CONTROL DIFUSO MANDAMI

Transcripción

1 CONTROL DIFUSO MANDAMI Estos modelos se basan en un conjunto de reglas heurístcas donde las varables lngüístcas de las entradas y saldas se representan por conjuntos dfusos. La sguente fgura muestra las prncpales componentes de un controlador dfuso: nterfaz de fusfcacón, base de conocmento, motor de nferenca e nterfaz de defusfcacón (Lee, 99). Interfaz de fusfcacón. Este elemento transforma las varables de entrada del modelo (y) en varables dfusas. Para esta nterfaz se deben tener defndos los rangos de varacón de las varables de entrada y los conjuntos dfusos asocados con sus respectvas funcones de pertenenca. Base de conocmentos. Contene las reglas lngüístcas del control y la nformacón referente a las funcones de pertenenca de los conjuntos dfusos. Estas reglas lngüístcas, tenen típcamente la sguente forma: D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

2 2 S x es A y x 2 es B entonces u es C donde A, B y C son los conjuntos dfusos de las varables de entrada x y x 2, y de la varable de salda u respectvamente. Exsten varas formas de dervar las reglas (Lee, 99), entre las que destacan las basadas en: - La experenca de expertos y el conocmento de ngenería de control. La base de reglas se determna a partr de entrevstas con el operador o a través del conocmento de la dnámca del proceso. - La modelacón del proceso. Los parámetros de la base de conocmento se obtenen a partr de datos de entrada y salda del proceso. Motor de nferenca. Realza la tarea de calcular las varables de salda a partr de las varables de entrada, medante las reglas del controlador y la nferenca dfusa, entregando conjuntos dfusos de salda. Por ejemplo, dada una base de conocmento con n reglas del tpo: S u es A y u 2 es B entonces y es C la secuenca de cálculos que realza el motor de nferenca ncluye: - Determnar el grado de cumplmento W de cada regla a partr de los grados de pertenenca de las varables de entrada obtendos en la etapa de fusfcacón, es decr, W = mn(u A,u B ) D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

3 3 debdo a que las premsas de la reglas están undos por operadores AND, defndos como la nterseccón de conjuntos dfusos. - Para cada regla se tene una consecuenca "y es C", que tene asocado una funcón de pertenenca u C. Por lo tanto, se tene un conjunto de salda C', cuya funcón de pertenenca es: u C' = mn (W,u C ) donde W es el grado de cumplmento para la regla. - Para evaluar el conjunto total de reglas, se unen los conjuntos dfusos C' resultantes de cada regla, generándose un conjunto de salda con la sguente funcón de pertenenca: u = max( u ) =,...,n C' C' De esta forma, se obtene una salda dfusa del controlador, con una funcón de pertenenca u C'. Interfaz de defusfcacón. Este elemento provee saldas dscretas y determnístcas a partr de los conjuntos dfusos C' obtendos como resultado de la nferenca. Exsten dferentes métodos de defusfcacón, algunos de los cuales se descrben a contnuacón: - Método del máxmo. La salda corresponde al valor para el cual la funcón de pertenenca u C' alcanza su máxmo. - Meda del máxmo. La salda es el promedo entre los elementos del conjunto C' que tenen un grado de pertenenca máxmo. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

4 4 - Centro de área. Genera como salda el valor correspondente al centro de gravedad de la funcón de pertenenca del conjunto de salda C'. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

5 5 Ejemplo Reglas S x es A e y es B entonces z es C R S x es A e y es B 2 entonces z es C 2 x = y = 26 z? A A 2 B B 2 C C 2 x y z C C 2 z C. z 4 D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

6 6 Ejemplo 2 Modelacón de las accones de control de un operador de un horno cementero. En la sguente fgura se presenta un dagrama del proceso, donde el carbón provenente de un molno, almenta una tolva y es transportado haca el horno. El ventlador prmaro srve para mantener la llama en la zona de coccón. La mezcla, que permte la formacón de los compuestos del cemento, se desplaza desde la parte posteror del horno (derecha de la fgura) en contracorrente al flujo de calor, calcnándose y cocéndose, hasta obtenerse el clnker o producto fnal del horno que pasa posterormente al enfrador. El ventlador de nduccón srve para succonar los gases producdos en la combustón. CS BF KS Horno Cementero CO RT O 2 BT NOx El dagrama muestra las varables de entrada y de salda del proceso: - el flujo de almentacón del carbón (CS), - la velocdad del ventlador de nduccón (BF) y - la velocdad del horno (KS). D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

