EVALUACIÓN PROBABILISTA DEL RIESGO SÍSMICO DE EDIFICIOS DE HORMIGÓN ARMADO CON BASE EN LA DEGRADACIÓN DE LA RIGIDEZ RESUMEN

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1 EVALUACIÓN PROBABILISTA DEL RIESGO SÍSMICO DE EDIFICIOS DE HORMIGÓN ARMADO CON BASE EN LA DEGRADACIÓN DE LA RIGIDEZ Barbat A.H. 1, Vargas Y.F. 2, Pujades L.G. 3 y Hurtado J.E. 4 RESUMEN El análss dnámco ncremental es una poderosa herramenta para evaluar la vulnerabldad sísmca y el resgo de edfcos. Permte calcular el daño global de estructuras para dferentes ntensdades y representar este resultado por medo de curvas de daño. Dchas curvas se utlzan para evaluar el resgo sísmco a nvel urbano. Aunque el uso de este método en un entorno probablsta requere un consderable esfuerzo computaconal, éste debe ser el método de referenca para el cálculo de las menconadas curvas. Sn embargo, resulta de nterés práctco dsponer de un método más sencllo basado, por ejemplo, en el análss pushover, para evaluar la vulnerabldad sísmca y el resgo de los edfcos, que permta obtener resultados smlares a los obtendos usando el análss dnámco ncremental. Hacendo referenca a los métodos basados en la capacdad y la demanda, habtualmente se han utlzado opnones de expertos para defnr los umbrales de los estados de daño a partr del punto de plastfcacón y del desplazamento máxmo espectral dentfcado en el espectro de capacdad blneal. En este artículo se demuestra que los resultados proporconados por estos métodos no reproducen con precsón sufcente los obtendos medante cálculo dnámco. Por lo tanto, se propone un nuevo procedmento para la defncón de los umbrales de los estados de daño, con base en la degradacón de la rgdez de la estructura. El problema se aborda medante un método totalmente probablsta utlzando smulacones por Monte Carlo con el fn de demostrar que los resultados son comparables con los obtendos medante el análss dnámco ncremental. Palabras claves: análss dnámco ncremental, análss pushover, método de Monte Carlo, ABSTRACT The ncremental dynamc analyss s a powerful tool for evaluatng the sesmc vulnerablty and rsk of buldngs. It allows calculatng the global damage of structures for dfferent peak ground acceleratons, PGA, and representng ths result by means of damage curves. Such curves are currently used to obtan sesmc rsk scenaros at urban level. Even f the applcaton of ths method n a probablstc envronment requres a relevant computatonal effort, t s the reference method for determnng those curves. Nevertheless, t would be of hgh practcal nterest to have a smpler method based, for nstance, on pushover analyss, for assessng the sesmc vulnerablty and rsk of buldngs, whch allows obtanng results smlar to those based on the ncremental dynamc analyss. Referrng to the capacty spectrum based methods, expert opnons have been used n prevous researches for defnng damage states thresholds startng from the yeldng and the ultmate spectral dsplacement dentfed n the blnear capacty spectrum. But we prove n ths artcle that the results provded by these methods do not reproduce wth suffcent precson the dynamc ones. Therefore, a new procedure for defnng the damage states thresholds, based on the stffness degradaton of renforced 1 Unversdad Poltécnca de Cataluña, Barcelona, España, alex.barbat@upc.edu 2 Unversdad Poltécnca de Cataluña, Barcelona, España, yeudy.felpe.vargas@upc.edu 3 Unversdad Poltécnca de Cataluña, Barcelona, España, llus.pujades@upc.edu 4 Unversdad Naconal de Colomba, Manzales, Colomba, jehurtadog@unal.edu.co

