Revista de Ingeniería Sísmica ISSN: X Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica México

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1 Revsta de Ingenería Sísmca ISSN: X Socedad Mexcana de Ingenería Sísmca Méxco Escobar Sánchez, José Alberto; Magno Csneros, Carlo; Gómez Martínez, Roberto Evaluacón de crteros de dseño por torsón sísmca estátca para edfcos de varos psos Revsta de Ingenería Sísmca, núm. 71, ulo-dcembre, 004, pp Socedad Mexcana de Ingenería Sísmca Dstrto Federal, Méxco Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalyc.org Sstema de Informacón Centífca Red de Revstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, desarrollado bao la ncatva de acceso aberto

2 Revsta de Ingenería Sísmca No (004) EVALUACIÓN DE CRITERIOS DE DISEÑO POR TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA PARA EDIFICOS DE VARIOS PISOS José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez (1) RESUMEN Se presenta una evaluacón de dferentes propuestas para reducr la cantdad de cálculos en el análss por computadora de modelos trdmensonales de edfcos por torsón sísmca estátca. Fundamentalmente, se busca reducr lo laboroso del proceso del análss realzado con programas de cómputo al nclur la excentrcdad accdental. Se descrben las bases teórcas que dan orgen al análss por torsón sísmca estátca de estructuras de edfcos, se estudan propuestas recentes enfocadas a realzar este análss medante el uso de programas comercales de análss estructural, y se propone y evalúa un nuevo procedmento que, sn perder precsón en los cálculos, smplfca notablemente este tpo de análss. Se presentan eemplos en los que se aplcan las dferentes propuestas hechas y se dscuten sus ventaas y desventaas. SUMMARY An evaluaton of dfferent proposals to reduce the number of calculatons n the analyss of threedmensonal models of buldngs for statc sesmc torson s presented. Fundamentally what the proposals look for s to reduce the laborous of the process of analyss carry out wth computer programs when the accdental eccentrcty concept s ncluded. In the present work, the theoretcal bass of the analyss for statc sesmc torson of structures of buldngs are descrbed, and the most recent proposals focused to carry out ths analyss by means of the use of commercal programs of structural analyss are studed. A new procedure s proposed an evaluated that smplfes ths analyss type notably wthout losng precson n the calculatons. Fnally, the dfferent proposals are appled to two examples and the advantages and dsadvantages on ther use are dscussed. INTRODUCCIÓN A pesar de que exsten recomendacones explíctas al respecto, el análss de estructuras sometdas a torsón sísmca es un aspecto que algunos ngeneros pueden manear ntutvamente (Damy, 1989), con todas las desventaas que esta práctca puede mplcar. Para evtar lo anteror, se han propuesto métodos que smplfcan este tpo de análss. Debdo a sus característcas, el análss por torsón de estructuras se smplfcó de ser un problema dnámco a uno estátco. Aún más, debdo a lo laboroso del análss estructural de un modelo trdmensonal de una estructura, Artículo recbdo el 7 de septembre de 003 y aprobado para su publcacón el 4 de abrl de 004. Se aceptarán comentaros y/o dscusones hasta cnco meses después de su publcacón. (1) Insttuto de Ingenería, UNAM, Cudad Unverstara, Méxco, DF. ess@pumas.ngen.unam.mx; carlo_csneros@hotmal.com; rgom@pumas.ngen.unam.mx 63

3 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez la smplfcacón se enfoca al análss de estructuras planas. En la actualdad, la prolferacón de programas comercales para análss estructural permte llevar a cabo análss de modelos estructurales trdmensonales de edfcos sn mayor complcacón. Sn embargo, este aspecto no ha facltado el análss por torsón de edfcos. Uno de los factores fundamentales que lo complcan es la llamada torsón accdental, ocasonada por la excentrcdad accdental causada por dversas ncertdumbres que afectan tanto al movmento del suelo como a las propedades y característcas que conforman a los materales y elementos que ntegran a las estructuras. S se qusera segur al pe de la letra las recomendacones de los reglamentos para nclur la torsón accdental explíctamente en los análss estructurales de modelos trdmensonales de edfcos, la cantdad de cálculos por hacer sería muy grande, a pesar de que se hceran con la ayuda de una computadora. Una forma de resolver este problema consste en elaborar programas de análss de edfcos que ncluyan este aspecto automátcamente. Una forma más práctca de atacar este problema consste en desarrollar técncas que, utlzando programas de análss estructural exstentes, permtan nclur estos efectos. Actualmente exsten dferentes propuestas que fundamentalmente buscan reducr lo laboroso del proceso del análss por computadora de modelos trdmensonales de estructuras sometdas a torsón (Ávla, 1991; Goel y Chopra, 199; Escobar et al., 00, 004). En el presente trabao se descrben las bases teórcas que dan orgen al análss por torsón sísmca estátca de estructuras de edfcos. Para ello se estuda la dstrbucón en edfcos de las fuerzas cortantes entre los elementos resstentes de entrepso debdas a torsón sísmca y se analzan los factores que afectan la excentrcdad de dseño, entre ellas la excentrcdad accdental. Se dscuten las más recentes propuestas para realzar este análss medante el uso de programas comercales de análss estructural. Tambén se propone y evalúa un nuevo procedmento denomnado Procedmento Smplfcado de Dseño, PSD, que, sn perder precsón en los cálculos, smplfca notablemente este tpo de análss. Se demuestra que con el PSD propuesto, es sufcente un solo análss de la estructura trdmensonal, en cada una de sus dreccones ortogonales, para calcular las fuerzas de dseño en todos los elementos estructurales. Fnalmente, se presentan dos eemplos en los que se aplcan las dferentes propuestas hechas y se dscuten sus ventaas y desventaas. DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES POR TORSIÓN El cortante total Vtot en el -ésmo elemento resstente del -ésmo entrepso del edfco será la suma algebraca del cortante drecto Vd, y el cortante por torsón Vt, esto es Vtot Vd, ± Vt, (1) donde Vd k V () Σ k 64

