Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica

Transcripción

1 Unersdad Naconal de Rosaro Facultad de Cencas Exactas, Ingenería y Agrmensura Escuela de Ingenería Electrónca epartamento de Electrónca ELECTRÓNICA III PLL LAZOS E FIJACIÓN E FASE Federco Myara T 3 T 4 5 t c T 5 9 T 9 3 T 0 6 8,4 kω T T 6 T 7 I " 4,6 kω 530 Ω 530 Ω t Segunda Edcón B04.0 Robamba 45 bs Rosaro TEL Argentna FAX

2 Códgo nterno de publcacón: B04.0 Prmera edcón: 000 Segunda edcón corregda y amplada: 005 Publcado en Internet Rosaro, Argentna Año 005

3 PLL LAZOS E FIJACIÓN E FASE. Introduccón Un lazo de fjacón de fase (PLL, sglas en nglés de phase locked loop) es un crcuto capaz de generar una osclacón cuya fase con respecto a una señal de entrada se mantene acotada, contando para ello con una realmentacón que compara la fase de las dos señales y actúa modfcando la frecuenca de la osclacón generada. En la fgura se muestra un esquema muy smplfcado del msmo. f Osclador Comparador ϕ f Ampl. controlado de fase 3 por tensón c Fgura. agrama esquemátco de un lazo de fjacón de fase El comparador de fase produce, dealmente, una señal ϕ proporconal a la dferenca de fase entre la señal de entrada y la señal generada por el osclador controlado por tensón (CO, sglas en nglés de oltage-controlled oscllator) que, amplfcada por el amplfcador, se aplca a la entrada c del CO. Este últmo produce una frecuenca f que aría lnealmente con c. La stuacón de equlbro se alcanza cuando la señal ϕ amplfcada por el amplfcador es tal que, aplcada al CO, hace que éste oscle exactamente a la msma frecuenca que la entrada. En efecto, s fuera, por ejemplo, f > f, la dferenca de fase ría en aumento, lo cual haría que f aumentara, tendendo a acercarse a f ; y a la nersa s f < f. Una prmera aplcacón nteresante de este dsposto es la demodulacón de una señal de frecuenca modulada, ya que c es proporconal a f, y por lo tanto a f. Exsten, como eremos más adelante, otras aplcacones, como la multplcacón de frecuencas, o la recuperacón del tono ploto en las señales de FM estereofóncas.. Estructura real de un PLL En el esquema smplfcado de la fgura supusmos la exstenca de un elemento de crcuto capaz de comparar drectamente las fases de las dos señales, producendo una señal proporconal a la dferenca de fases, ϕ. esgracadamente no es posble construr tal dsposto, por lo cual se lo reemplaza por un crcuto multplcador (de- 04.0

4 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase nomnado detector de fase multplcato) segudo por un fltro pasabajos. S suponemos que las dos señales que ngresan al msmo son ( t) sen t () ( t) sen t, () entonces la multplcacón de estas señales conduce, aplcando conocdas dentdades trgonométrcas, a t) ( t) ( t) [ cos( ) t sen( ) t] 3(. (3) S suponemos que <<, y que el fltro pasabajos tene su frecuenca de corte entre estas dos frecuencas, la frecuenca se elmna, y entonces podemos conclur que 3( t) cos( ) t. (4) Pero ( )t es precsamente la dferenca de fase ϕ entre ambas señales, de donde 3( t) cos ϕ. (5) Esta relacón se ha representado en la fgura, donde se obsera, además, que en las proxmdades de π/ la relacón es bastante lneal. En ese caso es posble aproxmar aún más la ecuacón (5), que queda: 3 ( π / ϕ) ( π / ϕ). (6) 3 π/ π ϕ Fgura. Relacón cosenodal entre la salda 3 y la dferenca de fase ϕ entre la señal de entrada y la del CO. La línea de trazos es la aproxmacón lneal La alnealdad puede elmnarse s en lugar de utlzar un multplcador lneal se utlza un crcuto de tpo OR-excluso, cuya respuesta es 3 (t) sg( (t)) sg( (t)), (7) B04.0

5 Federco Myara Año 005 donde sg(x) es la funcón sgno. Suponendo que las dos señales tenen semperíodos smétrcos y que tenen un defasaje ϕ, como se muestra en la fgura 3(a), podemos calcular el alor medo en un perodo como es decr T ( π ϕ) ϕ 3 med ( t) dt T 0 3, π π 3 med ϕ, (8) π relacón ndcada en la fgura 3b. sg( ) sg( ) π t 3 med ϕ t π/ π ϕ 3 ϕ π π ϕ π t (a) (b) Fgura 3. Operacón de un detector de fase OR-excluso. (a) Forma de onda prea al fltrado. (b) Relacón lneal entre la fase y la componente de baja frecuenca. Lo anteror muestra que en la fgura podemos susttur el comparador de fase por un detector de fase multplcato y un fltro pasabajos, como se e en la fgura 4. f Osclador etector Fltro ϕ f Ampl. controlado de fase Pasabajos por tensón c Fgura 4. agrama esquemátco de un lazo de fjacón de fase ponendo de manfesto la estructura del comparador de fase. NOTA: El razonamento anteror se hzo suponendo que tanto como eran constantes. S son arables, ya no es certo que ϕ t, sno que ϕ dt, o, lo que es lo msmo, (t) ϕ (t) (er Apéndce ). B4.0 3