2 concrete buldng, s proposed heren and a fully probablstc approach s tackled by means of Monte Carlo smulatons. It s demonstrated n the paper that the obtaned results are n good agreement wth those calculated usng the ncremental dynamc analyss. Keywords: Incremental dynamc analyss, pushover analyss, Monte Carlo method INTRODUCCIÓN Para evaluar el resgo sísmco de las estructuras exstentes, debe establecerse cual es el grado de daño producdo por un terremoto. Exsten dversas metodologías para el cálculo de este grado daño como, por ejemplo, el método del índce de vulnerabldad en el que se defne la accón sísmca por medo de la escala macrosísmca europea EMS 98 (Grünthal 1998) y el comportamento estructural se descrbe por medo de un índce de vulnerabldad (Barbat et al. 1996; Barbat et al. 1998; Lagomarsno y Govanazz 2006). Otra metodología amplamente usada se basa en el método del espectro de capacdad propuesto por Freeman et al. (1975 y Freeman (1998) el cual ha sdo amplamente nvestgado, mejorado y aplcado por Fajfar y Gaspersc( 1996), Chopra y Goel (1999) y por Fajfar (1999), entre otros. En este método, la accón sísmca se defne por medo del espectro de respuesta elástco, mentras que la capacdad del edfco se defne por medo del espectro de capacdad, suponendo que la respuesta estructural está contenda prncpalmente en el prmer modo de vbracón. El espectro de capacdad se calcula medante el uso de un análss estátco no lneal ncremental, conocdo comúnmente como análss pushover analyss, PA por sus sglas en ngles. El método de espectro de capacdad ha sdo modfcado para nclur los efectos de los modos más altos de vbracón (Chopra y Goel 2004; Chopra et al. 2004; Kreslm y Fajfar 2012). El método del espectro de capacdad se aplcó en varos estudos anterores con el fn de calcular el resgo sísmco de zonas urbanas (Barbat et al. 2008; Lantada et al. 2009; Pujades et al. 2012). Estos artículos sguen los desarrollos realzados en el proyecto RISK EU (2000) en el que los umbrales de los estados de daño se defnen a partr de la opnón de expertos (Mlutnovc y Trendaflosk 2003; Lagomarsno y Govanazz 2006) con base en los desplazamentos de plastfcacón y últmo del espectro de capacdad. Aunque este enfoque es útl para evaluacones a gran escala, puede proporconar resultados que no están de acuerdo con los obtendos por medo del análss dnámco ncremental, que es la herramenta más poderosa para evaluar la vulnerabldad sísmca y el resgo de edfcos. Éste procedmento permte calcular el daño global de estructuras para dferentes ntensdades y, además, representarlo por medo de curvas de daño. Dchas curvas son utlzadas en muchos métodos para la obtencón de escenaros de resgo sísmco a nvel urbano. En este artículo se muestra cómo, con una nueva defncón de los umbrales de los estados de daño con base en la degradacón de la rgdez del edfco, calculada a partr de las dervadas prmera y segunda del espectro de capacdad, el método puede ser mejorado. Esta nueva defncón de los umbrales de daño se pone a prueba usando un edfco de tres plantas de hormgón armado tenendo en cuenta las ncertdumbres relaconadas con el resgo sísmco y las propedades mecáncas de los materales. Se muestra que, ncluso en el caso del enfoque probablístco, hay una mejora sgnfcatva de los resultados. DESCRIPCIÓN DEL EDIFICIO ESTUDIADO El edfco estudado es de hormgón armado de 4 nveles y 3 vanos y se ha dseñado y utlzado en este artículo para probar el método de evaluacón sísmca propuesto. El edfco se muestra en la Fgura 1 junto con sus dmensones. Debdo a su smetría, el edfco puede ser representado medante un modelo bdmensonal utlzando un solo pórtco (Fgura 1b) cuyas característcas se muestran en la Tabla 1.

3 Fgura 1. a) Edfco estudado y b) el modelo 2D del edfco Tabla 1. Característcas de los elementos del edfco estudado (Fgura 1). b, h y son la base, la altura y la cuantía armadura de las seccones transversales de los elementos estructurales, respectvamente Columnas Vgas Nvel b (m) h (m) b (m) h (m) El materal de las vgas y de las columnas del modelo estructural sgue una regla de hstéress elastoplástca con un endurecmento de 5%. Las superfces de fluenca se defnen por medo del dagrama de nteraccón de flexo compresón para las columnas y de momento curvatura para las vgas. Las cargas aplcadas sguen las recomendacones dadas por el Eurocódgo 2 (CEN, 2004) para estructuras de hormgón armado. Los valores característcos de las propedades mecáncas del hormgón y el acero son valores utlzados comúnmente en el dseño de tales edfcos. Las normas de dseño requeren valores característcos de resstenca de los materales obtendos durante el proceso de control de caldad, a partr de ensayos de compresón y tensón en las muestras de hormgón y acero, respectvamente. Por medo de estos ensayos, la resstenca a compresón del hormgón, fc, y el módulo de elastcdad del acero, Es, se pueden modelar como varables aleatoras, hecho que es muy útl debdo al enfoque probablsta de este artículo. La Tabla 2 muestra la meda, la desvacón estándar, y el coefcente de varacón, cdv, de estas varables aleatoras. Se supone que éstas sguen una dstrbucón normal. Otras posbles ncertdumbres, como los relaconadas con la formacón de gretas y aplastamento del hormgón, el endurecmento por deformacón y la resstenca fnal de acero, otros efectos tales como la partcpacón de la losa, las varacones de fuerza axal

