SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD. ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL

Transcripción

1 UNIVERSIDAD AUÓNOMA DEL ESADO DE MÉICO ACULAD DE INGENIERÍA NOVIEMBRE 08 SISEMAS DE MÚLIPLES GRADOS DE LIBERAD. ANÁLISIS MODAL ESPECRAL ELABORADO POR ING. DAVID GUIÉRREZ CALZADA NOVIEMBRE DE 08

2 ÍNDICE Introduccón Objetvos del tema 4 Aprendzajes prevos 4 Desarrollo del tema 5 - Sstemas de varos grados de lbertad 5 - Ejemplo 8 BIBLIOGRAÍA Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

3 INRODUCCIÓN El presente documento contene el desarrollo escrto del tema Sstemas de mltples grados de lbertad y análss modal espectral; tema que forma parte del tema, Dnámca Estructural, dentro del programa de estudo de la undad de aprendzaje de Análss Estructural. El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un edfco de varos grados de lbertad, la obtencón de la ecuacón dnámca, las frecuencas, modos de vbrar y un análss modal espectral utlzando las Normas écncas Complementaras de Dseño por Ssmo de la Cudad de Méxco, publcadas en 07. El tempo dedcado al desarrollo en el aula es de tres a cuatro sesones de dos horas cada una. Destnando dos clases para la teoría fundamental y dos clases para ejerccos. Cabe aclarar que en el desarrollo delos ejerccos se hace nuevamente referenca a la parte teórca fundamental. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

4 Objetvos del tema Los objetvos corresponden de manera general a los de la undad, por lo que este tema cumple parcalmente a los msmos, ya que no está destnado el objetvo como uno específco, sendo: - Obtener la respuesta de sstemas dnámcos de varos grados de lbertad, sometdos a dferentes tpos de exctacones. Aprendzajes prevos requerdos Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adqurdo los conceptos fundamentales de la respuesta de sstemas dnámcos de un grado de lbertad, así como la obtencón de espectros de respuesta. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 4

5 DESARROLLO DEL EMA Sstemas con varos grados de lbertad Para realzar un análss dnámco de un edfco, se puede dealzar por medo de un modelo de masas y resortes (gura.) concentrando la masa en las losas de cada entrepso, (al tener la mayor cantdad de peso concentrado en la losa en cada pso), además se consdera a la losa como un dafragma nfntamente rígdo, donde las masas sólo admten traslacones horzontales. En este modelo, ncamente las columnas aportan rgdez (sempre que la losa se pueda comportar como un dafragma rígdo, en caso contraro se debe consderar la rgdez de la losa y de las trabes que aportan a la rgdez de entrepso). Este modelo se conoce como edfco de cortante, donde no exsten rotacones de una seccón horzontal, es decr, los gros en la parte superor de las columnas son nulos y que su deformacón axal es desprecable. m n x (t) n m n x (t) n m x (t) m k + x (t) k m x (t) m x (t) m x (t) m k x (t) k a (t) a (t) gura.. Modelo de masas y resortes sn amortguamento Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 5

6 Donde el nmero de nveles representa los grados de lbertad en esa dreccón, y los valores de x representan los desplazamentos horzontales de cada masa. Obsérvese que en el modelo no exste amortguamento. Consderando un amortguamento de tpo vscoso (proporconal a la velocdad), se tenen un modelo que consdera la fuerza nercal (de las masas), la fuerza resttutva (del resorte) y la de amortguamento (gura.). m n x (t) n c n k + (x +-x ) H c m k k + x (t) m (x + a(t)) m k + k c x m x (t) k (x -x - ) c m k x (t) c k a (t) gura.. Modelo de masas y resortes con amortguamento vscoso Planteando el equlbro dnámco, se obtenen ecuacones del tpo de forma matrcal, para todo el sstema donde ( ) ( ) ( ) mx!! + c x! + k + k x -k x - kx =-ma t M { }!!x + C { }!x + K x = M a(t) es un vector columna con todos sus elementos guales a la undad. Las matrces se denotan entre corchetes [ ], mentras que los vectores con llaves {} o ben con una línea en la parte superor. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 6

7 M = m m m m n K = k + k k 0 0 k k + k k 0 k k + k + k n Sendo [M] y [K] las matrces de masa y rgdez. Obsérvese que la matrz de rgdeces está acoplada (tenen en algunos de sus elementos rgdeces de dferentes entrepsos). Modelo de grados de lbertad Consderando un modelo de dos grados de lbertad y planteando su equlbro dnámco para cada una de las masas, sn consderar amortguamento, se tene: (!!!! ) (! ) ( ) ( ) m x x c x k x k x x + s = 0 (!!!! ) (! ) ( ) m x x c x k x x + s = 0 sn consderar amortguamento, se tene: (!!!! ) ( ) ( ) m x x k x k x x + s = 0 (!!!! ) ( ) m x x k x x + s + - = 0 En forma matrcal M!!x + K x =!!x s M { } Se obtene un arreglo de matrces cuadradas de [x], donde la matrz de masas tene elementos en la dagonal, mentras que la de rgdeces tene elementos fuera de la dagonal. Se dce que las ecuacones están acopladas. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 7