6 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase La aproxmacón (6) es álda sólo cuando la dferenca de fase se encuentra próxma π/. Para dferencas de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhbe un comportamento alneal y tende a saturarse. Qué sucede en ese caso? Smplemente, la realmentacón se nterrumpe, las frecuencas dejan de ser guales, y entonces la fase salta peródcamente entre alores postos y negatos, tendendo a un promedo nulo. Lo msmo sucede en el caso del detector OR-excluso cuando el defasaje ntenta r por debajo de 0 o por encma de π. En este caso se dce que el PLL funcona desenganchado. ado que el CO recbe una tensón nula, en el caso deal producría a su salda una señal de frecuenca tambén nula. Sn embargo, por razones de orden práctco que eremos enseguda conene que, con entrada nula, genere alguna frecuenca no nula, que se denomna frecuenca lbre. 3. PLL en segumento En la zona de operacón lneal del detector de fase (zona de segumento) el PLL se comporta como un sstema lneal y es posble determnar su transferenca frecuencatensón por medo de la teoría de sstemas lneales. Para ello es conenente tener en cuenta la relacón que exste entre la fase y la frecuenca, ya que la entrada del sstema será la frecuenca de la señal de entrada, mentras que la comparacón se efectuará en fase. Tenemos (Apéndce ): que en transformada de Laplace corresponde a ϕ( t ) ( t) dt (9) Φ ( s) Ω( s). (0) s A fn de etar confusones, es mportante señalar que en este tpo muy partcular de sstemas consderamos que la señal de entrada es una frecuenca, que a su ez podría arar peródcamente con otra frecuenca. Por ejemplo, físcamente podría tratarse de una señal senodal cuya frecuenca aría entre 9 khz y khz a razón de 00 eces por segundo, es decr, una portadora de 0 khz modulada en frecuenca medante una señal moduladora de 00 Hz. Para el PLL, la señal será la frecuenca arable entre 9 khz y khz, y su frecuenca será 00 Hz. La frecuenca mplícta en la arable de Laplace s corresponde a esta últma, es decr, la frecuenca con que aría la frecuenca. En la fgura 5 (a) se muestra la nterconexón de bloques que resulta, obtenda reordenando los bloques de la fgura 3 e ncluyendo la relacón (0). F(s) es la funcón transferenca del fltro. En la fgura 5 (b) las dos ntegracones /s han quedado absorbdas en una sola dentro del camno drecto. e esta fgura puede obtenerse la funcón de transferenca del PLL aplcando la fórmula para la transferenca de un sstema realmentado: O ( s) Ω ( s) A F( s) s A F( s) s s A. () F( s) 4 B04.0

7 Federco Myara Año 005 Ω (s) Φ ε Φ ε /s F(s) A A F(s) Φ ε o (s) Φ Ω o /s (a) Ω (s) Ω ε Φ ε Φ ε /s F(s) A A F(s) Φ ε o (s) Ω o (b) Fgura 5. agrama esquemátco de un lazo de fjacón de fase lnealzado. (a) Ponendo de manfesto la relacón entre frecuenca y fase. (b) Reordenado para smplfcar el análss. A fn de lograr una mejor comprensón de la fórmula anteror, analzaremos prmero el caso deal, que es más smple. 3.. El caso deal En el caso deal planteado en la seccón, el comparador de fase producrá una tensón proporconal al error de fase sn necesdad de nngún fltrado posteror, por lo cual podríamos tomar F(s), resultando: 0 ( s) Ω ( s) s A. () emos que el PLL se comporta nherentemente como un pasabajos, cuya frecuenca angular de corte es A. (3) PLL Como puede aprecarse, la frecuenca de corte será tanto mayor cuanto mayor sea la gananca del lazo. Este comportamento es coherente con el hecho de que estamos realmentando un sstema con un polo (la ntegracón) y por lo tanto su producto gananca por ancho de banda es constante. B4.0 5

8 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase NOTA: Obseremos que esta frecuenca de corte no es relata a la señal físca de entrada, sno a su frecuenca. En otras palabras, s la frecuenca es constante (es decr, s la frecuenca de aracón de la frecuenca es 0), no exstrá atenuacón con respecto a la transferenca deal /. S ahora la frecuenca empeza a arar, mentras la frecuenca de aracón se mantenga por debajo de PLL no habrá atenuacón, pero por encma de PLL (es decr, cuando la frecuenca aríe muy rápdamente), la ampltud de la tensón de salda comenzará a reducrse. Supongamos ahora una señal cuya frecuenca aría senodalmente alrededor de una frecuenca central 0, alejándose de ésta en ± máx : t) 0 sen m t, (4) ( máx donde m es la frecuenca de aracón de la frecuenca. S aplcamos la ecuacón (), podemos obtener la tensón de salda en régmen permanente: donde ( t) 0 máx sen ( mt m A 0 θ m ), (5) θ arctg. (6) A Es nteresante ahora obtener la frecuenca generada por el CO, que es la que resulta comparada con la de la entrada. Para ello basta multplcar por : CO ( t) sen ( 0 máx m θ m A t ), (7) S recordamos la ecuacón (4) comprobaremos que CO excepto s m << PLL, como se muestra en la fgura 6. Esto parecería estar en contradccón con el análss ntuto que habíamos hecho en la seccón, donde afrmábamos que en el equlbro CO. Pero no es así, dado que en este caso, en el cual la frecuenca de entrada no es constante, es más apropado hablar de régmen permanente que de equlbro. En la fgura 7 se muestran, además de las frecuencas y CO, las correspondentes formas de onda. S la frecuenca de entrada fuera constante (y por consguente gual a 0 ), la frecuenca del CO sería exactamente gual a la frecuenca de entrada, stuacón que sí puede consderarse como de equlbro. Es nteresante ncular esto con la Teoría del Control. En este caso, al haber una ntegracón en la cadena drecta (la que conerte frecuenca en fase), cabe esperar que el error en contnua sea nulo, por lo cual el resultado obtendo antes ntutamente y ahora por cálculo era esperable. 6 B04.0

9 Federco Myara Año CO (a) t CO 0 (b) t Fgura 6. Frecuencas angulares de entrada (línea llena) y del CO (línea de trazos) en funcón del tempo. (a) Para m << PLL. (b) Para m > PLL. CO 0 (a) t t CO (b) t (c) Fgura 7. (a) Frecuencas angulares de entrada (línea llena) y del CO (línea de trazos) en funcón del tempo. (b) Tensón de entrada. (c) Tensón del CO. Compárese las gráfcas (b) y (c) con la correspondente frecuenca de la gráfca (a). Obsérese cómo la aracón de frecuenca en (c) es menor que en (b). B4.0 7

10 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase Fnalmente, calculemos el régmen transtoro ante una conmutacón o salto de frecuenca en la tensón de entrada. Este problema reste mportanca en la demodulacón de señales dgtales FS (frequency shft keyng). Para ello, tengamos en cuenta que la constante de tempo del sstema es τ (8) A PLL Entonces ante un salto de frecuenca desde a proocará una respuesta de tensón t / τ ( ) e ( t PLL ) e 0, (9) mentras que la frecuenca del CO será t e PLL CO ( ). (0) emos que el error fnal es nulo, como cabe esperar, nueamente, de un sstema con una ntegracón en el camno drecto. En la fgura 8 se lustra lo anteror. τ CO t t CO t Fgura 8. Transtoro de un PLL ante un salto de frecuenca, según la ecuacón (0). En las gráfcas de abajo se muestran respectamente la forma de onda de la entrada, en la que se apreca el cambo brusco de frecuenca, y la del CO, donde el cambo es más gradual. 8 B04.0