7 7 - el porcentaje de monóxdo de carbono en los gases (CO), - la temperatura de los gases en la zona ntermeda (RT), - el porcentaje de oxígeno en los gases (O 2 ), - la temperatura de los gases en la zona posteror (BT) y - el porcentaje de óxdo ntroso en los gases (NOx). Expermentalmente, se ha comprobado que la dnámca de este sstema es no lneal, con retardos, fuertes nteraccones y muy dependente de las condcones ncales. A partr de la experenca de operadores para hornos cementeros, se puede deducr, en térmnos generales, que el flujo de carbón es la varable manpulada que produce el mayor efecto. Por ejemplo, un aumento de CS genera: - una dsmnucón de O 2 y CO, y - un aumento de las temperaturas RT y BT, y del NOx. Por su parte, un aumento en BF - aumenta el O 2, CO y BT, y - dsmnuye RT y NOx. Al aumentar KS, aumentan RT y BT. A partr de estas afrmacones, una regla que representa las accones de control del operador puede ser: S CO es alto entonces CS aumenta y BF dsmnuye D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

8 8 CONTROLADORES PI DIFUSOS La Fgura presenta un dagrama de un controlador PI dfuso ncremental, donde las entradas son el error e( k) = ref y( k) y su tasa de cambo de( k) = e( k) e( k ), y la salda es el cambo ncremental en la varable manpulada du(k). e(k) ref GE GR Controlador du(k) GU Proceso y(k) de(k) Los parámetros del controlador son las ganancas GE, GR y GU, que multplcan a e(k), de(k) y du(k) respectvamente. En general, estos controladores presentan las sguentes característcas: dos o sete conjuntos dfusos para las varables de entrada, tres o sete conjuntos dfusos para la varable de salda, funcones de pertenenca trangulares, fusfcacón con unversos contnuos, mplcacón utlzando operador mn, nferenca basada en mplcanca dfusa y defusfcacón por el método de la meda de los máxmos modfcada. Este tpo de controlador dfuso se derva a partr del comportamento deseado del sstema en lazo cerrado. En la sguente fgura se apreca la respuesta típca de un sstema controlado, donde las entradas al controlador son e(k) y de(k), y la salda es du(k). D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

9 9 y(k) ref a a2 a3 a4 e(k) de(k) tempo Analzando en detalle esta respuesta se pueden observar dferentes stuacones. Consderando el valor de e(k) y el sgno de de(k), se tenen los casos presentados en la tabla (a). Además, exsten dos tpos de stuacones especales, cuando el error e(k) es cero y cuando su tasa de cambo de(k) es cero. Estas stuacones se muestran en las sguentes fguras y en las tablas (b) y (c). Tabla : Stuacones de las varables e(k) y de(k) e(k) de(k) e(k) de(k) de(k) e(k) a > < b = <<< c = <<< a2 < < b2 = << c2 = << a3 < > b3 = < c3 = < a4 > > b4 = > c4 = > b5 = >> c5 = >> b6 = >>> c6 = >>> (a) (b) (c) D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

10 y(k) b b2 c3 y(k) c c2 ref b3 b4 b5 b6 ref c4 c5 c6 (a) tempo (b) tempo A partr de estas condcones, se puede confgurar una tabla en funcón de las varables de entrada del controlador (ver Tabla 2). En ella se consderan sete conjuntos dfusos NB ("Negatve Bg"), NM ("Negatve Medum"), NS ("Negatve Small"), ZE ("Zero"), PS ("Postve Small"), PM ("Postve Medum") y PB ("Postve Bg") para las varables de entrada que descrben los estados <<<, <<, <, =, >, >> y >>>, respectvamente. Tabla 2: Dagrama de estados e(k) y de(k). de(k) NB NM NS ZE PS PM PB NB a2 a2 a2 c a3 a3 a3 NM a2 a2 a2 c2 a3 a3 a3 NS a2 a2 a2 c3 a3 a3 a3 e(k) ZE b b2 b3 ZE b4 b5 b6 PS a a a c4 a4 a4 a4 PM a a a c5 a4 a4 a4 PB a a a c6 a4 a4 a4 Las accones de control, es decr, los ncrementos en la varable manpulada, se defnen a partr de la proposcón de MacVcar-Whelan (976), como lo muestra la Tabla 3. Por ejemplo, para el elemento de la tercera fla y sexta columna, la regla de control se nterpreta como: "S el error es negatvo pequeño y la varacón ncremental del error es D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