8 Para resolver este sstema de ecuacones dferencales es necesaro realzar una transformacón de coordenadas, medante valores característcos, para poder dagonalzar y desacoplar a [K], utlzando las sguentes ecuacones de transformacón x = Φ y!x = Φ!y!!x = Φ!!y Donde es la matrz modal, x es la coordenada de las masas y y son las coordenadas productos de las transformadas. Susttuyendo se obtene M Φ!!y + K Φ y =!!x s M { } Premultplcando por Defnendo a y Φ se tene que M M M K Φ *!!y + K Φ!!y + Φ * = Φ * = Φ M Obtenéndose ecuacones del tpo m * y + k * y = f * K * y = Φ K Φ Φ Φ y =!!x s Φ M { }!!x s M { } donde las ecuacones ya se encuentran desacopladas. Y la respuesta total del sstema se obtene por medo de una superposcón modal x = Φ y x = Φ y + Φ y donde Φ = Φ Φ Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 8

9 Las funcones obtendas no dependen del tempo y corresponden con la suma de las máxmas respuestas modales. Estas respuestas resultan conservadoras, puesto que consdera que las máxmas respuestas de todos los modos ocurren en el msmo nstante de tempo. Una vez obtenendo la matrz modal, se puede normalzar esa matrz, de tal forma que al hacer se obtendrán valores untaros. Normalzando los modos. Se consdera Multplcando por [ M ] Armando la matrz modal normalzada Verfcando que son matrces dagonales actores de partcpacón se obtene una matrz dagonal Identdad se obtene una matrz dagonal con elementos Cuando se utlzan los vectores normalzados, Seudoaceleracón Sa # = a # g ém * ù 0 m * 0 0 * = 0 0 m * 0... ë mn * û cada vector modal * m n = * [ ]... Desplazamentos totales de cada masa para cada modo Desplazamentos relatvos se calcula la dferenca entre nveles consecutvos. El desplazamento real se obtene multplcando por Q y R calculado. Regla de Rosenblueth. Valor esperado E(s) = *s +, + s,, + + s /, m n = éë n n nùû [ ] [ M ][ ] n [ ] [ K][ ] n n n [ M ] { } [ M ] n. P. = n n n [ M ] = n ( ) w P.. Sa = w n Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 9

10 Ejemplo Consdere el sguente modelo estructural. Calcule las frecuencas, perodos y formas de vbrar. gravedad=98cm/s Datos: W=4.576ton k=.768 ton/cm W=4.576ton k= ton/cm W=0.57ton k= ton/cm W4= ton k4= ton/cm La matrz de masas y rgdeces son: [ K] [ M ] ém ù é ù 0 m = = ton. s / seg 0 0 m ë m4 û ë û ék+ k -k 0 0 ù é ù - k k + k -k = = ton / cm 0 - k k+ k4 -k ë 0 0 -k4 k4 û ë û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 0

11 Realzando K ω M = 0, y utlzando ω = φ queda como: [ K] w [ M] [ K] f[ M] - = - = 0 é f ù f = = f ë f û Por lo que el determnante: E f f f f = 0 Cuyas solucones son (ordenando de menor a mayor): w = rad seg w = rad seg w = rad seg 4 w = rad seg Ahora obtenemos las sguentes frecuencas crculares: w = 9.57 rad seg w = 5.94 rad seg w = rad seg w 4 = rad seg Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

12 Obtenéndose así los sguentes perodos con = π : ω = seg = 0.484seg = seg 4 = 0.458seg Para calcular los modos de vbracón, se susttuye cada uno de los valores de en la ecuacón matrcal ( K ω M )Φ = 0. Para el prmer modo: Utlzando ω ([ K] w [ M] ) - =, se llega al sguente sstema homogéneo de ecuacones: ( ) é ùæ, ö ( ) , = ( ) ç, ë ( ) ûè 4, ø é ùæ, ö æ0ö , 0 = = ç, ç ë - ûè4, ø è0ø æ 70.08, , ö æ0ö , +.965, , 0 = = ç , , , ç 0 ç , è - + 4, ø è0ø Proponendo un valor para f =, (Recuerde que este sstema no tene solucón nca, dado que el determnante de este sstema es cero, tenendo una nfndad de solucones) se obtene f, =.4, f, =.5y f 4, = 4.0 = é ù.4.5 ë4.0û ω Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