11 Federco Myara Año El caso real Cuando el comparador de fase no es deal el fltro pasa a ser necesaro. El caso más smple es cuando se trata de un sencllo pasabajos RC como el de la fgura 9 (a): Reemplazando en la ecuacón () se obtene 0 ( s) Ω ( s) que puede reescrbrse como F( s). () RCs s A ( RCs), () 0 ( s) Ω ( s) s A RC s A, (3) o ben ( s) 0 Ω ( s) s ξ n s n. (4) Esta transferenca es de segundo orden, sendo sus alores característcos n RC A, (5) ξ RC. (6) A ebe tenerse en cuenta que RC debe ser relatamente pequeño, para poder fltrar la frecuenca CO. Al msmo tempo, como n determna el ancho de banda resultante para el PLL, debe adoptarse lo sufcentemente grande para permtr el paso R R C R C (a) (b) Fgura 9. (a) Fltro pasabajos con un polo de prmer orden. (b) Fltro alternato con un polo y un cero. B4.0 9

12 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase de la máxma frecuenca de aracón de la frecuenca de entrada. Esto en general mpone lmtacones que se traducen en bajos alores de ξ. La consecuenca será un sstema con una respuesta muy subamortguada, lo cual no es deseable. Como ejemplo, supongamos que la frecuenca de entrada está en torno de los 0 khz, pero aría entre 9 khz y khz a razón de 00 eces por segundo (00 Hz). Para no proocar dstorsones sobre esta señal moduladora, podemos elegr f n 500 Hz, y para elmnar la frecuenca f (que es del orden de 0 khz) elegmos f RC << 0 khz; por ejemplo, f RC 50 Hz. Para ello debe ser, según la ecuacón (5), A π 000 Hz. Resulta ξ 0,5, que es demasado bajo ya que produce transtoros muy osclantes. Un buen compromso es proponer una respuesta de Butterworth o máxmamente plana, que se obtene cuando ξ. En ese caso resulta A, (7) RC y, entonces, n A, (8) o ben, tenendo en cuenta que para este alor de ξ la frecuenca de corte es gual a la frecuenca natural, PLL A. (9) Esta ecuacón es smlar a la (3), con un factor multplcato. Según eremos, en algunos casos esta solucón puede ser poco conenente. Una segunda alternata es utlzar un fltro con un cero y un polo, como el ndcado en la fgura 9 (b), cuya transferenca es RCs s / F ( s). (30) ( R R ) Cs s / Obsérese que sempre es >. S ahora reemplazamos la ecuacón (30) en la () obtendremos la nuea expresón para la transferenca del PLL: ( s) 0 Ω ( s) s A s / s /, (3) es decr, ( s) 0 Ω ( s) A s / s s A. (3) Esta ecuacón se dferenca de la (4) no sólo en que ncorpora un cero, sno en que permte ndependzar PLL de A mantenendo un ξ razonable. En efecto, por smple nspeccón 0 B04.0

13 Federco Myara Año 005 A, (33) PLL n ξ n, (34) A de donde se obtenen las sguentes ecuacones de dseño para ξ (respuesta máxmamente plana): ( R R ) C PLL A R C (35) (36) A PLL eremos luego que A está nculado al rango de captura (es decr la banda de frecuencas dentro de la cual el enganche es posble), de allí la utldad de poder selecconarlo ndependentemente de la frecuenca de corte. Ante un escalón de frecuenca de entrada desde a (y suponendo el cero desprecable), la frecuenca del CO tendrá una eolucón transtora dada por CO ξ t t e n ( ) cos ξ nt η, (37) ξ donde η arcsen ξ. Se apreca una respuesta osclatora subamortguada, que se lustra en la fgura 0. En el caso en que ξ /, el sobrepco es de 4,3 %, que es relatamente pequeño. Nueamente, por ser el sstema ntegrato, el error fnal es nulo, es decr que la frecuenca del PLL al alcanzar el estado de equlbro concde con la de entrada. CO t Fgura 0. En línea de trazos, transtoro de frecuenca de un PLL con fltro ante un salto de frecuenca de entrada. ebdo a la ntegracón dentro del lazo, el error fnal es nulo. EJEMPLO Un PLL ntegrado LM565 almentado con ± 6 y funconando a 0 khz tene una constante A 800 /s. Selecconar los componentes del fltro para tener PLL 500 /s utlzando como crtero que la respuesta sea máxmamente plana. B4.0

14 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase Solucón: Aplcando la ecuacón (36) resulta que R C,79 ms. Con este alor y la ecuacón (35) se obtene R C 0 ms. Adoptando C µf resultan los alores de la sere del % R 0 kω y R,80 kω. 4. Rango de captura del PLL mos en la seccón que s la dferenca de fase entre la entrada de un PLL real y la salda del CO supera el rango del detector de fase el lazo de realmentacón se corta y el PLL no puede engancharse. En este caso el CO osclará a su frecuenca lbre o. Nos preguntamos ahora bajo qué condcones el PLL uele a engancharse. Supongamos para ello que se aplca a la entrada una señal de frecuenca muy próxma a la frecuenca lbre o. En ese caso, de acuerdo con la ecuacón (3), la salda del detector de fase tendrá una componente de muy baja frecuenca, o, y otra de alta frecuenca, o. Esta últma será elmnada por el fltro pasabajos F(s), quedando la otra aplcada a la entrada del CO según la ecuacón (4). ado que esta tensón es osclante, en algún momento la frecuenca del CO concdrá con la frecuenca de entrada. En ese momento la tensón aplcada al CO dejará de arar y se habrá producdo el enganche del PLL. Ahora supongamos que la frecuenca de entrada empeza a cambar lentamente. Hasta cuándo podrá hacerlo sn que el lazo se desenganche? Hasta que la frecuenca de entrada sea tan dferente de la frecuenca lbre que el CO no pueda ya producrla, ya sea porque alcanzó su propo límte o porque el detector de fase (junto con el amplfcador) no está en condcones de sumnstrar la tensón requerda, ( o )/. El alor precso depende de la naturaleza del detector y concde con la máxma tensón que éste puede producr. Para el caso del detector multplcato el límte será una tensón gual a A (er ecuacón (6) y fgura ). En el caso del detector ORexcluso (ecuacón (8) y fgura 3), el límte será Aπ/. En este caso deberá ser es decr o π A, π o A. (38) Los alores de frecuenca de entrada que satsfacen esta desgualdad consttuyen el rango de enganche o rango de segumento del PLL. etermnemos ahora el rango de captura, un nteralo más restrcto que ndca la máxma separacón entre la frecuenca de entrada y la frecuenca lbre para que se produzca el enganche partendo de una stuacón de desenganche (en el caso anteror suponíamos que partíamos con el lazo enganchado). Para ello tengamos en cuenta que s o es demasado grande, la frecuenca de osclacón de la componente de baja frecuenca dada en la ecuacón (4) (reescrta reemplazando aquí / por ), t) cos( ) t, (39) 3( o B04.0