4 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos en esta ecuacón V es el cortante en el -ésmo entrepso. El cortante por torsón para la dreccón X en el -ésmo elemento resstente será Vt M K θ k y (3) donde K θ k x + k y, es la rgdez torsonal del entrepso, x, y es la dstanca a un punto de referenca, M. es el momento torsonante de entrepso calculado como el producto del cortante de entrepso y la excentrcdad estructural o estátca e s. En edfcos de varos psos, el momento por torsón se puede calcular utlzando dos defncones de excentrcdad estátca (Cheung y Tso, 1986, Tso, 1990), como se dscute a contnuacón. Excentrcdad de pso. El momento de torsón T del -ésmo pso producdo por la fuerza sísmca lateral F y la excentrcdad de pso e s para cada una de las dreccones ortogonales del edfco se calcula como T F e s (4) donde la excentrcdad de pso se calcula como la dstanca entre el CM y CT correspondentes, esto es e e s s x y CM CM x y CT CT (5) Las coordenadas del CM del -ésmo pso se calculan como x y CM CM ΣP y ΣP ΣP x ΣP (6) donde P son las cargas vertcales en el pso, y x y y son sus coordenadas respecto a un punto de referenca. El momento de torsón M del entrepso, producdo por el ssmo en cada una de las dreccones X y Y se obtene sumando los momentos de torsón de todos los psos que se encuentran sobre éste n M (7) T m m donde n es el número de entrepsos. 65

5 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Para calcular la poscón del CT del pso se pueden utlzar los cortantes drectos de los elementos resstentes. Estos se pueden obtener al aplcar las fuerzas sísmcas laterales Fx y Fy, calculadas con un análss sísmco estátco o dnámco modal espectral, en los CM correspondentes, permtendo úncamente la traslacón de los psos. Así, las coordenadas del CT se calculan con las ecuacones sguentes x y CT CT Σ Σ ( Vdy Vdy ) Fy 1 ( Vdx Vdx ) Fx 1 x y (8) donde Vdx, Vdy son los cortantes drectos del -ésmo elemento resstente, y x y y son sus coordenadas respecto a un punto de referenca en las dreccones X y Y en el entrepso, respectvamente. Excentrcdad de entrepso. El momento de torsón M del -ésmo entrepso, para cada una de las dreccones ortogonales X y Y, se obtene drectamente como el producto de la fuerza cortante V y la excentrcdad de entrepso e s, esto es M V e (9) s La excentrcdad de entrepso para cada una de las dreccones ortogonales X y Y y se calcula como la dstanca entre el centro de cortantes, CC, y el centro de rgdeces CR del entrepso como e e s s x y CC CC x y CR CR (10) El CC depende de la dstrbucón de las fuerzas laterales en el edfco y sus coordenadas se calculan como x y CC CC Fy x Vy Fx y Vx CM CM (11) donde Fx y Fy, son las fuerzas sísmcas laterales aplcadas en los CM permtendo úncamente la traslacón de los psos; Vx y Vy son los cortantes del entrepso en las dreccones X y Y en el entrepso, respectvamente. 66

6 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Las coordenadas del CR se pueden calcular utlzando los cortantes drectos, esto es x y CR CR Σ Σ ( Vdy x ) Vy ( Vdx y ) Vx (1) o tambén con las rgdeces de los elementos resstentes como x y CR CR ( k x ) k ( k y ) k (13) En un estudo prevo (Escobar et al., 004), se aplcaron los conceptos de excentrcdad de pso y de entrepso al edfco de cnco psos estudado por Bazán y Mel (000) de la Fg. 1. Los resultados obtendos muestran que los valores de los momentos de torsón calculados con las dos defncones de excentrcdad estátca son práctcamente guales entre sí; las dferencas observadas se pueden atrbur a las operacones artmétcas que ntervenen en los cálculos. DISEÑO POR TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA Para consderar el efecto de la torsón sísmca, el Reglamento de Construccones para el Dstrto Federal, RCDF, permte llevar a cabo un análss estátco de las estructuras de edfcos (RCDF-95, 1995). Sn embargo, las solctacones que se obtenen de este análss son dferentes de las que resultan de un análss dnámco trdmensonal de las msmas. Para tomar en cuenta este efecto el RCDF permte utlzar factores de amplfcacón de la excentrcdad estátca. Por otra parte, los momentos de torsón en edfcos reales dferen de los obtendos en un análss dnámco debdo a factores no ncludos explíctamente (Rosenblueth, 1979). La manera de consderarlos en el dseño sísmco de estructuras es tomando en cuenta un momento de torsón adconal, denomnado momento por torsón accdental, el cual se calcula desplazando de su poscón orgnal, a la fuerza cortante que actúa en el entrepso, una certa cantdad denomnada excentrcdad accdental. Esta se expresa como un porcentae de la dmensón máxma de la planta de la estructura que es perpendcular a la dreccón del ssmo. 67

7 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Fgura 1. Edfco de cnco psos estudado por Bazán y Mel (000). Así, s se utlza el RCDF (RCDF-95, 1995), el cálculo de las fuerzas de dseño de los elementos resstentes del -ésmo entrepso, requere del cálculo del cortante drecto de dseño, Vd, con la ecuacón (), mentras que la fuerza cortante producda por la torsón sísmca se obtene del momento torsonante orgnado por la aplcacón del cortante de entrepso multplcado por una excentrcdad de dseño ed. Esta últma que puede adoptar los sguentes dos valores ed α e s + ßb ed δ e s - ßb (14) donde, α1.5 y δ1.0, son los factores de amplfcacón dnámca; ß0.1 es el factor de excentrcdad accdental, y b es la dmensón máxma en planta de la estructura, perpendcular a la dreccón de exctacón sísmca que se analza. De las ecuacones (14) se utlza como excentrcdad de dseño aquella que ocasone los efectos más desfavorables en cada uno de los elementos resstentes. Por lo tanto, las fuerzas cortantes de dseño debdas a la torsón del entrepso tomando en cuenta la excentrcdad de dseño, se obtenen de la dstrbucón del momento torsonante de acuerdo con la contrbucón de los elementos estructurales a la rgdez torsonal del msmo, esto es 68