13 Para el segundo modo: Utlzando w, se llega al sguente sstema homogéneo de ecuacones: ([ K] w [ M] ) - = ( ) é ùæ, ö ( 69.8) , = ( 69.8) ç, ( 69.8) ç ë è û 4, ø é ùæ, ö æ0ö , 0 - = = ç, ç ë - ûè4, ø è0ø ([ K] w [ M] ) æ , , ö æ0ö , 47.94, ç - + -, 0 = ç , , , ç 0 ç ,.6507 è - + 4, ø è0ø Proponendo un valor para f =, (Recuerde que este sstema no tene solucón nca, dado que el determnante de este sstema es cero, tenendo una nfndad de solucones) se obtene f, =.4, f, =-0.087y f 4, =-.48 = é ù ë-.480û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

14 Para el tercer modo: Utlzando w, se llega al sguente sstema homogéneo de ecuacones: ([ K] w [ M] ) - = ( ) é ùæ, ö ( 7.877) , = ( 7.877) ç, ( 7.877) ç ë è û 4, ø é ùæ, ö æ0ö , 0 - = = ç, ç ë - - ûè4, ø è0ø ([ K] w [ M] ) æ , , ö æ0ö , 5.69, ç - - -, 0 = ç , , , ç 0 ç , 6. è - - 4, ø è0ø Proponendo un valor para f =, (Recuerde que este sstema no tene solucón nca, dado que el determnante de este sstema es cero, tenendo una nfndad de solucones) se obtene f, =-0.095, f, =-0.99y f 4, = 0.97 = é ù ë 0.97 û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 4

15 Para el cuarto modo: Utlzando w, se llega al sguente sstema homogéneo de ecuacones: 4 ([ K] w [ M] ) - = 4 4 ( ) é ùæ,4 ö ( 857.6) ,4 = ( 857.6) ç, ( 857.6) ç ë è û 4,4 ø é ùæ,4 ö æ0ö , = = ç,4 ç ë - - ûè4,4 ø è0ø ([ K] w [ M] ) æ , ,4 ö æ0ö , , ç - - -,4 0 = ç ,4-8.98, ,4 ç 0 ç , è - - 4,4 ø è0ø Proponendo un valor para f =,4 (Recuerde que este sstema no tene solucón nca, dado que el determnante de este sstema es cero, tenendo una nfndad de solucones) se obtene f,4 =-.048, f,4 = 0.87y f 4,4 = = é ù ë-0.475û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 5

16 Armando la matrz modal é ù =é ù= ë û ë û [ ] 4 Dbujando las formas modales Modo Modo Modo Modo 4 Obtenendo la matrz Obtenendo la matrz [ K ] M [ M ] K * = Φ M Φ é ù * = ë û * = Φ K Φ é ù * = ë û y Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 6

17 Normalzando los modos. Consderando Multplcando por m * = m * = m * = m * = cada vector modal * m æ0.496ö ç.04 n = = m.744 * è.9958ø æ.070 ö ç.754 n = = m 0.40 * ç - è-.957ø æ.677 ö ç n = = m.6640 * ç - è.6 ø æ.5880 ö ç n = 4 = m * è ø Armando la matrz modal normalzada é ù =é ù= ë û ë û [ ] 4 n n n n n Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 7

18 Verfcando que son matrces dagonales [ ] [ M ][ ] n [ ] [ K ][ ] n n é 0 0 0ù = se obtene una matrz dagonal untara ë0 0 0 û é ù = matrz dagonal conw en la dagonal ë û n M actores de partcpacón. P. = M Consderando los datos sísmcos del archvo anexo. Seudoaceleracón(modo ) Desplazamento (modo ) n n [ ] { } [ ] P..= P..= P..= P..4= Sa = a g ( ) P.. Sa = w n n Desplazamentos de entrepso (modo ) = é ù édù - D D = = - D - D ë 4 û ë 4û ék ù K Rgdeces de entrepso = K = K ëk4 û Cortantes de entrepso (modo ) = V ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) é ù évù V = = V ë4 4 û ëv4û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 8

19 Modo (modo fundamental): actor de partcpacón modal = Perodo = = seg Aceleracón espectral en funcón de g = a = 0. actor de comportamento sísmco = Seudoaceleracon= Desplazamentos totales = éd ù é0.4898ù D Desplazamentos de entrepso= D = = cm D 0.5 ëd 4û ë0.484û ék ù é.768ù K Rgdeces de entrepso = K = = ton K ëk4 û ë û Cortantes de entrepso = V Modo : actor de partcpacón modal = Perodo = = 0.484seg P.. = Sa = cm s Q = Aceleracón espectral en funcón de g = a = 0.04 actor de comportamento sísmco = Q = é ù é0.4898ù.890 = = cm.7 ë 4û ë.9705û év ù é54.709ù V = = ton V ëv4û ë5.404û P.. = 0.86 Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 9