15 Federco Myara Año 005 puede no ser tan baja, y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del fltro pasabajos. A esa frecuenca la tensón de control del CO, es decr, la salda del fltro amplfcada, será ( j( )) cos( ( ϕ) c ( t) A F o o ) t. (40) Para que se produzca el enganche deberá cumplrse que o π A F ( j( )) o, es decr π A F( j( )). (4) o o Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche, debdo a la atenuacón del fltro. Para un fltro sencllo con un polo y un cero esta desgualdad puede resolerse en forma exacta. El cálculo puede smplfcarse, sn embargo, acotando la gananca del fltro a su alor en nfnto, /. A la luz de los razonamentos anterores, se concluye que dentro del rango de captura sólo es posble un estado de equlbro, correspondente al PLL enganchado. Fuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche, son posbles dos stuacones: enganchado u osclando a la frecuenca lbre, dependendo s se entra en esa regón estando el PLL enganchado o no. Fnalmente, fuera del rango de enganche, sólo funconará desenganchado (fgura ) CO o o captura enganche Fgura. Estados de equlbro posbles para un PLL. o es la frecuenca lbre del CO (la separacón entre los camnos de da y de uelta es sólo por clardad del dbujo). EJEMPLO En el PLL del ejemplo anteror determnar el rango de segumento y el rango de captura. B4.0 3

16 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase Solucón: Procederemos en forma aproxmada. La funcón fltrante F(j) tene un máxmo en contnua y un mínmo en nfnto gual a R /(R R ),8/,8 0,048. Con este alor, podemos aplcar la desgualdad (4), reconocendo que F(j) > 0,048. Entonces el rango de captura será, por lo menos, π 0000 π/ 800 0, ,6 /s, es decr 74,8 Hz. El alor obtendo resolendo numércamente (sn aproxmar) la desgualdad (4) es 49 /s (es decr, 83 Hz). En cuanto al rango de enganche o segumento, resulta π 0000 π/ /s, es decr, 7050 Hz. S este rango fuera nsufcente, podría aumentarse A. 4.. Extensón del rango de captura Es posble extender el rango de captura de un PLL, sn recurrr a aumentar excesamente la gananca de lazo, por medo de un crcuto feedforward con un conersor frecuenca-tensón (f-), como se ndca en la fgura. El conersor se elge de modo que su constante sea aproxmadamente la recíproca de la constante del CO. Entonces la tensón que se aplca en la entrada del CO ante una entrada dada es aproxmadamente la msma que hace falta para que el CO produzca una frecuenca gual a la de entrada, por lo cual ambas frecuencas serán muy parecdas, y por consguente el proceso de enganche será rápdo y seguro cualquera sea la frecuenca dentro del rango de enganche. Podría objetarse que, s se dspone de un conersor f-, ya no es necesaro el PLL. Sn embargo, la funcón del PLL no es sólo proporconar una tensón lneal con la frecuenca sno consegur el sncronsmo entre la frecuenca generada remotamente y la frecuenca local. Por otra parte normalmente la conersón frecuenca-tensón lograda medante un PLL es más lneal que la que se obtene medante otros mecansmos de conersón en lazo aberto (como lo es el conertr la entrada en un tren de pulsos de ancho constante medante un multbrador monoestable y luego fltrar las componentes de alta frecuenca). f- etector de fase F(s) A CO Fgura. Utlzacón de un lazo feedforward con un conersor frecuenca-tensón para aumentar el rango de captura. 4 B04.0

17 Federco Myara Año Rechazo a rudo El PLL puede ser utlzado con entaja para recuperar o demodular señales o portadoras nmersas en rudo. Un efecto del rudo de entrada en un PLL es la aparcón de fluctuacones de fase aleatoras denomnadas genércamente jtter. Este jtter tambén se traduce en aracones de frecuenca. Cuando las fluctuacones de fase son sufcentes para sacar al detector de fase de su zona operata (entre 0 y π) se produce el desenganche, perdéndose el sncronsmo entre la entrada y la salda del CO. ado que el rudo es una señal aleatora, esta stuacón puede producrse o no, aunque s se deja transcurrr un tempo sufcente, la probabldad de que ocurra aumenta. Se ha demostrado medante smulacones dgtales que por cada db que se ncrementa la relacón señal/rudo el tempo transcurrdo antes de que se produzca el desenganche se multplca por 0. Para garantzar que el enganche se produzca y mantenga, será necesaro que la relacón señal a rudo sea mayor que 6 db Tempo de captura El tempo requerdo para que la captura (enganche) se produzca depende de la separacón entre la frecuenca de entrada y la frecuenca lbre. Se encuentra que este tempo ale aproxmadamente T captura ( ) (4) 3 ξ n Como lustracón, en el PLL de los ejemplos y, el tempo requerdo para engancharse a una frecuenca de 0,3 khz es de 0 ms aproxmadamente. 5. Error de fase en régmen permanente Al dseñar un demodulador de frecuenca con un PLL es necesaro tener en cuenta que dentro del rango de aracón de la señal modulante el error de fase con respecto al alor de equlbro π/ debe ser sempre menor que ± π/, ya que s dcho alor se excede se perde el enganche. Supongamos una portadora de frecuenca p modulada en frecuenca por una cosenode de frecuenca m cuya máxma desacón con respecto a la portadora es ± máx : ( t) p máx cos m t, (43) S aplcamos esta señal a la entrada de un PLL cuya funcón de transferenca Ω CO / Ω es H(s), la frecuenca del CO en régmen permanente será: CO ( t arg H ( j )) ( t) p máx H ( jm ) cos m m Nos proponemos calcular el error de fase ϕ(t), que estará dado por. (44) B4.0 5