8 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Vt k x K θ V ed (15) Al consderar los efectos anterores, es posble analzar las estructuras de edfcos tomando en cuenta úncamente la traslacón de los entrepsos. Así, de acuerdo con las ecuacones anterores, el cortante total que deberá resstr el -ésmo elemento resstente de un entrepso será Vtot k k x V ± V ed (16) Σ k Kθ Para la aplcacón de esta ecuacón se debe tomar en cuenta lo especfcado en el párrafo 8.6 de las Normas Técncas Complementaras para Dseño por Ssmo del RCDF, NTCDS-95 (NTC-95, 1995), en el que se establece que la excentrcdad de dseño ed en cada dreccón no será menor que la mtad del máxmo valor de e s para los entrepsos que se hallan abao del que se consdera, n se tomará el momento por torsón de ese entrepso menor que la mtad del máxmo calculado para los entrepsos que están arrba del consderado. Por otro lado, tambén se deberán tener presente los efectos bdrecconales del ssmo. Las NTCDS-95 los toman en cuenta establecendo que cada seccón crítca de un edfco debe resstr la suma vectoral de los efectos (desplazamentos y fuerzas nternas) de un componente del movmento del terreno con 30 % de los del otro, en adcón a los efectos de las fuerzas gravtatoras. Como se puede aprecar en las ecuacones anterores, para nclur el efecto de la torsón, es posble llevar a cabo un análss estátco de las estructuras de edfcos, consderando que las fuerzas sísmcas actúan en el centro de masas de los psos, y que los momentos de torsón correspondentes son dstrbudos entre los elementos resstentes. En la Fg. se presenta esquemátcamente el efecto de la torsón sísmca en los elementos resstentes de un edfco de varos psos. a) Efecto de la torson sísmca b) Cortante drecto Vd c) Cortante por torsón Vt Fgura. Representacón esquemátca del efecto de la torsón sísmca en los elementos resstentes de un edfco. 69

9 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez PROCEDIMIENTOS PARA DISTRIBUIR LAS FUERZAS SÍSMICAS POR TORSIÓN Se presentan dferentes procedmentos para dstrbur las fuerzas cortantes por torsón. Todos ellos se basan en el cálculo de la fuerza horzontal aplcada en cada nvel, obtenda medante un análss sísmco estátco o dnámco modal espectral. En todos los métodos presentados, se requere que para cada elemento resstente se calculen los cortantes debdos al 100 % de las fuerzas sísmcas en la dreccón X más 30 % de las fuerzas sísmcas en la dreccón Y y vceversa. Para el dseño rge el mayor de estos resultados. Método de Rosenblueth-Esteva Para dstrbur las fuerzas cortantes por torsón, Rosenblueth y Esteva (196) propuseron el sguente procedmento. 1. Para las dos dreccones prncpales en que se efectuará el análss, calcular por estátca la línea de accón del cortante sísmco en cada entrepso, CM.. Con las rgdeces de los elementos de cada entrepso, o con los cortantes drectos, calcular la poscón del CT de cada entrepso. 3. La fuerza cortante total que debe ser soportada por cada uno de los elementos resstentes de cada entrepso será gual al valor más desfavorable de las fuerzas calculadas como Vtot (+) Vd + Vt ; ó Vtot (-) Vd Vt (17) 4. Las fuerzas de dseño actuantes en los elementos estructurales se calculan hacendo un análss ndvdual en el plano de cada uno de los elementos resstentes con base en la fuerza cortante total calculada en el paso anteror. Método de Ávla Este método es el prmero en nuestro país que ha sdo planteado con el obetvo de ser aplcado utlzando programas de análss estructural comercales. Consste de los sguentes pasos (Ávla, 1991): 1. Calcular los valores de las coordenadas del CM de cada uno de los psos.. Calcular los cortantes drectos en los elementos estructurales. Esto se puede realzar aplcando estátcamente, las fuerzas calculadas en el análss sísmco estátco, en CM de cada uno de los psos del modelo trdmensonal de la estructura mpdendo los gros de las losas alrededor de un ee vertcal. 3. Con los cortantes drectos y las ecuacones (1) se calculan las coordenadas de CT de cada uno de los entrepsos. 70

10 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos 4. Con las coordenadas de CM y CT de cada uno de los psos se calcula la excentrcdad estructural. 5. Con las ecuacones x* CM1 x CT + Ed 1 ; y, x* CM x CT + Ed (18) y* CM1 x CT + Ed 1 ; y, y* CM x CT + Ed (19) donde Ed e s b (sgno e s ); y, Ed e s b (sgno e s ) (0) se calculan las coordenadas modfcadas de CM de cada pso para cada una de las dreccones de análss X y Y. 6. Para cada una de las dos dreccones ortogonales de la estructura, se realzan dos análss estructurales permtendo traslacón y rotacón de los entrepsos. En cada uno de ellos se deberá mover la poscón nomnal de CM una dstanca calculada con las ecuacones (18) y (19) anterores. 7. Las fuerzas que deberán resstr los elementos estructurales al consderar la torsón sísmca serán aquellos que presenten los valores máxmos obtendos de los análss estructurales realzados en el paso anteror para cada una de las dreccones ortogonales del edfco. Método de Goel-Chopra Este método (Goel y Chopra, 199) es muy smlar al propuesto por Bazán (1978). Ambos tenen la partculardad de que no requeren del cálculo del CT de los psos n del CR de los entrepsos. A dferenca del método propuesto por Bazán en 1978, la aplcacón de método de Goel-Chopra se lleva a cabo utlzando programas comercales de análss estructural. Consste de los pasos sguentes 1. Calcular los valores de las coordenadas de CM de cada uno de los psos.. Para cada una de las dreccones ortogonales de la estructura, en CM de cada uno de los psos del modelo trdmensonal se aplcan las fuerzas calculadas en el análss sísmco estátco de la msma mpdendo los gros de las losas alrededor de un ee vertcal. A los resultados obtendos de este análss se les denomnará V1. 3. Para cada una de las dreccones ortogonales realzar un análss de la estructura smlar al anteror pero ahora permtendo el gro de las losas de los entrepsos alrededor de un ee vertcal. A los resultados obtendos de este análss se les denomnará V. 4. Aplcando un momento torsonante debdo a la excentrcdad accdental en cada uno de los entrepsos realzar un análss de la estructura smlar al anteror, esto es 71

