DIMENSIONADO PRELIMINAR BASADO EN RIGIDEZ DE EDIFICIOS ALTOS CON ESTRUCTURA DE ACERO RIGIDIZADOS CON DIAGONALES CONCÉNTRICAS

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1 Revsta de Ingenería Sísmca No (014) DIMENSIONADO PRELIMINAR BASADO EN RIGIDEZ DE EDIFICIOS ALTOS CON ESTRUCTURA DE ACERO RIGIDIZADOS CON DIAGONALES CONCÉNTRICAS Amador Terán Glmore (1), Gullermo Coeto Galaz () RESUMEN Se presenta una metodología para el dmensonado prelmnar de un sstema resstente a ssmos estructurado con base en marcos de acero rgdzados con dagonales concéntrcas. La metodología aplca para el caso de edfcos altos, cuya respuesta queda nfluda por componentes de deformacón global en flexón y por el efecto de modos superores de vbrar. Se presenta el dmensonado prelmnar de los elementos estructurales de dferentes versones de un sstema de contraventeo para un edfco de 4 psos. A partr de la evaluacón de las característcas dnámcas de las dferentes versones del sstema de contraventeo, se concluye que la metodología propuesta conduce a un dmensonado adecuado durante el dseño prelmnar basado en desempeño de edfcos altos de acero contraventeados. Palabras clave: dmensonado basado en rgdez; dseño basado en desplazamentos; sstemas de contraventeo; deformacón lateral global en corte; deformacón lateral global en flexón STIFFNESS-BASED PRELIMINARY SIZING OF TALL BUILDINGS HAVING A STEEL STRUCTURE WITH CONCENTRIC BRACES ABSTRACT A methodology for the prelmnary szng of an earthquake-resstant system composed of steel frames and concentrc braces s dscussed. The methodology apples to the case of tall buldngs, whose dynamc response s nfluenced by global bendng deformatons and the effect of hgher modes of vbraton. The prelmnary szng of the structural members of dfferent versons of a bracng system for a 4-story buldng s presented. From the evaluaton of the dynamc characterstcs of the dfferent versons of the bracng system, t s concluded that the use of the proposed methodology yelds an adequate szng durng the prelmnary performance-based desgn of tall braced steel buldngs. Keywords: stffness-based desgn; dsplacement-based desgn; bracng system; global shear lateral deformaton; global bendng lateral deformaton Artículo recbdo el 8 de enero de 013 y aprobado para su publcacón el 4 de marzo de 014. Se aceptarán comentaros y/o dscusones hasta cnco meses después de su publcacón. (1) () Profesor, Departamento de Materales, Unversdad Autónoma Metropoltana, Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulpas, Méxco, D.F., Méxco, C.P tga@correo.azc.uam.mx Gerente Técnco, CoreBrace Méxco, Tntoreto 9 Desp. 501, Col. Cudad de los Deportes, Méxco, D.F., Méxco, C.P gullermo.coeto@corebracemexco.com, +5(55)

2 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz INTRODUCCIÓN Algunos centros urbanos del mundo stuados en zonas de alta ssmcdad, como los ubcados en la costa oeste de los Estados Undos y la Zona del Lago de la Cudad de Méxco, han vsto un crecmento mportante en el número de sus edfcos altos con estructura de acero. Conforme a lo dscutdo por Moehle (008), los requstos prescrtos por los códgos actuales de dseño restrngen de manera nnecesara el dseño de este tpo de edfcos. Como consecuenca de esto, los ngeneros dedcados a la práctca de la ngenería estructural han recurrdo cada vez más al uso de metodologías de dseño basado en desempeño. Dentro de este contexto, se ha consderado que un dseño adecuado solo será posble a partr de: A) La defncón correcta de los objetvos de desempeño; B) La seleccón adecuada de los regstros sísmcos a usar; y C) El planteamento y uso apropado de modelos no lneales de análss complementados por una nterpretacón jucosa de sus resultados. Como consecuenca, la atencón de los ngeneros estructurales empeza a enfocarse en el planteamento de modelos no lneales con alto grado de refnamento que les permta dentfcar las característcas de la respuesta dnámca del edfco alto, tal como los mecansmos de fluenca, las fuerzas nternas asocadas y las demandas de deformacón. Un posble problema dentro de este esquema consste en caer en la tentacón de usar modelos refnados de análss para ajustar de manera teratva el tamaño de los elementos estructurales de una propuesta estructural ncal mal concebda. Una solucón prelmnar defcente puede fáclmente resultar en un dseño fnal lmtado que quede lejos de representar una solucón efcente y confable (ncluso s dcho dseño satsface requstos partculares de desempeño); de tal manera que la adecuada concepcón complementada con un buen dmensonado prelmnar de los elementos estructurales se consttuye en una medda esencal para un dseño basado en desempeño. El dseño estructural de edfcos altos sujetos a carga lateral suele quedar regdo por el control de dstorsones laterales. Con base en esta consderacón, ha llegado a plantearse que la propedad estructural más mportante de este tpo de sstemas es su rgdez lateral (Park et al., 00; Moon et al., 007; Moon, 008); y que los marcos rígdos por sí solos no son capaces de aportar la rgdez lateral necesara para un adecuado control de desplazamentos. No es sorpresvo entonces que los marcos de los edfcos altos hayan sdo contraventeados para aportarles la rgdez lateral sufcente para controlar sus dstorsones laterales dentro de límtes aceptables (Lang et al., 000; Kameshk y Saka, 001). En las últmas dos décadas se han desarrollado varos métodos para el dmensonado de los elementos estructurales de los edfcos altos con estructura de acero. La mayoría de estos tenen una naturaleza evolutva o teratva, de tal manera que una solucón ncal se refna en búsqueda de una solucón óptma que satsfaga una sere de restrccones planteadas en térmnos de dstorsón y resstenca. En muchos casos, se usa un parámetro estructural o de desempeño para formular un problema de optmzacón que a menudo requere de herramentas analítcas complejas y de una formulacón cudadosa de restrccones complementaras. Incalmente, los métodos de dmensonado para marcos contraventeados se orentaron a optmzar el peso y otros parámetros del sstema estructural (Baker, 1990; Chan y Grerson, 1993). Al paso del tempo, se dentfcó a la rgdez lateral como la propedad estructural más relevante del edfco, y esto llevó al planteamento de varas propuestas basadas en rgdez enfocadas al caso de modelos estructurales que permanecen elástcos y que son sujetos a cargas laterales constantes y a restrccones varas en térmnos de resstenca y dstorsón (Km et al., 1998; Kameshk y Saka, 001). En algún momento, los nvestgadores fueron más allá del dmensonado de elementos estructurales para una confguracón dada, y propuseron métodos evolutvos basados en desempeño para establecer la topología óptma para el sstema de contraventeo de edfcos de acero de varos psos que permanecen elástcos bajo la accón de cargas laterales estátcas (Lang et al., 000; Baldock y Shea, 006). Además, se llegaron a proponer metodologías basadas en el control de las dstorsones que toman en cuenta la nteraccón que se da entre 35