4 sobre la carga de la columna, sólo para nombrar unas pocas, puede ser tambén ncludas en el análss probablsta estructural, pero en este artículo sólo consderamos las ncertdumbres de las varables dadas en la Tabla 2. Tabla 2. Característcas de las varables de entrada aleatoras., y cdv representan la meda, la desvacón estándar y el coefcente de varacón de las varables aleatoras de entrada cdv fc (kn) 2.1E E Es (kpa) 2 E08 2 E A contnuacón se utlza la estructura descrta con el fn de explcar el procedmento que se propone en el artículo. ANÁLISIS DINÁMICO INCREMENTAL El análss dnámco no lneal (NLDA por sus sglas en ngles) usando un acelerograma proporcona la hstora de la respuesta temporal de un edfco. De esta hstora se pueden obtener las característcas máxmas de la respuesta de la estructura como el desplazamento en el techo o el índce de daño global de acuerdo a un certo crtero. S se escala el acelerograma para dferentes ncrementos de la aceleracón máxma en el suelo (PGA por sus sglas en ngles) partendo de un límte nferor (que ncluye la zona de deformacón elástca) hasta alcanzar uno superor, correspondente al colapso de la estructura y, s para cada ncremento se realza un NLDA, se obtene una curva que relacona el PGA (medda de ntensdad) con en el desplazamento máxmo en el techo (medda de la respuesta estructural). Cuando una curva relacona una medda de ntensdad con un índce de daño global de la estructura, se la denomna curva de daño. Cuando en lugar de un solo acelerograma, se utlzan varos de ellos para realzar los análss dnámcos no lneales y se hace estadístca con los resultados obtendos, nos enfrentamos a un análss dnámco ncremental (IDA por sus sglas en ngles) (Vamvatskos y Cornell 2002). Resumendo, el IDA permte obtener la respuesta dnámca no lneal de una estructura para un grupo de terremotos que se escalan a dferentes meddas de ntensdad como, por ejemplo, la aceleracón máxma del terreno (PGA). Este procedmento ha sdo extenddo para nclur las ncertdumbres en las propedades estructurales (Vamvatskos y Fragadaks 2010; Vargas et al. 2011). Una fuente mportante de ncertdumbre en la respuesta sísmca radca en la predccón de los parámetros del terremoto, cuya nfluenca ha sdo estudada por Bommer y Crowley (2006), Abrahamson et al. (1991), Bommer et al. (2007) y Arroyo y Ordaz (2011). De acuerdo con el enfoque de smulacón probablsta que se emplea en este artículo, es necesaro descrbr la accón sísmca como una varable aleatora. Para ello, han sdo selecconados 10 terremotos de la base de datos europea (Ambraseys et al. 2004) cuyos espectros se pueden ver en la Fgura 2. Esta fgura, además, muestra el espectro medo y el espectro tpo 1 para un suelo tpo A del Eurocódgo 8 (EC8) (CEN, 2004). Los terremotos se han selecconado de tal manera que la meda de sus espectros mnmce el error cuadrátco medo en un ntervalo de perodos dado. La Fgura 2 muestra que el procedmento que se ha utlzado para la seleccón de acelerogramas compatbles con una zona sísmca, representada por una forma espectral, permte obtener un buen ajuste. La lsta de estos terremotos y de sus prncpales característcas se muestra en la Tabla 3.

5 Tabla 3. Característcas de los acelerogramas selecconados Epcentro Dstanca Nombre de Profunddad Magntud Geología fecha Epcentral la estacón (km) (Ms) local N E (km) Suelo San Rocco rígdo 17 San Rocco Suelo rígdo 17 Kotor Nas Rakt Roca 21 Auleta Roca 25 Ponte Corvo Roca 31 Matelca Roca 20 Trcarco Roca 20 Izmt M Istasyonu Suelo rígdo 13 Bolu Bayndrlk Suelo rígdo 39 Athens Papagos Roca 26 Depth 11km, Depth 3. 8km, ED 22. 9km, ED 7. 65km, Ms 6. 13, Ms Hancock et al (2008) han estudado varos métodos para determnar el número óptmo de acelerogramas requerdos para realzar análss dnámcos nelástcos. Ellos llegan a la conclusón que el número exacto depende de las meddas de daño que se consderan y tambén de su predctbldad. La mayoría de estos métodos se basan en la magntud y la forma espectral. No obstante, en este trabajo no estamos nteresados en la obtencón de un número óptmo de acelerogramas, sno en obtener una medda de la ncertdumbre en la respuesta estructural de las estructuras sometdas a accones sísmcas. Por esta razón, en este artículo, la seleccón de los acelerogramas se basa en la dferenca cuadrátca entre la meda de un grupo de espectros de respuesta y el espectro objetvo, en este caso el tpo 1 suelo tpo A del EC8; los acelerogramas correspondentes a estos espectros han sdo prevamente normalzados a 1 g. El cálculo tene su base en la dferenca absoluta acumulada entre el espectro objetvo y el espectro promedo en varos puntos; estos puntos están separados por ntervalos de perodo guales a 0,01 s.

6 Fgura 2. Espectros de respuesta calculados a partr del procedmento con base en el espectro medo Con el fn de nclur las ncertdumbres relaconadas con las característcas estructurales, se utlza el método de Monte Carlo. Es ben conocdo que la varabldad espacal entre las característcas de los elementos estructurales nfluye en gran medda en los resultados (Franchn et al. 2010). Por lo tanto, se ha decddo consderar medante la generacón, para todas las columnas de un msmo nvel del edfco, de una muestra aleatora de la resstenca a la compresón de hormgón, fc, y, para cada columna del msmo nvel, de una muestra aleatora del módulo de elastcdad del acero, Es. Se utlzó el msmo crtero para generar muestras aleatoras de las característcas de los materales de las vgas de un msmo nvel. Es mportante observar que las muestras correspondentes a cada nvel son ndependentes. Esta consderacón se basa en el hecho de que, por lo general, los elementos estructurales de la msma planta están hechos de la msma mezcla de hormgón. Las propedades del refuerzo se pueden suponer como ndependentes de elemento a elemento. El objetvo de este artículo es la evaluacón del resgo sísmco de un edfco ndvdual; sn embargo, el estudo se podría extender a estructuras exstentes en zonas urbanas, tenendo en cuenta, la varacón de edfco a edfco de las característcas estructurales dentro de una tpología estructural. Una dscusón más profunda sobre este tema se puede encontrar en Crowley et al. (2005). Posterormente, se generan muestras aleatoras de las propedades mecáncas de los materales y se realzan una sere de análss dnámcos no lneales para los dferentes acelerogramas lnealmente escalados para PGAs que van desde 0,1g a 1,4g en ntervalos de 0,1g. Se utlzó el método del hpercubo latno para generar muestras aleatoras de las propedades de los materales y la combnacón de éstas con los acelerogramas. Por tanto, se han llevado a cabo 1000 NLDA para cada PGA. Se han propuesto varos índces de daño para los elementos de estructuras de hormgón armado a partr de un post proceso de la respuesta dnámca no lneal (Banon y Venezano 1982; Park y Ang 1985; Roufael y Meyer 1987; Bracc et al. 1989; Cosenza et al. 1993). En este trabajo se ha selecconado el índce de daño de Park y Ang (1985), porque permte nclur el efecto del daño en el elemento debdo al desplazamento máxmo alcanzado y a la dspacón de energía hsterétca. La ecuacón 1 muestra como se calcula el índce de daño de Park y Ang a nvel de elementos estructurales