11 postva medana, entonces hacer postva pequeña la varacón ncremental en el control". Tabla 3: Reglas de control PI dfuso. de(k) NB NM NS ZE PS PM PB NB NB NB NB NB NM NS ZE NM NB NB NM NM NS ZE PS NS NB NM NS NS ZE PS PM e(k) ZE NB NM NS ZE PS PM PB PS NM NS ZE PS PS PM PB PM NS ZE PS PM PM PB PB PB ZE PS PM PB PB PB PB El dseño de un controlador dfuso PI ncluye, además de defnr las reglas de control, determnar las funcones de pertenenca de cada conjunto dfuso. En general, se utlzan funcones trangulares como se muestran en la sguente fgura, donde el unverso varía entre -L y L, sendo L un factor de escalamento de las varables. NB NS NM ZE PS PM PB -L -2L/3 -L/3 O L/3 2L/3 L Los prncpales parámetros de sntonía de estos controladores son las ganancas GE, GR y GU. Exsten dversos trabajos que descrben la equvalenca entre un controlador PI convenconal y un controlador PI dfuso (Tang, 987). D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

12 2 CONTROL BASADO EN MODELOS DE TAKAGI & SUGENO Los modelos dfusos propuestos por Takag y Sugeno (985), tenen la partculardad de que las consecuencas de cada regla son ecuacones lneales. Esta característca permte que para cada subespaco lneal o regla del modelo, se pueda dervar un controlador basado en la teoría de control lneal. Por lo tanto, se puede obtener un controlador dfuso, que combne las accones de los controladores lneales de cada regla. La secuenca de pasos, propuesta por Sugeno y Kang (986), para dseñar un controlador basado en modelo dfuso consste en: a) Identfcar un modelo basado en reglas como el sguente: R :S Zes Fl entonces Y y y Zmes Fm = p + p X + + p k Xk (*) R :S Zes Fl entonces u = f y y Zmes Fm (Y,X,...,Xk) e) Por últmo, cabe menconar que para calcular la accón de control fnal se utlza la ponderacón de la salda de cada regla por su respectvo grado de cumplmento W. De esta manera, la accón de control fnal u es: u = M = (W u M )/( W ) = donde W es el grado de actvacón de la regla y M es el número de reglas del modelo dfuso. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

13 3 Control lneal cuadrátco (LQR) CONTROLADOR LQR DIFUSO El dseño del controlador lneal cuadrátco (LQR: "Lnear Quadratc Regulator") se realza consderando un modelo lneal en varables de estado del sstema y mnmzando la sguente funcón de costos (Astrom, 984): J = (x T Qx + u T Ru) dt donde x es el vector de varables de estado, u es la varable manpulada. La solucón de este problema se obtene resolvendo la sguente ecuacón de Rcatt para la matrz P: PA + A T P PBR B T P + Q = donde A y B son las matrces del modelo en varables de estado lnealzado. De esta manera, el control obtendo está dado por: u = Kx donde K = R B T P D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

14 4 Para el dseño del controlador LQR dfuso, se consdera el sguente modelo dfuso en varables de estado: R :S z es Fl y y z es Fm entonces x = A x + B u m donde z j son las varables de entrada del modelo dfuso y x es el vector de varables de estado Por lo tanto, el controlador basado en un modelo dfuso consste en una base de reglas con la sguente estructura: R :S z es Fl entonces u y y z es Fm = f (x,,x m n ) donde la ley de control f corresponde a un controlador lneal cuadrátco obtendo a partr del modelo lneal en varables de estado para cada regla del modelo dfuso Entonces, R :S z es Fl entonces u y y z m = k x k es Fm n x n D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

15 5 CONTROLADOR BASADO EN MODELOS DIFUSOS POR UBICACIÓN DE POLOS Debdo a que las consecuencas de los modelos dfusos de Takag & Sugeno son sstemas lneales, se puede dseñar controladores en varables de estado dfusos por asgnacón de polos (Kang y Lee, 995). En este caso, se consdera el sguente modelo dfuso de Takag & Sugeno en varables de estado: R :S z es Fl y y z entonces x (k + ) = A x(k) + m y(k) = Cx(k) es Fm B u(k) Entonces, el vector en varables de estado a partr del modelo dfuso es: x(k M w (z)x = + ) = M w (z) = (k + ) El controlador dfuso esta compuesto por las premsas del modelo dfuso. Entonces, la base de reglas del controlador está dada por: R :S z es Fl y y z es Fm entonces u (k) = G x(k) m donde G es una matrz de gananca realmentada en el estado. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