20 Seudoaceleracon= Desplazamentos totales = éd ù é ù D Desplazamentos de entrepso= D = = cm D ëd 4û ë û ék ù é.768ù K Rgdeces de entrepso = K = = ton K ëk4 û ë û Cortantes de entrepso = V Modo : actor de partcpacón modal = Perodo = = seg Aceleracón espectral en funcón de g = a = actor de comportamento sísmco = Seudoaceleracon= Desplazamentos totales = Sa = 8.08 cm s é ù é ù = = cm ë 4 û ë-0.086û év ù é ù V.0 = = ton V ëv4 û ë û P.. = 0.65 Sa = cm s Q = éù é ù = = cm ë 4û ë 0.07 û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 0

21 édù é ù D Desplazamentos de entrepso= D = = cm D ëd 4û ë û ék ù é.768ù K Rgdeces de entrepso = K = = ton K ëk4 û ë û Cortantes de entrepso = V Modo 4: actor de partcpacón modal = Perodo = 4 = 0.458seg Aceleracón espectral en funcón de g = a 4 = actor de comportamento sísmco = Seudoaceleracon= Desplazamentos totales = éd4 ù é ù D Desplazamentos de entrepso= D 4 = = cm D ëd 44û ë-0.009û ék ù é.768ù K Rgdeces de entrepso = K = = ton K ëk4 û ë û évù é.9875 ù V -.64 = = ton V ëv4û ë.675 û Sa 4 = 0.75 cm s 4 P..4 = Q = é4 ù é ù = = cm ë 44 û ë û Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

22 Cortantes de entrepso = V 4 év4 ù é ù V = = ton V4.07 ëv44û ë-0.675û Para que se pueda utlzar SRSS, es necesaro que la dferenca entre los perodos sea mayor al 0% Dferenca en porcentaje entre el perodo y el perodo = 6.40% Dferenca en porcentaje entre el perodo y el perodo =.77% Dferenca en porcentaje entre el perodo 4 y el perodo = 4.006% Los porcentajes de dferenca son mayores del 0%, entonces es adecuado utlzar la regla SRSS (regla de Rosenblueth) Valor esperado de la accón (regla de Rosenblueth): Cortantes estmados ( ) E S æ ö modos = ç å S j j= è ø V = V + V + V + V estmado 4 ( ) ( ) ( ) ( ) V estmado = V estmado = ton V = V + V + V + V estmado 4 ( ) ( ) ( ) ( ) V estmado = V estmado = ton V = V + V + V + V estmado 4 ( ) ( ) ( ) ( ) V estmado = V estmado = ton V = V + V + V + V estmado ( ) ( ) ( ) ( ) V estmado4 = V estmado4 = 6.79 ton Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

23 Desplazamentos totales estmados = total. estmado 4 total. estmado = 0.49 cm = total. estmado 4 total. estmado =.9 cm = total. estmado 4 total. estmado =.7 cm = total. estmado total. estmado 4 =.977 cm Desplazamentos de entrepso estmados = D +D +D +D entrepso. estmado 4 entepso. estmado = 0.49 cm = D +D +D +D entrepso. estmado 4 entepso. estmado = cm = D +D +D +D entrepso. estmado 4 entepso. estmado = cm = D +D +D +D entrepso. estmado entepso. estmado4 = cm Nota: alta obtener los valores esperados reales para comparar con los desplazamentos permsbles por ssmo de acuerdo a las NCDS07 de la CDM. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna

24 BIBLIOGRAÍA Bazán/Mel, R. (999). Dseño Sísmco de Edfcos, Lmusa Norega Edtores, Méxco. D.. Curel, G. (000). Dnámca Estructura Smplfcada, Méxco, D.. Goberno de la Cudad de Méxco, (07). Normas éncas complementaras, Méxco, CDM. Gutérrez, D. (08). Apuntes de clase, Análss Estructural. UAEMex, Méxco Mel, R. (99). Dseño Estructural, Lmusa Norega Edtores, Méxco. D.. Plan de estudos de la Lcencatura en Ingenería Cvl, plan, 004, UAEMex, Méxco. Sáez, (000). Estructuras III. Arqutectura de Sevlla., España Valdés, J. (004). Apuntes de la clase de Ingenería sísmca, Maestría, UAEMex, Méxco. Sstemas de mltples grados de lbertad [6.nov.08] Ing. Davd G.C. Págna 4