7 DI E m u E h F y u y (1) donde m y u son la ductldad máxma y últma, respectvamente. es un parámetro postvo que representa el efecto de los cclos de carga en el daño estructural. E h es la energía hsterétca dspada; y F y y y son la carga y el desplazamento a los cuales se produce la fluenca, respectvamente. El índce de daño global de la estructura, DI, es una meda ponderada de los daños de los elementos, en el que los pesos son la razón entre la energía de hstéress dspada por cada elemento y la energía de hstéress total dspada por la estructura (Park et al. 1985) DI DI (2) E donde DI es el índce de daño global basado en el análss dnámco de la estructura, es la relacón de la energía de hstéress dspada por un elemento E y la energía total de hstéress dspada por la estructura. La Fgura 3 muestra la evolucón del DI en funcón del PGA del índce de daño global del edfco mostrado en la Fgura 1, tenendo en cuenta las ncertdumbres relaconadas con las propedades mecáncas de los materales y la accón sísmca. Fgura 3. Gráfcos de los índces de daño global representados en funcón de la PGA (curvas de daño), calculados medante análss no lneal dnámco para la estructura de la Fgura 1 De acuerdo con la calbracón orgnal del índce de daño realzado por Park et al. (1985), un valor de 0,4 ndca que el costo de la reparacón de la estructura supera el costo de reemplazarla por completo, mentras que un índce de daño de 1 ndca colapso. Por esta razón, en este artículo, cuando el índce de daño de Park y Ang es mayor que 1, su valor se fja en 1 puesto que a mayor PGA, la desvacón estándar del índce de daño dsmnuye, lo que ndca que la probabldad de que ocurra colapso tende a 1. El índce de daño de Park y Ang

8 tambén puede relaconarse con el desplazamento máxmo al nvel del techo, tal como se muestra en la Fgura 4. Además, en esta fgura se muestra el DI global s solo se tuvera en cuenta la contrbucón del prmer térmno de la ecuacón de Park y Ang así como los valores medos y los límtes de 0.4 y 1. Fgura 4. a) Índce de daño debdo a la ductldad e índce de daño de Park y Ang representados en funcón del desplazamento en el techo; b) gráfcas de los valores medos de los msmos índces y valores límtes de reparacón y de colapso de la estructura ÍNDICE DE DAÑO BASADO EN EL ANÁLISIS PUSHOVER Cuando se consderan las ncertdumbres en las propedades de los materales, el IDA es una manera tedosa de obtener curvas de probabldad de daño. Por tanto, sería nteresante desarrollar un procedmento basado en el análss estátco no lneal, en un sentdo probablsta, con el fn de obtener curvas de daños smlares a las calculadas con el método del análss dnámco. Obvamente, es mportante conservar la valosa nformacón que se obtene del IDA, no sólo por consderar las ncertdumbres en las propedades mecáncas de los materales, sno tambén en la accón sísmca. El análss estátco ncremental, PA, y el método de N2 (Fajfar 1999), en combnacón con la metodología para calcular las curvas de fragldad propuesta por Lantada et al. (2009) y por Vargas et al. (2013), es una herramenta potente y smplfcada para la obtencón de las curvas de probabldad de daño smlares a las calculadas usando el IDA probablsta. Como se menconó anterormente, la prmera herramenta necesara para desarrollar la metodología smplfcada es el PA. Esta herramenta numérca consste en aplcar una carga horzontal a la estructura de acuerdo con un patrón de fuerzas y aumentar su valor hasta alcanzar el colapso estructural. A partr de este procedmento, se obtene una curva que relacona el desplazamento en el techo con el cortante en la base del edfco llamada curva de capacdad. En este artículo, de acuerdo con el enfoque probablsta, será necesaro llevarlo a cabo un gran número de PA y, por lo tanto, es apropado utlzar un procedmento para obtener automátcamente el límte de carga horzontal que se debe aplcar a la estructura. Satyarno (2000) propone el análss no lneal ncremental adaptatvo que establece el límte de carga horzontal como una funcón de la rgdez tangente y, por consguente, de la frecuenca asocada con el prmer modo de vbracón, que se calcula para cada ncremento de carga. Por lo tanto, en cada paso, el prmer modo de vbracón se calcula para determnar la forma de la carga en altura. Una descrpcón detallada de este procedmento se puede encontrar en los manuales del programa Ruaumoko (Carr 2000). Dcho programa se utlza en este estudo para el cálculo de la respuesta estátca y dnámca estructural en régmen no lneal. De acuerdo con los valores de la Tabla 1, se generan 1000 grupos de muestras con dstrbucón gaussana,