11 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez M β b V (1) Para el RCDF vgente, β0.1. A los resultados obtendos de este análss se les denomnará V3. 5. El efecto total debdo a las fuerzas laterales y de torsón en los elementos resstentes se obtendrá al combnar los resultados obtendos en los análss anterores para cada una de las dreccones ortogonales aplcando las ecuacones sguentes Vt1 (1-α) V1 +α V ± V3 () Vt (1-δ) V1 + δ V - V3 (3) Para el RCDF-95, α1.5, y δ1.0, entonces, las ecuacones anterores serán Vt1 - (0.5) V1 +(1.5) V ± V3 (4) Vt V - V3 (5) 6. De los resultados obtendos de las dos combnacones anterores se elegrán para dseño, para cada una de las dreccones ortogonales de la estructura, los valores máxmos de las fuerzas en los elementos estructurales. Procedmento Smplfcado de Dseño PSD El procedmento smplfcado de dseño por torsón sísmca estátca, PSD (Escobar, et al., 00, 004) utlza factores de amplfcacón por torsón. En su planteamento se buscó que pudera ser aplcado utlzando programas comercales de análss estructural. Consta de los sguentes pasos 1. Calcular las coordenadas de CM de cada uno de los psos.. Para las dos dreccones ortogonales de la estructura se calculan los cortantes drectos en los elementos resstentes aplcando, estátcamente, las fuerzas obtendas del análss sísmco estátco, en CM de los psos del modelo trdmensonal de la msma mpdendo los gros de las losas alrededor de un ee vertcal. 3. Calcular las coordenadas de CR y CC de cada uno de los entrepsos. 4. Clasfcar a los elementos resstentes como rígdos s están localzados del msmo lado de CR con respecto a CC, y como flexbles en caso contraro. 5. Calcular la excentrcdad estátca de cada uno de los entrepsos. 6. Calcular los factores de amplfcacón por torsón FAT de los elementos resstentes del - ésmo entrepso como 7

12 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos FATf ζ ζ 1 + ( β + αe ); y, FATr 1 + ( β δ e ) (6) ρ ρ Para el caso del RCDF, con α1.5, β0.1 y δ1.0 se tene que ζ ζ FATf 1 + ( e) ; y, FATr 1 + ( 0. 1 e) ρ ρ (7) donde FATf y FATr son los factores de amplfcacón por torsón del -ésmo elemento flexble y rígdo respectvamente; ζ x /b es la poscón, x, con respecto a CR normalzada del -ésmo elemento resstente; e e s /b es el valor absoluto de la excentrcdad estátca normalzada; y ρ es el rado de gro normalzado del -ésmo entrepso. Este parámetro se puede calcular para cada una de las dreccones X y Y de la estructura como ρ ρ y x 1 b x 1 b y Vdy Vdy x x / dy Vdx / dy Vdy + Vdx / dx + Vdx / dy y y / dx / dx (8) donde dx y dy son los desplazamentos relatvos del -ésmo entrepso obtendos del análss estructural estátco realzado en el paso para determnar los cortantes drectos en los elementos estructurales. 7. Obtener las fuerzas totales de dseño (fuerzas cortantes, axales, momentos flexonantes, etc.) en los elementos estructurales, multplcando las fuerzas producdas en ellos por los cortantes drectos calculados en el paso anteror, por los FAT correspondentes, esto es Vtot FATf (Vd ) ; y Vtot FATr (Vd ) (9) EJEMPLOS DE APLICACIÓN Se presentan eemplos de aplcacón de los métodos de dstrbucón de las fuerzas laterales descrtos. En todos los casos, las fuerzas cortantes de entrepso se calculan a partr de un análss sísmco estátco consderando un sstema de fuerzas equvalentes obtendas con un espectro de dseño sísmco. 73

13 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Estructura de un pso Se dseñará por torsón la estructura de un pso mostrada en la Fg. 3. En esta fgura tambén se muestran su perodo fundamental de vbracón y otros datos. Se consdera que la estructura estará ubcada en la Zona III del DF. Sólo se supondrá exctacón en dreccón Y. En el Apéndce A se presentan los cálculos correspondentes. CM X CT e s k 1 k Y b ssmo X.4 m b 1m k 3000 t / m k 1 w t T 1.0 s Zona III c 0.4 Q F 1000 t / m 0.4(377.3) / Fgura 3. Estructura de un pso t Método de Rosenblueth-Esteva. En la Tabla 1 se anotan los cálculos y resultados obtendos de la aplcacón de este método. Tabla 1.Cortantes totales (t) obtendos con el método de Rosenblueth-Esteva. Elemento k x k x k x Vd Vt (+) Vt (-) Vtot Suma Método de Ávla. Algunos de los cálculos necesaros para la aplcacón de este método se presentan en la Tabla. Al hacer los dos análss de la estructura con los CM localzados en las nuevas coordenadas, se obtenen los resultados mostrados en la Tabla 3. Tabla. Coordenadas y valores de la excentrcdad de dseño. Estructura de un pso. Pso x CM x CT e s Ed 1 Ed Tabla 3. Nuevas coordenadas del CM y cortantes totales (t). Método de Ávla. Estructura de un pso. Análss Elemento x* CM Vd +Vt Vtot

14 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Método de Goel-Chopra. Para cada una de las condcones de carga (V1, V y V3) se requere hacer tres análss de la estructura. Los cortantes obtendos en los elementos resstentes se muestran en la Tabla 4. Al hacer las dos combnacones de carga especfcadas por el método se obtenen los valores del cortante total en los elementos que se anotan en la últma columna de la Tabla 4. Tabla 4.Cortantes (t) obtendos con el método de Goel-Chopra. Estructura de un pso. Elemento V1 V V3 Vt1 Vt Vtot Procedmento Smplfcado de Dseño PSD. Al aplcar las ecuacones (9) se obtenen los cortantes totales a partr de los cortantes drectos en los elementos estructurales. En la Tabla 5 se anotan los cálculos y resultados obtendos con la aplcacón del PSD. Tabla 5. Cortantes totales (t), obtendos con el PSD. Estructura de un pso (f elemento flexble, r elemento rígdo). Elemento, x ζ FAT Vtot 1, f , r Edfco de cnco psos Se analza el edfco de cnco psos (Fg. 1), estudado por Bazán y Mel (000). Las fuerzas laterales para las dreccones X y Y se presentan en la Tabla 6. Por razones de espaco, la aplcacón de los métodos se lustra úncamente para el pso cnco del edfco. En el Apéndce B se presentan los cálculos correspondentes. Tabla 6. Fuerzas y cortantes en el edfco de cnco psos. Pso Entrepso Fx (t) Fy (t) Vx (t) Vy (t) En este caso, además de los cortantes totales en los elementos resstentes, como resultados se presentan fuerzas de dseño (fuerzas axales y momentos flexonantes) de dferentes elementos estructurales. 75