3 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas las propedades dnámcas del sstema estructural y las del movmentos del terreno (Park y Kwon, 003; Zou y Chan, 005). Dentro de un contexto así, la complejdad de la matemátca y la necesdad de amplos recursos computaconales resultaron en una excesva smplfcacón del modelo estructural, en dfcultades para nterpretar los resultados fnales del proceso de optmzacón, y en la necesdad de plantear restrccones adconales para el dmensonado y para promover la convergenca del procedmento planteado. En térmnos de la resstenca a ssmo de los edfcos altos rgdzados con un sstema de contraventeo, todavía hay varas cuestones que requeren de un tratamento conceptual adecuado. En prmer lugar, las dagonales no solo proveen rgdez lateral al edfco, sno capacdad de dspacón de energía. Mentras que en algunos casos se aporta la dspacón de energía por medo de amortguadores vscosos, otros casos requeren el uso de dspostvos basados en la fluenca del acero (Soong y Spencer, 00). En cualquer de estos casos, la establdad del mecansmo resstente a ssmo suele requerr que la dspacón de energía se concentre en las dagonales (Montel-Ortega y Terán-Glmore, 013). Debe notarse que dentro de este contexto, el sstema de contraventeo se comporta como una enorme armadura en voladzo (Km et al., 1998). Mentras que las columnas del sstema de contraventeo actúan como las cuerdas de la armadura, las dagonales y las vgas consttuyen un alma que toma, medante carga axal en los membros, la cortante lateral. Dentro de un contexto así, la deformacón lateral total del sstema de contraventeo puede estmarse de manera razonable al sumar la deformacón lateral global en flexón producto de la deformacón axal de las columnas que forman parte del sstema de contraventeo y la deformacón lateral global en corte asocada a la deformacón axal de las dagonales (Terán-Glmore y Coeto, 011). Así, una propedad mportante (dspacón de energía) de una gran cantdad de sstemas estructurales altos ubcados en zonas de alta ssmcdad no depende de las demandas totales de desplazamento lateral, tal como ha sdo presumdo por metodologías prevas de dmensonado, sno del comportamento global en corte del sstema de contraventeo. En segundo lugar, un dseño basado en el control de desplazamentos representa un reto mayor que uno basado en resstenca, ya que el desplazamento lateral es un crtero asocado a todo el sstema estructural, lo que mplca la consderacón smultánea de todos los elementos estructurales del edfco. Aunque es posble obtener nformacón valosa a partr del uso de técncas refnadas de optmzacón, el dseño ssmorresstente requere de sstemas estructurales adecuados que ncorporen el buen juco y conocmento del dseñador. Dentro de este contexto es mportante consderar que la resstenca a ssmo debe aportarse dentro de un marco de alta ncertdumbre. Esto mplca que, ndependentemente de las característcas de la exctacón sísmca real y de sus dferencas con aquellas presumdas por su representacón de dseño, el sstema estructural del edfco debe aportar un mecansmo resstente estable. S no se conforman a reglas báscas en térmnos de redundanca y confguracón estructural, las topologías óptmas obtendas con varas de las metodologías propuestas pueden fáclmente resultar en sstemas resstentes a ssmo altamente nestables y poco confables. El ajuste teratvo o evolutvo de las dmensones de los membros estructurales de un sstema mal concebdo puede fáclmente resultar en sstemas resstentes a ssmo defcentes, de tal manera que cualquer metodología que se proponga debe nclur el desarrollo conceptual de solucones prelmnares adecuadas que lleven, a través de unas cuantas teracones que sean fáclmente entendbles, al dmensonado óptmo de los elementos estructurales. Este artículo plantea una metodología conceptual smple para el pre-dmensonado basado en rgdez de los elementos estructurales (dagonales y columnas) de un sstema de contraventeo para edfcos altos resstentes a ssmo. Con base en prncpos báscos de la mecánca, la metodología estma dmensones para dagonales y columnas capaces de promover un desempeño estructural adecuado por medo del control explícto de las demandas de desplazamento lateral del edfco. El uso de la metodología resulta en sstemas estructurales altamente efcentes que pueden usarse drectamente para 36