18 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase ϕ( t) ( ( t) ( t) )dt. (45) Notemos que la fase total entre las dos señales (la de entrada y la del CO) en realdad requere la suma de una constante de ntegracón gual a la dferenca de fase en equlbro. Esta dferenca depende de la relacón entre la frecuenca de la portadora y la frecuenca lbre del CO. Como normalmente se toman concdentes ( o p ) ya que así se maxmza el rango dnámco, la dferenca de fase de equlbro será π/. Reemplazando 43 y 44 en 45, resulta CO ( cos t H ( j ) cos ( t arg H ( j )) ϕ( t) máx dt. (46) Integrando, m m m m ) ϕ( t) máx m ( sen t H ( j ) sen ( t arg H ( j ))) m m m m. (47) Para calcular el máxmo alor de esta fase bastará expresar esta suma como una únca senode cuya ampltud es el alor deseado. Se obtene ϕ ( H ( j )) máx máx m m m Para el caso de un fltro con polo y cero, H(s) ene dada por H ( j ) Re. (48) H ( s) s /. (49) s s A A Para m 0, se demuestra fáclmente que máx ϕmáx. (50) A En el caso en que >> A, la anteror puede reescrbrse como máx ϕmáx ξ n. (5) Por otra parte, s ξ es pequeño, el error de fase tene un pco para m cerca de n, que ene dado por ϕ máx máx n 4ξ ξ n. (5) 6 B04.0

19 Federco Myara Año 005 En la fgura 3 se muestra en forma gráfca el error de fase normalzado en funcón de la frecuenca modulante normalzada. 5 ϕmáx máx/n 4 3 ξ,0 ξ 0,7 ξ 0, ξ 0,5 0, 0, 0,5 5 0 m / n Fgura 3. Ampltud del error de fase normalzado ϕ máx /( máx / n ), en funcón de la frecuenca modulante normalzada m / n, suponendo que el cero es mayor que el polo. EJEMPLO 3 En el PLL de los ejemplos anterores determnar el máxmo error de fase para una desacón de frecuenca de 00 Hz. Solucón: Para ξ el máxmo error es apenas lgeramente mayor (3 %) que el error en baja frecuenca y ale máx / A. S máx π.00 Hz, se obtene un error de fase máxmo de 0,0 rad, que es menor que π/. El trabajar con ξ garantza que s se cumpló la necuacón (38) no se producrá el desenganche, ya que el peor error se presenta en baja frecuenca y la desgualdad (38) acota dcho error. Para alores pequeños de ξ ello puede no ser certo, ya que cerca de n se produce un error de fase muy grande que puede superar fáclmente el alor máxmo π/. 6. Error de fase en régmen transtoro En presenca de una conmutacón desde un alor de frecuenca a otro podrían producrse errores de fase sgnfcatos capaces de desenganchar al PLL s el sstema es subamortguado (ξ < ). Este problema puede presentarse en los sstemas de demodula- B4.0 7

20 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase cón de señales moduladas por FS (frequency shft keyng). Su análss es smlar al anteror. Suponemos que se produce una transcón entre y. Luego de la transcón tendremos en tanto que el CO responderá como en (37): CO ( t), (53) ξ t t e n ( ) cos ξ nt η, (54) ξ donde η arcsen ξ. El error de fase ϕ(t) endrá dado por ϕ( t) ( ( t) ( t) )dt. (55) Tenendo en cuenta que después de la conmutacón (t), la solucón de la ntegral anteror (obtenda consderando el coseno como la parte real de una exponencal compleja) arroja donde ξ e n t cos ξ n ξ CO ϕ( t ) nt η ψ Cnt. (56) ψ arccos ξ. (57) La constante de ntegracón debe tener en cuenta el cambo de fase necesaro para acomodar el cambo de frecuenca una ez extngudo el transtoro. Su alor es C nt. (58) A Para encontrar el error de fase máxmo deramos la expresón (56) e gualamos a 0. Pero debdo a que ϕ(t) fue obtenda ntegrando (t) CO (t), resulta ξ t ϕ t t e n ( )'( ) CO ( ) cos ξ nt η, (59) ξ S t M es el prmer nstante en el que ( ϕ)'(t M ) 0, debe cumplrse cos ξ n t M η 0. Resulta t M π / arcsen ξ. ξ n 8 B04.0

21 Federco Myara Año 005 Reemplazando en (56) ϕ es decr, π / arcsen ξ ξ n e n ξ ( ) máx cos π / η η ψ n ξ, A ϕ máx n e π ξ / arcsen ξ ξ ξ. (60) Podemos representar este alor normalzado con respecto a / n ( )/ n, en funcón de ξ, como se muestra en la fgura 4. ϕmáx /n,9,8,7,6,5,4,3,, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Fgura 4. Ampltud del error de fase normalzado ϕ máx /( / n ), en funcón del coefcente de amortguamento ξ. ξ EJEMPLO 4 En el PLL de los ejemplos anterores determnar el máxmo salto de frecuenca f máx para que el lazo no se desenganche a causa de un exceso error de fase. Solucón: Para ξ el máxmo error normalzado es, según la ecuacón (60) (o la gráfca) gual a,509. ebe ser,509 n, / s < π, de donde resulta < 500 π//, / s, de donde f máx 8 Hz. B4.0 9