9 consderando la varabldad espacal tal y como se hzo en el apartado anteror. Posterormente se llevan a cabo los PA. La Fgura 5 muestra las 1000 curvas de capacdad que se han calculado, cuyas característcas, tales como la rgdez elástca, el desplazamento máxmo, el cortante en la base máxma, etc., son varables aleatoras. Fgura 5. Curvas de capacdad y espectros de capacdad del edfco estudado consderando las propedades mecáncas de los materales como varables aleatoras Según HAZUS (FEMA 1999) y el ATC 40 (1996) es posble estmar el resgo sísmco de estructuras a partr de su curva de capacdad y de la amenaza sísmca expresada en térmnos del espectro de respuesta. Este enfoque puede ser muy útl cuando se comparan los métodos para calcular el resgo basados en el espectro de capacdad con el método de NLDA por varas razones: 1) el esfuerzo computaconal de la realzacón de un PA es bajo cuando se compara con el requerdo por un análss dnámco no lneal, 2) el número de cálculos para encontrar una funcón que relacona la respuesta del edfco con la demanda es menor cuando se hace a partr del PA que cuando se hace a partr del NLDA; 3) el post proceso para calcular los índces globales de daño es muy smple en el método basado en el PA en comparacón con el postproceso requerdo por el NLDA. El procedmento de ATC 40 y del método de N2 para calcular la respuesta de una estructura requere la transformacón de las curvas de capacdad en espectros de capacdad. Esta transformacón permte relaconar el desplazamento espectral con la aceleracón espectral por medo de las sguentes ecuacones: sd sa PF 1 V W (3) El subíndce se refere a los ncrementos de carga aplcada sobre la estructura durante el PA; sd es el desplazamento espectral; es el desplazamento en el tejado del edfco; PF 1 es el factor de partcpacón modal correspondente al prmer modo de vbracón; sa es la espectral aceleracón; V es el cortante en la base; W es el peso de la estructura; y 1 es el coefcente de masa modal del prmer modo de vbracón. Medante el uso de las ecuacones 3, las 1000 curvas de capacdad que se muestran en la Fgura 5a se transforman en los 1000 espectros de capacdad de la fgura 5b.

10 El espectro de capacdad se puede representar en un formato blneal útl para defnr los estados de daño. Los supuestos para calcular el espectro de capacdad blneal son: 1) el área bajo la curva blneal debe ser gual al área del espectro de capacdad orgnal; 2) las coordenadas del punto de desplazamento máxmo deben ser las msmas en las dos curvas; 3) la pendente de la rama ncal debe ser gual en ambas curvas. Dferentes estudos han propuesto el cálculo de los daños estructurales a partr de la defncón de los estados de daño, ds, que predefnen el daño sísmco en funcón del desplazamento espectral de la estructura. Por ejemplo, en HAZUS, se defnen cuatro estados de daño, leve, moderado, extensvo y completo. La descrpcón de los estados de daño depende del tpo de estructura. Por ejemplo, de acuerdo con HAZUS, el estado de daño leve para estructuras de hormgón armado se descrbe como el nco de la fsuracón por esfuerzo cortante o momento flector en vgas y columnas. Lantada et al. (2009) y Vargas et al. (2013) defnen los estados de daño de una manera smplfcada, a partr de la representacón blneal del espectro de capacdad medante los valores (Dy, Ay) y (Du, Au) asocados al desplazamento de fluenca y últmo del espectro de capacdad. Los desplazamentos espectrales para los cuatro umbrales de daño se defnen de acuerdo a las sguentes ecuacones con base en opnón de expertos (RISK EU 2000): ds ds ds ds * Dy Dy 0.25*( Du Dy) Du Dy (4) Fgura 6. Umbrales de los estados de daño representados como varables aleatoras, calculados a partr de opnón de expertos (ecuacones 4) Después de obtener los estados de daño como varables aleatoras, se calculan las curvas de fragldad que representan la probabldad de alcanzar o superar un estado de daño como una funcón del desplazamento espectral. Para obtener las curvas de fragldad, en este artículo se han consderado las sguentes hpótess (Vargas et al, 2013): 1) Para cada umbral de daño, la probabldad de exceder su curva de fragldad correspondente se fja a 50%; 2) las curvas de fragldad sguen una funcón de probabldad cumulatva lognormal descrta por la sguente ecuacón:

11 P ds / sd 1 ds Ln sd ds (5) donde sd es el desplazamento espectral y de la varable ds es la desvacón estándar del logartmo natural ds ; 3) para cada desplazamento espectral asocado a los umbrales de daño, la probabldad de exceder cada estado de daño se calcula suponendo que estos sguen una dstrbucón de probabldad bnomal. La Fgura 7a muestra las 1000 curvas de fragldad para cada estado de daño calculado después de aplcar las hpótess descrtas. Además, las curvas de fragldad promedo y los puntos calculados a partr de la dstrbucón bnomal utlzados para llevar a cabo la nterpolacón de las curvas de fragldad, se muestran en la fgura 8b. El índce de daño global esperado de la estructura, DI, se calcula ahora a partr de las probabldades de ocurrenca de cada estado de daño que se obtenen fáclmente a partr de las curvas de fragldad. DI se obtene medante el uso de una meda ponderada que razonablemente asgna más peso a los estados de daño más altos y que se calcula usando la sguente ecuacón (Lantada et al. 2009; Vargas et al. 2013; Barbat et al. 2010): DI 1 n n 0 P( ds ) (6) donde n es el número de los estados de daño consderados no nulos que, en este caso, es gual a 4 y P ( ds ) es la probabldad de ocurrenca de ds. DI será, como en el caso del análss dnámco, el índce de daño global de la estructura. Fgura 7. a) Curvas de fragldad; b) Curvas de fragldad medas junto con los puntos partculares calculados con la dstrbucón bnomal para la nterpolacón de las curvas de fragldad La Fgura 8 muestra el DI calculado a partr de las curvas de fragldad de la Fgura 7a. Las curvas de la Fgura 8 se conocen como curvas de vulnerabldad aleatoras debdo a que dependen del desplazamento espectral pero no tenen en cuenta la accón sísmca. Para hacer que dependa de la accón sísmca, se tene que calcular el punto capacdad por demanda, el cual es una medda del desplazamento máxmo esperado en una estructura dada una

12 demanda sísmca la cual es representada en térmnos del espectro de respuesta. Este espectro se puede escalar para dferentes nveles de ntensdad como en el análss dnámco ncremental. Fgura 8. Curvas de vulnerabldad mostrando los índces de daño representados en funcón del desplazamento espectral; los cálculos se han hecho consderando las propedades mecáncas de los materales como varables aleatoras El procedmento utlzado para calcular el punto de capacdad por demanda es el del ATC 40 (1996) que tene en cuenta la reduccón del espectro de respuesta elástco por la ductldad de la estructura. La Fgura 9 lustra este procedmento. Fgura 9. Punto de capacdad por demanda para un determnado espectro (método propuesto en el capítulo 8 del ATC 40) Este procedmento se aplca a todas las curvas de capacdad y los espectros de respuesta elástca correspondentes a los acelerogramas utlzados en el IDA. De esta manera, el índce de daño puede ser expresado como una funcón de la aceleracón pco, PGA, tal como se muestra en la Fgura 10. Puesto que se ha ncludo el efecto de la accón sísmca, ahora estas curvas se

13 llaman curvas de daño. Es mportante señalar que el procedmento del ATC 40 ha sdo aplcado para los msmos PGAs que los utlzados en el análss dnámco. Fgura 10. Índces de daños representados en funcón de la aceleracón máxma del terreno. Se han consderado las ncertdumbres relaconadas con las propedades mecáncas de los materales y con las característcas de la accón sísmca En las Fguras 11a y 11b se comparan la meda y la desvacón estándar de los índces de daño calculados medante el método de RISK UE (cuya base es el análss estátco) y con el método de Park y Ang, respectvamente. Claramente, se puede ver que el índce de daño obtendo con el prmer enfoque, con base en el PA, no estma con sufcente precsón el índce de daño obtendo con el análss dnámco. Por esta razón se propone una nueva técnca que puede mejorar los resultados obtendos a partr del análss pushover. Fgura 11. a) Curvas de daño medo y b) desvacón estándar de los índces de daño. Las fguras muestran la comparacón probablsta entre los resultados obtendos medante análss dnámco, utlzabdo el índce de daño de Park y Ang, y medante análss pushover, utlzando los límtes de los estados de daño de las ecuacones 4