15 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Método de Rosenblueth-Esteva. En las Tablas 7, 8 y 17 se anotan los cálculos y resultados obtendos de la aplcacón de este método para las dreccones de análss X y Y, respectvamente. En la Tabla 18 se anotan los resultados para las fuerzas de dseño de algunos de los elementos estructurales obtendos después de realzar los análss estructurales correspondentes de los elementos resstentes planos (en este caso 8 análss de gual número de modelos estructurales). Tabla 7. Dstrbucón de la fuerza cortante (t) por ssmo entre los elementos resstentes. Método de Rosenblueth-Esteva, ssmo en dreccón X del pso cnco del edfco de cnco psos. Elemento k y k y y t k y t k y t Vd V t Vtot Vt (+) Vt (-) 1X X X Suma Tabla 8. Dstrbucón de la fuerza cortante (t) por ssmo entre los elementos resstentes. Método de Rosenblueth-Esteva, ssmo en dreccón Y del pso cnco del edfco de cnco psos. Elemento k x k x x t k x t k x t Vd Vt Vtot Vt (+) Vt (-) 1Y Y Y Suma Método de Ávla. La dea fundamental de este método se basa en el cambo de poscón de CM. En las Tablas 9 y 10 se presentan algunos de los cálculos necesaros para su aplcacón. Al hacer los dos análss para cada una de las dreccones ortogonales de la estructura con los CM localzados en las nuevas coordenadas, se obtenen los resultados mostrados en las Tablas 11, 17 y 18. Tabla 9. Cálculos para la aplcacón del método de Ávla. Edfco de cnco psos. Pso x CM y CM x CT y CT e sx e sx Ssmo en dreccón X Ssmo en dreccón Y b Ed 1 Ed b Ed 1 Ed Método de Goel-Chopra. En este caso se requere hacer ses análss de la estructura para las tres condcones de carga (V1, V y V3). Los cortantes obtendos en los elementos resstentes, en 76

16 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos cada una de las dreccones ortogonales X y Y de la estructura se muestran en la Tabla 1. Al hacer las dos combnacones de carga especfcadas en las ecuacones (4) y (5) para los elementos, se obtene el cortante total que se anota en la últma columna de la msma Tabla y en las 17 y 18 para los elementos estructurales. Tabla 10. Nuevas coordenadas del CM (m) para la aplcacón del método de Ávla. Edfco de cnco psos. Pso Ed 1 Ed x* CM1 y* CM1 x* CM y* CM Tabla 11. Cortantes totales (t) obtendos con el método de Ávla. Edfco de cnco psos. Ssmo en dreccón X Ssmo en dreccón Y Análss Elemento Vd +Vt Vtot Análss Elemento Vd +Vt Vtot 1 1X Y (Ed 1 ) X (Ed 1 ) Y X Y X Y (Ed ) X (Ed ) Y X Y Tabla 1. Cortantes (t) obtendos con el método de Goel-Chopra. Edfco de cnco psos. Dreccón Elemento V1 V V3 Vt1 Vt Vtot 1X X X X Y Y Y Y Tabla 13. Cortantes en los elementos resstentes obtendos con el PSD. Edfco de cnco psos (f elemento flexble, r elemento rígdo). Ssmo en dreccón X Ssmo en dreccón Y Elemento ζ I FAT Vtot (t) Elemento ζ I FAT Vtot (t) tpo Tpo 1X, f Y, r X, f Y, f X, r Y, f Procedmento Smplfcado de Dseño PSD. En las Tablas 13 y 14 se anotan los cálculos para el pso 5 y en las 17 y 18 los resultados obtendos a partr de los cortantes drectos con la aplcacón del PSD. Partcularmente, en la Tabla 14 se anotan los cálculos de las fuerzas de dseño 77

17 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez de algunos de los elementos estructurales, obtendos a partr de los efectos producdos por los cortantes drectos calculados en el paso del método, corregdos por los FAT correspondentes. Tabla 14. Fuerzas de dseño (en t y t-m) en los elementos resstentes del edfco de cnco psos calculados con el PSD. Ssmo en dreccón X. Col. en Efectos del cortante drecto FAT PSD ees V M nf M sup V M nf M sup 1X,1Y X,Y X,3Y X,1Y X,Y X,3Y X,1Y X,Y X,3Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS Se dscuten los resultados obtendos en cada uno de los elementos resstentes de los entrepsos de las estructuras analzadas con cada uno de los métodos estudados. Tomando en cuenta estos resultados se señalan las ventaas y desventaas de su aplcacón desde el punto de vsta de su utlzacón práctca. En la Tabla 15 se presentan los cortantes totales en los dos elementos resstentes del edfco de un pso y en la Tabla 16 se anotan los errores relatvos de estos cortantes, con respecto al método de Rosenblueth y Esteva (%), calculados con dferentes crteros. Tabla 15. Cortantes totales (t) en los elementos resstentes del edfco de un pso calculados con dferentes métodos (f elemento flexble, r elemento rígdo). Entrepso Elemento Tpo Método Ávla Rosenblueth- Esteva Goel- Chopra PSD 1 1, f , r Tabla 16. Errores relatvos (%) en cortantes totales en los elementos resstentes del edfco de un pso (f elemento flexble, r elemento rígdo). Entrepso Elemento Método Tpo Ávla Goel- Chopra PSD 1 1, f , r

