [6] Wolf J. Gruen, Theory of AFC synchronzaton, IEEE Press, (En bbloteca del Depto. de electrónca). [7] Industral Electroncs Handbook, Phase-Locked Loop-Based Control pp (En bbloteca del Depto. de electrónca). tp-pll.doc DSF TP / 5

5 5. Bblografía S. Junco, Retratos de fase de un sstema lbre de segundo orden, A03C10.95 Apunte de DSF, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, J. C. Gómez: Sstema presa-depredador, EFT02.91, Apunte de DSF, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, S. Junco, J. C. Gómez, Lnealzacón de sstemas dnámcos, A01C06.91, Apunte de DSF, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, S. Junco, Solucón de la Ecuacón de Estado, A01C10.88, Apunte de DSF, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, Optatvo. S. Junco, A01C11.88: La respuesta de modelos lneales estaconaros, Apunte de DSF, Dpto. de Electrónca, FCEIyA, UNR, Optatvo. ANEXO 1 Para facltar el desarrollo de las smulacones para obtener los planos de fases se recomenda : Crear un archvo tpo Scrpt de MATLAB que contenga el sguente lstado de nstruccones : fgure(1) clf hold on for =1:sze(X0,1), %X0 es el vector de c.. (X0: n x 2) donde n es %el número de c.. desde las cuales se desea %smular. x10=x0(,1); x20=x0(,2); sm modelo %x10 y x20 son las c.. delos nt del %modelo en Smulnk %nvoca al modelo para la smulacón plot(salda1,salda2,'b') %grafca la trayectora. %salda1,2 son saldas a Workspace del %modelo Smulnk end tp-pll.doc DSF TP / 5