4 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz obtener el dseño fnal del edfco, o como una solucón ncal que promueva el uso raconal de planteamentos analítcos enfocados a optmzar el sstema estructural resstente a ssmo. DISEÑO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS Después de analzar las razones por las que muchos de los eventos sísmcos recentes han resultado en pérddas económcas excesvas, la comundad nternaconal de ngenería sísmca ha concludo que el nvel de daño estructural y no estructural en un edfco es consecuenca drecta de un excesvo nvel de deformacón lateral. La nnovacón en el ámbto del dseño ssmorresstente se ha enfocado a la concepcón, dseño y construccón de sstemas estructurales, ya sean tradconales o nnovadores, que sean capaces de controlar adecuadamente su daño por ssmo por medo del control explícto de su deformacón lateral durante eventos sísmcos con dferente ntensdad. Esto ha llevado a la formulacón de metodologías de dseño enfocadas explíctamente a controlar el nvel de deformacón lateral de los edfcos resstentes a ssmo (Bertero y Bertero, 199; Prestley, 000). Los países que encabezan el avance del dseño ssmorresstente (como Estados Undos y Japón) empezan a cambar su paradgma de dseño por medo de la formulacón de formatos y códgos de dseño basados en desplazamentos (como por ejemplo, el consderado por la Federal Emergency Management Agency, 000). Conforme a lo mostrado en la fgura 1, varas metodologías basadas en desplazamento consderan los cnco pasos sguentes: A) Se establece una defncón cualtatva de lo que se consdera un desempeño adecuado por medo de la consderacón explícta de los nveles aceptables de daño para los dferentes sub-sstemas que componen el edfco (estructural y no estructural). B) Se cuantfca el desempeño por medo de establecer umbrales de respuesta que son congruentes con el nvel de daño consderado aceptable para los dferentes sub-sstemas. Normalmente los umbrales se formulan en térmnos de la dstorsón máxma de entrepso permtda en el edfco (DI max ) y deben consderar el desempeño de los sub-sstemas estructural (que a su vez puede estar consttudo por sub-sstemas gravtaconal y resstente a ssmo) y no estructural. C) Se usa el umbral de dstorsón de entrepso para establecer el umbral para la demanda máxma de desplazamento de azotea ( max ). D) Se establece un valor objetvo para el perodo fundamental de vbracón del edfco (T T, que cuantfca los requstos de rgdez lateral a nvel global) por medo del uso de un espectro de dseño de desplazamentos. Conforme a lo mostrado en la fgura 1, es necesaro ajustar con este fn el desplazamento lateral de azotea para tomar en consderacón los efectos de múltples grados de lbertad. De acuerdo con lo dscutdo con anterordad, un dseño basado en el control de dstorsones es una tarea dfícl debdo a que se establece un crtero de revsón para todo el sstema estructural, lo que requere la consderacón smultánea de todos los elementos estructurales del edfco. Para smplfcar el dmensonado de estos elementos, varos nvestgadores han propuesto el uso de un valor objetvo para el perodo fundamental de vbracón (Bertero y Bertero, 199; Prestley, 000). Varos estudos han mostrado que el uso de este crtero para el dseño basado en desplazamentos de edfcos de acero contraventeados puede consderar la nteraccón que se da entre las propedades mecáncas del sstema estructural, y los contendos de frecuenca y energía del movmento del terreno, para dar lugar a sstemas estructurales efcentes y confables (Terán- Glmore y Ruz-García, 010; Terán-Glmore y Coeto, 011; Montel-Ortega y Terán-Glmore, 013). 37

5 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas E) Las dmensones de los elementos estructurales del sub-sstema resstente a ssmo se establecen de manera que el perodo fundamental de vbracón real del sstema estructural esté lo más cerca posble de T T. Las dmensones de estos elementos defnen la capacdad dsponble del sstema estructural en térmnos de la rgdez a nvel local. La metodología de dmensonado basada en rgdez ntroducda en este trabajo se contextualza en este paso de un enfoque basado en desplazamentos. Defncón cualtatva de desempeño: Descrpcón de umbrales aceptables de daño en los sub-sstemas relevantes Defncón cuanttatva de desempeño: DI max = f(umbrales de daño) max = f(di max ) max S d T T T Dseño basado en rgdez de los elementos del sstema estructural Fgura 1. Metodología basada en desplazamentos DIAGONALES RESTRINGIDAS CONTRA PANDEO Una dagonal restrngda contra pandeo es un elemento estructural que trabaja a compresón sn exhbr problemas de pandeo. Dado que una dagonal suele trabajar de una manera estable a tensón, lo que se logra es un dspostvo capaz de dspar energía de manera estable en presenca de varas reversones de carga. La fgura muestra esquemátcamente el concepto de dagonal restrngda contra pandeo, e lustra sus dferentes componentes: A) Un núcleo de acero que dspa energía a través de su 38

6 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz extensón o contraccón axal, B) Materal confnante que restrnge el pandeo del núcleo, y C) Camsa de acero que mantene la ntegrdad del materal confnante y aporta mayor restrccón contra pandeo. Bajo la accón de un ssmo severo, se espera que fluya el núcleo de la dagonal. El núcleo de acero se desadhere del mortero o concreto confnante; es decr, se mnmza cualquer contacto en la nterface entre ambos materales. Esto con el fn de evtar que la resstenca a compresón de la barra sea sgnfcatvamente mayor que su resstenca a tensón. Una dscusón más detallada del concepto y uso de dagonales restrngdas contra pandeo puede encontrarse en Uang y Nakashma (003) y Tremblay et al. (006). Las pruebas expermentales llevadas a cabo en dagonales restrngdas contra pandeo ndcan un comportamento altamente estable ante la presenca de deformacones plástcas severas. En Japón se han desarrollado varos tpos de dagonales, y se cuenta con múltples patentes. De hecho, en ese país exsten varas centenas de edfcos cuyo sstema ssmorresstente prncpal consste en sstemas de dagonales restrngdas contra pandeo. En Tawán, Canadá y EE.UU. tambén ha habdo desarrollos expermentales de mportanca y se han construdo decenas de edfcos que utlzan este tpo de dspostvo. Vsta en Planta Núcleo (fluye) Materal desadherente Núcleo de acero Vsta lateral Tubo de acero A Tubo de acero Corte A-A Materal confnante A Fgura. Confguracón esquemátca de dagonal restrngda contra pandeo (basado en Tremblay et al., 006) La rgdez lateral que aporta una dagonal restrngda contra pandeo a un entrepso dado (K L ) se relacona con el área de su núcleo (A) por medo de la sguente ecuacón (Tremblay et al., 006): KL E cos E cos ( A / L) (1 ) L RF (1) donde L es la longtud total de la dagonal, E su módulo de elastcdad, y su ángulo de nclnacón (ver fgura 3). γ es el cocente entre la longtud del núcleo (L c en la fgura 3) y L, η el cocente entre los esfuerzos axales promedo fuera del núcleo y en el núcleo de la dagonal, y L RF un factor usado para consderar las zonas de mayor rgdez axal en los extremos de la dagonal. La ecuacón 1 hace posble establecer al área requerda de dagonales en un entrepso en funcón de la geometría del sstema de contraventeo y de la rgdez lateral que debe aportar a ese entrepso. En cuanto a la dstorsón de entrepso en la que se presenta la fluenca de la dagonal, puede establecerse lo sguente: 39