22 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase 7. El PLL monolítco LM565 Se han mplementado dersos crcutos ntegrados monolítcos que realzan la funcón de un lazo de fjacón de fase. Entre ellos se encuentran el C4046 y el LM565, de los cuales estudaremos el últmo. El dagrama de bloques corresponde esencalmente al ndcado en la fgura 4. El detector de fase es de tpo multplcato, basado en la estructura de un multplcador de Glbert (Apéndce ) como se ndca en la fgura 5. 0 cc R R 5,7 kω,75 kω 7, kω 7, kω R 3,6 kω Salda 6 7 c Control ref del CO o T 7 T 8 T 3 T 4 T 5 T 6 A 3,8 kω kω kω 3 T T I B 3 kω 3 CO Entrada procedente del CO 8, kω 4 00 Ω I ' 0,976 I cc Fgura 5. agrama esquemátco de la seccón detectora de fase del PLL LM565, basada en el multplcador de Glbert que se analza en el Apéndce. Los números en negrta ndcan los termnales. Las fuentes de corrente I están determnadas por un espejo de corrente que copa la corrente que crcula por la rama de las resstencas de,75 kω, 3,8 kω, 8, kω y 00 Ω. Para una almentacón de ±6, resulta I,75 kω 6 3,8 kω - 0,6 8, kω 00 Ω 0,8 ma A 6 0,8 ma (8, kω 00 Ω) 0,6,4 A su ez, en reposo, B 3 kω 6 3 kω 5,7 kω,34 0 B04.0

23 Federco Myara Año 005 Según eremos, la entrada CO proenente de la salda del CO puede tomar dos alores: 5,4 y 0,6. En el prmer caso el dodo 3 está polarzado nersamente e nhbe toda modfcacón de B, de modo que resulta B > A. En el segundo caso el dodo puede conducr y fuerza B a un alor 0, de modo que B < A. S no estueran los dodos y, la salda o del multplcador sería, según el análss realzado en el Apéndce (er ecuacón (A.9)), R I Th Th o B A, T T que, para alores grandes de B A y se reduce a o R I sg( ) sg( B A ) R I sg( ) sg( CO ). ado que R I 7, kω 0,8 ma 6,4, sempre conduce uno de los dodos y, lmtando dcho alor a ± 0,6, de manera que o sg( ) sg( CO ). (6) eamos el efecto de dcha tensón aplcada al par dferencal T 7 -T 8. Sn las resstencas degeneratas de emsor R e kω, esta tensón sería sufcente para cortar alternatamente uno u otro transstor. ebdo a estas resstencas, los transstores no llegan a cortarse. Se tene I I 8 7 R o e I 8 I 7 I ' de donde I 8 o ReI' R e En ausenca de un capactor de fltrado, la tensón c de control del CO (termnal 7) toma, por consguente, el sguente alor: R cc ( sg( ) sg( CO ) Re ') R I (6) c e Al colocar un capactor en paralelo con R (o, para el caso, entre el termnal 7 y masa), se obtendrá un alor de contnua que dependerá lnealmente de la fase entre y CO. En efecto, recordando (7) y (8) resulta c med R π cc ϕ ReI ' R π e es decr, B4.0

24 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase R π I' R c med cc ϕ. (63) πr Para ϕ π/, es decr, cuando el osclador oscla a la frecuenca lbre, el alor medo de la tensón de control es cc ½R I '. En el termnal 6 se proee una salda, denomnada ref, que concde con este alor: e ref cc ½ R I '. (64) Obsérese que la frecuenca lbre no se obtene para c 0, como en el modelo dealzado, sno para c ref, es decr, para c ref 0. Para una almentacón de ± 6 resulta ref 6 ½ 3,6 kω 0,8 ma 0,976 4,56. (65) Este alor es práctcamente concdente con el alor típco de 4,50 ndcado en las especfcacones. El termnal 6 está presto para referr a ella la tensón de entrada al CO (que es la señal demodulada). La ecuacón (63) nos permte, asmsmo, obtener la constante A del detector de fase y el amplfcador (conformado por el par dferencal): A R πr e. (66) Hecho el cálculo, resulta A 0,688 /rad, alor concdente con el alor típco de 0,68 /rad dado en las especfcacones. En la fgura 6 se muestra el dagrama esquemátco del osclador controlado por tensón (CO). A grandes rasgos, la columna ntegrada por los transstores T a T 8 consttuye una fuente de corrente controlada por tensón y de polardad conmutable cuyo fn es cargar y descargar el capactor externo C, en tanto el resto de los transstores confguran un comparador con hstéress. Obseremos prmero que los transstores T y T conforman un segudor con muy baja caída entre la tensón de control c y el emsor de T. Ello mplca que la corrente I o que crcula por la resstenca externa R estará dada por I o cc c. (67) R cha corrente atraesa los transstores T a T 4 y es descargada haca la estructura nferor formada por, y T 5 a T 6. Cuando T 8 está cortado, tanto T 6 como T 7 y T 5 están tambén cortados. Ello mplca que está cortado y por consguente conduce la totaldad de la corrente proenente de T 3 y T 4, que se drge al capactor cargándolo a pendente constante y posta I o /C. Cuando, contraramente, T 8 conduce, tanto T 6 como T 7 y T 5 conducen y forman un espejo de corrente. ado que el potencal 6 de los emsores de T 3 y T 4 se uele muy negato, se corta y en consecuenca T 5 absorbe del capactor una corrente gual a I o. Por consguente el capactor se descarga ahora a pendente constante negata I o /C. En realdad se especfca el alor sn sgno, debdo a que la tensón de entrada al CO se nterpreta como cc c en lugar de c. B04.0

25 Federco Myara Año cc R 8 c 7 I I o T 3I T R R 3 R 6 R 7 6,5 kω 4,7 kω 6 kω 4,3 kω I I T 3 T 4 I 4 CO T 5 I I I 9 T T T 3 T 4 6 T 5 C T 0 8,4 kω R 5 4,8 kω T 5 I T 6 T 7 I " 4 R 4 4 5,8 kω,6 kω 530 Ω 530 Ω 8 cc T kω cc Fgura 6. agrama esquemátco del osclador controlado por tensón del PLL LM565. Los números en negrta ndcan los termnales. La resstenca R y el capactor C son externos. Supongamos que ncalmente T 0 está cortado. Entonces tambén están cortados 4 y 3. El potencal 3 tende a subr debdo a la resstenca R 6,5 kω conectada a cc, por lo cual 5, 6 y T conducen. A efectos de calcular el estado del resto del crcuto determnemos los potencales, 3 y 4. Se erfca ( 0,6 ) cc cc cc R4 R3 R de donde podemos despejar. Suponendo cc 6, 0,6 (68) B4.0 3