16 6 CONTROLADOR LQR DIFUSO PARA UN PENDULO INVERTIDO. Sensor angular α Péndulo. Sensor lneal Motor. F Rel. d El péndulo nvertdo está compuesto por una vga montada sobre un carro que deslza sobre un rel. El motor de corrente contnua permte ejercer la fuerza sobre el sstema y un pontencómetro acoplado a él por un mecansmo de engranaje mde la poscón del carro. Además, un potencómetro montado en el eje de rotacón permte medr el ángulo del péndulo con respecto a la vertcal. Se consdera como varables de entrada al controlador o varables controladas el ángulo y la velocdad angular del péndulo, y la varable de salda o manpulada es la fuerza aplcada al motor. No se consdera el control de la poscón del carro. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

17 7 Controlador LQR dfuso En este caso, para dseñar el controlador dfuso para la establzacón angular de un péndulo nvertdo se derva el sguente modelo dfuso del proceso: R: S x es A y x2 es B entonces x x 2 a = a 2 a a 2 22 x x 2 b + b 2 c u + c 2 donde x y x2 son las varables de estado del proceso α y α, u es la varable manpulada F. Además, A y B son los conjuntos dfusos para x y x2 respectvamente. En este caso, debdo a que el proceso es nestable y no es posble la obtencón de datos en lazo aberto, en vez de realzar una dentfcacón del modelo por alguno de los métodos descrtos anterormente, los coefcentes aj, bj y cj son determnados a partr de la lnealzacón de la sguente ecuacón fenomenológca del proceso en torno a dferentes puntos de operacón. α = (M + ml 2 m)g senα - Fcosα - α senα cosα 2 2 2(M + m) l ml cos α 3 2 D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

18 8 Por lo tanto, el controlador basado en un modelo dfuso consste en una base de reglas con la sguente estructura: R: S α es A y α es B entonces F = -k α - k2 α' + ko donde kj son los coefcentes de la regla para la varable de estado j, (j =,2) y ko es un sesgo dado por la dferenca entre el punto de operacón utlzado para la lnealzacón correspondente a la regla y el estado de equlbro (α =, α = ). Los puntos de operacón para la lnealzacón se presentan en la sguente tabla. Regla α (rad) α (rad/seg) (-4º ) (-º/seg) (-4º ).7453 (º/seg) (4º ) (-º/seg) (4º ).7453 (º/seg ) Los parámetros de las funcones de pertenenca (ver fgura) han sdo determnados medante un procedmento de prueba y error, y sus valores se presentan en la sguente tabla. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

19 9 u A A 2 L L2 Funcones de pertenenca Parámetros de las premsas L L2 α (rad) (-2º).349 (2º) α(rad/seg.) (-5º/seg.).8727 (5º/seg.) Los coefcentes de las consecuencas, correspondentes a los de un controlador LQR para cada regla, se presentan a contnuacón. Coefcentes de las consecuencas Regla k k2 ko En las sguentes fguras, se presentan los resultados del LQR dfuso para el péndulo nvertdo. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

20 2 Angulo (rad) Tempo (seg) Velocdad angular (rad/seg) Tempo (seg) Velocdad angular (rad/seg) Fuerza (N) Angulo (rad) Tempo (seg) Condcones ncales: α = ( ).745 rad, α =. Verde :LQR, Azul: LQR dfuso. Angulo (rad) Tempo (seg) Velocdad angular (rad/seg) Tempo (seg) Velocdad angular (rad/seg) Fuerza (N) Angulo (rad) Tempo (seg) Condcones ncales: α = (2 ).349 rad, α = (4 /seg).698. Verde :LQR, Azul: LQR dfuso. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.

21 2 En la sguente tabla se presentan los valores de la funcón de costos del regulador LQR, para todas las pruebas realzadas con dferentes condcones ncales. Valores de la funcón de costos. α (rad).745 (º).745 (º).268 (5º).349 (2º) α (rad/seg).349 (2º/seg).526 (3º/seg).698 (4º/seg) LQR LQR dfuso Fnalmente, tomando en cuenta las fguras y los valores de la funcón de costos podemos decr que el controlador lneal cuadrátco dfuso (LQR dfuso) presenta el mejor desempeño en las pruebas por smulacón. D. Sáez, EL525. Apuntes Control Dfuso. Dpto. Ing. Eléctrca, U. Chle.