7 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas L h y f [ (1 )] y E sen cos () donde Δ L y h son el desplazamento lateral relatvo y la altura del entrepso, respectvamente (fgura 3); y f y el esfuerzo de fluenca de la dagonal. El subíndce y ndca fluenca. Δ L h L L c θ Fgura 3. Notacón utlzada para una dagonal y el entrepso que lo recbe ESTRUCTURAS TOLERANTES A DAÑO Un enfoque prometedor para la concepcón de edfcos lgeros y seguros es el de sstema tolerante a daño (Wada et al., 003). En uno de estos sstemas, el daño nducdo por ssmo se concentra en elementos estructurales específcos, conocdos como elementos de sacrfco. Su papel es funconar como fusbles estructurales que protegen contra daño excesvo al sub-sstema prncpal o gravtaconal del edfco, así como al sub-sstema no estructural. Debdo a esto, la rehabltacón estructural del sub-sstema resstente a ssmo después de la ocurrenca de un ssmo severo se reduce a la susttucón de los fusbles dañados. El uso de este tpo de sstema en Japón ha resultado en edfcos lgeros, y promete grandes ahorros en térmnos de costo y tempo de rehabltacón estructural. Terán-Glmore y Coeto (011) propuseron, dentro del contexto planteado en la fgura 1 y el concepto de estructuras tolerantes a daño, una metodología de dseño basado en desempeño para la concepcón y dseño prelmnar de edfcos altos. La metodología requere que la carga vertcal sea soportada en su totaldad por marcos momento-resstentes flexbles, y que la resstenca lateral del edfco sea provsta por un sstema de dagonales restrngdas contra pandeo. En térmnos de modelado, la metodología supone que: A) Las losas del sstema de pso actúan como dafragmas rígdos; B) La rgdez lateral total del edfco puede estmarse como la suma de las rgdeces sumnstradas por el sub-sstema gravtaconal y por el sub-sstema de contraventeo y C) Las dstorsones debdas al comportamento global en corte y flexón del sub-sstema de contraventeo se consderan ndependentes y corresponden, respectvamente, a la deformacón axal de dagonales y columnas. Note que la presenca de dafragmas rígdos restrnge la deformacón axal de las vgas y por tanto, reduce consderablemente la posble contrbucón de esta deformacón al comportamento global en corte del sstema de contraventeo. Bajo estas tres suposcones, es posble formular, conforme a lo mostrado en la fgura 4, un modelo smple que consdera que el sstema estructural del edfco puede ser modelado por medo de dos subsstemas paralelos. A su vez, el sub-sstema de contraventeo puede modelarse como dos sub-sstemas que 40

8 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz trabajan en sere: uno que representa la rgdez global en corte proporconada por las dagonales; y otro que representa la rgdez global en flexón proporconada por las columnas del sstema de contraventeo. V b Sub-sstema gravtaconal Contraventos Vgas de soporte δ az Sub-sstema gravtaconal (SG) Sub-sstema de contraventos (CV) Sstema Completo (T) V b δ az Columnas de soporte Contraventos (S) V b Columnas de soporte (B) V b δ az δ az Fgura 4. Consderacones para el modelado de edfcos altos rgdzados con un sstema de contraventeo Terán-Glmore y Coeto (011) dscuten, dentro de un formato que consdera explíctamente el comportamento estructural de las dagonales y columnas del sstema de contraventeo y del sub-sstema gravtaconal, la estmacón del valor objetvo para el perodo fundamental de vbracón de edfcos altos. Explcan que bajo la suposcón de que los sub-sstemas gravtaconal y ssmorresstente trabajan en paralelo, el perodo fundamental de vbracón que defne los requstos de rgdez para el sub-sstema de contraventeo (T CV ) puede determnarse como: (3) T T T CV T SG donde T SG es el perodo que tendría el edfco s sólo su sub-sstema gravtaconal contrbuyera a su rgdez lateral. Es mportante menconar que aunque la metodología desarrollada por Terán-Glmore y Coeto fue planteada para sstemas de contraventeo con dagonales restrngdas contra pandeo, es posble aplcarla a sstemas con cualquer tpo de dagonales. Al respecto, una dferenca sería la defncón de los espectros de dseño, ya que mentras que el dseño de un sstema restrngdo contra pandeo requere de espectros establecdos a partr de comportamento elasto-plástco; el caso de dagonales que se pandean debe consderar un comportamento hsterétco degradante que pueda modelar el pandeo y su mpacto en las propedades mecáncas del sstema estructural. Conforme a los requstos planteados por la Seccón 3.. de las Normas Técncas Complementaras para el Dseño y Construccón de Estructuras Metálcas, dcho 41

9 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas pandeo depende de parámetros tales como la relacón de esbeltez y esfuerzo de fluenca de la dagonal. Otra consderacón sería el uso de valores de γ y η (ver ecuacón 1) que correspondan apropadamente a la geometría de la dagonal bajo consderacón. Dentro del contexto de un medo profesonal acostumbrado a utlzar formatos basados en resstenca, es necesaro aclarar que no se requere revsar la capacdad resstente de dagonales dmensonadas conforme a un formato basado en desplazamentos. Aunque esto se dscute en detalle en Terán-Glmore y Coeto (011), el apéndce de este artículo ofrece una demostracón smple de lo anteror para un sstema de un pso rgdzado con una dagonal. Note además que el enfoque de estructura tolerante a daño consdera que las dagonales deben constturse en fusbles estructurales, de tal manera que es necesaro revsar el dmensonado basado en rgdez para asegurarse que las vgas y columnas del sstema de contraventeo tengan sufcente resstenca como para que el comportamento plástco se concentre en las dagonales y en menor medda, en sus conexones. DIMENSIONADO BASADO EN RIGIDEZ Como complemento a la metodología dscutda por Terán-Glmore y Coeto (011), este trabajo dscute en detalle un procedmento basado en rgdez que puede utlzarse durante el qunto paso de la fgura 1. Dentro de este contexto, debe menconarse que aunque el valor de T CV dervado de la ecuacón 3 proporcona nformacón acerca de los requstos locales de rgdez que deben ser satsfechos por las dmensones de las dagonales y columnas del sstema de contraventeo, es necesaro defnr prmero las rgdeces relatvas en corte y flexón requerdas por el sub-sstema de contraventeo. La metodología propuesta por Terán-Glmore y Coeto atende esta cuestón medante la defncón de perodos ndependentes capaces de controlar a nvel global las deformacones laterales en corte y flexón (T S y T B, respectvamente) del sub-sstema de contraventeo, que necestan satsfacer la condcón sguente: T T T CV S B (4) El dmensonado basado en rgdez de los dagonales y las columnas del sstema de contraventeo debe resultar en que los perodos fundamentales de vbracón asocados a los comportamentos globales en corte y flexón del sub-sstema de contraventeo estén cerca de T S y T B, respectvamente. Esto debe ocasonar que el perodo fundamental de vbracón del sub-sstema de contraventeo este muy cerca de T CV. Note que T S menor que T B mplca una mayor rgdez lateral asocada al comportamento global en corte que la asocada al comportamento global en flexón. En térmnos cualtatvos, el resultado fnal de dsmnur el valor de T S (y el respectvo aumento en el valor de T B de acuerdo con la ecuacón 4 para un valor dado de T CV ) son áreas más grandes para las dagonales que las consderadas para las columnas del sstema de contraventeo. Una alternatva para el dmensonado de las dagonales y columnas del sstema de contraventeo nca con el planteamento de un patrón de cargas laterales en altura: F V b n j1 w h k w h j k j (5) donde V b es la cortante basal; w y h el peso y la altura con respecto al nvel del terreno, respectvamente, del sstema de pso correspondente al -ésmo nvel; y n el número de psos. De acuerdo con las 4