26 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase R R R4 R3 0, cc R3 R R 0,04 R4 R R 0. (69) e allí, 3 0,6, (70) 4 0,6. (7) Como el emsor de T está conectado a cc por medo de la resstenca R 5, dcho transstor conduce, ubcándose el potencal de salda en CO 0,6 0,6. (7) El emsor de T 3 está conectado a cc a traés de la resstenca R 6, por lo que este transstor tambén está en conduccón, fjando 5 0. (73) El potencal 6 está fjado por la caída de potencal en la resstenca R 7 debda a la fuente de corrente I 0,8 ma: 6 cc 0,8 ma 4,3 kω,47. (74) La juntura BE de T 4 resulta, así, estar polarzada nersamente y por lo tanto T 4 y T 5 están cortados, lo cual corta tambén a T 8. Según mos, esto mplca que C se carga con pendente posta, dada por I o /C. La tensón aumentará, entonces, paulatnamente, hasta que la base de T 9 llegue a estar aproxmadamente a 3 BE por encma de 4. Ello sucede cuando 4 3 BE,. (75) En ese momento 4 y T 0 entran en conduccón. Al conducr T 0 se cerra un lazo de realmentacón posta corrente-corrente alrededor de T. En efecto, s la corrente de colector de T dsmnuye, 4 tende a dsmnur. Como el potencal de la base de T 0 está fjo por el potencal del capactor y las caídas BE9 y 4, T 0 tende a conducr más proocando una caída de 3 que despolarza aún más a T. cho lazo es fuertemente nestable tendendo a cortar a T. Una ez cortado T, la corrente crculante por la resstenca R 4, es decr 0,6 (,6 kω cc ),08 ma, pasa a estar sumnstrada por T 0. cha corrente es la suma de la que ene por 3 desde T 9 y la que ene por R. Esta últma ale cc ( 4 0,6 ) 0,9 ma ; 6,5 kω el resto,,08 ma 0,9 ma,6 ma, crcula por 3 y T 9. 4 B04.0

27 Federco Myara Año 005 Al cortarse T, sube práctcamente hasta cc y T se polarza, fjando un potencal de salda CO cc 0,6 5,4 (76) Como 6,47, 5 puede, a lo sumo, aler 3,07 (en caso de que T 4 conduzca). La base de T 3 sube mucho más que eso, por lo que T 3 se corta, pasando a conducr T 4, T 5 y T 8. Como mos, la conduccón de T 8 nerte la pendente de la tensón en el capactor C, comenzando el proceso de descarga, dsmnuyendo. ado que el conjunto T 9-4 -T 0 se comporta como un segudor con caída 3 BE, 4 tambén empeza a dsmnur. Al hacerlo, por un lado dsmnuye la corrente por R 4 y por otro aumenta la que crcula por R. Cuando se gualan, el dodo 3 deja de conducr y entonces una ulteror reduccón de hará que la corrente por R empece a dsmnur, por lo que 3 aumenta. En el nstante en que 3 4 BE, (77) tanto 6 como T empezan a conducr y uele a cerrarse el lazo de realmentacón posta. Crcula más corrente por la resstenca R 4, aumenta 4 y 4 -T 0 se despolarzan, cortándose rápdamente. Esto sucede cuando ( 3 BE ) BE cc R R, (78) 4 donde Resulta. (79) 3 BE ( cc ) R4 R4 ( R R ) ( 3R R ) 4 cc 4 BE R R4,. (80) A partr de este momento se uele a la stuacón ncal: T 8 conduce y la pendente de se uele posta, cargándose el capactor. En resumen, el capactor se carga y descarga con pendentes smétrcas guales a ± I o / C, osclando entre, y, (fgura 7). La frecuenca resultante es la recíproca del perodo, es decr: f CO Io cc c. (8) C( ) RC( ) máx mín máx mín Para cc 6 la frecuenca lbre se da cuando c ref 4,56. Resulta 6 4,56 0,3 f o. (8) RC(,, ) RC alor bastante cercano al ndcado (0,3/RC). Podemos obtener la constante del osclador a partr de la ecuacón (8): B4.0 5

28 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase CO [] 5,4 0,6 t [],0 t, Fgura 7. Formas de onda en el osclador controlado por tensón. Arrba, a la salda. Abajo, en el termnal 9 (conexón del capactor C). π πfo 4,36 fo, (83) RC( máx mín),44 alor bastante cercano al correspondente a las especfcacones, (4,5/) f o. 8. Aplcacones del PLL El PLL permte resoler dersos problemas de nterés técnco. Las aplcacones se dden en dos grandes grupos: fltros (lneales y no lneales) y demoduladores. 8.. Fltros El PLL permte, en prmer lugar, la realzacón de fltros de fase. Su fnaldad es recuperar o reconstrur una señal de entrada corrupta por rudo de fase, es decr, fluctuacones aleatoras de frecuenca o fase causadas por la ntermodulacón con rudo en algún punto de su recorrdo o ben por un fenómeno rudoso de modulacón de fase o de frecuenca. Esta fluctuacón se denomna jtter. Un ejemplo se da en las grabacones en medos dgtales (C, AT, M). La elocdad de reproduccón tene habtualmente aracones debdas a fenómenos electromecáncos, por ejemplo bracones, rudo o rpple en la almentacón de los motores, lo cual se traslada a la señal en forma de jtter. El efecto del jtter, s no es corregdo, ncrementa el rudo equalente de la señal. El PLL puede reconstrur la base de tempo (reloj) a partr de la frecuenca fluctuante así obtenda, mantenendo la frecuenca meda y reducendo consderablemente las fluctuacones de fase medante un fltro de baja frecuenca de corte. 6 B04.0