14 ÍNDICE DE DAÑO BASADO EN LA DEGRADACIÓN ESPECTRAL Los umbrales de los estados de daño se han calculado medante las ecuacones 4. En algunos casos, este procedmento puede sobreestmar o ncluso subestmar los daños, dependendo de cómo empeza a ocurrr el daño. Por ejemplo, el ds 1 se defne en este caso como 0.7ds 2 y se supone que es constante, pero este coefcente puede varar de un edfco a otro. Por esta razón se propone calcular los estados de daño en funcón de la dervada del espectro de capacdad, que se denomnará en este artículo rgdez espectral. Para ello, se propone localzar el umbral del estado de daño leve, ds 1, en el punto donde la rgdez espectral, asocada a la elastcdad, comenza a degradarse, como se puede ver en la Fgura 12a. Se propone calcular el umbral del estado moderado, ds 2, a partr de la curva de rgdez espectral meda. Un ejemplo de dcha curva, correspondente a la estructura estudada, se muestra en la parte superor de la Fgura 12b. A partr de la dervada numérca de la curva de rgdez espectral meda se calcula su valor mínmo. Para el desplazamento espectral correspondente a este valor mínmo, se calcula la rgdez espectral meda y se dvde por la rgdez espectral meda asocada a la elastcdad, obtenendo así un porcentaje que se utlza para encontrar el desplazamento espectral relaconado con el estado de daño 2 para cada espectro de capacdad smulado. Como regla general, podemos hacer la observacón que, para todas las estructuras que hemos estudado, se encuentra el estado de daño moderado, en un punto donde la curva de rgdez espectral degrada a un valor entre 40% y 70% de la rgdez espectral asocada a la elastcdad. Por ejemplo, en el caso del edfco estudado, este porcentaje es el 68% de la rgdez espectral asocada a la elastcdad. Es mportante señalar que la defncón propuesta del estado de daño moderado, ds 2, deberá efectuarse utlzando la dervada de la curva de degradacón espectral meda ya que, como se puede ver en la Fgura 12a, cada curva de rgdez espectral tene varas seccones con rgdez constante cuyas dervadas son cero, es decr, varos valores mínmos locales. El umbral del estado daño extensvo, ds 3, se encuentra en el punto ncal de la últma parte constante de cada curva de rgdez espectral, tal como se muestra en la Fgura 12a. Por últmo, el umbral de daño de colapso, ds 4, corresponde al desplazamento espectral fnal. Los nuevos umbrales de los estados daños se comparan con los obtendos a partr de la opnón de los expertos de una manera probablístca por medo de los hstogramas de la Fgura 13. Estos hstogramas muestran que los ds 1, obtendos con el nuevo método, son nferores a los obtendos medante el uso de opnones de los expertos. ds 2 y ds 3 obtendos con el nuevo método son más altos que los obtendos medante el uso de la opnón de los expertos. Con los nuevos estados de daño, se calculan las curvas de fragldad utlzando ahora las sguentes hpótess: 1) para el umbral del estado leve, ds 1, se supone que la probabldad de superar su curva de fragldad correspondente se fja en un 5% con el fn de evtar que la contrbucón del estado leve se produzca antes del nco de la degradacón de la rgdez, lo que producría un retraso en la curva de daño. Para los umbrales de los estados de daño ds 2 y ds 3, la probabldad de exceder sus curvas de fragldad correspondente es del 50%; para el umbral del estado de daño de colapso, la probabldad de exceder sus curvas de fragldad se fja en 95%, debdo a que una probabldad del 50% ndcaría que el colapso no ha ocurrdo. Sn embargo, basados en el método adaptatvo aplcado para calcular las curvas de capacdad, se sabe que en realdad un mecansmo de colapso se ha producdo para este desplazamento espectral. 2) las curvas de fragldad sguen una funcón lognormal probabldad acumulatva descrta por la ecuacón 5; 3) para cada desplazamento espectral asocado a los umbrales de daño, la probabldad de exceder cada estado de daño se calcula suponendo que sguen una dstrbucón de probabldad bnomal. La Fgura 14a muestra las nuevas curvas de fragldad calculadas con las hpótess descrtas y, basados en la ecuacón 6, se calculan los correspondentes índces de daño, los cuales se muestran en la Fgura 14b.

15 Fgura 12. Nueva defncón de los umbrales de los estados de daño. a) Curva de rgdez espectral y su correspondente espectro de capacdad; b) Las 1000 curvas de rgdez espectral smuladas por Monte Carlo y sus dervadas Fgura 13. Comparacón entre los umbrales de los estados de daño obtendos con las ecuacones 4 (opnones de expertos) y el método de degradacón de rgdez

16 Fgura 14. Nuevas curvas de fragldad y de vulnerabldad obtendas medante el método de degradacón de la rgdez Fnalmente, se calcula el punto de capacdad por demanda sguendo el procedmento del ATC 40 (1996) que tene en cuenta la reduccón del espectro de respuesta elástco debdo a la ductldad del edfco. Es decr, se cruza la capacdad y la demanda para obtener curvas de daño que dependan de la capacdad estructural y de la demanda sísmca. En La Fgura 15 se muestran los nuevos índces de daño como una funcón del PGA. Fgura 15. Nuevos curvas de daño obtendas utlzando el método de degradacón de la rgdez. En esta fgura hay curvas de daño. Los índces de daño se han representad en funcón de la aceleracón máxma del terreno, PGA DISCUSIÓN DE RESULTADOS Las curvas de daño obtendas en este artículo con el método propuesto con base en crteros estátcos, utlzando la degradacón de la rgdez, ajustan mejor las curvas de daño calculadas usando el método dnámco no lneal que las obtendas con base en la opnón de expertos (Lagomarsno y Govanazz 2006; Lantada et al. 2009; Vargas et al. 2013; Barbat et al. 2010). Los resultados obtendos se comparan, desde una perspectva probablístca, con las curvas de