10 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz sugerencas hechas por FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency, 000), k puede estmarse como: 1 k ( T 1.5) / T 0.5 seg 0.5 T.5 seg T.5 seg (6) En algún momento, el ngenero estructural debe tomar decsones en cuanto a los materales estructurales y la confguracón geométrca del sstema de contraventeo. Estas decsones deben basarse en el entendmento sóldo y conceptual del comportamento no lneal de un sstema de contraventeo sujeto a deformacón lateral, y deben tener en cuenta el número de dagonales por nvel (N) en la dreccón de análss, la longtud total de cada dagonal (L) y el módulo de elastcdad de dagonales y columnas del sstema de contraventeo (E CV y E COL, respectvamente). Una vez que se establecen los valores de T CV, T S y T B para el edfco (un ejemplo de cómo determnar estos valores puede encontrarse en Terán-Glmore y Coeto, 011), las dmensones de dagonales y columnas pueden determnarse de la sguente manera: 1) Se establece una dstrbucón de fuerzas laterales en altura, y en funcón de estas, las dstrbucones correspondentes de fuerzas cortantes y momentos de volteo de entrepso. V F j M n j m m B n S j V h j j (7) (8) donde F j es la fuerza lateral calculada con la ecuacón 5 para el j-ésmo entrepso; h j, la altura de dcho entrepso; y m B y m S, las masas asocadas a los modos fundamentales de vbracón correspondentes a los comportamentos globales en flexón y corte, respectvamente, del subsstema de contraventeo. La tabla 1 resume valores de m B y m S que pueden usarse para el dmensonado basado en rgdez de edfcos altos que exhben regulardad estructural en altura. En la tabla, m es la masa total del edfco. La tabla se establecó a partr del estudo de las propedades dnámcas de sstemas de contraventeo cuyas dagonales y columnas exhbían dferentes varacones en altura de dmensones de sus seccones transversales. Tabla 1. Masas efectvas para el cálculo de las deformacones globales en flexón y corte No. de psos m S /m m B /m ) Se asgna un valor ncal para las áreas de las dagonales ( contraventeo ( A 0 COL 0 A CV ) y las columnas del sstema de ). A estas alturas, la únca condcón que debe ser satsfecha por las áreas de 43

11 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas las dagonales es que su varacón en altura sea proporconal a la de la fuerza cortante de entrepso de acuerdo con las ecuacones 5 y 7. En el caso de las columnas, su área debe varar en altura proporconalmente a los momentos de volteo de entrepso, de acuerdo a las ecuacones 5 y 8. 3) Una vez que se cuenta con un dmensonado prelmnar para las dagonales, se estman las deformacones laterales en el sub-sstema de contraventeo debdas a su comportamento global en corte. Con este propósto, es razonable suponer que la deformacón lateral en corte es consecuenca de la deformacón axal de las dagonales. Dentro de este contexto, es mportante menconar que la presenca de dafragmas rígdos provstos por las losas de entrepso restrngen las deformacones axales de las vgas, y que la rgdez lateral en corte proporconada por las dagonales puede estmarse como: K S 0 ECV ACV cos N (9) L L RF donde N es el número total de dagonales ubcadas en el -ésmo entrepso en la dreccón de 0 análss; A CV, el área ncalmente propuesta para cada dagonal; θ, su ángulo de nclnacón; L, su longtud total, y L RF un factor de ajuste de rgdez (ver ecuacón 1). El desplazamento lateral relatvo en el -ésmo entrepso puede estmarse como: V S (10) K S y el desplazamento lateral en el -ésmo nvel como: S Sj (11) j1 4) Una vez que se cuenta con un dmensonado prelmnar para las columnas, se estman las deformacones laterales en el sub-sstema de contraventeo debdas a su comportamento global en flexón. Con este propósto, es razonable suponer que el sstema de contraventeo se comporta como una gran vga en voladzo y, por tanto, que la deformacón lateral en flexón es consecuenca de la deformacón axal de las columnas de soporte. Dentro de este contexto, la rgdez lateral en flexón del sub-sstema de contraventeo en el -ésmo entrepso (I B ) puede estmarse consderando las áreas transversales de las columnas y las dstancas que las separan. La fgura 5 lustra la estmacón de I B para sstemas de contraventeo con dferentes confguracones. 5) Las curvaturas en los extremos superor e nferor de la porcón del sub-sstema de contraventeo ubcada en el -ésmo entrepso pueden estmarse como: arrba M ECOLI 1 B (1a) 44

12 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz abajo M ECOLI B (1b) A A A A A A A A A A 1 A A A 1 d d d d d d d d d d d d1 d Ad d I B I B Ad I B Ad I B 9 A A 1 Fgura 5. Estmacón del momento de nerca global para sstemas de contraventeo con dferente confguracón estructural Las rotacones en esos msmos extremos pueden estmarse al ntegrar las curvaturas: arrba abajo h 6 arrba arrba abajo h 6 abajo (13a) (13b) El ncremento total de rotacón en la losa stuada en el -ésmo nvel debdo al comportamento global en flexón puede estmarse como la suma de las contrbucones de las porcones del subsstema de contraventeo stuadas por encma y por debajo de ella: (14) tot arrba abajo La rotacón total de la losa ubcada en el -ésmo nvel puede establecerse al acumular las contrbucones de todos los entrepsos ubcados debajo de ella: 45