18 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos En la Tabla 17 se anotan los cortantes totales de los elementos resstentes del edfco de 5 psos estudado calculados con dferentes crteros y en la Tabla 18 se presentan fuerzas de dseño de elementos estructurales del msmo. Tabla 17. Cortantes totales (t) en los elementos resstentes del edfco de cnco psos calculados con dferentes métodos (f elemento flexble, r elemento rígdo). Entrepso Elemento Ssmo en dreccón X Elemento Ssmo en dreccón Y Tpo Rosenblueth- Esteva Ávla Goel- Chopra PSD tpo Rosen- blueth- Esteva Ávla Goel- Chopra PSD 1X, f Y, r X, f Y, f X, r Y, f X, f Y, f X, f Y, f X, r Y, r X, r Y, r X, f Y, f X, f Y, f X, r Y, r X, r Y, r X, f Y, f X, f Y, f X, r Y, r X, r Y, r X, f Y, f X, f Y, f X, r Y, r X, r Y, r En la Fg. 4 se anotan los errores relatvos, respecto al método de Rosenblueth-Esteva, de los cortantes totales de los elementos resstentes del edfco de cnco psos calculados con dferentes métodos para la dreccón X y Y. En esta fgura se apreca que el PSD propuesto, proporcona práctcamente los msmos resultados que el método de Rosenblueth-Esteva, en los dos eemplos analzados. Con el PSD, los valores del error relatvo de los resultados no exceden el 0.1% que puede atrburse a las operacones artmétcas que ntervenen en los cálculos. Por su parte, los métodos de Ávla y de Goel-Chopra producen errores relatvos de hasta 0% en el elemento 3Y del entrepso 5 y superores al 15% en el elemento 4Y para los demás entrepsos en la dreccón Y del edfco. Mentras que en la dreccón X los valores del error relatvo no exceden el.5% para estos dos métodos, a excepcón del elemento 1X del entrepso 5, donde el valor del error relatvo está alrededor del 4%. En general se puede observar que, para el edfco de 5 psos estudado, los elementos de los bordes de las losas son los que producen los mayores valores de error relatvo al calcular sus cortantes totales utlzando los métodos de Ávla y de Goel-Chopra. 79

19 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez 1 error relatvo (%) 5 error relatvo (%) Avla -10 Avla -4 Goel-Chopra -15 Goel-Chopra PSD PSD -5 1X X 3X elemento -0 1Y Y 3Y elemento 1 a) entrepso Avla Goel-Chopra PSD b) entrepso Avla Goel-Chopra PSD Avla -10 Goel-Chopra PSD -15 c) entrepso Avla Goel-Chopra PSD Avla Goel-Chopra PSD Avla Goel-Chopra PSD d) entrepso Avla Goel-Chopra PSD Avla Goel-Chopra 1X X 3X 4X elemento 1Y Y 3Y 4Y elemento e) entrepso 1 Fgura 4. Errores relatvos, respecto al método de Rosenblueth-Esteva, en cortantes totales de los elementos resstentes en dreccón X y Y del edfco de cnco psos calculados con dferentes métodos. PSD 80

20 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Tabla 18. Fuerzas de dseño (en t y t-m) en columnas del edfco de cnco psos, calculadas con dferentes métodos de dseño por torsón sísmca estátca. Edfco de cnco psos. Entrepso Columna Ssmo en dreccón X Ssmo en dreccón Y en ees V M nf M sup V M nf M sup Método Rosenblueth-Esteva Ávla 5 X, 3Y Goel-Chopra PSD Rosenblueth-Esteva Ávla 3 X, 3Y Goel-Chopra PSD Rosenblueth-Esteva Ávla 1 1X, 1Y Goel-Chopra PSD Es mportante menconar que para decdr cuál método de los aquí evaluados presenta las mayores ventaas en su utlzacón práctca, deberán tomarse en cuenta, además de su precsón, factores como la cantdad de cálculos que requeren y/o la compledad de su aplcacón. Por eemplo, los métodos de Ávla, Goel-Chopra y PSD permten conocer drectamente las fuerzas de dseño en los elementos resstentes (momentos flexonantes, fuerzas cortantes, axales, etc.). A dferenca del método de Rosenblueth-Esteva en el que después de dstrbur los cortantes drectos y por torsón entre los elementos resstentes de cada entrepso, es necesaro hacer un análss plano para cada elemento resstente aplcando las fuerzas totales calculadas. Así, en la Tabla 19 se anotan las característcas báscas de los métodos estudados. En ella se puede observar que en la aplcacón del método de Ávla, ncalmente se necesta hacer dos modelos y dos análss de la estructura, uno en cada una de sus dreccones ortogonales, para calcular los cortantes drectos necesaros para determnar la excentrcdad estructural. Para conocer las fuerzas de dseño en los elementos estructurales se deben hacer cuatro modelos y sus análss correspondentes, uno para cada una de las nuevas coordenadas de los CM de los entrepsos. Fnalmente, los resultados provenentes de los dos análss correspondentes a cada una de las dreccones ortogonales, se deben comparar para cada elemento estructural y para cada fuerza de dseño consderada y así elegr la más desfavorable. Esto es, para las trabes se consderarán al menos la fuerza cortante y el momento flexonante, mentras que para las columnas se tendrían que consderar al menos la fuerza axal, y los cortantes y momentos flexonantes baxales. Estos efectos corresponden al coefcente que afecta al número de trabes y columnas ndcado en la cuarta columna de la Tabla 19. Con el método de Goel-Chopra, para calcular las fuerzas de dseño actuantes en los elementos estructurales se necesta hacer cuatro modelos y ses análss de la estructura (tres en cada una de las dreccones ortogonales). Los resultados provenentes de estos análss se deberán combnar de dos maneras dferentes. Al gual que con el método de Ávla, se deberá comparar 81