29 Federco Myara Año 005 En segundo lugar, dado que el PLL tene por un lado la capacdad de rechazar rudo y por otro tene un rango acotado de captura y enganche, puede engancharse a una frecuenca a pesar de que exstan otras presentes smultáneamente. Ello sucede en el caso de aras señales moduladas en frecuenca con dersas portadoras. El PLL tendrá una accón selecta, enganchándose sólo a la frecuenca que se encuentre dentro de su rango de captura. Por últmo, utlzado en conjunto con un dsor de frecuenca en el lazo de realmentacón, como se muestra en la fgura 8, el PLL permte obtener una señal de frecuenca múltplo de la frecuenca de entrada. S f es la frecuenca de entrada y se desea f Osclador etector Fltro ϕ N f Ampl. controlado de fase Pasabajos por tensón c o f N f / N Fgura 8. agrama esquemátco de un multplcador de frecuenca obtendo nsertando un dsor de frecuenca en el lazo de realmentacón. obtener una frecuenca N f la frecuenca deseada, el CO debe estar dseñado para funconar con una frecuenca lbre próxma a N f. El dsor de frecuenca la conertrá en f y será éste el alor que se comparará con la entrada. El dsor de frecuenca se mplementa normalmente con un crcuto lógco basado en un contador. Exsten muchos modelos, ncluse algunos cuya cuenta máxma es programable medante conexones externas, como el C408, o a traés de una entrada dgtal, como el C45 (bnaro) o el C456 (decmal). S el fltro no está ben dseñado, puede suceder que la señal obtenda contenga una modulacón de frecuenca peródca debda al rpple resdual. Mentras que en el PLL orgnal dcho rpple podría causar una lgera asmetría de la forma de onda (al ser la tensón de control meda dferente en cada semperíodo), en el multplcador la tensón de control contnúa arando en la msma dreccón durante N cclos. 8.. emoduladores Los demoduladores pueden ser de tpo analógco o dgtal. Los demoduladores analógcos requeren que el CO sea muy lneal. En efecto, el lazo de realmentacón de fase sólo nolucra la relacón entre las frecuencas. S es de gananca consderable permte una buena lnealdad entre las frecuencas (de hecho, la constante teórca es ), pero la relacón entre c y la frecuenca depende exclusamente de la lnealdad del CO. Los demoduladores dgtales se utlzan para demodular señales FS (frequency shft keyng). En este caso, normalmente la señal contene saltos de frecuenca entre un alor mínmo y uno máxmo. La precaucón a tomar es que la respuesta transtora no produzca sobrepcos que puderan alterar la señal decodfcada. B4.0 7

30 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase APÉNICE Relacón entre la frecuenca y la fase Para encontrar la relacón entre la fase y la frecuenca, tengamos en cuenta que la funcón senodal puede pensarse como la proyeccón sobre un eje ertcal de un ector que gra con una elocdad angular ν, que puede o no ser constante, como se muestra en la fgura A.. En este contexto, la frecuenca puede defnrse como la cantdad de sen ϕ(t) ν(t) ϕ(t) Fgura A.. agrama para obtener la relacón entre la fase y la frecuenca. ueltas por undad de tempo. ado que una uelta equale a un ángulo de π, entonces la cantdad de ueltas en un nteralo [t, t t] es gual al ángulo recorrdo dddo por π: uelta ϕ [ ϕ( t t) ϕ( t)]. (A.) π π Entonces la frecuenca es f ( t) lím t 0 uelta t π ϕ( t t) ϕ( t) lím t 0 t ϕ ( t), (A.) π de donde ( t) π f ( t) ϕ ( t), (A.3) con lo cual queda demostrado que la pulsacón nstantánea es la derada de la fase. Esta últma relacón muestra, además, que la elocdad angular ν y la pulsacón son guales. 8 B04.0

31 Federco Myara Año 005 APÉNICE Análss del multplcador de Glbert En la fgura A. se reproduce la estructura esquemátca de un multplcador de Glbert. cc R R o T 3 T 4 T 5 T 6 T T I cc Fgura A.. agrama esquemátco de un multplcador de Glbert. Planteemos prmero las relacones báscas entre las arables fundamentales del crcuto. Las correntes de colector de los transstores cumplen: C C3 C4, C C5 C6, C C I. (A.a) (A.b) (A.b) Además, las ecuacones smplfcadas de Ebers y Moll ndcan que Cn s BEn / T I e, n,..., 6 (A.) donde T kt / q, sendo k la constante de Boltzmann (k, J/), q la carga eléctrca del electrón (q,6 0 9 C), y T la temperatura absoluta. Además, BE3 BE4 BE6 BE5, BE BE, (A.3a) (A.3b) B4.0 9

32 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase Por últmo, o ( C3 C4 C5 C6 )R. (A.4) e las ecuacones (A.) se deduce que C3 C4 C6 C5 BE3 BE4 T e (A.5a) BE6 BE5 T e (A.5a) y de (A.3a), Análogamente, C3 C4 C5 T C6 e (A.6a) Por otra parte, de donde I C C T e (A.6b) / ( e T ) C C C C C, C Análogamente, En forma smlar, C C I / e T. (A.7a) I / e T. (A.7b) C4 C, / e T C6 C /, e T C3 C /, e T C5 C. / e T (A.8) Susttuyendo en éstas las (A.7) y restando C3 C4 se obtene 30 B04.0

33 Federco Myara Año 005 B4.0 3 T C C Th e I e e e I T T T T / / / / 4 3, Análogamente, T C C Th e I e e e I T T T T / / / / 6 5. Fnalmente, reemplazando en (A.4), T T Th Th I R o. (A.9) Para, < T o 4 RI I R T T T. (A.0) La aproxmacón es muy buena dado que la tangente hperbólca tene un desarrollo de Taylor Th x x x 3 /3 en el cual no aparece el térmno cuadrátco. S y son del orden de T el error es menor del 4%. S, en cambo,, >> T se ngresa en la zona no lneal y entonces o R I sg( ) sg( ), (A.) donde sg(x) es la funcón sgno.

34 Electrónca III PLL - Lazos de fjacón de fase Bblografía Gray, Paul; Mayer, Robert. Analyss and esgn of Analog Intgrated Crcuts. Edtoral John Wey & Sons. Sngapur, 993 (Hay ersón castellana) uo, Benjamn. Sstemas Automátcos de Control. Edtoral C.E.C.S.A. Barcelona, España, 974. Mlls, Thomas B. The Phase Locked Loop IC as a Communcaton System Buldng Block. Natonal Semconductor Applcaton Note 46 June 97 Myara, Federco. Amplfcadores realmentados. Publcacón nterna de la cátedra sponble en Internet: Myara, Federco. Establdad de amplfcadores realmentados. Publcacón nterna de la cátedra. sponble en Internet: Natonal Semconductor. Lnear atabook. 995 Natonal Sernconductor. Audo Rado Handbook. 980 Natonal Sernconductor. Lnear Applcaton Handbook. 986 Shengold, anel H. (edtor). Nonlnear crcuts handbook. esgnng wth analog functon modules and IC s. Analog eces. Norwood, 974. Watknson, John. Audo gtal. Edtoral Parannfo. Madrd, B04.0