13 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas tot j1 tot (15) Fnalmente, el desplazamento relatvo del -ésmo entrepso debdo al comportamento global en flexón puede estmarse como: B tot h (16) Y el desplazamento lateral en el -ésmo nvel como: B j1 (17) Bj 6) Una vez que se han establecdo los desplazamentos laterales debdos a los comportamentos globales en corte y flexón del sub-sstema de contraventeo, se hace una estmacón ncal de los valores de T S y T B conforme a lo que sgue: T T 0 S 0 B n w S 1 (18a) n g F 1 n S w B 1 (18b) n g F 1 B donde g es la aceleracón debda a la gravedad. Note que δ S y δ B se estman a partr de la dstrbucón de la fuerza lateral planteada por la ecuacón 5, y que con este propósto y dentro del contexto de un dmensonado basado en rgdez, es posble consderar un valor arbtraro para el cortante basal ) Una vez que se han estmado valores ncales para T S y T B ( T S y T B, respectvamente) con las ecuacones 18, las áreas defntvas para las dagonales y las columnas se estman como: A CV 0 0 T S ACV TS (19a) 0 0 T B A COL ACOL (19b) TB SISTEMA DE CONTRAVENTEO: EJEMPLO Para lustrar la aplcacón de la metodología, se selecconó el edfco de 4 nveles con estructura de acero mostrado en la fgura 6, el cual tene dmensones en planta de m. La altura de entrepso 46

14 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz es de 4.5 m; excepto en los prmeros 4 entrepsos que tenen alturas de 4.0, 5.65, 5.65 y 6.0 metros; y en los dos superores, de 6.0 y 6.5 metros. En total, el edfco tene una altura de m. El edfco tene 4 crujías centrales de 9 m, dos crujías laterales de 4.5 m y 7 marcos en cada una de las dos dreccones prncpales de análss. Los tres prmeros psos tenen un peso de 1916 ton cada uno, el últmo de 1355 ton, y los demás de 1340 ton. Conforme a lo mostrado, el edfco requere de un sub-sstema de contraventeo de acero que ncluye las dos crujías centrales de los tres marcos centrales en cada dreccón de análss (por ejemplo, los marcos C, D y E). Para lustrar el alcance de la metodología de dmensonado basada en rgdez, se consderan a contnuacón los cuatro casos resumdos en la tabla. Tabla. Perodos de las dferentes versones del sub-sstema de contraventeo Caso T CV T S T B Permeter Columns Internal Columns Support Columns 4.5 m 9 m 9 m 9 m 9 m 4.5 m 4.5 m 9 m 9 m 9 m 9 m 4.5 m Fgura 6. Geometría y confguracón estructural para el edfco de 4 nveles Como una restrccón, el área de las dagonales y columnas se varía cada 4 nveles. La tabla 3 resume, para las dferentes versones del sub-sstema de contraventeo, las dmensones de dagonales y columnas. Las áreas de dagonales se estmaron bajo la consderacón de un L RF = 1.5 (ver ecuacones 1 y 9). 47

15 Nvel Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas Tabla 3. Tamaño de dagonales y columnas obtendas con la metodología propuesta Caso 1 Caso Caso 3 Caso 4 CV Columna CV Columna CV Columna CV Columna (m ) (m ) (m ) (m ) (m ) (m ) (m ) (m ) CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTRAVENTEO Los perodos fundamentales de vbracón de las cuatro versones del sub-sstema de contraventeo se estmaron con el software SAP000. El área transversal de las dagonales se ajustó en los modelos analítcos de acuerdo con el valor de L RF utlzado durante el dmensonado (1.5). Se estableceron tres perodos fundamentales de vbracón para cada versón del sub-sstema de contraventeo: A) Uno asocado al comportamento global en corte (T S ); B) Otro asocado al comportamento global en flexón (T B ); y, fnalmente, C) Uno asocado al comportamento global total (T CV ). T CV se estmó medante un modelo analítco que asgnó a las dagonales y columnas las áreas resumdas en la tabla 3; y T S al modfcar dcho modelo por medo de asgnar áreas muy grandes a las columnas de soporte (columnas con rgdez axal nfnta ). En el caso de T B, el modelo fue modfcado al asgnar áreas muy grandes a las dagonales, de tal manera de plantear dagonales con rgdez axal nfnta. El momento de nerca de las columnas para todos los modelos analítcos se establecó al consderar para ellas una seccón transversal cuadrada correspondente a las áreas resumdas en la tabla 3 (estas nercas no se modfcaron en los modelos con columnas con rgdez axal nfnta ). La tabla 4 resume y compara los perodos fundamentales de vbracón objetvo y estmado para las dferentes versones del sub-sstema de contraventeo. Conforme a lo dscutdo con anterordad, un menor valor de T S con respecto a T B mplca mayores dmensones de las dagonales que de las columnas. Note que la metodología propuesta aporta estmacones razonables de T B para las dferentes versones del subsstema de contraventeo. En el caso de T S, la metodología arroja mejores estmacones conforme decrece el valor objetvo para este perodo (es decr, se obtene una mejor estmacón de T S para el Caso 1 que para el Caso 4). Esto puede explcarse por el hecho de que la metodología no consdera la rgdez lateral en corte proporconada por las columnas (sempre que su momento de nerca sea mayor que cero, con algo contrburán esas columnas a la rgdez lateral de entrepso), y que el momento de nerca de las columnas aumenta con un ncremento en el valor de T S. En general, la metodología establece dmensones para el sub-sstema de contraventeo que reflejan adecuadamente los requstos de dseño planteados en térmnos de rgdez lateral. En caso de consderarlo convenente, el dseñador podría terar y reducr lgeramente las dmensones de las dagonales para compensar la contrbucón de las columnas del sstema de contraventeo a la rgdez lateral del sub-sstema de contraventeo. La fgura 7 muestra los modos fundamentales de vbracón para las cuatro versones del sub-sstema de contraventeo. Note la crecente nfluenca del comportamento global en flexón conforme dsmnuye el valor de T S (y, por tanto, conforme se reducen las deformacones globales en corte con respecto a las deformacones globales en flexón). 48