17 daños calculadas con IDA, en térmnos de la meda y de la desvacón estándar las cuales se muestran en las Fguras 16a y 16b, respectvamente. Fgura 16. a) Comparacón entre las curvas de daño calculadas medante análss dnámco y el índce de Park y Ang y medante análss pushover, con los límtes de los estados de daño defndos por la ecuacón 4 (opnón de expertos) y por el método de degradacón de la rgdez. b) Comparacón de la desvacón estándar del daño para los msmos casos. Los resultados corresponden a la estructura mostrada en la Fgura 1 Estas curvas muestran claramente el buen ajuste de las curvas de daño obtendas con el nuevo método. En térmnos de valores medos, el método basado en opnón de expertos sobreestma el daño ncal dentro del rango de PGA desde 0 a 0,9g. Es mportante observar que un índce de daño gual a 0,4 se produce para un PGA de 0.25g con el método ncal mentras que con el IDA y el método nuevo este índce de daño se produce a 0,55g. Este hecho demuestra que el método basado en la opnón de los expertos es excesvamente conservador. En térmnos de desvacón estándar, para los valores que están entre 0 y 0,35g, el método ncal tambén es muy conservador mentras que, para valores más altos, es no conservador; con el nuevo método, ncluso en térmnos de la desvacón estándar, los resultados se ajustan mejor a los resultados dnámcos no lneales. CONCLUSIONES En este trabajo se ha evaluado el resgo sísmco de un edfco de hormgón armado, tenendo en cuenta que las varables de entrada son aleatoras. No sólo han sdo tratados como varables aleatoras la resstenca a compresón del hormgón y el módulo de elastcdad del acero, sno tambén la accón sísmca.. Se han utlzado dos enfoques para evaluar los daños esperados del edfco, el prmero con base en el análss dnámco ncremental y el en el análss pushover. Una conclusón mportante es que, a pesar de trabajar con avanzados métodos no lneales de análss estructural, los resultados muestran ncertdumbres sgnfcatvas s se tene en cuenta el carácter aleatoro de las varables de entrada. Con el objetvo de mejorar el análss de daño sobre la base de métodos de análss estátco, ha sdo propuesto un nuevo procedmento para defnr los umbrales de los estados de daño que consste en utlzar la degradacón de la rgdez que se puede observar en la dervada de la curva de capacdad. Los resultados obtendos con este nuevo enfoque muestran un mejor acuerdo con el análss dnámco que los que se obtenen al utlzar los umbrales de los estados de daño basados en opnón de expertos. Una de las conclusones más relevantes de este trabajo es que, sempre que los procedmentos descrtos se utlzan para evaluar el daño sísmco esperado de una estructura,

18 los parámetros que nfluyen en las curvas de daño de las estructuras deben ser consderados como aleatoros. Se ha vsto cómo la consderacón probablístca de estos parámetros genera ncertdumbres sgnfcatvas en la respuesta sísmca. Procedmentos smplfcados determnstas basados en los valores característcos de las varables generalmente conducen a resultados conservadores. Pero algunas smplfcacones, por ejemplo en la defncón de las accones sísmcas y en la estmacón de los estados de daño sísmco, pueden conducr tambén a subestmar el daño que puede ocurrr en una estructura. En este artículo ha estudado una estructura baja y smétrca medante el nuevo método. En los edfcos altos y/o asmétrcos, deben hacerse consderacones que tengan en cuenta los efectos de los modos de vbracón superores (Chopra et al. 2004; Poursha et al. 2009; Chopra y Goel 2004; Bento et al. 2010; Bhatt y Bento. 2011; Kresln y Fajfar 2012; Reyes y Chopra; 2010; Reyes y Chopra 2011; Fuj 2011), entre otros. Estas consderacones permtrán amplar el alcance del método propuesto para evaluar el resgo sísmco de estructuras más complejas. Una de las prncpales aplcacones de los resultados obtendos en este artículo es la estmacón de escenaros probablstas de resgo sísmco que requeren curvas probablstas defndas de una forma paramétrca, por medo de su meda y de su desvacón estándar. Fnalmente, las prncpales ventajas del nuevo método se resumen como sgue: 1) el esfuerzo de cálculo es menor que en el caso del IDA probablsta; 2) s la amenaza sísmca camba, el método de análss dnámco requere llevar a cabo nuevos análss dnámcos no lneales, paso que no es necesaro en el caso que se aplque el nuevo método; 3) El nuevo método tambén permte consderar las ncertdumbres relaconadas no sólo al comportamento estructural, sno tambén al resgo sísmco, medante la aplcacón del método N2 o del ATC 40 (1996). AGRADECIMIENTOS Este trabajo fue fnancado en parte por el Insttuto Geológco de Cataluña (IGC), por el Goberno español y por la Comsón Europea con fondos FEDER, a través de los proyectos de nvestgacón: CGL /BTE, CGL , CGL , INTERREG POCTEFA /73/08, MOVE FT7 ENV y DESURBS FP REFERENCIAS Abrahamson N.A., Somervlle P.G. and Cornell C.A. (1991). Uncertanty n numercal ground moton predctons, Proceedngs of the 4st U.S. Natonal Conference of Earthquake Engneerng, EERI, Ambraseys N., Smt P., Sgbjornsson R., Suhadolc P. and Margars B. (2004). Internet Ste for European Strong Moton Data, European Commsson, Research Drectorate General, Envronment and Clmate Programme. [17 Aprl 2011]. Arroyo D. and Ordaz M. (2011). On the Forecastng of Ground Moton Parameters for Probablstc Sesmc Hazard Analyss, Earthquake Spectra, 27(1), ATC 40 (1996). Sesmc evaluaton and retroft of concrete buldngs. Appled Technology Councl, Redwood Cty, Calforna. Banon H. and Venezano D. (1982). Sesmc safety of renforced concrete members and structures, Earthquake Engneerng and Structural Dynamcs, 10(2), Barbat A.H., Carreño M.L., Pujades L.G., Lantada N., Cardona O.D. and Marulanda M.C. (2010). Sesmc vulnerablty and RISK evaluaton methods for urban areas. A revew wth applcaton to a plot area, Structure and Infrastructure Engneerng, 6(1 2),

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