21 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez cada elemento estructural para cada fuerza de dseño consderada y así elegr la más desfavorable (Tabla 19). Tabla 19. Característcas báscas de los métodos estudados. Método Núm. de modelos Núm. de análss Comparacones para dseño Rosenblueth-Esteva Ner ner 0 Ávla 6 6 (nt+5nc) Goel-Chopra 4 6 4(nt+4nc) PSD 0 ner número de elementos resstentes; nt número de trabes; nc número de columnas Por su parte, el PSD requere sólo de dos análss, uno en cada una de las dreccones ortogonales del edfco para conocer las fuerzas debdo al cortante drecto en sus elementos estructurales. Las fuerzas de dseño se calculan al multplcar estas fuerzas, producdas por los cortantes drectos en los elementos estructurales, por los factores de amplfcacón por torsón FAT correspondentes. Los cortantes drectos obtendos de estos análss son los msmos que se utlzan para calcular la excentrcdad estructural. En este caso no es necesaro hacer nnguna comparacón para selecconar las fuerzas de dseño en los elementos estructurales. CONCLUSIONES Se evaluaron dferentes propuestas para reducr la cantdad de cálculos en el análss por computadora de modelos trdmensonales de edfcos por torsón sísmca estátca. Se descrberon las bases teórcas que dan orgen al análss por torsón sísmca estátca de estructuras de edfcos; se estudaron varas propuestas enfocadas a realzar este análss medante el uso de programas de análss estructural comercales. Tambén se analzaron las dos defncones de excentrcdad estátca que exsten actualmente y se demostró que ambas proporconan los msmos valores de momentos de torsón en los edfcos de varos psos. Se propuso y evaluó un nuevo método denomnado Procedmento Smplfcado de Dseño, PSD, el cual, sn perder precsón, reduce el número de análss por lo menos a una tercera parte, con respecto a uno de los métodos más rápdos (método de Ávla). Se presentaron dos eemplos en los que se aplcan las dferentes propuestas. A partr de los resultados de los eemplos estudados se obtenen las sguentes conclusones: Para su aplcacón, los métodos de Rosenblueth-Esteva y el de Ávla, requeren tomar en cuenta el sgno de la excentrcdad estructural. Con la clasfcacón de elementos rígdos y flexbles, necesara para aplcar el PSD, este aspecto se evta, ya que en él se utlza el valor absoluto de este parámetro. Además de que con esta clasfcacón es posble tener una meor nterpretacón de la dstrbucón de las fuerzas entre los elementos resstentes al utlzar una ecuacón correspondente a cada tpo de ellos. El método de Ávla, al gual que el de Goel-Chopra y el PSD permten conocer drectamente las fuerzas para dseño en los elementos resstentes. 8

22 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Debdo a que se utlzan las msmas ecuacones, con el PSD propuesto se obtuveron práctcamente los msmos resultados que con el método de Rosenblueth-Esteva en los eemplos analzados. Para calcular las fuerzas de dseño actuantes en los elementos estructurales con el método de Rosenblueth-Esteva, después de dstrbur los cortantes drectos y por torsón entre los elementos resstentes de cada entrepso, es necesaro hacer un análss ndvdual en el plano de cada uno de ellos utlzando las fuerzas cortantes totales calculadas con estos. La aplcacón del método de Ávla requere de ses modelos dferentes de la estructura que se analza; dos para calcular los cortantes drectos y con ellos la excentrcdad estátca, y uno para cada una de las nuevas poscones de CM en cada una de las dreccones ortogonales para obtener las fuerzas de dseño en los elementos estructurales. Por otro lado, a pesar de que con el método de Goel-Chopra no es necesaro calcular la poscón de CT, su aplcacón requere de cuatro modelos estructurales, dos con gros mpeddos alrededor del ee vertcal de las losas, y dos con estos grados de lbertad permtdos. Para calcular las fuerzas de dseño se necesta hacer dos análss de la estructura en cada dreccón ortogonal, uno con los gros de las losas lbres y otro con estos grados de lbertad fos, este últmo con dos condcones de carga. Para conocer las fuerzas para dseño en los elementos resstentes con los métodos de Ávla y de Goel-Chopra, es necesaro comparar, elemento a elemento, los resultados de dos análss y de cuatro combnacones de carga, respectvamente. Fnalmente, el PSD requere úncamente de dos análss de la estructura, uno en cada una de sus dreccones ortogonales. Estos análss son los msmos con los que se obtenen los cortantes drectos necesaros para calcular la excentrcdad estructural. Las fuerzas de dseño en los elementos estructurales se obtenen corrgendo, con los factores de amplfcacón por torsón FAT correspondentes, los elementos mecáncos producdos por el cortante drecto en los elementos estructurales. REFERENCIAS Ávla, J A (1991), Comentaros y Eemplos a las Normas Técncas Complementaras para Dseño por Ssmo, DDF, Seres del Insttuto de Ingenería, ES-7, UNAM, Méxco. Bazán, E (1978), Análss sísmco de edfcos con muros rgdzantes, IMCYC, Vol. 41, No. 91, Méxco D.F., Méxco. Bazán, E y R Mel (000), Dseño sísmco de edfcos, Edtoral Lmusa, Méxco. Cheung, V. W-T y W K Tso (1986), Eccentrcty n rregular multstorey buldngs, Canadan Journal of Cvl Engneerng, Vol. 13, No. 1, pp Damy, J (1988), Comentaros al ncso 8.6 de las Normas Técncas Complementaras para Dseño por Ssmo, Revsta de Ingenería Sísmca, SMIS, No. 33, pp

23 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Escobar, J A, J A Mendoza y R Gómez (00), Procedmento smplfcado para dseño por torsón sísmca estátca, Memoras, XIII Congreso Naconal de Ingenería Estructural, Puebla, Puebla, Méxco, CD-ROM. Escobar, J A, J A Mendoza y R Gómez (004), Dseño smplfcado por torsón sísmca estátca, Revsta de Ingenería Sísmca, SMIS, No. 70, enero-uno, pp Goel, R K y A K Chopra (199), Sesmc code analyss of buldngs wthout locatng centers of rgdty, ASCE Journal of Structural Engneerng, Vol. 119, No. 10, NTC-95 (1995), Normas Técncas Complementaras para Dseño por Ssmo, Gaceta Ofcal del Departamento del Dstrto Federal., 7 de novembre de RCDF-95 (1995), Reglamento de Construccones para el Dstrto Federal, Méxco. Rosenblueth, E (1979), Sesmc desgn requrements n a 1976 Mexcan Code, Earthquake Engneerng and Structural Dynamcs, Vol. 7, pp Rosenblueth, E. y L Esteva (196), Dseño sísmco de edfcos, Folleto Complementaro al Reglamento de Construccones para del Dstrto Federal, Méxco D.F., Méxco. Tso, W K (1990), Statc eccentrcty concept for torsonal moment estmatons, ASCE Journal of Structural Engneerng, Vol. 16, No. 5, pp AGRADECIMIENTOS El prmer autor agradece a J.A. Ávla, S. Loera y D. Murà Vla sus valosos comentaros y la revsón crítca del presente escrto. La etapa ncal de este estudo fue patrocnada por la Dreccón General de Obras del Goberno del Dstrto Federal. APÉNDICE A. CÁLCULOS PARA LA ESTRUCTURA DE UN PISO Centro de torsón Excentrcdad estátca 1000(1 ) x CT 9.6 m e s m Excentrcdad de dseño, ecuacones (14) ( 3.6) + 0.1( 1) 6.6 m ed ( ).4 m ed