16 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz Caso Tabla 4. Perodos fundamentales de vbracón para los casos bajo consderacón Objetvo Estmado Cocente T CV T S T B T CV T S T B T CV T S T B T S = 1.00 s T B = 3.47 s T S = 1.95 s T B =.97 s T S =.34 s T B =.56 s T S =.65 s T B = 1.87 s a) Caso 1 b) Caso c) Caso 3 d) Caso 4 Fgura 7. Modo fundamental de vbracón debdo a deformacón global Mentras que la fgura 8 muestra los modos fundamentales de vbracón asocados al comportamento global en corte para las dferentes versones del sub-sstema de contraventeo, la fgura 9 hace lo propo para los modos fundamentales de vbracón asocados al comportamento global en flexón. Independentemente de los tamaños relatvos de dagonales y columnas, los modos fundamentales de vbracón debdos al comportamento global en corte son práctcamente guales entre sí. Puede hacerse una observacón smlar para el caso de los modos fundamentales de vbracón debdos al comportamento global en flexón. Las fguras 8 y 9 aportan un soporte gráfco para la condcón de ndependenca mplícta en la fgura 4 y la ecuacón 4 para los comportamentos globales en corte y flexón del sub-sstema de contraventeo. Esto mplca que una metodología como la planteada en este documento para el dmensonado basado en rgdez, puede establecer dmensones para las dagonales y columnas por medo de formulacones numércas ndependentes. En térmnos de esta ndependenca, es necesaro dscutr la posbldad de que un sstema de contraventeo exhba una respuesta lateral que quede caracterzada por una nteraccón entre sus comportamentos globales en corte y flexón. Normalmente una nteraccón así, ya sea que se de en elementos estructurales de mampostería, concreto o acero, se da a partr de un daño a corte que aparece en el elemento estructural después de un comportamento no lneal a flexón; y por lo general ocurre por la elevada sobrerresstenca asocada a la capacdad resstente a flexón. Dado que el enfoque de estructura tolerante a daño utlza el dseño por capacdad para fomentar que el comportamento plástco se concentre en las dagonales, y que éstas exhben un bajo nvel de sobrerresstenca para los nveles de deformacón mplíctos en lo de tolerante a daño, resulta probable que, conforme a lo planteado por Terán-Glmore y Coeto (011), el mecansmo global en flexón permanezca sn daño y por tanto que no se presente una nteraccón flexón-corte de mportanca. 49

17 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas T S = 1.00 s T S = 1.95 s T S =.34 s T S =.65 s a) Caso 1 b) Caso c) Caso 3 d) Caso 4 Fgura 8. Modo fundamental de vbracón debdo a deformacón global en corte T B = 3.47 s T B =.97 s T B =.56 s T B = 1.87 s a) Caso 1 b) Caso c) Caso 3 d) Caso 4 Fgura 9. Modo fundamental de vbracón debdo a deformacón global en flexón DISCUSIÓN La metodología planteada en este artículo ha sdo aplcada con éxto para el dmensonado de los elementos estructurales de un sub-sstema de contraventeo que tene el msmo número de dagonales (con longtud y confguracón estructural smlares) en todos los entrepsos, y que, por tanto, puede ser dealzado como una gran armadura de acero en voladzo. Al respecto, la metodología puede ser fáclmente programada en una hoja de cálculo electrónco para que pueda ser aplcada a sstemas de contraventeo con otras característcas geométrcas (por ejemplo, número dferente de dagonales en los dferentes entrepsos). La exstenca de cnturones (armaduras) rgdzantes en algunos de los entrepsos del edfco puede modfcar sgnfcatvamente el comportamento global en flexón del sstema de contraventeo. Mentras 50

18 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz que bajo estas crcunstancas, el dmensonado de las dagonales sgue las msmas consderacones planteadas en este artículo, el dmensonado de las columnas tendría que consderar las restrccones que las armaduras rgdzantes mponen al gro global de los entrepsos donde se ubcan (como consecuenca, la dstrbucón de momentos de volteo en altura cambaría con respecto a lo planteado por la ecuacón 8). En cuanto a los efectos de modos superores, es posble refnar el dmensonado de dagonales y columnas s las ecuacones 5 y 6 se ajustan para explíctamente reflejar la nfluenca de dchos modos en la dstrbucón en altura de fuerzas laterales. La tabla 5 resume el peso de los elementos estructurales de las cuatro versones del sub-sstema de contraventeo. Mentras que el peso de las columnas se calcula como el producto de su área, longtud, y el peso específco del acero; en el caso de las dagonales este producto se multplcó por 1.5 para consderar el peso de las conexones. Note que en térmnos de peso, las solucones más efcaces son aquellas en que T S es smlar o lgeramente menor que T B. De todos los casos bajo consderacón, los Casos 1 y 4 pueden ser consderados como nadecuados. Mentras que en el prmer caso, las fuerzas axales desarrolladas por las dagonales no pueden ser resstdas adecuadamente por las columnas; el últmo caso requere de dmensones demasado grandes para las columnas, de tal manera que el peso total resulta demasado grande cuando se le compara con el correspondente a los Casos y 3. Caso Tabla 5. Peso de los dferentes casos consderados para el sstema de contraventeo Peso (ton) CV Columna Total Peso Relatvo Observacón Columna débl/contravento fuerte Inefcente Fnalmente, debe menconarse por un lado que el dmensonado dervado del uso de la metodología conceptual propuesta puede ser utlzado drectamente por el ngenero estructural para establecer el dseño fnal del sstema estructural, o puede utlzarse como un estado ncal dentro del contexto de una metodología refnada enfocada a la optmzacón del peso estructural del edfco. CONCLUSIONES Se ha planteado una metodología smple para el dmensonado basado en rgdez de los elementos estructurales de un sstema de contraventeo para edfcos altos ssmorresstentes. Con base en conceptos báscos de la mecánca, y bajo el supuesto de ndependenca entre los comportamentos globales en corte y flexón del sstema de contraventeo, la metodología plantea una sere de pasos sencllos que permten, de manera ndependente, el dmensonado basado en rgdez de las dagonales y columnas. La aplcacón de la metodología para el dmensonado de dagonales y columnas de cuatro versones de un sstema de contraventeo de 4 psos do lugar a dseños adecuados en térmnos de rgdez lateral. Aunque el uso de la metodología se lustró para un sstema de contraventeo sn cnturones rgdzantes, y que tene el msmo número de dagonales en todos sus entrepsos y puede suponerse empotrado en la base; dcha metodología puede ser fáclmente adaptada para consderar otras confguracones estructurales y geométrcas. Metodologías como la planteada y dscutda en este trabajo se consttuyen en herramentas esencales y útles para la concepcón y dmensonado prelmnar de sstemas estructurales para edfcos 51

19 Dmensonado prelmnar basado en rgdez de edfcos altos con estructura de acero rgdzados con dagonales concéntrcas altos ubcados en zonas de alta ssmcdad, que lleven a dseños efcentes y confables dentro del contexto de un dseño basado en desempeño. AGRADECIMIENTOS Los autores desean expresar su agradecmento a la Unversdad Autónoma Metropoltana por el apoyo otorgado al trabajo que aquí se reporta. REFERENCIAS Baker, W (1990), Szng technque for lateral systems n mult-story steel buldng, 4 th World Congress on Tall Buldngs, pp , Hong Kong, Chna. Baldock, R y K Shea (006), Structural topology optmzaton of braced steel frameworks usng genetc programmng, Intellgent Computng n Engneerng and Archtecture, Lecture Notes n Computer Scence, vol. 400/006, pp Bertero, R y V V Bertero (199), Tall renforced concrete buldngs: conceptual earthquake-resstant desgn methodology, Reporte UCB/EERC-9/16, Unversdad de Calforna en Berkeley. Chan, C M y D E Grerson (1993), An effcent reszng technque for the desgn of tall buldngs subject to multple drft constrants, The Structural Desgn of Tall and Specal Buldngs, vol. (1), pp Federal Emergency Management Agency (000), FEMA 356, Prestandard and commentary for the sesmc rehabltaton of buldngs. Kameshk, E S y M P Saka (001), Genetc algorthm based optmum bracng desgn of non-swayng tall plane frames, Journal of Constructonal Steel Research, vol. 57, pp Km, C K, H S Km, J S Hwang y S M Hong (1998), Stffness-based optmal desgn of tall steel frameworks subject to lateral loadng, Structural Optmzaton, vol. 15, pp Lang, Q Q, Y M Xe y G P Steven (000), Optmal topology desgn of bracng systems for mult-story steel frames, ASCE Journal of Structural Engneerng, vol. 16 (7), pp Moehle, J P (008), Performance-based sesmc desgn of tall buldngs n the U.S., 14 th World Conference on Earthquake Engneerng (CD), Bejng, Chna. Montel-Ortega, M A y A Terán-Glmore (013), Comparatve relablty of two twenty-four story braced buldngs: tradtonal versus nnovatve, The Structural Desgn of Tall and Specal Buldngs, vol. (8), pp Moon, K-S, J J Connor y J E Fernandez (007), Dagrd structural systems for tall buldngs: characterstcs and methodology for prelmnary desgn, The Structural Desgn of Tall and Specal Buldngs, vol. 16, pp Moon, K-S (008), Sustanable structural engneerng strateges for tall buldngs, The Structural Desgn of Tall and Specal Buldngs, vol. 17, pp Park, H S, K Hong y J H Seo (00), Drft desgn of steel-frame shear-wall systems for tall buldngs, The Structural Desgn of Tall Buldngs, vol. 11, pp

20 Amador Terán Glmore y Gullermo Coeto Galaz Park, H S y J H Kwon (003), Optmal drft desgn model for mult-story buldngs subjected to dynamc lateral forces, The Structural Desgn of Tall and Specal Buldngs, vol. 1, pp Prestley, M J N (000), Performance based sesmc desgn, 1 th World Conference on Earthquake Engneerng (CD), Auckland, Nueva Zelanda. Soong, T T y B F Spencer (00), Supplemental energy dsspaton: state-of-the-art and state-of-the practce, Engneerng Structures, vol. 4, pp Terán-Glmore, A y J Ruz-Garca (010), Comparatve Sesmc Performance of Steel Frames Retroftted wth Bucklng-Restraned Braces through the Applcaton of Force-Based and Dsplacement-based Approaches, Sol Dynamcs and Earthquake Engneerng, vol. 31, pp Terán-Glmore, A y G Coeto (011), Dsplacement-Based Prelmnary Desgn of Tall Buldngs Stffened wth a System of Bucklng-Restraned Braces, Earthquake Spectra, vol. 7 (1), pp Tremblay, R, P Bolduc, R Nevlle y R DeVall (006), Sesmc testng and performance of bucklngrestraned bracng systems, Canadan Journal of Cvl Engneerng, vol. 33, pp Uang, C M y M Nakashma (003), Steel bucklng-restraned braced frames, Earthquake Engneerng: Recent Advances and Applcatons, Capítulo 16, CRC Press. Wada, A, Y Huang y V V Bertero (003), Innovatve strateges n earthquake engneerng, Earthquake Engneerng: Recent Advances and Applcatons, Capítulo 10, CRC Press. Zou, X-K y C-M Chan (005), An optmal reszng technque for sesmc drft desgn of concrete buldngs subjected to response spectrum and tme hstory loadngs, Computers and Structures, vol. 83, pp APÉNDICE Consdere un sstema de un grado de lbertad (S1GL) con masa m, perodo T, que permanece elástco y que ha sdo rgdzado con un contravento que exhbe la geometría mostrada en la fgura 3. El área de la dagonal se relacona con la rgdez lateral que aporta al S1GL a través de la ecuacón 1. Para satsfacer los requermentos de rgdez del S1GL, el área de la dagonal debe ser gual a: A K LKL (1 ) (A.1) E cos De acuerdo con la notacón mostrada en la fgura 3, el área de la dagonal requerda para acomodar una fuerza cortante V L es: VL AV (A.) f cos y Para el S1GL, V L puede estmarse como el producto de la pseudo-aceleracón (evaluada en T) y la masa, de tal manera que: 53