24 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos Momentos de torsón M 11 M ( 6.6 ) t m (.4 ) t m Método de Rosenblueth-Esteva Cortantes drectos, ecuacón () Vd 1 ( 3000 ) t Cortantes por torsón, ecuacón (15) Método de Ávla Vd (1000 ) t Vt Vt ( 8800 ) Vt Vt ( 8800 ) t t Excentrcdad estructural, ecuacón (6) e s m Excentrcdad de dseño, ecuacones (0) Ed 1 1.5( 3.6 ) + 0.1( 1 ) 6.6 m Ed ( 1 ).4 m Nuevas coordenadas del CM, ecuacón (18) x* 1 CM m x* CM m 85

25 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez Método de Goel-Chopra Al hacer las combnacones de carga especfcadas en el método, para el elemento 1 se obtene Vt 1 0.5( ) + 1.5( 370.1) t y para el elemento Vt t Vt 1 0.5( ) + 1.5( ) t Vt t Procedmento Smplfcado de Dseño, PSD Rado de gro del entrepso, ecuacón (8) ( 9.6 ) (.4 ) ρ 0.4 ρ Excentrcdad estátca normalzada e 3.6/1 0.3 A partr de su ubcacón (Fg. 3), el elemento 1 se clasfca como elemento flexble, por lo tanto, de las ecuacones (7) se tene que ζ ; FATf ( 0.3) El elemento es un elemento rígdo según su ubcacón, entonces [ ] ζ 0. ; FATr 1 + [ ]

26 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos APÉNDICE B. CÁLCULOS PARA EL ENTREPISO CINCO DEL EDIFICIO DE CINCO PISOS Tabla B1. Ubcacón en m, de CM, CC, CT, y CR (Escobar et al., 004) Pso x Entrepso CM y CM x CC y CC x CT y CT x CR y CR Método de Rosenblueth-Esteva Ssmo en dreccón X ( 100 ) 3.77( 800 ) 3.77( 400 ) Vd1 X 6.48 t;vd X 4.3 t;vd 3 X t ( 0.98) + 0.1( 7.5). m; ed ( 7.5) 0.3 m e m; ed1 1.5 s M (. ) 5.77 t m; M 3.77( 0.3 ) 5.47 t m De las Tablas 7 y 8: K θ t-m Ssmo en dreccón Y ( 5.77 ) ( 5.47 ) Vt11 X 0.48 t; Vt1X 0.05 t ( 5.77 ) 981.8( 5.47 ) Vt1 X 0.08 t; Vt X 0.01 t ( 5.77 ) ( 5.47 ) Vt13 X 0.56 t; Vt3 X t 47.54(7400 ) 47.54( 400 ) 47.54( 5500 ) Vd1 X 6.45 t; Vd X 1.43 t;vd 3x t ( 0.97) + 0.1( 13.5).81 m; ed ( 13.5) 0.38 m es m; ed1 1.5 M (.81) t m; M 47.54( 0.38 ) t m 477( ) 477( ) Vt11 Y 9.19 t; Vt1 Y 1.4 t

27 José Alberto Escobar Sánchez, Carlo Magno Csneros y Roberto Gómez Martínez 88( ) 88(18.07 ) Vt1 Y 0.06 t; VtY 0.01 t ( ) 4460( ) Vt13 Y 9.1 t; Vt3Y 1.3 t Método de Ávla Ssmo en dreccón X y CM 3.75 m ; y CT 4.73 m ; m ( 0.98) + 0.1( 7.5). m; Ed ( 7.5) 0.3 m Ed e s * * y CM m; y CM m Ssmo en dreccón Y x CM 6.75 m ; x CT 5.78 m ; e s m ( 0.97) + 0.1( 13.5).81 m; Ed ( 13.5) 0.38 m Ed * * x CM m; x CM m Procedmento Smplfcado de Dseño, PSD Ssmo en dreccón X y CC 3.75 m ; y CR 4.73 m ; m Vdy x / dy + Vdx y / dx (6.48( 4.73 ) + 4.3(1.3 ) (.77 ) ) / ( 6.45( 5.78 ) (0.7 ) e s (7.7 ) ) / t m ρ x ρ.511; e -0.98/ / 0.54 Cortante total para los elementos flexbles, 1X y X ζ 1 X 0.63 ; FATf 1 + ( ( 0.13 )) ; V ( 6.48 ) 6.96 t 7.5 1x.511 1X 88

28 Evaluacón de Crteros de Dseño por Torsón Sísmca Estátca para Edfcos de Varos Psos ζ X ; FATf 1 + ( ( 0.13 )) ; V ( 4.3 ) 4.41 t 7.5 x.511 X Para el elemento rígdo 3X, se obtene ζ 3 X 0.37 ; FATr 1 + ( ) ; V ( 1.97 ) 1.9 t 7.5 3x.511 3X Ssmo en dreccón Y x CC 6.75 m ; x CR 5.78 m ; e s m ρ y ρ 0.56 ; e 0.97/ / Para los dos elementos flexbles Y y 3Y, se tene que ζ Y ; FATf 1 + ( ( )) ; V ( 1.43 ) 1.49 t 13.5 Y 0.56 Y ζ 3 Y 0.57 ; FATf 1 + ( ( )) Y 0.56 V 3Y ( ) 8.78 t Para el elemento rígdo 1Y se obtene ζ 1 Y 0.48 ; FATr 1 + ( ) ; V ( 6.45 ) 7.69 t Y Y 89